Instuderingsövningar

Kvalitativ analys av
differentialekvationer
Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser
huvudtexten. Den tänkta gången är som följer:
a)
Läs igenom huvudtextens kapitel en fösta gång.
b)
Starta sedan en andra genomläsning av detta, där du efter
varje avsnitt gör de övningar här som hör till det avsnittet.
De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall
anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du
måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.
c)
När du på detta sätt läst igenom kapitlet en andra gång, avsluta med en tredje genomläsning innan du börjar på de blandade övningarna.
Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är
svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.
Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare
(när hjärnan fått mer att arbeta med).
Analys360 (Grundkurs)
Instuderingsuppgifter
Ställ upp en differentialekvation som bestämmer mängd salt i tanken
vid olika tidpunkter.
I följande övning får man tänka lite noggrannare kring massbalansen!
Övning 5 Vatten som innehåller 2 g/l av en förorening rinner igenom en reningstank med en hastighet av 500 l/min. I tanken tar reningsprocesserna ut 5% av föroreningarna per minut, och vattnet i
tanken blandas väl. Reningstanken rymmer 10 000 liter vatten. Den
dag tanken tas i bruk är den fylld med rent vatten. Ställ upp en differentialekvation som bestämmer mängd salt i tanken vid olika tidpunkter.
Använd följande övning till att gå igenom reaktionskinetiken och
massverkans lag. Skriv ut ordentligt vilken funktion som ingår i differentialekvationen.
Övning 6 Etylacetat (C2 H5 COCOCH3 ) hydroliseras i basisk lösning
till etanol och acetatjon enligt formeln
C2 H5 COCOCH3 + OH − → C2 H5 OH + CH3 COO− .
Exponentiell och logistisk tillväxt
Vi börjar med att notera att den inledande diskussionen i huvudtexten gör att vi har lösningen till problemet y0 = ky, y(0) = y0 , för
godtyckliga reella tal k, nämligen y(t) = y0 exp(kt). Denna funktion
ska diskuteras mer i nästa kapitel. Här är vi intresserade av att använda den för att beskriva lösningar till olika problem formulerade med
differentialekvationer.
Man gjorde i ordning en lösning vid 30.0◦ C höll 50 mM ester och 50
mM OH − . Antag att reaktionen följer massverkans lag. Ställ då upp
en differentialekvation för hydroxidjonens concentration vid olika tidpunkter.
Övning 1 I en viss bakteriekultur ändras antalet bakterier med en
hastighet som är proportionell mot antalet bakterier.
I följande övning, identifiera först jämviktslägena och gör ordentliga
teckentabeller.
a)
Ställ upp en differentialekvation som bestämmer antalet bakterier vid olika tidpunkter. Vad måste vi veta för att kunna
lösa denna ekvation?
b)
Om proportionalitetskonstanten är 1 per timme och vi startar
med en bakterie, vilken är lösningen då?
c)
Om proportionalitetskonstanten är 1 per timme men vi startar
med 1000 bakterier, vilken är lösningen då?
d)
Om vi startar med 1000 bakterier och proportionalitetskonstanten är 0.1 per timme, vilken är då lösningen?
Övning 2 För ett visst radioaktivt ämne är sönderfallshastigheten
20% per sekund. Bestäm en differentialekvation som beskriver mängden icke-förändrat ämne vid varje tidpunkt, om det fanns 3 g av ämnet från början.
Följande övning illustrerar den logistiska tillväxtsmodellen.
Övning 3 Ett litet antal fiskar planteras ut i en damm. När antalet
är 2000 uppskattas den relativa tillväxthastigheten till 0.3 per månad.
När antalet fiskar stigit till 5000 är den relativa tillväxthastigheten 0.2
per månad. Hur många fiskar kan dammen högst hysa, om vi antar
att antalet följer den logistiska modellen?
Massbalans och massverkans lag
Följande övning är snarlikt Exempel 3 i texten. Glöm inte att kontrollera enheter!
Övning 4 En öppen 100 liters vattentank är fylld med vatten och 20 g
salt, väl blandat. Sötvatten pumpas därefter in med en hastighet av 2
l/min, varunder vattnet kontiuerligt blandas och rinner över tanken.
Att skissera lösningar till differentialekvationer
Övning 7 Skissera representativa lösningar till följande differentialekvationer:
a)
y0 = y2 + y − 6,
b)
y 0 = 1 − y2 ,
c)
y0 = y3 − 6y2 + 8y.
För var och av ekvationerna, ange vilka jämviktslägen som är stabila
respektive instabila.
Nästa övning är ett enkelt exempel på en fråga som lätt besvaras med
en kvalitativ analys.
Övning 8 Vissa patienter på sjukhus får sin föda genom ett dropp
som hänger över sängen och ger en konstant mängd glukos per tidsenhet. Antag att det ger 25 mg/min och att kroppen konsumerar 10%
av sitt glukosinnehåll varje minut. Avgör hur mycket tillfört glukos
det kommer att finnas i kroppen då ett jämviktstillstånd har inträtt?
Följande övning är en variant på exempel 7 i texten.
Övning 9 I ett vildmarksreservat inplanteras en viss hjortart. I början, när djurantalet är litet, är den relativa tillväxthastigheten 0.5 per
år. Reservatet kan emellertid hålla högst 800 hjortar, varför den relativa tillväxthastigheten minskar då antalet hjortar ökar till denna nivå.
Efter ett antal år upptäcks reservatet av en vargflock som bosätter sig
där och dödar och äter upp 75 djur per år.
a)
Skriv upp en differentialekvation som beskriver hjortpopulationens storlek efter att vargarna kommit.
b)
Om vargflocken upptäckte reservatet tidigt kommer de att
kunna eliminera hjortpopulationen helt och hållet. Hur stor
ska hjortpopulationen vara då vargarna dyker upp för att inte elimineras?
c)
Om hjortpopulationen inte elimineras, hur stor kommer populationen att vara efter mycket lång tid?
Svar och anvisningar
Övning 1
a)
Att tillväxten är proportionell mot antalet, betyder
att det finns en konstant k > 0 sådan att y0 (t) = ky(t), där
y(t) är antalet bakterier vid tidpunkten t. För att kunna lösa
ekvationen måste vi också veta vad y är vid någon tidpunkt,
t.ex. (men inte nödvändigtvis) tiden t = 0.
b)
Vi har alltså y0 = y, y(0) = 1, vilket per definition innebär att
y(t) = exp(t).
c)
Vi har nu y0 = y, y(0) = 1000, vars lösning är y(t) =
1000 exp(t).
d)
Nu är ekvationen y0 = 0.1y, y(0) = 1000, vars lösning är
y(t) = 1000 exp(t/10).
Övning 2 Om y(t) är mängd (kg) icke-sönderfallet material, så mäter y0 (t) ökningen, och alltså −y0 (t) minskningen i antalet atomer.
Om tiden mäts i sekunder så innebär texten att −y0 (t) = 0.2y(t), dvs
y0 (t) = −0.2y(t). Minustecknet kommer alltså från att y minskar. Vidare har vi startvillkoret y(0) = 3, så problemet översätts till ekvationerna
y0 (t) = −0.2y(t), y(0) = 3.
(Ekvationen innehåller inga enheter, de är definierade i uttrycken y
och t.)
Övning 3 Om y(t) är antalet fiskar vid tiden t, så är antagandet att
y0 = ry(1 − y/K ) för några konstanter r och K som vi ska bestämma.
När y ≈ 0 gäller att y0 = ry, så r = 0.3 (vi mäter tiden i månader).
Vidare gäller att när y(t) = 5000 så är y0 (t)/y(t) = 0.2. Detta är ekvivalent med att
0.3(1 −
5000)
) = 0.2
K
⇔
5000
1
=
K
3
⇔
K = 15000.
Övning 4 Låt y(t) vara mängden salt (hellre än koncentration) i tanken vid tiden t. Det sker inget inflöde av salt (vi antar att rent vatten är
saltfritt), så min (t) = 0. Däremot försvinner vätska med en hastighet
av 2 l/min, och den vätskan har en saltkoncentration som är y(t)/100
g/l. Det betyder att utflödet är mut = 2y/100, och massbalans ger att
y0 (t) = 0 − y/50. Samtidigt vet vi att koncentrationen vid tiden t = 0
är 20/100 = 0.2 g/l, så problemets matematiska formulering är
y0 = −0.02y,
y(0) = 0.2.
Övning 5 Vad gäller inflödet har vi då
min = 2 · 500 = 1000 (enhet: g/min) = 1 (enhet kg/min)
Låt därför y(t) vara kg förorening i tanken vid tiden t.
Vad gäller utflödet har det två delar: (1) det som rinner ut och det som
förvinner i reningsprocessen. Det som tas hand av reningsprocessen
sker med hastigheten 0.05y(t), medan det som rinner över sker med
hastigheten utflöde gånger koncentration, alltså
500 ·
y(t)
= 0.05y(t).
10000
Lägger vi ihop dessa två bidrag får vi ett totalt utflöde på y(t)/10. Det
betyder att vi har differentialekvationen
y0 = 1 − y/10,
y (0) = 0
där startvillkoret är därför att tanken inte innehöll någon förorening
från början.
Övning 6
a)
Jämviktslägena fås då högerledet är noll, alltså y +
y − 6 = (y + 3)(y − 2) = 0. Vi får följande teckentabell:
y:
y0
y
+
%
−3
0
−
&
2
0
+
%
Övning 7 Differentialekvationen är y0 = 25 − y/10. Jämviktsläget
ges av 25 − y/10 = 0, alltså y = 250 (enhet: mg). Detta är stabilt,
så det är så mycket glukos det kommer att finnas i kroppen.
Det ger oss följande figur:
4
Övning 8 Den inledande texten kan tolkas som att hjortpopulationen följer den logistiska tillväxtlagen y0 = 0.5y(1 − y/800) när det
inte finns några vargar. Populationen ska då stabilisera sig på nivån
800 djur. För att få ner siffrornas storlek räknar vi i hundratal hjortar
istället, då att ekvationen är y0 = 0.5y(1 − y/8).
2
y
0
a)
−2
När vargarna kommit dit förändras ekvationen till
y0 = 0.5y(1 − y/8) − 0.75 = −
−4
−6
=−
0
2
1
3
4
5
t
b)
y0
Ekvationen kan skrivas
tabell:
y:
y0
−
y &
+
%
1
0
−
&
Vi har därför två jämviktslägen, där y = −1 är instabilt och
y = 1 stabilt. Figur:
y
2
0
−2
0
2
1
3
4
5
t
Ekvationen är y0 = y(y − 4)(y − 2), så vi får teckentabellen
y:
y0
y
0
0
−
&
+
%
2
0
−
&
4
0
+
%
Vi ser att y = 0 och y = 4 är stabila jämviktslägen, medan
y = 2 är instabilt. Det ger oss följande figur:
6
4
2
y
c)
0
−2
0
1
2
3
t
4
5
1
(y − 2)(y − 6).
16
b)
Gör vi en teckentabell som i Exempel 7 i huvudtexten så ser
vi att y = 2 är ett instabilt jämviktsläge och y = 6 ett stabilt
jämviktsläge. Det krävs därför att det finns fler än 200 hjortar
när vargarna kommer för att hjortpopulationen inte ska dö
ut.
c)
600 hjortar.
= (1 − y)(1 + y) som ger följande
−1
0
1 2
(y − 8y + 12)
16