Sidor i boken
KB 3-5, 94-95
Likformighet. OMTAG
Läxa 1. Nedan ser du 12 trianglar. Alla trianglar är likformig med en annan. Para ihop dem!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Läxa 2. I △ABC är AB = 24 cm, BC = 21 cm och AC = 18 cm. En transversal DE är parallell med
BC och 14 cm lång. D ligger på AB och E på AC. Beräkna AD och AE.
Läxa 3. Skuggan av en flaggstång uppmättes en dag till 32 m. Samtidigt befanns skuggan av en 1
m lång, lodrät stav vara 1.25 m. Beräkna flaggstångens höjd.
Läxa 4. I △ABC är AB = 4 cm, BC = 5 cm och AC = 6 cm. På sidan AB ligger punkten D, så
att BD = 2.5 cm, och på sidan BC punkten E, så att BE = 2 cm. Beräkna längden av sträckan DE.
(Ledning: △BED ∼ △BAC)
Håkan Strömberg
1
KTH STH
Läxa 5. I en likbent triangel är basen 10 cm och höjden mot basen 15 cm. På vilket avstånd från
basen skall man draga en med basen parallell transversal för att dess längd skall vara 8 cm?
Läxa 6. I △ABC är transversalen DE parallell med BC. Punkten D delar AB, så att AD är 3 cm
längre än BD. Punkten E delar AC, så att AE är 2 cm längre än EC. Vidare är DE 4 cm kortare än
AD och AE = DE. Beräkna triangelns sidor.
Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet
Två punktmängder, föremålet och bilden, är likformiga om avståndet mellan två godtyckligt valda
punkter i föremålet multiplicerat med ett positivt tal k är lika med avståndet mellan motsvarande
punkter i bilden. Talet k kallas skala eller längdskala.
För likformiga ’figurer’ gäller att motsvarande vinklar är lika.
• Om k > 1 innebär att avbildningen är en förstoring. Skalan skrivs k : 1, ’k till 1’.
• Om k = 1 innebär att bilden är lika stor som föremålet. Punktmängderna är kongruenta.
Skalan skrivs 1 : 1, ’1 till 1’.
• Om k < 1 innebär att avbildningen är en förminskning. Skalan skrivs 1 : a, där a =
utläses ’1 till a’.
1
k,
och
Om ett område är en likformig bild av ett annat område i längdskalan k, är bildens area lika med
föremålets area multiplicerat med k2 . Detta kallas areaskala.
Om en kropp är en likformig bild av en annan kropp i längdskalan k, är bildens volym lika med
föremålets volym multiplicerat med k3 . Detta kallas volymskala.
Problem 1. På en karta i skalan 1 : 100 000 är avståndet mellan två orter 3.6 cm. Hur stort är
avståndet i verkligheten?
Lösning:
3.6 · 100 000 = 360000 cm
360000 cm = 3600 m
Svar: 3600 m
Problem 2. I △ABC är höjden AD mot sidan BC 36 cm och BD = 24 cm och DC = 16 cm.
Vilken area har en bild av triangeln ritad i skalan 2 : 3?
Lösning: Arean hos den ursprungliga triangeln är
36(24 + 16)
= 720 cm2
2
Arean hos bilden blir då
720 ·
En annan möjlighet. Höjden i bilden är
bilden blir då
Håkan Strömberg
2
2
= 320 cm2
3
36·2
3
= 24 cm. Basen i bilden är
2(24+16)
3
=
80
3 .
arean hos
24 · 80
3
= 320
2
2
KTH STH
Svar: 320 cm2
Problem 3. En sjö, vars area är 9.6 km2 , avbildas på en karta i skalan 1 : 200 000. Hur stor area
upptar sjön på kartan?
Lösning: Då längdskalan är 1 : 200 000 är areaskalan 1 : 200 0002 . 9.6 km2 = 9.6 · 1000002 cm2
9.6 · 1000002
= 2.4 cm2
2000002
Svar: 2.4 cm2
Läxa Lösning 1. Så här paras trianglarna tillsammans
1 − 7, 11 − 2, 5 − 12, 9 − 6, 4 − 8, 10 − 3
Läxa Lösning 2. Antag att AD = x. Vi tecknar förhållandena
x
14
=
24
21
ger x = 16
Antag att AE = y. Vi tecknar förhållandena
14
y
=
18
21
ger y = 12
Scar: AD = 16 cm och AE = 12 cm
Läxa Lösning 3. Antag att flaggstången är x m. Vi tecknar förhållandena.
Flaggstångens höjd förhåller sig till flaggstångens skugga, som stavens höjd till stavens skugga
1
x
=
32
1.25
ger x = 25.6 m
Läxa Lösning 4.
Hur kan man komma fram till att △BED ∼ △BAC? Eftersom figuren är korrekt ritad ser man att DE
inte är parallell med AC. Men eftersom
BD
BE
≡
AB
BC
så förstår man att △BED är en bild av △BAC. Där sidorna i △BAC är dubbelt så långa som △BED.
Detta betyder att DE = 26 = 3 cm.
Svar: DE = 3 cm.
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Läxa Lösning 5. Rita figur! Antag att höjden i topptriangeln är x. Vi får då
8
x
=
15
10
som ger x = 12. Höjden i topptriangel är alltså 12 cm, vilket betyder att transversalen ska dras
15 − 12 = 3 cm från basen.
Svar: 3 cm
Läxa Lösning 6. Rita figur. Antag att BD = x och EC = y då vet vi att AD = x + 3, AE = y + 2
och DE = x + 3 − 4 = x − 1. Vi vet också att AE = DE
Vi får följande samband
AE =
AD
=
AB
DE
AE
AC
Med våra beteckningar
y+2
y+2
2y + 2
=
=
x+3−4
x+3
2x + 3
Vi har ett ekvationssystem, där vi startar med att lösa ut y ur första ekvationen, som ger y = x − 3.
Vi substituerar detta i andra ekvationen
x−3+2
x+3
=
2(x − 3) + 2
2x + 3
Denna ekvation har lösningen x = 9, som i sin tur ger y = 6. Nu vet vi att AB = 2 · 9 + 3 = 21, att
AC = 2 · 6 + 2 = 14 och att DE = 9 + 3 − 4 = 8.
För att få tag i BC = z ställer vi upp förhållandet
AB
BC
=
DE
AD
eller
21
z
=
8
12
som ger z = 8.
Svar: AB = 21 cm AC = BC = 14 cm
Håkan Strömberg
4
KTH STH
