Prov 2
Envariabelanalys
2014-03-21
UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Inger Sigstam, Robert Algervik
Skrivtid: 14.00-19.00. Miniräknare är inte tillåten. På baksidan nns ett formelblad. Varje
uppgift ger maximalt 5 poäng och för godkänd deltenta krävs minst 18 poäng. Skriv dina
lösningar så att de blir lätta att följa, och redovisa tydligt hur du har resonerat.
1. Bestäm följande integraler:
Z
(a)
√
dx
,
x+x
Z
(b)
π/3
2x sin(3x) dx.
0
2. Bestäm den lösning till dierentialekvationen
y0
4 ln x
,
=
x
y2
som uppfyller y(1) = 0.
r
x2
x2
y2
3. Kurvan y = 2 1 − , 0 ≤ x ≤ 3, (som är en del av ellipsen + = 1) roterar
9
9
4
kring y -axeln. Beräkna volymen av den uppkomna rotationskroppen.
4. Bestäm den lösning till dierentialekvationen
y 00 + y 0 − 2y = ex ,
som uppfyller y(0) = 0 och y 0 (0) = 1.
5. Beräkna den generaliserade integralen
Z
∞
1
x+1
dx.
x(x2 + 1)
6. Personerna A och B beräknar var för sig integralen
Z
x2
dx
.
+ 2x + 2
x
A får svaret arctan
+ C , där C är en konstant. B har kommit fram till
x+2
svaret arctan (x + 1) + D, där D är konstant.
Har någon av dem rätt? Har någon fel? Vem i så fall? Motivera ditt svar noga.
7. Avgör om följande serier är konvergenta eller divergenta
(a)
∞
X
3n2 − n
√ ,
2 n
1
+
n
n=1
(b)
∞
X
1
1
√ sin .
n
n
n=1
Var god vänd!
8. Luften i ett visst rum har volymen 100 m3 . Rummet har ett ventilationssystem som
varje timma byter ut 10 m3 av luften. Rummet tillförs sammanlagt 0, 7 m3 koldioxid
per timma (dels från personer i rummet och dels från ventilationsluften), men
volymen luft i rummet är alltid 100 m3 . Låt y(t) vara volymen koldioxid i rummet
efter t timmar. Ställ upp en dierentialekvation för y . Om koldioxidkoncentrationen
var 1% från början, hur lång tid tar det tills den är 4%? Du behöver inte beräkna
ett närmevärde till ditt svar.
Lycka till!
Trigonometriska formler:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1
1
sin2 x = (1 − cos 2x),
2
1
cos2 x = (1 + cos 2x)
2
Maclaurinutvecklingar:
ex = 1 + x +
sin x = x −
x2 x3
xn
+
+ ··· +
+ O(xn+1 )
2!
3!
n!
x3 x5
x2n+1
+
− · · · + (−1)n
+ O(x2n+3 )
3!
5!
(2n + 1)!
cos x = 1 −
x2 x4
x2n
+
− · · · + (−1)n
+ O(x2n+2 )
2!
4!
(2n)!
ln(1 + x) = x −
arctan x = x −
x2 x3
xn
+
− · · · + (−1)n−1
+ O(xn+1 )
2
3
n
x3 x5
x2n+1
+
− · · · + (−1)n
+ O(x2n+3 )
3
5
2n + 1
x2
x3
α n
(1 + x) = 1 + αx + α(α − 1) + α(α − 1)(α − 2) + · · · +
x + O(xn+1 )
2!
3!
n
α
