Kvalitativ analys av differentialekvationer
Övning 1
I en viss bakteriekultur ändras antalet bakterier med en hastighet som
är proportionell mot antalet bakterier.
1. Ställ upp en differentialekvation som bestämmer antalet bakterier vid olika tidpunkter. Vad måste vi veta för att kunna lösa
denna ekvation?
2. Om proportionalitetskonstanten är 1 per timme och vi startar
med en bakterie, vilken är lösningen då?
3. Om proportionalitetskonstanten är 1 per timme men vi startar
med 1000 bakterier, vilken är lösningen då?
4. Om vi startar med 1000 bakterier och proportionalitetskonstanten är 0.1 per timme, vilken är då lösningen?
5. Antalet bakterier vid en viss tidpunkt är 4 · 106 celler, och två
timmar senare har kulturen vuxit till 108 celler. Kan du använda
denna information till att bestämma hur stor bakteriekulturen
är vid varje tidpunkt?
Övning 2 För ett visst radioaktivt ämne är sönderfallshastigheten
20% per sekund.
1. Bestäm en differentialekvation som beskriver mängden ickeförändrat ämne vid varje tidpunkt, om det fanns 3 g av ämnet
från början.
2. Hur lång tid tar det tills hälften av ämnet återstår?
Övning 3 En soppa som är 90◦ C sätts ut för att svalna i ett rum som
är 20◦ C varmt. När soppan stått i 20 minuter har den svalnat till 60◦ C.
Antag att Newtons avkylningslag gäller (slå upp den i boken om du
inte känner till den).
1. Ställ upp en differentialekvation för temperaturen, och en för
temperaturskillnaden (till rumstemperaturen). Vilken är klokast
att använda vid beräkningarna?
2. Hur lång tid tar det för soppan att svalna till 35◦ C?
Övning 4 Vissa patienter på sjukhus får sin föda genom ett dropp
som hänger över sängen och ger en konstant mängd glukos per tidsenhet. Antag att det ger 25 mg/min och att kroppen konsumerar 10%
av sitt glukosinnehåll varje minut. Avgör hur mycket tillfört glukos
det kommer att finnas i kroppen då ett jämviktstillstånd har inträtt?
Övning 5 En hårdrocksklubb startar med 5 fanatiska medlemmar. I
samhället där dessa bor finns det 2000 personer som eventuellt skulle
vilja vara medlemmar i denna (ev. efter övertalning), men informationen om att klubben finns sprids genom dess medlemmar. I början
rekryterar varje medlem i genomsnitt en ny medlem per månad. Ställ
upp en differentialekvation som beskriver hur medlemsantalet växer
med tiden.
Övning 6 Ett litet antal fiskar planteras ut i en damm. När antalet
är 2000 uppskattas den relativa tillväxthastigheten till 0.3 per månad.
När antalet fiskar stigit till 5000 är den relativa tillväxthastigheten 0.2
per månad. Hur många fiskar kan dammen högst hysa om vi antar
att antalet följer den logistiska modellen?
Övning 7 År 1964 hade Indien 440 miljoner invånare och en relativ
befolkningsökning på 2.1% per år. År 1991 hade befolkningen vuxit
till 840 miljoner, men den relativa befolkningsökningen hade sjunkit
till 1.9% per år. Om befolkningstalet i Indien följer den logistiska modellen, på vilket värde kommer det att stabilisera sig?
Övningsmaterial (FMA05)
Anders Källén
Övning 8 I ett vildmarksreservat inplanteras en viss hjortart. I början,
när djurantalet är litet, är den relativa tillväxthastigheten 0.5 per år.
Reservatet kan emellertid hålla högst 800 hjortar, varför den relativa
tillväxthastigheten minskar då antalet hjortar ökar. Efter ett antal år
upptäcks reservatet av en vargflock som bosätter sig där och dödar
och äter upp 75 djur per år.
1. Skriv upp en differentialekvation som beskriver hjortpopulationens storlek efter att vargarna kommit.
2. Om vargflocken upptäckte reservatet tidigt kommer de att kunna eliminera hjortpopulationen helt och hållet. Hur stor ska
hjortpopulationen vara då vargarna dyker upp för att inte elimineras?
3. Om hjortpopulationen inte elimineras, hur stor kommer populationen att vara efter mycket lång tid?
Övning 9 En art vinglösa fåglar har sedan urminnes tider levt fredad
på en isolerad ö. Vid ett vulkanutbrott utrotades nästan arten. Då, när
fåglarna var få, konstaterades att den relativa tillväxthastigheten var
0.2 per månad. Antalet individer följde den logistiska tillväxtlagen
och stabiliserades på 1000. Alldeles nyligen har emellertid människan
infört katter till ön. Dessa dödar tillsamamns 32 fåglar varje månad.
Katterna hålls dock efter så att antalet katter är någorlunda konstant.
Ställ upp en differentialekvation för antalet fåglar efter att katterna
anlänt och avgör på vilken nivå fåglarna nu kommer att stabilisera
sig på.
Övning 10 Ett litet skadedjur invaderade ett jordbruksområde. Antalet skadedjur N antas följa den logistiska modellen med en relativ
tillväxthastighet på 0.1 per dag då antalet är litet. Området kan som
mest hysa 2500 individer. För att komma tillrätta med problemet inplanterar man 120 djur av en rovdjursart. Det finns gott om alternativ
föda för rovdjuren och deras reproduktionscykel är lång, så antalet
rovdjur kan betraktas som konstant. Varje rovdjur äter
N
1000 + N
skadedjur per dag. Beskriv hur det kommer att gå för skadedjuren
beroende på hur många som fanns då rovdjuren inplanterades.
Övning 11 En insektslarv har angripit en fruktodling och tillväxer
ohotad exponentiellt med en relativ tillväxthastighet på 10% per dag.
Till odlarnas stora gläde upptäcks larverna efter en tid av en grupp
om 20 fåglar som börjar äta av dem. Om det finns N tusen larver, äter
varje fågel
400N 2
400 + N 2
larver per dag (OBS! ej tusental.)
1. Ställ upp en differentialekvation som beskriver hur antalet insektslarver (mätt i tusental) ändras med tiden sedan fåglarna
upptäckt dem.
2. Hur stor glädje fåglarna verkligen är för odlarna, beror av hur
många larverna är när fåglarna upptäcker dem. Utred de olika
fall som finns och vad som händer i det långa loppet i dessa fall.
