Ett tal sägs vara ett überprimtal om varje sekvens av på varandra följande
siffror i talet är ett primtal. Om till exempel 1234 ska vara ett überprimtal
i talbas 10 krävs det att 1234, 123, 234, 12, 23, 34, 1, 2, 3, och 4 alla är
primtal.
a) Vilket är det största überprimtalet i talbas 10?
Ett tal kan skrivas i olika talbaser. I till exempel talbas 12 skrivs 73 som
6112 eftersom 73 = 6 · 12 + 1. Om 73 ska vara ett überprimtal i talbas 12
måste då alltså 112 , 612 och 6112 vara primtal.
b) Vilket tal är det största überprimtalet i talbas 7? Svara i både talbas 7
och talbas 10.
Lösning:
a) Då alla enskilda siffror måste vara primtal kan ett überprimtal enbart
bestå av siffrorna 2, 3, 5 och 7. Eftersom 10 ≡2 0 och 10 ≡5 0 kan siffrorna
2 och 5 enbart finnas i början av talet. I annat fall kan ett tal skapas som
slutar på 2 eller 5, och som därmed är delbart på 2 eller 5. Det gäller även
att inget tal kan förekomma två gånger i rad, då detta resulterar i att ett
tal delbart på 11 kan skapas genom att betrakta sekvensen som består av
just dessa två siffror. Det följer alltså att ett überprimtal bara kan börja på
2, 3, 5 eller 7, och därefter kan 3 och 7 användas omväxlande.
Det verifieras enkelt att 373 är ett überprimtal i talbas 10 då 3, 7, 37, 73 och
373 alla är primtal. Det verifieras även enkelt att 737 inte är ett überprimtal
då 737 = 11 · 67. Det följer alltså att vi inte kan fortsätta att använda 3
och 7 omväxlande, då alla sekvenser med fler än 4 omväxlande 3:or och 7:or
måste innehålla delsekvensen 737, som då inte är ett primtal.
Följande kandidater till största überprimtal kvarstår dock: 373, 537, 573,
2373 och 5373. Då 537 = 3 · 179, 573 = 3 · 191 och 237 = 3 · 79 följer det att
373 är det största überprimtalet.
Observera att 237 är en sekvens i 2373 och 537 är en sekvens i 5373.
b) Eftersom alla enskilda siffror i ett überprimtal i talbas 7 måste vara
primtal följer det att talet enbart kan bestå av 2,3 eller 5. Notera att 7 ≡2 1
och 7 ≡3 1. Av lagarna för moduloräkning följer det därmed att ett tal i
talbas 7 är delbart på 2 om och endast om dess siffersumma är delbar på 2,
samt att ett tal i talbas 7 är delbart på 3 om och endast om dess siffersumma
är delbar på 3. Dessutom gäller det som vanligt att samma siffra aldrig får
förekomma två gånger i rad, då vi i så fall kan konstruera ett tal delbart
på 8 (talbasen + 1) genom att betrakta sekvensen bestående av dessa två
tal. Låt un ∈ [3, 5], n ∈ N. Alla sekvenser på formen u1 u2 eller u1 2u2 är
1
därmed otillåtna då dess siffersumma blir delbar med 2, vilket innebär att
talet är delbart med 2. Då vi aldrig kan ha två på varandra följande udda
tal måste alla überprimtal i talbas 7 vara på formen 2u0 2...un , 2u0 2...un 2,
u0 2...un eller u0 2...un 2.
Det inses enkelt att alla sekvenser på den formen bestående av 4 eller fler
siffror kommer att innehålla en delsekvens på formen u0 2u1 , vilket då är
otillåtet.
De enda möjliga überprimtal bestående av 3 siffror är 232 och 252. Då 252
har siffersumman 9 är talet delbart med 3 och är därmed inte ett primtal.
232 är 2 · 72 + 3 · 7 + 2 = 121 = 112 och är därmed inte heller ett primtal.
Det största überprimtalet i talbas 7 består då alltså av högst två siffror. Då
52 = 5 · 7 + 2 = 37 vilket är ett primtal följer det att 52 är ett überprimtal
i talbas 7, och vi har tidigare visat att det inte kan finnas något större.
2
