Geometriupplevelse och skolgeometri—1 Den grekiska matematiken, främst geometrin, har givit starka impulser till utveckling av ett kreativt tänkande och av förmågan av att dra logiska slutsatser, säger Bengt Ulin, Bromma. Han kommer att utveckla detta i två artiklar i Nämnaren. Den första kommer här. Det är förbluffande vilka glansprestationer i geometri man kan träffa på i forna kulturer. Fornegyptierna byggde de enorma pyramiderna. I Keopspyramidens kungakammare sägs stenblocken vara så tätt sammanfogade att turisten inte kan sticka in ett pappersark mellan dem. Papyrus Moskva omvittnar att egyptierna lyckades finna den rätta volymformeln för en så komplicerad kropp som en stympad kvadratisk pyramid, nämligen där a och b är ändkvadraternas kantlängder och h är höjden, dvs avståndet mellan ändkvadraterna. [1] Omkring 530 f Kr byggde Eupalinos en tunnel genom berget Kastro på ön Samos, ca 1 km lång. Det märkliga med detta tunnelbygge är att tunneln grävdes ut från båda ändarna, att arbetslagen med ett imponerande litet fel möttes på halva vägen. [2] Hur kunde grekerna så skickligt följa en och samma linje från två håll? Vi skulle kunna ta del av flera exempel på tillämpad geometri i forna kulturer. Men viktigare än tillämpningarna är att den grekiska matematiken, främst geometrin, givit starka impulser till utveckling av ett kreativt tänkande och av förmågan att dra logiska slutsatser. I Arkimedes matematik — för att ta ett berömt exempel — möter vi en närmast otrolig idérikedom, förenad med stringent bevisföring. Vid härledningen av sfärens volym leder intuitionen Arkimedes till en mekanisk jämviktsmodell, med vars hjälp han finner formeln för volymen. Men denna heuristiska väg duger ej som bevis. För att säkerställa den funna formeln måste Arkimedes låta logiken gå en helt annan väg. Vi har här ett typexempel på att kreativitet, fantasi, intuition är en sida av matematisk aktivitet, logisk slutledning en annan, en fas som måste sättas in efter det att inspirationen visat var tankespåret skall börja. [3] Dessa två faser, att upptäcka och att bevisa, spelar eller bör spela en viktig roll även i skolmatematiken. Geometrin erbjuder en övningsväg med vars hjälp vi kan leva oss in i och förstå former av alla de slag, i naturen och i tekniska sammanhang. Med geometri kan vi också skapa nya fungerande realiteter i natur och teknik. Geometrin är en vägvisare i formernas outtömliga värld. Universum "är Bilden visar ett textutdrag ur Papyrus Moskva. Fornegyptierna fann den rätta formeln för den stympade pyramiden: där a och b är ändkvadraternas sidor och h är höjden. (Texten är överförd till hieroglyfer.) Eupalinos var en forngrekisk ingenjör, som på uppdrag av tyrannen Polykrates byggde en 1 km lång tunnel på Samos. Tunnelns genomskärning är ungefär en kvadrat med 2 m sida. Tunneln skulle förse Samos huvudort med vatten, speciellt vid en belägring. Felet i sidled mitt inne i berget var knappt 10 m, i höjdled endast 3 m! Bilden visar hur Arkimedes intuitivt fann formeln för sfärens volym. Tillsammans med en rät cirkulär kon befinner sig sfären i jämvikt med en cirkulär cylinder. En ekvation över vridningsmomenten leder till den för sfärens volym riktiga formeln skrivet på matematiskt språk och dess bokstäver är trianglar, cirklar och andra geometriska figurer", hävdade Galilei i sitt arbete "Guldvågen" ("Il saggiatore"). Med geometri kan vi undersöka former i små ting som en cell eller en snökristall och hos stora ting som himlakroppar och spiralnebulosor. Att öva geometri innebär också en själslig utveckling. Inre krafter kontureras, medan vi studerar former och deras förvandlingar. När barnen börjar skolan har de med sig en hel del geometriska erfarenheter. De har gjort rön genom iakttagelser och allehanda rörelser, inte minst i lekar. De har tränat sitt jämviktssinne i en mångfald av situationer. God pedagogik vill möta barnen/ eleverna där de befinner sig i sin utveckling, vill möta deras behov och förutsättningar. I de lägsta årskurserna är behovet av rörelse stort. Vid 12årsåldern väcks en ny förmåga till begreppsbildning. Man kan smått börja öva kausalitet i tänkandet, men främst i konkret-åskådliga sammanhang. I högre klasser utvecklas rörligheten i tänkandet och förmågan till abstraktion avsevärt. De följande metodavsnitten skall visa hur geometrin kan anpassas till dessa tre utvecklingsfaser och — förhoppningsvis, inte minst genom sin åskådlighet — ge eleverna så mycket av upplevelse och arbetsglädje att de finner undervisningen meningsfull och stimulerande. 1. Formteckning — en rörelsemättad upptakt till geometrin Upplevelserna av omvärlden och den egna kroppen är starkt integrerade i förskoleåldern och under de första skolåren. Kroppen är i många viktiga avseenden starkt präglad av symmetri och det är därför naturligt att låta övningar i formteckning börja med det raka och det runda. Därefter ordnas dessa former till symmetrier. Spegelbildsymmetri, bilateral symmetri, spelade en mycket framträdande roll i den fornbabyloniska konsten. När eleverna i åk 1 blivit någotsånär förtrogna med att rita raka streck och runda former griper de sig gärna an symmetriövningar. När en kurvform och en spegellinje är givna skall de rita kurvans spegelform (fig 1). Redan deras förmåga att utföra en sådan uppgift ger läraren som biprodukt viktiga upplysningar om eleverna. Från den bilaterala symmetrin går vi vidare till rotationssymmetri. Den kan lämpligen vara byggd på delning av cirkeln i 3, 4, 5, 6, 8 eller 12 lika delar (fig 2). Tre-, fem- och sjudelning erbjuder spännande möjligheter att rita symmetriformer utan att lyfta på pennan (fig 3). Ett alltsedan Hellas viktigt formmotiv är bården, ornamentet: en viss form upprepas gång på gång i en vald riktning, t ex vågrätt (fig 4). Andra värdefulla formteckningsmotiv är dubbelspiral, kurvskara och flätade mönster. Fig 5 visar att dubbelspiralen kan erbjuda olikartad dual dynamik medan den utförs; kurvskaran ger möjlighet att uppleva förvandling och de flätade mönstren låter eleverna utveckla en förmåga att uppfatta en plan figur tredimensionellt (fig 6). Några praktiska synpunkter De formteckningsövningar som här exemplifierats fördelas i waldorfskolan på årskurs 1—4. Eftersom den tredje dimensionen spelar en roll i de flätade mönstren, låter vi dessa vänta till årskurs 4, till en ålder, då eleverna påtagligt vaknar upp och börjar bli medvetna om en djupdimension. En fjärdeklass, som får gå ut på sta'n och teckna kyrkor eller andra byggnader, kan utföra de mest skiftande naiva perspektiv; de visar klart hur långt olika elever kommit att utveckla förmågan till en tredimensionell uppfattning av tingen. I waldorfpedagogiken betonas ofta att "hela eleven skall gå i skolan, inte bara huvudet". Detta motto är närmast självklart när det gäller formövningar i de lägsta klasserna. Barnen börjar inte med pennteckningar på ett A4-blad, nej, hela kroppen skall få uppleva formerna i rejäla rörelser på skolgården eller i en skolsal med stor yta. Det finns många rörelser att förfoga över, rörelser för ett barn i sänder eller för elevgrupper av växlande storlek. Många klassiska rörelselekar är utmärkta. Ett nästföljande steg kan vara att begränsa rörelserna till armrörelser, som eleverna utför stående, exempelvis med en stav i handen. (I waldorfskolan finns det speciella ämnet eurytmi att tillgå i bl a detta syfte.) Det vore ännu för tidigt att rita med blyertspenna; formerna skulle bli alltför spinkiga. I de lägsta klasserna används massiva färgkritblock i olika färger. Deras storlek är ungefär som storleken hos en mindre tändsticksask. Med dessa block får barnen teckna former på rätt stora ark. Liksom barnen starkt upplever spegelsymmetrin, hade man i forna kulturer ett starkt förhållande till olika slag av symmetrier. Att måla en grekisk bläckfisk eller ett par delfiner (fig 7) eller att teckna flätade former från bildstenar, stavkyrkor eller båtar kan bli trevliga "tillämpningsövningar" på formteckning. Men allt i naturen eller konsten är inte spegelsymmetriskt. Det finns mindre sträng symmetri, "sned" symmetri. Och i många viktiga sammanhang råder asymmetri, exempelvis i människans lymfsystem. Det är viktigt att låta eleverna få en upplevelse även av det asymmetriska (fig 8). 2. Geometri i 12-årsåldern, en inkarnationshjälp och samtidigt ett fröämne för utveckling av koordinering av fantasi och logik Sedan formteckningen i åk 5 klingat ut i frihandsteckning av kurv- och linjeskaror kan vi introducera linjal och passare i åk 6 som "exakta" instrument för linjer respektive cirklar. Med bl a formteckningen som en inre erfarenhet kan eleverna nu möta "verklig" geometri i en rad konstruktionsuppgifter. Vi rör oss på klassisk grekisk kulturmark men följer ingalunda Euklides, Archytas m fl berömdheter i pedagogiskt avseende. Grekernas omfattande samlingsverk "Elementa" var en dokumentation av deras matematik, ej en pedagogiskt avfattad framställning för skolbruk. Om vi viker ett papper, sticker ett hål och viker ut papperet, bildas en spegelsymmetri: två punkter befinner sig symmetriskt på var sin sida om vikningskanten, som har blivit en symmetrilinje. Kan vi utan vikning, med passarens hjälp hitta spegelpunkten till en given punkt och en given spegellinje? Denna fråga kan tas som utgångspunkt för en hel rad övningsuppgifter som visar hur den räta vinkeln osökt dyker upp ur den bilaterala symmetrin. Eleverna kommer själva på hur de skall dra en normal till en linje, hur man halverar en sträcka, hur man avsätter eller halverar en vinkel osv. De kan snart konstruera kvadrat, rektangel och romb. Allt detta växer fram ur spegelsymmetri (fig 9). Ett annat huvudmotiv, som bör passa bra i åk 6, är rotationssymmetri. Vi kan dela cirkeln i två lika delar, i 4, 8, 16 etc. Hur är det med 6- delning? "Går radien upp precis 6 gånger, när man avsätter den runt cirkeln?" (Fig 10.) "Elementa" omfattade 13 band och lär vara det näst efter bibeln mest studerade bokverket i Västerlandet. Banden hade olika matematiker som författare. Imponerande insatser gjordes av Archytas (bok 8), Theaitetos (bok 10 och 13) samt Eudoxos (bok 5 och 12). Euklides medverkade främst som redaktör och didaktiker. Den frågan öppnar dörren för en rad laborativa övningar och leder till frågan om triangelns vinkelsumma: cirkelradien kan avsättas exakt 6 gånger om (och endast om) den liksidiga triangeln har 60°-vinklar. Studiet av cirkelns 6-faldssymmetri leder fram till satsen om triangelns vinkelsumma. Vägen är, åtminstone ur pedagogisk synvinkel, ingalunda lätt, eftersom den måste gå genom begreppet parallellitet. Vi kan inte gå fram akademiskt-vetenskapligt. Framställningen skall vara enkel och klar. Som pedagoger kan vi skaffa oss god medvind om vi utnyttjar tillfällena att ge eleverna skönhetsupplevelser, främst genom det arbete de själva utför. De mönster som cirkelns 6-delning ger upphov till genom färgläggning uppvisar en stor variationsrikedom; det ena mönstret är vackrare än det andra (fig 11). Den omsorgsfullt utförda ritningen premierar sig själv genom precisionen i linje- och kurvspelet; läraren behöver inte vara en auktoritet som avger omdömen. Men även betydligt enklare figurer kan uppvisa en skönhet, om exaktheten är god. Vägen går här från hand till hjärta, från det tekniska utförandet till den estetiska upplevelsen. Och ur denna kommer osökt frågor rörande begrepp och sammanhang: "varför stämmer det här så bra?" Två elever vässade länge sina pennor över papperskorgen (det var i en sexa). När läraren gick runt och hjälpte eleverna uppfattade han hur en av de pojkarna sade: "Du, det är nog omöjligt ändå, vi får aldrig en punkt i blyertsspetsen!" Den eleven hade engagerat sig i begreppsbildningen. Bevisen för att triangelns vinkelsumma är 180° och för att periferivinkeln i en halvcirkel är rät kan utgöra gryningen till en allt klarare övning i logisk slutledning. Därmed är den pedagogiska gången utkristalliserad: laborativ undersökning och konstruktioner, figurritning med händerna, känsloupplevelse av det som ritas, målas eller byggs, och logik i betraktelsen av det vi utfört. Eleverna vill ha spänning Det laborativa arbetet bör helst göras spännande. Om några elever exempelvis eftersträvar att sätta ett rekord beträffande triangelns vinkelsumma, så är det snart spänning i luften. I en sjätteklass hade två pojkar med stor övertygelse om framgång föresatt sig att skära till en triangel med en vinkelsumma omkring 185°. Deras strategi var att låta två vinklar bli omkring 89° vardera. De hyste gott hopp om att den tredje vinkeln skulle kunna pressas upp mot 6—7°. Efter sådana experiment är klassen helt övertygad om att triangelns vinkelsumma är 180°. Förslag på hur man kan gå vidare är ganska utförligt givna i Täljarenhäftet Geometri och vår omvärld av Hedrén (red), Hellström, Skoogh och Ulin. (Se även fig 12.) Fig 12 Pennan blir hjälpmedel. Begrepp som kan växa Från Piagets forskning vet vi att barnen lever i en konkretionsfas fram till 14—15-årsåldern. I 12-årsåldern kan vi märka en morgonrodnad mot ett intresse för användning av logik, exempelvis i härledningen av triangelns vinkelsumma. Behovet av konkretion medför att definitioner i regel inte är särskilt fruktbara. Det gäller att beskriva, i början av den egentliga geometriundervisningen, så åskådligt att undervisningen blir fullt upplevbar. Med hjälp av armrörelser kan man introducera (det rätt svåra) vinkelbegreppet; vinkeln uppfattas som del av ett varv och därvid gärna den räta vinkeln allra först. Till en god konturering av växande begrepp kan ibland en "kuggfråga" bidra. Om vi exempelvis frågar vilken vinkel som är störst av de två vinklarna i figuren här intill, så ställs en del elever inför en knepig uppgift. Men när de väl finner eller åtminstone förstår svaret, så har de fått ett betydligt bättre grepp om vinkelbegreppet. De förstår att vinkelbenens längd inte alls har någon betydelse för vinkelns storlek.