Stora tal och oändligheten

901
Stora tal och oändligheten
En översikt över räknandet. Från det mest elementära, via stora tal, till oändligheten och det
överuppräkneliga.
Alla fascineras vi av stora tal, speciellt fascineras barn. De stora astronomiska avstånden.
Arkimedes sandräkning. Men detta är bara början. Mycket större tal än de astronomiska kan
konstrueras. Detta illustreras bland annat av Borges babelska bibliotek. Vi kommer senare in
på oändligheten; finns den, och i så fall i vilken mening? Men man kan gå vidare till
kontimuums oändlighet. Men sedan är det stopp, inte matematiskt eller logiskt, men
psykologiskt räcker inte fantasin till. De filosofiska aspekterna av detta kommer att
diskuteras.
Ulf Persson, professor i matematik, Chalmers tekniska högskola.
Föreläsning
Gr Gy Vux Högsk Lärutb
Dokumentation
Vad kan räknas? Sådant som kan avgränsas som enheter. Räkna vatten kan vi inte göra, ej
heller tankar, ty vad är tankar, är inte delar av tankar också tankar? Men får kan vi räkna,
stolar och mössor likaså. Och mycket annat betydligt intressantare. Vad är problemet med att
räkna någonting.? Stolarna i vardagsrummet eller fåren i hagen. Jo dels att undvika att räkna
ett och samma föremål mer än en gång, dels att vara säker på att alla är räknade. När det
gäller stolarna i vardagsrummet brukar det inte vara något större problem, däremot när det
gäller fåren som springer runt i hagen, speciellt om de är många, kan det vålla huvudbry. Nu
finns det ett antal olika praktiska knep som vi inte närmare behöver gå in på.
..................
Detta att göra ett streck när man räknar är något vi till mans gör. Vid var femte streck så
skriver man det snett. Detta gör det hela överskådligare. Nu kan vi skriva antalet får som
VVVVVVIII. Detta är enklare, dock blir det lite svårare med manipulation. Att addera III och
III ger inte IIIIII utan VI. Men sedan kan vi dyka på tal som VVVVVVVVVVVVVVVV och
de ser lika krångliga ut de. Men vi kan införa en ny princip. Så fort vi har fem V, som i
VVVVV så skriver vi säg ett X och har vi fem X så skriver vi säg ett Y och har vi fem Y så
skriver vi ett Z. Vi kan nu skriva tal som ZZYZYXXVVVIIX, notera att det inte spelar
någon roll i vilken ordning vi skriver. Konventionen är att ingen bokstav får användas mer än
fyra gånger, men inte heller detta är helt nödvändigt. Detta är väsentligen principen bakom
den romerska systemet, bortsett från att i det romerska är positionen viktig. IV är inte samma
sak som VI. Om en 'mindre' bokstav kommer före än 'större' skall den subtraheras inte
adderas. Detta gör det relativt bökigt att utföra aritmetiska operationer på romerska tal. Nåja
hur stort var talet jag skrev ovan. Om V betecknar 5 och X betecknar 5 V så betecknar det ju
25, och Y 125 och Z 625. Så uttrycket ovan betecknar 4x625+2x125+3x25+3x5+2=2842.
Ganska kompakt och överskådlig information trots allt jämfört med att skriva ut 2842 streck.
Det belyser även en mycket viktig sak om räknandet, nämligen det att inte bara räkna får och
stolar, utan även kombinationer av desamma, eller snarare kombinationer av streck som
representerar dem. Detta är en lyftning av abstraktionsnivån. Denna abstraktionsnivå antogs
på ett mycket tidigt stadium i civilizationen, kanske det rentav är lika gammalt som språket.
Ord som tio och hundra och tusen förekommer i alla språk, ord som kan räknas. Vi säger fem-
tio och femhundra och rentav femhundra tusen.
Men notationen har fortfarande vissa svagheter. Vi måste hitta på en ny symbol för varje ny
räkneenhet. Om vi sysslar med små tal så är detta inget större problem, men när vi väl börjar
använda mycket stora tal så utgör det ett allvarligt problem. Bokstäverna börjar ta slut, vi får
hitta på ständigt nya symboler. Den geniala lösningen är som vi alla vet positionssystemet.
Istället för att hitta på nya symboler så får positionen i talet helt enkelt bestämma. För att
hålla reda på positioner så måste man hitta på en nolla. Detta är det effektivaste sättet att
skriva ner alla tal. Varje sifferkombination motsvarar ett och endast ett tal. Vi är vana vid att
använda ett positionssystem med basen tio, detta är bara en konvention. Babylonierna
använde som bekant basen sextio. Då och då har försök gjorts för att införa basen tolv. Den
naturligaste basen är faktiskt två. Det mest slående är att ett stort tal kan skrivas med
förvånansvärt få siffror. Tal mellan ett och tiomiljoner kan skrivas med sju siffror (mellan
tjugo och tjugofyra i basen två). Detta är en stor fördel framför att skriva ner ett par miljoner
streck. Ju större talen är desto mera markant är skillnaden. (För ett litet barn kan det vara lika
jobbigt att skriva en femma som det är att rita fem korta små streck). Detta betyder att vi kan
skriva ner tal som är betydligt större än vad vi kan fysiskt förmå att representera. I princip kan
vi skriva ner hur stora tal som helt, men i praktiken föreligger vissa uppenbara begränsingar. I
datorerna är de tal man kan räkna med av begränsad storlek, oftast omkring en tjugo siffor.
Dock kan man programmera in betydligt större tal med miljoner antal siffror, dock minnet i
en dator är alltid begränsat, och aritmetiska operationer med väldigt stora tal tar också väldigt
lång tid.
När vi väl lärt oss positionsystemet så kan vi inte låta bli att leka med väldigt stora tal. Tal
med många nollor, som vi brukade säga. En miljon har sex nollor, en biljon har tolv nollor.
Sedan kommer mer eller mindre fantasifulla begrepp som en triljon, eller en kvartiljon, eller
rentav en kvintiljon. Ingen är riktigt säker på hur många nollor dessa tal har (18,24,30
respektive?) och i dagligt tal får vi sällan tillfälle att begagna oss av dem.
När vi talar om stora tal använder vi ofta uttrycket 'astronomiska'. Vår egen jord är litet,
medan världsalltet är ofantligt. När vi talar om astronomi tänker vi oss ofta avstånd. Avstånd
är inte tal, vi kann ju lika lite räkna avstånd såsom vatten. Vad vi gör är att introducera
enheter, godtyckliga enheter, och sedan tänka oss avstånden som enheterna raddade efter
varandra. En mil är långt, men inte speciellt långt. 10'000 meter eller om vi vill
100'000'000'000'000 Å. (hundra miljoner milljoner). Det senare talet gör inte milen längre,
det bara visar hur liten enheten Å för Ångström egentligen är. Det är en enhet lämplig i den
atomära världen. Talet ovan var klumpigt att skriva. Jag fick skriva fjorton nollor i rad. Lika
klumpigt som att skriva fjorton streck efter varandra istället för att skriva 14. Som vi alla vet
skriver vi kortfattat istället 10^14. Detta korta skrivsätt fungerar dock inte för alla tal med 14
siffror, för de allra flesta finns det inget alternativ till att skriva ner samtliga siffror. Dock är
vi ofta inte intresserade av det specifika talet utan bara storleksordningen. Då kan vi låta
speciella tal representera de övriga.
Så har vi de astronomiska avstånden. Futtiga 6400 km till jordens medelpunkt, omkring 60
gånger så långt till Månen, (d.v.s omkring 380'000 km) och återigen 400 gånger denna
sträcka till solen (d.v.s. omkring 150 miljoner km, dock endast en tiondel av den sträcka ett
jetplan skulle tvingas tillryggalägga för att besöka varje kvadratkilometer av jordens yta).
Men detta är bara början. Låt oss betrakta den sfär vars medelpunkt ligger i solen och vars
radie är lika med jordens avstånd. Betrakta förhållandet mellan denna sfärs area och arean av
din pupill när du betraktar solen. Talet är ungefär 2x10^30. Detta är relationen mellan den
energi solen sänder ut och den som kommer din retina tillgodo. Om vi istället skulle använda
jordytan som referens så skulle vi inse att den av den totala energi solen sänder ut vid varje
ögonblick endast en miljartddel kommer jorden till godo. Tala om slöseri. Och den energi
som kommer jorden till godo från solen överskuggar alla andra energikällor. Energin i en
atombomb är ingenting i jämförelse. Det är långt till solen, men detta är ingenting i jämförelse
med avståndet till den närmaste stjärnan. Solen ser vi som ett glödande klot, andra stjärnor ser
vi bara om natten, och då som små ljusa punkter. Vi har använt faktorerna 6400, 60, och 400
från att ha startat från enheten 1 km för att komma till avståndet till solen, som av astronomer
brukar betecknas med en astronomisk enhet (a.e.), en enhet som är lämplig att använda inom
solsystemet (Pluto befinner sig t.ex. Omkring 40 a.e. från solen). Nästa faktor i vår
astronomiska avständsstege är omkring 200'000, det avstånd från vilket radien av jordbanan
upptar en bågsekund, en ny astronomisk enhet – en parsec, som är lämplig för att beskriva
galaktiska förhållanden. De närmaste stjärnorna befinner sig på drygt en parsecs avstånd.
(Denna enhet kan tyckas krystad, men den är naturlig, på grund av jordens rörelse kring solen
uppvisar stjärnorna en parallax, de utför en väsentligen cirkelrund rörelse som direkt
motsvaras av jordens rörelse, och dess kenbara storlek är lika med den jordbanan skulle te sig
från dem. Eftersom avstånden är så stora var det först 1837 som astronomen och
matematikern Bessel uppmätte en parallax.). Vi kan omvandla detta till kilometer 3x10^13
km. Kan vi fatta sådana avstånd? I en viss mening kan vi fatta t.o.m kvadraten. Jämför solen
med en närbelägen stjärna av ungefär samma storlek. Solen lyser ungeför tio miljarder gånger
starkare, och detta är även förhållandet mellan solens skenbara yta och stjärnans. Så i en viss
mening kan vi faktiskt på ett handgripligt sätt fatta denna ofantliga skillnad. Men det hela är
lite missvisande, vi upplever sinnesförnimmelser inte aritmetiskt utan geometriskt, d.v.s som
logaritmen. Detta brukar kallas för Webers lag. Stjärnorna indelas traditionellt sedan grekerna
i olika klasser, från första klassen till sjätte, som är nätt och jämnt skönjbart för det blotta
ögat. Att gå fem klasser innebär att ljusstyrkan ändras med en faktor hundra. Att gå från en
ljusstark stjärna (som t.ex. Sirius) till solen innebär att man går 25 klasser, d.v.s
100x100x100x100x100=10 miljarder.
......
Fascinationen för astronomi och matematik går ofta ihop, anledningen är inte svårt att förstå,
nämligen fascinationen för stora tal. När jag var liten så fann jag dessa avstånd svindlande
och skrämmande, numera är jag betydligt mera luttrad. Astronomiska tal är egentligen ganska
små. De flesta kan uttryckas med ett dussin siffror eller så, och när det gäller de riktigt stora
och konstruerade, som antalet protoner som kan rymmas, rör det sig bara om drygt hundra
siffror.
Riktigt stora tal dyker upp i andra sammanhang. Tag t.ex. En rad bestående av femtio tecken,
var och ett vald bland säg hundra olika tecken. Stora och små bokstäver, mellanslag, olika
skiljetecken, och vad som kan krävas. Hundra kan tyckas många tecken, men vi väljer det så
att vi får runda tal att räkna med (och dessutom tillåter ett sådan generöst tilltagen
teckensamling en hel massa specialtecken.) Hur många sådana rader finns det? Detta är lätt att
räkna ut. Om vi arrangerar tecknen i hundra olika boxar beronde på första tecknet har vi
hundra boxar. I var och en av dessa boxar lägger vi hundra boxar för att sortera efter andra
tecknet. Och så vidare. Antalet växer med hundra för varje steg. Och hur många steg måste vi
ta? Femtio steg. Det blir således i exakta tal 10^100, ungefär så stort som antalet protoner som
får rum i det kända universum. Vi räknar nu elementen i en mängd som vi kan inte föreställa
oss i det fysiska rummet, däremot kan vi föreställa oss varje enskilt exempel. Många av dem
känner vi till. Som 'To be or not to be. That is the question...', mera typiska exempel vore
'c$%r@@ätyUGHoppW(ä<8ö>?:{+SfRUUU7nxx..' som knappast gör någon människa glad.
Man kan undra om detta tal är meningsfullt, om denna mängd av alla möjliga rader existerar,
eftersom vi kan aldrig skriva upp dem alla, och kund evi det, så skulle de inte ens rymmas i
Universum. Men som ren tankekonstruktion innebär de inga problem, ja i själva verket vore
det ett otillbörligt intrång i vår tankes integritet att förbjudas att konstruera sådana fantasier.
...........
Vi har nu träffat på tre typer av tal. De tal som vi i vardagslag handskas med, de astronomiska
talen som typiskt har ett vardagstal som antal siffror, och så talet som beskriver antalet olika
böcker, vars antal siffror utgör ett astronomiskt tal. (I Borges fall rör det sig väl om ett antal
miljoner siffror). Men vi kan fortsätta. Vi kan tala om dessa tal såsom av säg ordning noll
(vardagstalen), ordning ett (de astronomiska talen) och ordning två (de kombinatoriska
talen). Ja ordning fem är tal vars antal siffror utgör ett tal av ordning fyra. Tänk er ett tal av
ordning tusen? Tänk er ett tal vars ordning är astronomskt. Kalla ett sådant tal för ett tal av
första klassen, de andra talen vi har berört är tal av nollte klassen (d.v.s. även tal av ordning
såg ett tusen). Vad vore ett tal av andra klassen? Ett tal vars ordning vore ett tal av andra
ordningen? Varför inte slå på stort och säga att ett tal av andra klassen är ett tal vars ordning
är av första klassen, och således ett tal av tredje klassen är ett tal vars ordning är av andra
klassen. Tänk er då tal vars klass är av säg tusende klassen! Och så kan vi fortsätta. Tanken
svindlar. Ett ändligt tal kan vara mycket stort, oändligheten är betydligt mäktigare än vad vi
föreställer oss.
......................
Det oändliga är det som vi kan räkna upp utan slut. Som alla heltal, alla bråk, ja rentav alla
ändliga delmängder av tal, ty sådana kan helt enkelt kodifieras av heltalen skrivna i
binärform. Talet 100100111 t.ex. Har ettor i vissa positioner (och resten nollo, men vi bryr
oss aldrig om att skriva en oändligt radda nollor framför varje tal). De positioner det har ettor
i motsvaras av talen i mängden, så talet ovan hänvisar till mängden 1,2,3,6,9.
Men om vi nu istället tänker oss oändliga följder av nollor och ettor. T.ex. Efter en oändlig
följd av slantsinglingar. Vi kan även tänka oss dem som oändliga binära utvecklingar av de
reella talen mellan 0 och 1, men detta leder till vissa triviala tekniska problem, som dock
måste utredas. Talen 0.0111111.... och 0.100000.... betecknar som bekant samma reella tal.
Bättre vore i så fall att låta dem beteckna talen i en Cantormängd. Cantor leder till
associationer, ganska relevanta sådana, ty med Cantor är associerat en av logikens
huvudideer, nämligen diagonaltricket. Jag ser det som manifestationen av den fria viljan. Att
ställa saker och ting på sin spets. Vad är diagonaltricket. Det är en slags självreferens. Antag
att vi kunde räkna upp alla sådana följder, d.v.s. Att vi hade tillgängligt en uppräkning
bestående av den första sekvensen, den andra, den tredje os.s.v i all oändlighet. Cantors
geniala ide består helt enkelt i att konstruera en ny sekvens som inte finns med i den gamla.
En sekvens som tar som utgångspunkt själva uppräkningen. Om n[m] betecknar m:te
elementet i sekvens nummer n, så skapar vi en ny sekvens D genom att sätta D[m]=m[m]+1,
där additionen antas ske modulo två., d.v.s 1+1=0. Vi ändrar helt enkelt en nolla till en etta
och en etta till en nolla. Per konstruktion kan inte denna sekvens finnas med i vår uppräkning.
Lägg till den då, undrar någon, men då kan vi konstruera en ny sekvens. Med andra ord
mängden av sådana oändliga sekvenser kan vi inte räkna, de är överuppräkneliga. Detta var
en revolutionerande nyhet när Cantor införde den i slutet av 1800-talet, också en mycket
elementär sådan, ty redan de gamla grekerna skulle ha varit i stånd i att upptäcka det. Inom
den seriösa matematiken förekommer bara två grader av oändlighet, det uppräkneliga och vad
man kallar kontimuums kardinalitet. Rent logiskt kan man fortsätta, precis som vi tidigare
konstruerad stora tal, och erhålla en oändlig, oändlighet av kardinaliteter, den ena mäktigare
än den andra.
902
10 år med nationella prov i kärnämnet matematik
Sedan våren 1995 har vi haft ett nationellt kursprov för kurs A. Vad har hänt med provet
under dessa drygt tio år? Vi tänker presentera hur provets utformning har förändrats och
anledningarna till detta. Vilka ramfaktorer finns för provet idag och vad har bidragit till
dessa?
Bedömningsanvisningarna har successivt förändrats under åren. Vad beror detta på? Hur
likvärdig är bedömningen av de nationella proven?
Katarina Kjellström och Gunilla Olofsson arbetar vid PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i
Stockholm med nationella prov för Kurs A och skolår 9.
Föreläsning
Gy Vux
Dokumentation:
Inledning
Med läroplanen Lpf 94 och tillhörande kursplaner fick gymnasieskolan en kursutformad
utbildning med ett mål- och kunskapsrelaterat betygssystem. Med kursutfomningen följde
påbyggbara matematikkurser och alla gymnasieelever skulle läsa en kärnämneskurs i
matematik, som till vissa delar skulle vara gemensam men som också skulle innehålla
kopplingar till karaktärsämnena. Elevernas kunskaper skulle jämföras med mål och kriterier i
kursplanen och inte med varandra. Vid starten poängterades mycket vikten av att varje skola
skapade sina lokala arbetsplaner utifrån kursplanen. Alla skulle nå samma mål men vägen dit
valde lärarens utifrån sin professionalism. Då 1994 saknades också nationella betygskriterier
för MVG. Dessa skulle också arbetas fram på lokal nivå. Det första nationella provet i
matematik i systemet var kursprovet för kurs A vt 1995.
De första provens utformning
I uppdraget vid utvecklandet av det nationella provsystemet till de nya kursplanerna i
matematik stod bl.a. ”En utveckling behövs mot prov där också problemlösande och
produktiva uppgifter ingår vilka kan bedömas på ett kvalitativt sätt med delvis nya
analysmetoder” (Kjellström 1996). Detta stämde väl överens med den kunskapssyn som
presenteras i ”Skola för bildning”, som var ett förarbete för läroplanen.
Samtliga nationella prov i matematik har sedan starten innehållit åtminstone en större
”produktiv” uppgift, där syftet varit att i strävansmålens anda, ge eleverna möjlighet att visa
mer matematiskt tänkande och andra aspekter på kunskap än de som prövas i övriga
uppgifter. Under 1990-talet kallades dessa uppgifter för breddningsuppgifter och läraren
kunde själv välja provtillfälle inom en given tidsperiod. Provtillfället för denna uppgift var
frikopplat från övriga uppgifter. Detta gav då möjlighet att arbeta med uppgiften under flera
lektioner. Proven innehöll ofta mer än en breddningsuppgift, som läraren och eleverna kunde
välja emellan. Till det första nationella provet (Np MaA vt 95) fanns tre större uppgifter att
välja bland.
Förutom breddningsuppgiften bestod proven av mer traditionella problemlösningsuppgifter
kallad tidsbunden del. Också för denna del kunde vid starten väljas provdag inom en
provperiod. De ingående uppgifterna var kategoriserade efter kursmål och betygskriterier men
eftersom nationella mål för MVG saknades framgick bara g- och vg- kvaliteter. Lösningarna
till uppgifter bedömdes med poäng precis som tidigare men bedömningen ändrades till positiv
bedömning. Eleverna skulle få poäng för de kunskaper de visade. Eftersom systemet var
målrelaterat framgick av provet hur många poäng, som krävdes för de två betygstegen. I
lärarinformationen framgick att uppgifterna bedömdes med g- och vg-poäng. Eleverna fick
dock inte denna information. Till det tidsbundna nationella provet gavs ett separat
delprovbetyg. Ett helt genomfört nationellt prov i matematik under vt 1995 till och med ht
1998 gav två delprovsbetyg, ett för tidsbunden del och ett för breddningsdel.
Till hjälp för läraren att bedöma elevarbeten till breddningsdelen fanns beskrivningar av ett
godkänt elevarbete respektive ett väl godkänt elevarbete till varje uppgift. Till senare givna
nationella prov utökades stödet vid bedömningen av breddningsuppgiften genom att
beskrivningar för icke godkänd infördes och senare publicerades också betygsatta autentiska
elevarbeten som ett komplement till beskrivningarna. Men fortfarande gjordes en
helhetsbedömning där läraren fick jämföra elevlösningarna med beskrivningar och eventuellt
publicerade lösningar.
Förändring av provets utformning
Våren 1999 ändrades utformningen av den tidsbundna delen. G- och vg-poängen som dittills
varit dolda för eleverna presenterades nu i elevhäftena. Denna vårtermin blev också den
tidsbundna delen uppdelad i en miniräknarfri del och en del där detta hjälpmedel skulle
användas. Vid samtal med lärare i många karaktärsämnen hade det framkommit att de
önskade att eleverna var bättre på huvudräkning. Eftersom det i kursplanen poängterades
”förmåga att räkna i huvudet” fann vi stöd för denna förändring. Till uppgifterna i denna del
krävdes endast svar, så där samlades också uppgifter som testade begreppskunskaper och inte
krävde redovisning. De flesta prov blev också sekretessbelagda i tio år från och med 1999.
Andelen gymnasieskolor som genomförde breddningsdelen till kurs A, som kursprov, var vid
starten vt 1995 cirka 85 procent (Kjellström 1996). Några av breddningsdelarna fanns
tillgängliga under större delen av terminen för att möjliggöra en integrering av denna provdel
i ordinarie skolarbete. Trots detta minskade under åren genomförande andelen och var hösten
1998 sex procent (Skolverket 1999). Anledningen till att lärarna inte genomfört
breddningsdelen för kurs A var enligt lärarenkäten 1998 att "..den tid eleverna har för
genomförandet av kursen är så knapp att man inte hinner med breddningsdel". I detta
instämde 73 procent av lärarna helt. I samma enkät angav lärarna att ett viktigt skäl att delta i
breddningsdelen var att eleverna kan visa förmågor som de inte visar annars.
För att försöka öka användningen av breddningsdelen och därmed bredda bedömningsunderlaget gavs kravgränser på nationella provet Kurs A vt1999 på provet som helhet. Detta
möjliggjordes av att samtliga delar också breddningsdelen poängsattes. För att möjliggöra
denna poängsättning infördes en form av analytisk bedömning av elevernas lösningar på
breddningsuppgiften. I stället för att ge en helhetsbedömning skulle elevarbetet granskas
utifrån fyra olika aspekter; förståelse och reflektion, genomförande, matematiskt språk och
redovisningens tydlighet. De fyra aspekterna beskrevs på tre kvalitativa nivåerna utifrån
kursplan och betygskriterier i matematik. Bedömningsmodellen hämtades från
portfoliobedömning i Vermont (Kjellström 2000). Ett ytterligare skäl att utveckla en annan
bedömningsmodell var att forskning visat att helhetsbedömning är mindre pålitligt än
strukturerad analytisk bedömning (Gipps, 1994). De nationella proven har ju som syfte att
vara betygsstödjande för läraren men också att bidra till att skapa en likvärdig bedömning i
landet.
Vid höstprovet 1999 var det dags med nästa förändring. Den tidsbundna delen, som skolorna
tidigare själva inom en given period kunde välja provdag för, blev nu en fast provdag. Detta
för att minska elevernas möjlighet att få information om provet från en kamrat som hade en
annan provdag. Breddningsdelen gavs fortfarande under en provperiod.
Våren 2000 skrevs nationella provet kurs A för första gången vid ett provtillfälle med en
provtid av 180 minuter. Den större uppgiften, dvs. tidigare breddningsdelen var då en del i
provet med en rekommenderad provtid. Borta är också provperioden och kursprovet görs på
en fast provdag. Från och med höstterminen 2000 blev dessutom nationella provet för kurs A
obligatoriskt för gymnasieskolorna enligt beslut av regeringen. Den större uppgiften utgjorde
därmed en uppgift i provet och uppgiften bedömdes med aspekter som var tre till antalet.
Bedömningsmatrisen omarbetades vid införandet av kursplan 2000 och samtidigt minskades
antalet aspekter för att förenkla bedömningen. Med kursplan 2000 kom också nationella
kriterier för betyget Mycket väl godkänd. Vilka av dessa kriterier som denna större uppgift
kunde ge möjlighet att visa angavs också.
Programanpassning av proven
I kursplanen för kurs A från 1994 står mycket lite om programanpassning. Men eftersom
programmålen är överordnade målen i kursplanen diskuterades det mycket om hur stor del av
tiden och vilket matematikinnehåll som skulle vara programspecifik. De första förslagen på
programanpassning av de nationella proven diskuterades därför redan vid konstruktionen av
provet vt 1995. Förslaget var då att göra breddningsdelen programspecifik. Tyvärr prövades
aldrig detta innan breddningsdelen lades in i provet. Av kursplan 2000 framgår tydligare att
matematiken ska anpassas till studieinriktningen. I de nationella proven har programspecifika
uppgifter därför prövats vid två tillfällen. Båda gångerna har eleverna fått välja mellan några
olika uppgifter med likartat matematikinnehåll men med olika kontext. Eftersom eleven då
skulle göra ett val under den begränsade provtiden var det varken lämpligt eller möjligt att
göra olika uppgifter för alla program. De programspecifika uppgifterna mottogs positivt av
lärarna, men de avspeglade sig inte i elevresultaten. Resultaten på kursprovet för de olika
programmen var redan på det första provet mycket stora och dessa skillnader har inte
förändras under den tidsperiod som A-kursen funnits
Likvärdigheten i bedömningen
2001 gjorde vi en undersökning av hur likvärdig lärarnas bedömning var på A-kursprovet. Vi
fann då att inga belägg för att bedömningen av de mer omfattande uppgifterna skulle vara mer
godtycklig än vid bedömning av ”vanliga” uppgifter. Bedömningen varierar också och nästan
lika mycket mellan olika lärare på de ”vanliga” uppgifterna. Skillnaden mellan olika lärares
bedömning varierar ungefär +/- 2 poäng på hela provet. I undersökningen fann vi stöd för att
lärare har en egen inbyggd referensram som de använder då de tolkar bedömningsanvisningarna. Vi fann också att bedömningsdiskussioner mellan lärare gör att denna skillnad
minskar.
Referenser
Gibbs C.(1994). Beyond testing, London Framer Press
Kjellström K (1996) Matematik A. Resultat och analyser av det första nationella kursprovet i
matematik. Rapport från PRIM-gruppen nr 11
Kjellström K (2000) Bedömningsmatris. Nämnaren 27(1) , 45-51
Skolverket (1999) Gymnasieskolans kursprov, höstterminen 1998, En resultatredovisning.
Skolverket
Utbildningsdepartementet (1994) Läroplan för de frivilliga skolformerna, Utbildningsdepartementet
903
Att kartlägga elevers förkunskaper
En förutsättning för att elever skall lära är att de har tillräckliga förkunskaper för det som
skall läras. All undervisning bör därför bygga på diagnognostik. Fördragshållaren är
projektledare för utarbetandet av Skolverkets nya nationella diagnoser för skolår 1 - 5. Det är
idéerna för dessa diagnosers uppbyggnad som kommer att presenteras under föreläsningen.
Madeleine Löwing är fil dr i matematikämnets didaktik och är verksam som universitetslektor inom lärarutbildningen vid Göteborgs universitet.
Föreläsning
Gr Lärutb
Dokumentation
Inför hösten 2005 fick jag i uppdrag av Skolverket att utarbeta diagnoser för skolår 1 – 5. För
att fullgöra ett sådant uppdrag är det viktigt att man har utrett två saker
• Syftet med att ge diagnoser
• Vilka teorier som skall ligga till grund för arbetet.
Här följer en beskrivning för såväl denna bakgrund som vad detta medför för provens
utformning.
Syfte
Det övergripande syftet med diagnostiska test är att lärare med dess hjälp skall kunna följa
elevernas kunskapsutveckling i ämnet matematik. Det är därför viktigt att testen är uppbyggda
på ett sådant sätt att man med så god exakthet som möjligt kan avgöra vilka kunskaper en elev
har respektive inte har. Utan sådan information är det omöjligt att göra individuella planeringar för eleverna.
Ett annat syfte är att diagnostisering skall ingå som en naturlig del av undervisningen. De
kunskaper eleverna bygger upp under de fem första skolåren kan visserligen ses som en
hierarkiskt uppbyggt helhet, men denna helhet består av en rad olika delar som var och en
själv utgör en helhet. Eftersom dessa helheter ofta bygger på varandra så är det viktigt att
varje sådan del kan diagnostiseras. Det räcker att en av delarna fattas för att helheten skall gå
förlorad. Diagnoserna måste därför kunna ges såväl individuellt, till enskilda elever, som i
större eller mindre delar.
Diagnoserna skall kunna användas på tre olika nivåer.
1. På grupp/elevnivå för att analysera vilka elever/elevgrupper som nått, respektive inte nått
de nationella målen samt vilka viktiga delmål de nått respektive inte nått.
2. På lokal nivå för att veta i vilken utsträckning skolan har nått de nationella målen
3. På nationell nivå för att se i vilken utsträckning eleverna har nått kursplanens uppnåendemål och strävansmål.
Teori
För att kunna tolka målen i styrdokumenten krävs det först och främst en didaktisk ämnesteori
i matematik. Med detta menas en teori som beskriver och förklarar hur elever kan tillägna sig
kunskaper i matematik utgående från individuella förkunskaper, förmåga och intresse. Kraven
på en sådan teori har jag beskrivit i rapporten Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning (Löwing, 2002). Denna teori har tidigare används i samband med mitt avhandlingsarbete, Matematikundervisningens konkreta gestaltning (Löwing, 2004) och getts en mer
konkret och skolnära tolkning i en nyss utkommen bok (Löwing, 2006).
Det krävs också en syn på vad det är som skall diagnostiseras. Jag utgår då från att matematik
handlar om att abstrahera. Det är alltså inte hur man lär ett innehåll eller vilken metod man
använder som skall diagnostiseras utan huruvida eleven har lyckats abstrahera det aktuella
matematikinnehållet, alltså förstått det på ett sådant sätt att kunskapen blivit generell och kan
återanvändas i andra situationer, t.ex. för att lära mera matematik.
Eftersom matematik är ett ämne där inlärningens kvalitet i hög grad är beroende av elevernas
förkunskaper, så är det ytterst viktigt att ha kunskap om hur olika delkunskaper är relaterade
till varandra. På den punkten har jag tagit intryck av de analyser som gjordes inom PUMPprojektet (Kilborn, 1979) och som jag anser vara generaliserbara även till andra områden än
de fyra räknesätten. Vi avser inom projektet att utveckla sådan strukturer i samband med
utarbetandet av de nya diagnoserna.
En annan viktig teori handlar om diagnosers validitet och reliabilitet. Det handlar då inte
enbart om att välja representativa uppgifter och att dessa uppgifter skall kunna tolkas på ett
entydigt sätt. Det handlar också om hur många uppgifter som krävs för att man med en viss
säkerhet skall kunna avgöra om de fel som görs är systematiska eller slumpmässiga. Även på
den punkten har PUMP-projektet varit en förebild.
För att kunna bedöma elevers kunskaper och kunskapsutveckling i ett ämne krävs en
didaktisk ämnesteori. Viktiga frågor blir då:
Vilken kvalitet skall kunskapen ifråga ha?
Hur är kunskapen uppbyggd?
Vilka förkunskaper krävs för att bygga upp kunskapen?
Vad innebär det att behärska ett visst innehåll?
Hur kan undervisningen om ett visst ämnesinnehåll sekvenseras och organiseras?
Kan kunskapen konkretiseras och/eller finns det bra metaforer?
På vilka sätt kan ämnesinnehållet individualiseras?
Vilka arbetsmaterial ger stöd för en gynnsam inlärning?
Vilka arbetsformer och arbetssätt ger stöd för en gynnsam inlärning?
Hur kan man utvärdera undervisningen?
Har utvärderingsinstrumenten tillfredsställande validitet och reliabilitet?
Är urvalet av uppgifter sådant att man kan få en nyanserad bild av kunskaper och
kunskapsutveckling?
Metod
Utarbetandet av diagnoserna sker i tre faser.
• En planeringsfas där målen i kursplanen analyseras och tolkas. Detta arbete utmynnar i
ett antal kriterieuppgifter.
•
•
En konstruktionsfas där kriterieuppgifterna först analyseras utgående från vilka förkunskaper som krävs för att lösa dem och därefter grupperas i sammanhängande kluster.
Dessa kluster bildar underlag för konstruktionen av preliminär deltest.
En utprövningsfas som omfattar två steg. I ett första steg utprövas de preliminära
uppgifterna i ett antal klasser varvid såväl uppgifternas kvalitet som testens instruktioner
diskuteras och analyseras. Utgående från denna utprövning sker en bearbetning av de
olika deltesten och utarbetas förslag till individuellt planerad uppföljning. I ett andra steg
sker därefter en större fältutprövning av materialet.
I samband med utprövningarna sker intervjuer lärare med tyngdpunkt på mer erfarna lärare.
Målet med dessa intervjuer är att kartlägga vad som är rimligt för en medelelev att lära i olika
årskurser och vad som hindrar att alla elever lär detta.
Exempel på kluster av test
Den mest grundläggande av alla diagnoserna kallas för Diagnos vid skolstarten. Detta kluster
omfattar elementär taluppfattning och förförståelsen för addition och subtraktion. Diagnosen
skall utföras i form av individuella intervjuer, antingen vid skolstarten eller ännu hellre medan
barnen går i förskoleklassen. Avsikten är att lärare med hjälp av diagnosen skall kunna avgöra
vilka elever som saknar viktiga förutsättningar för att kunna följa undervisningen i matematik.
Denna diagnos är redan väl utprövad.
Ett annat viktigt kluster av diagnoser kallas för Taluppfattning. Klustret består för närvarande
av sex deltest som omfattar grundläggande addition, subtraktion, multiplikation och division,
samt tals uppdelning i termer och faktorer och de viktigaste tiotalsövergångarna. Diagnoserna
i detta kluster genomgår för närvarande en första utprövning.
Färdigt för utprövning är också ett kluster som handlar om skriftlig räkning. Under konstruktion är dessutom ett kluster för Mätning och geometri och ett kluster för Statistik och
sannolikhetslära.
Några viktiga kommentar
Som framgår av inledningen så handlar matematik om att abstrahera. Eftersom många av de
regler som gäller för matematik är speciella och skiljer sig från vanliga språkregler kräver den
grundläggande matematikinlärningen en hel del konkretiserande inslag. Ett vanligt misstag
när man diagnostiserar matematik är att man inte skiljer mellan mål och medel, alltså att man
diagnostiserar de konkretiserande inslagen i undervisningen och inte målet för konkretiseringen, alltså den matematik eleverna förväntas lära.
I de här diagnoserna mäter vi vad eleverna har abstraherat. Detta sker i väl analyserade steg
vilket gör det möjligt att avgöra vad en elev lyckats eller inte lyckats att abstrahera. Till varje
sådant steg ges råd om hur innehållet ifråga kan konkretiseras och i förekommande fall
färdighetstränas.
Ett diagnosmaterial är till för läraren och bör ingå som en naturlig del i hennes planering och
uppföljning av undervisningen. Diagnoserna skall samtidigt ge stöd åt läraren när det gäller
att följa elevernas individuella kunskapsutveckling. På det lokala planet kan man dessutom
med diagnosernas hjälp skapa en kontinuitet i undervisningen sett ur elevernas synvinkel.
Referenser
Kilborn, W. (1979). PUMP-projektet. Bakgrund och erfarenheter. (Utbildningsforskning,
FOU-rapport 39.) Stockholm: Skolöverstyrelsen.
Löwing, M. (2002). Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning. Ämneskunskapers
relation till individ och omvärld. (IPD-rapport nr 2002:11) Göteborg: Göteborgs universitet.
Institutionen för pedagogik och didaktik.
Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. (Göteborg Studies in
Educational Sciences 208.) Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare hanterar undervisningens komplexitet. Lund: Studentlitteratur.
904
Meningsfull utematte
I utemiljön kan barnen få möta matematik på ett konkret, naturligt och lustfyllt sätt.
Föreläsningen tar upp exempel på aktiviteter som kan hjälpa barn att utveckla goda kunskaper
för att ”se” och förstå olika moment i skolmatematiken. Deltagarna får pröva och reflektera
över några aktiviteter.
Ingrid Olsson har arbetat inom hela grundskolan som klasslärare och speciallärare och är nu
lärarutbildare vid Mittuniversitetet i Härnösand.
Föreläsning
Gt
Dokumentation
Att använda utemiljön i undervisningen ger barn möjligheter att upptäcka matematik i sin
vardag och att arbeta med matematik på ett konkret, naturligt och lustfyllt sätt. Eftersom allt
lärande är väldigt situationsbundet, är det viktigt att barn får möta matematik i många olika
miljöer. Att barn klarar en uppgift kring en köpsituation i sina matteböcker är ingen garanti
för att de klarar motsvarande verkliga situation på affären.
Utemiljö kan t ex vara skolgården, närsamhället, skogen, ängen eller stranden. Barn brukar
fascineras av att i dessa miljöer upptäcka symmetri, mönster, geometriska former, tal, siffror,
symboler m m. Skolmatematiken upplevs sedan mer meningsfull, eftersom barnen ser den i
sin vardag samt inser att de själva använder matematik utanför matteboken och att matematik
konstruerats utifrån människans behov och ständigt utvecklas.
För lekfulla barn med mycket spring i benen ger utematte även möjlighet till aktiviteter där
barnen får springa av sig, så att de sedan lättare kan koncentrera sig på uppgifter som kräver
tänkande och diskussioner. Utematte ger många möjligheter till att integrera matematik med
svenska, oä, idrott, bild med flera ämnen.
För att utematteaktiviteter inte ska bli lösryckta jippon är det viktigt att fundera över syftet
med aktiviteterna och att ställa sig de didaktiska frågorna vad? varför ? och hur?
Föreläsningen belyser utifrån dessa frågeställningar hur utematte kan bli meningsfull och ge
utmaningar till barn på olika kunskapsnivåer. Genom att arbeta konkret med olika begrepp i
par eller grupp blir det naturligt att prata matematik, rita och dokumentera. Uppföljningen i
klassrummet hjälper sedan barnen att ta det stora och ofta svåra steget från det konkreta till
det abstrakta, att förstå begreppet och kunna använda det i tanken. Att tänka abstrakt men
prata konkret. Det är ofta det steget som avgör om man upplever skolmatematiken lätt eller
svår.
Föreläsningen tar upp exempel på:
• Syfte med utematte
• Organisation, material och förberedelser
• Aktiviteter
• Aktiviteter under vägen samt små lekar
• Dokumentation
• Lärandet för barnen? Läraren?
•
Utveckling av utematte
Låt utematte bli ett värdefullt komplement till din matematikundervisning!
905
Ute med Maja
Fokus på Utomhuspedagogik
Föreläsningen har inslag av olika workshops med konkreta förslag på utomhusmatte för små
barn. Detta har ingått i ett paket med flera olika inslag kring Utomhuspedagogik.
Hur kan Du göra påklädningen, måltiden, utflykten, sandlådan, gården, promenaden, lustfylld
och språk- och matteutvecklande?
Anne Ljungdahl, bibliotekarie och utvecklare proAros, Västerås
Helena Lilja, projektledare i matematik, ordf. SMaL och lärarutbildare
Föreläsning (inslag av workshop)
Fö Gr
Dokumentation
Bakgrund
Lärforum – var ett kompetensutvecklingsprojekt 2002-2004 i Västerås för lärares lärande
i språk och matematik som vi ledde tillsammans. Matematik är ett ämne som ofta ställer
till med problem för elever med svenska som andra språk. Även för andra som inte är
fullgoda läsare är lästalen svåra. Det har visat sig att många tror sig vara dåliga i matte när
det egentligen handlar om språkproblem. För många är det inte bara bristande
läsförståelse som försvårar matematiken utan också alla ord och begrepp man måste
behärska.
Matematiskt ABC är en samling exempel på ord och begrepp som är viktiga förstå för att
kunna räkna. De växte fram när vi arbetade tillsammans med barn, lärare och föräldrar.
Exemplen i Matematisk ABC gömmer sig i vardagen bland helt vanliga ting och företeelser, i
lekar, sånger och barnböcker. Sjung, lek, läs och ”språka”! Om något särskilt ord eller
begrepp ska läras in så ta barnen till hjälp och bli nyfikna ”SAKLETARE”. Leta ”runda” ting
som bollar, rönnbär, punkter (…). Gör det enkelt och lustfyllt! Illustrera Matematiskt ABC
tillsammans med barnen! Samla vackra och roliga rim, ramsor och bilder. Rita, måla, skriv
och klistra in i häftet. Använd gärna nya eller gamla vykort. Eller dela in orden efter
matematisk betydelse till exempel tidsord, jämförelseord, storleksord. Ett bra exempel är A i
den underbara boken Majas Alfabet av Lena Anderson. Alla redan på första raden finns fyra
viktiga ord/begrepp. Kan du räkna ut hur många fler som finns?
Vi har en Ask, den är minst hundra år,
den blir bara högre ju mer tiden går
och jag har en gunga på lägsta grenen
där sitter jag ofta och dinglar med benen.
Matematikprojektet i Västerås ”Vi lyfter matematiken”
Långsiktigt genomförs en Resursgruppsutbildning i matematik med matematiklag.
Det övergripande syftet är att lärare tillsammans med barn/elever ska få ökad lust att lära
matematik och ett utökat kunnande i matematik.
Ta fram en matematikplan för gemensamma bedömningsgrunder för
Förskolan, Förskoleklass, år 3, år 5 och år9
Ta fram en handlingsplan för långsiktig utveckling av matematikundervisningen och därmed
implementera och sprida matematikplanen.
Målet är att höja kravnivån och förbättra resultaten på alla nivåer.
Utbildningen avser att ge lärare
- inom förskolan och skolomsorgsverksamhet stöd i att uppmärksamma situationer som
inrymmer matematik, så att barnen får rika tillfällen att utveckla sitt tänkande och sina
begrepp
- inom grundskolan stöd att utveckla undervisningen så att elever får möta en varierad
matematikundervisning både till innehåll och form.
Ur Innehållet:
Utematte på Naturskolan Askö
Familjematematik
Utomhuspedagogik för små barn
Ute med Maja
Matematikverkstad
Att skriva en handlingsplan
Betyg och bedömning
Diagnoser och prov
Språk och matematik
Ämnesteori
Matematik-didaktik
Kollegahandledning
Läroplan Lpfö
Mål för Utveckling och lärande:
- utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla
sammanhang
- utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och
form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum
- utvecklar sin förståelse för sin delaktighet i naturens kretslopp och för enkla
naturvetenskapliga fenomen, liksom kunnande om växter och djur
Riktlinjer
-upplever att det är roligt och meningsfullt att lära sig nya saker
-stimulera barns nyfikenhet och begynnande förståelse av skriftspråk och matematik
Utomhuspedagogik
Utomhuspedagogik i förskola och förskoleklass. Nr 7 Temaserie från tidningen Förskolan,
Lärarförbundets förlag: ”När man går ut i en trädgård tvingas man balansera sin kropp på ofta
mycket smala, kuperade stigar, från entréområdets öppna solbelysta ytor till skogsbrynets
skugga. Huden registrerar solens och skuggans temperaturer liksom vindens smekning. Alla
muskler och balansorgan samarbetar för att kroppen ska kunna förflytta sig utan att falla.
Dagsljuset ökar vakenheten och aktivitetshormonerna. Ögon, öron och näsa registrerar
förändringar i rummet. Sinnena meddelar affekterna: omedelbara känslor, såsom trygghet,
rädsla, välmående och glädje. Utomhusaktiviteterna har den fördelen att kommunikationen
mellan sinnen, intellekt, känslor och hormoner tycks vara bättre synkroniserade än
motsvarande aktiviteter inomhus. Koncentrationen och vakenheten är hög.”
Maja-paketet i Utomhuspedagogik innehåller
• Workshop vår resp. höst vid Vallby Friluftsmuseum.
• En föreläsning med Anders Szczepanski, bitr. professor/chef för Centrum för
utomhuspedagogik, Linköpings universitet
• Traditionell Maja-konsert med Håkan Fernqvist i Västerås Nya Konserthus.
• Material: Maja tittar på naturen, en bok av Ulf Svedberg och Lena Anderson,
Gummibandsmapp och anteckningsbok Maja, Majas trädgårdsspel, 17 st olika trädkort
samt boken Utomhuspedagogik från Lärarförbundets förlag
Exempel på Workshop ”Kotten”
Maja eldar med kottar i sin spis. Nu när det börjar bli kallt behöver hon elda mycket. Kan Du
hämta två kottar var så blir hon glad?
Maja behöver fler kottar. Kan Du hämta 3 kottar till och lägga i din korg?
Hur många kottar har Du nu i din korg?
Hur lång rad blir det av kottar om alla lägger sina kottar efter varandra?
Maja tycker om att kasta kottar och pricka träd. Hon har 5 kottar i sin korg. Hur många
gånger kan Du pricka ett träd med 5 kottar?
Pricka träd. Så här många gånger träffade vi trädet
– Gör gärna ett diagram!
Workshopen kan varieras till exempel med kastanjer
Exempel på Workshop ”Äpplet”
Maja är hungrig. Hon har olika äpplen, knäckebröd, vindruvor, gurkor, bananer, russin,
nötter, grönsaker. Beskriv i ord.
Hur ser de ut? Färg, form, antal, storlek?
Hur känns de? Hårt, mjukt, temperatur och tyngd? Hur känns ytan? Vilken är lenast? Slät?
Skrovlig?
Vilket äpple luktar godast? Vad luktar det som?
Vad hörs högst? Vad hörs det som? (Håll för öronen)
Vad smakar sötast? (Sött känns längst fram på tungan.) Vilket är mest beskt, syrligast och
saltast? Blir det någon skillnad om man blandar dem?
OBS! Inget är rätt eller fel. Alla har rätt till sin egen upplevelse
Utan upplevelser inga ord och matematik! Utan ord inga upplevelser och matematik!
Används så många ord som möjligt i Matematisk ABC
Vilka mål i kursplan, läroplan och Skolverkets analysmaterial har du uppnått?
Workshopen kan varieras med vilken mat som helst
LITTERATURLISTA
Analysschema i matematik för åren före skolår 6. (2000). Lärarhögskolan i Stockholm.
PRIM-gruppen. Skolverket. ISBN 91-89314-X
Dahl, K (2004). På tal om matte. Utbildningsradion.
ISBN 91-25-04003-0
Ernby, B (2001). Norstedts första svenska ordbok : [18.000 ord och fraser]
ISBN 91-7227-186-8
Familjematematik : hemmet och skolan i samverkan / redaktion: Lena Trygg. Nationellt
centrum för matematikutbildning (NCM), Univ. ; Stockholm : Myndigheten för
skolutveckling, 2004
ISBN 91-88450-36-8
Ljungdahl, A. och Lilja H. (2005) Matematisk ABC. Sälj endast vid föreläsningar till
självkostnadspris
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. 2
uppl. ISBN 91-44-02402-9
Mat för alla sinnen. Sensorisk träning enligt SAPERE-metoden (2000)
Livsmedelsverket/Stiftelsen för måltidsforskning
ISBN 91-77141-31-0
Matematik från början. (2000). Nationellt centrum för matematikundervisning. Nämnaren.
Tema. ISBN 91-88450-20-1
Norström Lymeus, M. (2003) Den magiska mattepåsen.
ISBN 91-97392-63-4
Språket lyfter! : diagnosmaterial i svenska och svenska som andraspråk för åren före skolår 6.
Lärarhandledning och observationsschema/ [Uppsala universitet. Institutionen för nordiska
språk, Avdelningen för forskning och utbildning i modern svenska ISBN 91-85009-01-6
Sterner, G. & Lundberg, I. Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. NCM-rapport
2002:2 ISSN 1650-335X
Vägar till språket: teori och praktik i förskolan m.fl. skrifter i samma serier. Tidningen
Förskolan. 2003 ISBN 91-85096-873
Barn och matematik. 0-3 år, 4-5 år och 6-7 år. Tre broschyrer som vänder sig till föräldrar
med barn i förskolan. Utgivet av Myndighetens för skolutveckling och Nationellt centrum för
matematikundervisning. Materialet ger exempel på hur barn upptäcker matematiken i det
vardagliga livet redan som små. Föräldrar som ser barnets nyfikenhet och lust att förstå
stimulerar dess lärandet. Samspelet ger dessutom både barn och föräldrar glädje och
tillfredställelse. http://www.skolutveckling.se/utvecklingsteman/matematik/index.shtml
Anderson, L. (1984) Majas alfabet. ISBN 91-29-56631-2 m.fl. barnböcker
Kontakt
Anne Ljungdahl, kompetensutvecklare vid Lärforum Västerås stad, Årets barnbibliotekarie
1997, Västerås stads stora pedagogiska pris 2003, Bibliotekstjänst stora läsfrämjandepris
2004.
Telnr 021-391151, mobil 0704651151, e-post: [email protected]
Helena Lilja, projektledare, matematiklärare, ordförande i SMaL, Sveriges
Matematiklärarförening, Gudrun Malmer stipendiat 2003 med rapporten. Ett matematiskt
begrepp från förskolan till gymnasiet. Bibliotekstjänst stora läsfrämjandepris 2004Västerås
stads stora pedagogiska pris 2005.
Telnr 021-392416, mobil 070463416, e-post: [email protected]
906
Hur blir matematikundervisningen lustfylld och begriplig?
INTERMAT är en ny interaktiv metod med lösningsfokuserat arbetssätt för alla
att lära sig matematik på. Den bygger på ett unikt rollspel mellan elever och kommunikativ
material. Allt relaterat till elvernas vardag och framtid - inte bara i skolan. Den nya
interaktiva metoden är en komplettering till dagens traditionella undervisning.
Med interaktiv matematik lär sig eleverna att tänka själva.Grundprincipen är att det blir
interaktivt med momenten se-höra-göra där alla elever är delaktiga i samspelet. Alla olikheter
kan arbeta tillsammans, för dels är idén uppbyggd på att olikheterna behövs med idésprutan
som tutar och kör. Eleven som känner efter om det känns bra, både för sig själv och gruppen.
Eller den som sällan säger något men uttrycker det på något annat sätt. Varje individ är unik
och var och en lär på sitt sätt. Ni kommer att få se några typexempel med underliggande
variabler.
Det positiva med interakiv matematik är att de blir indragna direkt.De frågar efter samspel, då
alla får vara med från allra första början. När de väl sätter sig är samspelet igång, för att
valmöjlighet till olika kommunikationssätt finns med. Man använder brev, mail, bilder,
telefonsamtal med tal och sms och ljudeffekter från olika instrument i form av lekmaterial.
Formler och mallar kommer igen med olika uppdrag som skall lösas i sampel med andra. Här
får de arbeta efter en modell med valmöjlighet med olika processer med momenten se-höragöra.
Om man jämför med andra sätt att presentera olika sätt att lära så är inte denna form
av interaktiv matematik lösryckt med olika stationer med specifika inlärningsstilar. T.ex. att
bara få en instruktion med att läsa eller bara arbeta praktiskt eller att bara prata. Med denna
metod finns det med olika verktyg och hjälpmedel för sätt att lära med i samma grupp och
bord. Allt serverat i en box/ resväska, i den sk. INTERMATboxen.
Fördelar med det här materialet är att det går att anpassa till olika forskningsgrenar till
lärandet. Nästas steg är neuropsykologisk anknytning till den pedagogiska delen.
Eva Larsson, lågstadielärare, Hallonbergskolan, Sundbyberg/Stockholm
Föreläsning
Gt Högsk Lärutb
Dokumentation
Inledning Genom interaktiv matematik blir undervisningen lustfylld och begriplig
Syfte med föreläsningen
Att väcka intresse för en kompletterande inlärningsmetod i matematik
Bakgrunden / Bakgrunden till Intermat- Interaktiv matematik
Mitt intresse för lärande i matematik går tillbaka till mina egna erfarenheter som elev
"Jag lärde mig mallen i boken och sedan räknade jag mekaniskt utan att ha förstått". Jag
började intressera mig för lärande i matematik under en praktikperiod på Lärarhögskolan
1988. Jag ställde mig frågande inför hur eleverna kunde förstå t.ex algoritmer och positioner
när de fick lära sig att räkna enbart mekaniskt. Det fungerar för de elever som klarar av att
utgå från mallar och formler, d.v.s. med en utvecklad förmåga att på egen hand kunna tänka
analytiskt och logiskt . Alla elever har inte den förmågan! Mina egna erfarenheter av kreativt
arbete med teater, bild och marknadsföring har påverkat min matematikundervisning .För mig
är det inte ett individuellt arbete där varje elev sitter med sin räknebok och skriver i sitt
räknehäfte, utan matematik handlar om att kommunicera på många olika sätt som t.ex. genom
bildskapande., rollspel och samtal.. Som färdig lärare började jag pröva mina idéer och efter
många års testande ,iakttagande och dokumenterande i samspel med mina elever växte idén
fram om hur ett interaktivt arbetssätt kan se ut. Det tog så småningom form i ett interaktivt
idékoncept Intermat som jag presenterar på biennalen.
Intermat var representerat på kvalitetsmässan i Göteborg 1999 under rubriken: Olikheter som
en tillgång. Materialet tillgodoser olika inlärningsstilar. Det har använts i klasser under flera
års tid och har visat sig ge mycket goda resultat.
Platser där INTERMAT har uppmärksammats:
Prim-gruppen Lärarhögskolan i Stockholm' 1998
Kvalitetmässan 99, Göteborg
Walt Disney Huvudkontor 2004, Köpenhamn
Föreläsningar 2004-2005
Matematikbiennetten 2005, Stockholm
Den aktuella situationen
Enligt rapporter i media är det många elever som inte når upp till målen i matematik.
Matematikundervisningen upplevs av många elever som tråkig och svårbegriplig.
Stor del av inlärning sker fortfarande visuellt och genom analytiskt tänkande.
Med stöd av det som den neuropsykologisk forskning kommit fram till kan vi idag utforma en
praktisk pedagogik som i större utsträckning tillgodoser olika sätt att lära. Intermat är ett
utvecklingsarbete som bygger på att ta tillvara olika kompetenser i ett interaktivt samspel i
såväl mindre gruppkonstellationer som i hel klass.
Hjärnforskaren Åke Pålshammar har fungerat som bollplank för att ge en teoretisk koppling
till vad det är jag gör i mitt idékoncept Intermat. Under föreläsningen kommer jag att
redogöra för hur arbetet kan knytas till aktuell forskning om hur lärande går till.
Hur fungerar Intermat som den kompletterande inlärningsmetoden?
INTERMAT är en interaktiv metod som bygger på ett lösningsfokuserat arbetssätt för
eleverna att lära sig matematik på. Allt man arbetar med är vardagsnära. Metoden är ett
komplement till basläromedel i matematik. Genom materialet iscensätts ett unikt rollspel där
elevena får möjlighet att utforska både sina kunskaper i matematik, sin egen lärstil och vara
med om att skapa något nytt. Genom momenten att SE-HÖRA-GÖRA blir alla elever
delaktiga i samspelet. Olika uppdrag och räkneövningar ges via synen( SE) och hörseln
(HÖRA), som löses praktiskt i rollspel ( GÖRA). Idén är uppbyggd på att olikheter behövs i
samarbetet mellan människor. Hur elevernas olikheter tas till vara är dokumentrat och
presenteras på både föreläsningen och idéutställningen..
Det positiva med interaktiv matematik är att eleverna blir indragna i rollspelet direkt. De
ställs inför olika valmöjligheter och använder brev, mail, bilder, telefonsamtal ,sms och
ljudeffekter från olika lekmaterial. På dataskärmen kommer formler och mallar med olika
uppdrag som skall lösas. Idékonceptet går att överföra på olika teman med olika roller
beroende på vad man för tillfället arbetar med i klassen.. Allt är serverat i en box/ i form av en
resväska, den sk. Intermatboxen.
Sammanfattning
Med interaktiv matematik ges eleverna möjlighet på ett lustfyllt sätt inhämta information, lösa
problem, skapa något nytt och begripa hur matematiken är uppbyggd. De får respekt för
varandras olika sätt att lära och insikter om varje människas rätt att utgå från sin personlighet
och sina möjligheter till lärande genom att interaktivt se- höra -göra i olika
matematiksituationer.
Skall alla behandlas lika
måste alla behandlas
olika
INTERMAT Interaktiv Matematik
Samspel och växelverkan genom rollspel
Eva Larsson [email protected]
TEL 070 48 68 340 / 08 653 00 33
Mer information?
Kursen ”Hjärna och beteende”, 5 poäng:
http://www.psyk.uu.se/distans/hb
TV- och radioprogram:
http://www.ur.se/vetenskap/392
http://www.ur.se/vetenskap/401
Kontaktperson:
Universitetslektor Åke Pålshammar, 070-246 72 68
[email protected]
2006-01-27
Matematikbiennalen/Åke P.
907
Minoritetselever och matematikutbildning –
Från monokulturell till interkulturell matematikundervisning
Vilka kan orsakerna vara till att elever med ett annat modersmål och/eller en annan kulturell
bakgrund är överrepresenterade bland de elever som inte når målen i skolans
matematikundervisning? Hur kan undervisningen förändras så att dessa elevers
utvecklingspotential utnyttjas och resultaten förbättras?
Irene Rönnberg och Lennart Rönnberg är projektledare i Stockholm stad och
grundskollärare i Botkyrka kommun. De har skrivit skolverksrapporten ”Minoritetselever och
matematikutbildning – en litteraturöversikt”.
Föreläsning
Gr
Dokumentation
Elever med ett annat modersmål och/eller en annan kulturell bakgrund är överrepresenterade
bland de elever som inte når målen i skolans matematikundervisning. En genomgång av
forskning och utvecklingsarbeten visar att det finns många faktorer i undervisningssituationen
som påverkar minoritetselevers möjligheter att lära matematik. Det handlar om innehållet i
undervisningen, språket i undervisningen och läromedel, och arbetsformer och arbetssätt.
Innehållet i undervisningen
Alla barn, oavsett kulturell och språklig bakgrund, utvecklar grundläggande, informella,
matematiska begrepp innan de börjar skolan. Dessa begrepp är knutna till barnens språk och
erfarenheter från närmiljön (Kilborn, 1991). För att eleverna inte ska stanna upp i sin
kunskapsutveckling när de börjar skolan, måste matematikundervisningen knyta an till dessa
kunskaper och erfarenheter, och anknytningen måste var tydlig för eleven. Eleverna måste
också uppfatta undervisningen som relevant. Ing-Marie Parzyk visar i sin avhandling (1999)
att ju större olikheter det är mellan elevernas kultur och den svenska kulturen, desto svårare
har eleverna att klara benämnda uppgifter i svenska nationella prov. Att elever inte klarar
undervisningen i matematik kan alltså bero på att den inte anknyter till elevernas erfarenheter
och att kontexten i matematikuppgifterna uppfattas som främmande, vilket kan vara fallet om
undervisningen utgår från läromedel vilket innebär att innehållet utgår från ett svenskt,
västerländskt perspektiv.
Språket i undervisning och läroböcker
Undervisningen i matematik ställer stora krav på språkbehärskning. Att lösa textuppgifter i
matematik, sk ”benämnda uppgifter”, utan illustrationer, vilket är vanligt i en traditionell
läroboksbaserad undervisning, innebär att man måste använda språket i en kognitivt krävande,
situationsoberoende och oftast kontextreducerad kommunikation (Chamot & O´Malley,
1987). Detta kräver dekontextualiserade, skolrelaterade, språkfärdigheter (Obondo, 1999;
Säljö, 2000). Matematikundervisningen ställer också krav på att man behärskar och kan
formulera sig med hjälp av ett symbolspråk och det matematiska ”registret”. Detta kan,
förutom svårigheten med själva symbolspråket och ”registret”, också innebära att det ställs
höga krav på språklig korrekthet.
Arbetsformer och arbetssätt
När eleverna inte erövrat skolrelaterade språkfärdigheter på andraspråket är det viktigt att de
får konkreta upplevelser av de begrepp som introduceras, innan benämningarna för
begreppen introduceras för att underlätta begreppsförståelsen. Det är också viktigt att de får
arbeta med olika representationsformer och uttrycksformer (laborativa modeller, bilder,
vardagsspråk, symbolspråk m.m.). För att eleverna ska se samband mellan den matematik de
möter i skolan och sin informella matematik, och utveckla förståelse för matematiska begrepp
och matematikens språk, är det nödvändigt att de ges möjligheter att reflektera över och
kommunicera om och med de matematiska begrepp som studeras, såväl muntligt och
skriftligt.
Den förändring av matematikundervisningen som krävs för ett förbättrat resultat innebär en
förskjutning från en undervisning med fokus på procedurer som ska läras in, till en
undervisning som fokuserar förståelse av begrepp, där aktiviteter som reflektion och
kommunikation är nödvändiga. Det krävs också att undervisningen förändras från att se
olikheter i elevernas färdigheter och erfarenheter som hinder i undervisningen, till att istället
se dem som en tillgång. Alla elever har en fördel av att den mångfald och variation av olika
erfarenheter av matematik som finns i flerkulturella klasser synliggörs.
Referenser:
Allardice, B. & Ginsburg, H. (1983). Children´s Psychological Difficulties in Mathematics.
In H. Ginsburg (Ed.), The Development of Mathematical Thinking (pp. 319-350).
Orlando: Academic Press, INC.
Chamot, A. U. & O´Malley, J. M. (1987). The Cognitive Academic Language Learning
Approach: A Bridge to the Mainstream. TESOL Quarterly . 21( 2). 227-249.
Cummins, J. (2001). Andraspråksundervisning för skolframgång - en modell för utveckling
av skolans språkpolicy. I K. Nauklér (Red.) Symposium 2000. Ett
andraspråksperspektiv på lärande. Stockholm: Nationellt centrum för sfi och svenska
som andraspråk.
Kilborn, W. (1991). Matematikundervisning och hemspråk. Nämnaren 18(3/4), 54-62.
McKeon, D. (1994). Language, culture and schooling. In Geneese (Ed.), Educating Second
Language Children (p.15-32) Cambridge: Cambridge University Press.
Obondo, M. (1999). Olika kulturer, olika språksocialisation - konsekvenser för utbildning
och social integrering av invandrarbarn. I M. Axelsson (Red.), Tvåspråkiga barn och
skolframgång - mångafalden som resurs. Stockholm: Rinkeby språkforskningsinstitut.
Parzyk, I-M. (1999). En skola för andra. Minoritetselevers upplevelser av arbets- och
livsvillkor i grundskolan. Stockholm: HLS Förlag
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001). Minoritetselever och matematikundervisning. En
litteraturöversikt. Stockholm: Skolverket.
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2002). On Guiding Second Language Learners in their
Numeracy Development- the importance of Beliefs and Attitudes. In Banno Gomes,
N.et al, Reflections on Diversity and Change in Modern Society. Botkyrka: The
Multicultural Center.
Secada,W.G., Fennema, E. & Byrd Adajian, L. (Eds.).(1995). New directions for Equity in
Mathematics Education. Cambridge: Cambridge University Press
Säljö, R.(2000). Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Prisma.
Trentacosta, J. & Kenney M. (1997). Multicultural and Gender Equity in the Mathematics
Classroom, The Gift of Diversity. 1997 Yearbook NCTM. Reston: NCTM.
908
Mattelådor - ett sätt att bli kreativ
Efter att ha tagit till oss "Uppslagsboken" och Lena Tryggs matterum inne på NCM med
laborativt material, har vi försökt att utveckla spel och andra roliga saker i form av
"Mattelådor". Det går till så att man exempelvis tar locket från en låda för kopieringspapper,
plastar in spelregler, tillsätter några tärningar och kopierar upp spelplaner. En del lådor kan
vara svåra att direkt relatera till det man arbetar med i boken, men bygger ändå på logiskt
tänkande. Andra lådor kan direkt knytas till något som hör till sannoliokhet, geometri, algebra
eller tal och tiosystemet. Att utveckla sådant material på håltimmar eller när man ser någon
bra idé, gör att man blir kreativ. Man låser sig inte bara till läroboken. Idéer samlas och
kommer till nytta i undervisningen.
Daniel Lindgren, lärare i matematik och NO. MaNO 4-9, 180p vid Göteborgs universitet och
en del kurser i matematikdidaktik. Har arbetat i snart 10 år och är nu verksam i en
högstadieskola i Göteborg.
Föreläsning
Gr
Dokumentation
Att bara arbeta efter läroböcker och aldrig göra något utanför boken eller läromedlen i
matematikundervisningen skulle göra att man inrutas i mönster som att boken är kursen. Det
är av vikt att tänka själv, att värdera omvärlden och sätta matematikundervisningen i
förhållande till kursplanen i matematik.
Under mina första år som lärare försökte jag göra kreativa saker så mycket som möjligt. Jag
lät till exempel eleverna göra tre uppgifter var till provet, sedan valde jag ut en uppgift från
var och en. Ett sådant matteprov utgick från elevernas tankar. I samband med procenträkning
elever på aktier på låtsas för 1000 kr. De fick välja tre aktier och procentuell andel av dem. En
vecka senare räknade vi ut hur det hade gått. En elev kunde skriva upp resultaten för olika
personer på tavlan, däribland jag själv, medan ett par andra räknade ut resultaten.
Diskussioner uppstod på ett naturligt sätt kring hur man ska räkna och vad man skulle ha
satsat på och vad man bör satsa på inför nästa vecka.
Att göra något beständigt, något som man kan ta fram till elevgrupper i framtiden och ha ett
koncept att bygga vidare på, skulle göra att man vid idétorka ändå har något att komma med.
För fyra år sedan kom jag med i ett utvecklingsprojekt i Göteborgs stad och besökte NCM.
Där fick jag inspirationen till att göra mattelådor. Tar man locket från kartongen för
kopieringspapper, har man en låda. Sedan gäller det att göra tydliga instruktioner som man
plastar in till exempelvis ett spel. På lådan skriver man vad spelet/aktiviteten kallas och med
tiden bygger man upp ett laborativt material i matematik.
Man kan leta på NCM:s hemsida och på smal-matte.com efter idéer. En hemsida med länkar
är burkar.nu.
Man kan även besöka NCM, gå på matematikbiennaler, fråga olika mattelärare och ta kort
med digitalkamera för att samla inspiration.
Gamla nummer av Nämnaren kan komma till användning och gamla dokumentationer från
tidigare biennaler.
En del saker kan tillverkas i slöjden. Många slöjdlärare har även laborativt material, som kan
knytas till matematik. De slöjdlärare som har bidragit till mitt material och som läser detta,
vill jag tacka.
De senaste två åren har jag varit på flera olika skolor. På den första skolan hade vi mattelådor
på hyllor i ett lärararbetsrum. Det var inte så effektivt. I en annan skola hade jag lådorna i ett
skåp i den sal jag hade flest mattelektioner. Det blev stökigt när man var i en annan sal. Detta
läsår är jag på en skola som är byggd i ett plan. De andra lärarna är intresserade av laborativt
material och har en del eget material de också. Vi har alla lådor i arbetsrummet och på en
vagn, som vi har en fjärdedel av lådorna på. Denna vagn använder vi allihop på någon
mattelektion när det passar och materialet på vagnen byts ut till annat material 4 gånger på ett
år. Vi har alltså fyra olika teman på vagnen olika delar av läsåret, anpassat ungefär efter
läromedlen.
Vagnen kommer att innehålla åtminstone följande mattelådor under de fyra perioderna detta
läsår:
1. Tal och de 4 räknesätten
Tiotal och ental
Differensspelet
Tal med tärningar
Yatzy
Plump
Tornet i Hanoi
Sum it up
1 till 36
Sudoku
3. Algebra
Algebrakapplöpning
Algebrayatzy
Sänka skepp
2. Geometri
Höjdmätare
4 i rad 3D
Pentominoes
Tangram
Tändsticksproblem
Sfinxens gåta
4. Logik
Schack
Kinaschack
Pussla ut kvadraten
Othello
Rävspel
Mastermind
Kungsbräde
4 i rad
Lådor som faller inom området logik, kan inte alltid direkt knytas till kursplanen, men många
upplevs ändå av elever som intressanta.
Namnen på de flesta av lådorna kan man lätt hitta på internet.
Fredagseftermiddagar eller innan ett lov, märks en stor skillnad om man har laborativt
material jämfört med att inte ha någonting.
Materialet kan även användas som fördjupningsuppgifter om en elev har gjort färdigt
uppgifterna i boken inför ett prov och vill börja med nästa kapitel före de andra. Dessa elever
kan då sträva efter djupare och bredare mål i matematik. På vagnen finns även en
tidskriftssamlare med tabellträning. Alternativa läromedel kan med fördel finnas på vagnen,
så att eleverna kan se hur andra läromedel ser ut. Gamla nationella prov utdragna från
skolverkets hemsida är ett annat sådant exempel.
909
Act it out - laborativ matematik
Laborativ matematik är ett kreativt arbetssätt där alla elever får möjlighet att lyckas samtidigt
som det ger alla elever utmaningar på sin nivå. Genom att använda sig av ”Act it out”
introducerar man laborativa aktiviteter på ett spännande och engagerande sätt. Exempel på
laborativa aktiviteter, hur de kan introduceras samt hur man arbetar vidare med
fördjupningsuppgifter och utvidgningar kommer att ges under denna work-shop.
Per Berggren och Maria Lindroth arbetar som matematiklärare på Trädgårdsstadsskolan i
Tullinge. De skriver också läromedel och pedagogisk litteratur samt bedriver
lärarfortbildning.
Workshop
Gr Gy
Dokumentation
Vad säger kursplan 2000?
”Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i
meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya
insikter och lösningar på olika problem.”
”Matematik är en levande mänsklig konstruktion som omfattar skapande, utforskande
verksamhet och intuition.”
”Problemlösning har alltid haft en central plats matematikämnet. Många problem kan lösas i
direkt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens
uttrycksformer.”
Som synes lämnar kursplan 2000 inget utrymme för att inte använda laborationer som ett
naturligt inslag i matematikundervisningen genom alla skolår. Istället för att föra en
diskussion om ifall laborationer ska användas eller ej bör fokus ligga på vilka laborationer
som ska användas och varför. Vad kännetecknar en bra laboration i
matematikundervisningen?
Hur ser en bra laboration i matematik ut?
Det är viktigt att laborationer i matematik är väl genomtänkta. Man ska som lärare veta varför
man gör en laboration, vilken matematik eleverna kan tänkas hitta i just den laborationen och
hur uppgiften kan fördjupas eller utvidgas. Det är inte ovanligt att den första matematik som
man ser i en laboration är elementär. För att en laboration enligt oss ska betecknas som bra
krävs dock att matematiken i den kan fördjupas och utvidgas till mer avancerad matematik
som kan utmana alla elever. Laborationer som är ett ”kul inslag” på någon enstaka
matematiklektion tror vi inte ger annat en stunds trevligt tidsfördriv.
En bra laboration ska innehålla konkret material och en fråga som är knuten till materialet.
Med hjälp av det konkreta materialet ska man kunna lösa uppgiften. Tanken ska vara att alla
elever kan lösa uppgiften på en rimlig tid, 10-15 minuter. Det är viktigt att alla får känna att
de lyckas, att de kan! Utifrån den konkreta lösningen ska eleverna sedan uppmuntras att
fundera vidare. Finns det någon mer lösning? Hur många lösningar finns det? Hur vet
eleverna när de har hittat alla lösningar? Vilken tycker eleverna är den bästa lösningen?
Varför tycker de så? Vad skulle hända om man ändrar förutsättningarna eller om man t.ex. har
hittat en talserie, vilka olika mönster kan man se? De här fördjupnings- och
utvidgningsfrågorna är de som tar fram matematiken i laborationen och som ger eleverna
matematiska utmaningar. Varje elev kommer att hitta matematik som utmanar dem på sin
nivå utifrån erfarenheter, kunskaper, vilja och ambition. En bra laboration saknar ett svar,
man ska kunna komma hur långt som helst. När man arbetar med laborationer måste tid ges
för diskussioner, både i par- eller grupparbete men också i helklasssituationen. En viktig del
är att få argumentera för sina metoder och eventuella lösningar, det blir ett forum för
reflektion.
Vad ger en bra laboration?
Laborationen ska utifrån de konkreta lösningarna ge möjligheter att utveckla, generalisera och
formalisera matematik. Varje laboration ska resultera i någon form av rapport. Hur den ska se
ut beror på vilken nivå eleven befinner sig. Vissa laborationsrapporter kommer kanske att
beskriva lösningar med bilder som representationsform medan andra kan ha mer eller mindre
formella matematiska bevis. Här har du som lärare en stor uppgift att förmå eleverna att
skriva så bra laborationsrapporter som möjligt.
Erfarenhetsmässigt har vi funnit att arbete i par eller grupper om tre ger det bästa resultatet
med mest aktivitet per elev. Ett bra arbetssätt som främjar matematisk kommunikation är att
arbeta enligt följande modell. Presentera laborationen för eleverna och låt dem arbeta i par
eller smågrupper under 10-20 minuter. Samla ihop grupperna till en helklassdiskussion där de
kan presentera och argumentera kring sina olika lösningar. Utifrån denna diskussion ger du
eleverna en fördjupnings- eller utvidgningsfråga som de får fortsätta att arbeta med. Denna
process kan återkomma flera gånger under en lektion. I slutet av varje laboration är det viktigt
att ge eleverna tid för att fördjupa sig så långt de kan i laborationen. De behöver då både tid
för diskussion och reflektion i paret eller gruppen.
En lyckad laboration kommer att fungera som en mental anslagstavla för eleverna där de kan
”hänga upp” teorier kring den matematik som laborationen innehöll.
Litteratur
Grundskolan – kursplaner och betygskriterier. (2000). Skolverket.
Berggren, P. & Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla. Ekelunds förlag.
Berggren, P. & Lindroth, M. (1998). En sannolik hästkapplöpning. Nämnaren 4(98).
Berggren, P. & Lindroth, M. (1999). På G i matematik. Ekelunds förlag.
Berggren, P. & Lindroth, M. (2001). Mattemagi. Ekelunds förlag.
Bergsten, C. m.fl. (1997). Algebra för alla. Nämnaren Tema.
Billstein, R., Lideskind, S. & Lott, J. (1993) A problem solving approach to mathematics
for elementary school teachers. Adison-Wesley Publishing Company
Emanuelsson, G. (red) (1996). Matematik – ett kommunikationsämne. Nämnaren Tema.
Emanuelsson, G. (red) (1997). Algebra för alla. Nämnaren Tema.
Emanuelsson, G. (red) (2000). Matematik från början. Nämnaren Tema.
Johnsen Høines, M. (1990). Matematik som språk – verksamhetsteoretiska perspektiv. Liber.
Williams, D. m.fl. (1996). Replacement unit – Pattern & Algebra Upper primary,
Mathematics Task Centre Project, Curriculum corp.
910
Hur ska/bör en mattelektion se ut?
Traditionella mattelektioner börjar oftast med att läraren går i genom och förklarar det som
eleverna ska göra. En bra mattelektion ser inte alls ut så - inte om eleverna ska lära sig och
tycka att det är roligt.
Föreläsningen handlar om hur man planerar en bra lektion, hur lärande sker och när. Att göra
är inte detsamma som att lära sig.
Ulla Öberg har lång erfarenhet av lärarutbildning,fortbildning och egen undervisning i
grundskolan alla årskurser.
Föreläsning
Gr
911
Fotografier som utgångspunkt för matematiska samtal
Under det senaste åren har tillgången till projektorer och färgskrivare ökat både i samhället
och på de skolor jag arbetat. Det öppnar nya möjligheter att göra matematikundervisningen
mer verklighetsanknyten. Genom att basera uppgifter och genomgånger på fotografier hjälper
man eleverna både att minnas exemplen bättre och att få en naturlig koppling mellan
vardagen och matematiken. Att använda bilder i undervisningen har naturligtvis inte gjort
några underverk med elevernas matematikkunskaper. Men jag upplever att eleverna är mer
uppmärksamma och engagerade under de genomgångar då jag använder bilder än när jag inte
gör det. Dessutom blir det mer intressanta matematiska diskussioner.
Jag heter Daniel Gottfridsson och är född och uppvuxen i Motala vid vätterns strand. Efter
gymnasiet flyttade jag till Göteborg där jag utbildade mig till gymnasielärare i matematik och
fysik. Efter universitetet började jag jobba på Burgårdensutbildningscentrum ett kommunalt
gymnasium i Göteborg. Under sommaren 20005 bytte jag skola till Polhemsgymnasiet efter
17 terminer på Burgården. Vid sidan av skolan har jag varit huvudförfattare till ett par
fysikböcker, Nexus A och Nexus B. När jag arbetade med Nexus så började jag fotografera
fysik, matematik och annat intressant som jag såg i min omgivning. Det är dessa fotografier
som ligger till grund för mitt föredrag.
Workshop
Gy Vux Högsk Lärutb
Dokumentation
1. Inledning
En ledstjärna i min undervisning är att omväxling förnöjer. Jag försöker därför på olika
sätt variera mellan olika arbetsmetoder. Framförallt arbetar jag mycket med mina egna
genomgångar. Jag använder experiment, olika typer av uppgifter, overhead, excel,
grafritande miniräknare och filmer. På senare år har jag allt oftare använt fotografier. En
bild har många fördelar. Den fångar elevernas intresse, den är lättare att minnas och den
förankrar matematiken i vardagen. För att öva eleverna att betrakta omvärlden ur ett
matematiskt perspektiv kan man visa dem bilder och sen ställa intressanta matematiska
frågor som utgår från bilden. Nästa steg är att få eleverna själva att ställa frågorna. Vad
ser ni i den här bilden som har med matematik att göra?
2. Några exempel
Exponentialfunktioner
När kaffet hälls upp är det 95°C. Kaffets temperaturminskning är proportionellt mot
skillnaden mellan omgivningens temperatur och kaffets nuvarande remperatur. Ställ upp
en matematisk formel för kaffets temperatur efter t minuter.
Hur många hål kan man se på bilden?
Vilken hastighet har vattnet när det sprutar ut ur röret?
Finns det något samband mellan vattenstrålens höjd och vattnets
hastighet?
Hur många kombinationer har låset?
Hur lång tid skulle det ta att prova alla kombinationer som låset har?
Hur förändras resultatet om man vet en av siffrorna?
Vad är oddsen att din anka vinner?
Beskriv hur hastigheten varierar i dessa situationer. Vad är hastighet? Vilket går fortast?
Geometri
Många elever har svårt att räkna ut areor och volymer av geometriska figurer när de inte
har givna mätvärden att sätta in i sina formler. Genom att använda fotografier kan
eleverna få träna sig i att tänka i friare banor. De övar också upp sin omvärlds uppfattning
när de tvingas tänka efter hur stora olika saker är.
Längdskala, Area skala och volymskala.
När ett föremål förstoras så att dess längd fördubblas så kommer även dess bredd att
fördubblas. På så sätt kommer föremålets area att fyrdubblas. Men eftersom även
föremålets höjd fördubblas så kommer dess volym att bli 8 gånger så stor. Att
längdskalan, areaskalan och volymskalan ökar olika snabbt leder till mycket intressanta
konsekvenser. Redan på 1500-talet skrev Galilei om några sådana exempel.
a. Tänk dig att vi ska göra en staty av kungen i längdskalan 10:1. Då kommer statyns
höjd vara 10 gånger så hög, tvärsnittet av hans kropp kommer att vara hundra gånger så
stort, men volymen och därmed massan kommer att vara 1000 gånger så stort. Det är ett
problem eftersom hållfastheten beror på tvärsnittsarean medan belastningen beror på
massan. Belastningen har ökat 10 gånger mer än hållfastheten. Vär staty riskerar att
kollpsa under sin egen tyngd. Det är därför som långa människor oftare får problem med
ryggen, de har helt enkelt klenare muskler i förhållande till sin kroppsmassa eftersom en
muskels styrka beror på dess tvärsnittsarea. Exakt samma resonemang förklarar varför
myror och andra små kryp är så starka i förhållande till sin storlek. När vi tittar på en
insekt så har de extremt tunna ben i förhållande till sin storlek medan elefanter och andra
tunga djur har kraftiga ben. Det förklarar också varför leksaksbilar tål att kastas i golvet
medan vanliga bilar blir buckliga vid minsta lilla krock. Plötsligt inser man att barn inte
har lättare att springa på grus för att de är tuffa, utan för att de har större fötter i
förhållande till sin massa. Då blir trycket mindre och därmed även smärtupplevelsen.
b. Med hjälp av resonemanget ovan kan man också förklara varför små vattendroppar
faller så långsamt att det nästan inte märks medan stora vattendroppar piskar ner. Det
beror på att luftmotståndet beror på arean medan gravitationskraftens storlek beror på
massan.
c. Varför finns det inga jätteinsekter?
Det beror på att insekterna andas genom huden. När storleken på deras hud ökar 100
gånger kommer antalet celler som ska syresättas öka 1000 gånger. Då kommer insekten
att kvävas. Exakt samma resonemang förklarar varför kroppens celler inte kan vara hur
stora som helst, för då skulle de inte kunna få tillräckligt mycket syre etc in i cellen. Det
finns inga riktigt stora fåglar för då skulle deras kroppar vara för tunga i förhållande till
vingarnas yta. De tyngsta djuren lever i haven, där vattnets lyftkraft gör att de slipper bära
upp sin egen kroppsvikt.
d. Små djur har svårt att hålla värmen eftersom de har så få celler som producerar värme
i förhållande till sin kroppyta. Det är därför de har högre puls och ämnesomsättning vilket
tvingar dem att äta mycket energirik föda. Stora djur som hästar, kor och elefanter kan äta
gräs och annan energifattig kost eftersom de behåller sin värme. Elefanterna har problem
med att bli av med värmen, det löser de genom att ha stora öron med ytliga blodkärl. Små
djur har andra intressanta egenskaper. De kan gå på vatten och klättra på väggar. Det är
också ett resultat av deras låga vikt i förhållande till kontaktytan.
Fotografier är särskilt intressanta när man talar om skala eftersom olika delar av bilden
har olika skala. Det kan man utnyttja för att göra roliga effekter. Men man kan också
använda den här typen av fotografier för att bestämma höjden på tillexempel ett fyrtorn
med hjälp av likformiga trianglar.
Att använda fotografier i undervsiningen är ingen undergörande metod för att alla elever
ska få högsta betyg. Men jag tror att ju mer vi lärare varierar vår undervisning och ju mer
vi visar eleverna att vi engagerar oss desto bättre går det för eleverna. I takt med att
projektorerna gjort sitt intåg i skolans värld blir det enklare att kunna visa några bilder
eller en filmsekvens och sen utgå från den.
Bilder har fördelen att de blir mer levande och är lättare för eleverna att ta till sig än en
skriftlig beskrivning. Men samtidigt är det viktigt att vi tränar eleverna i att kunna avkoda
text. Det är en av de viktigaste kunskaperna en människa kan skaffa sig. Jag hoppas att du
fått någon inspiration av att läsa detta. Titta nu igenom bilderna igen och hitta på dina
egna frågor och funderingar.
Daniel Gottfridsson
Brittsommargatan 5 2tr
41514 Göteborg
[email protected]
031-433326
076-2267959
912
Läsförståelse och matematik –
behöver man lära sig läsa matematik?
Med utgångspunkt från min egen forskning kring läsförståelse av matematiska texter kommer
jag att diskutera olika aspekter av läsning inom matematik. Behöver man lära sig läsa igen,
eller på något nytt sätt, för att kunna läsa och förstå matematiska texter - och vad är det i så
fall man behöver lära sig? Ofta brukar man koppla samman läsning inom matematik med att
läsa uppgiftstexter, men jag vill förutom detta också diskutera en annan sida av läsning, som
handlar om huruvida elever och studenter kan läsa texter för att på egen hand lära sig
matematik.
Magnus Österholm är doktorand i matematik med ämnesdidaktisk inriktning vid Linköpings
universitet samt i den nationella forskarskolan inom matematikdidaktik. [email protected]
Föreläsning
Gs Gy Vux Högsk Lärutb
Dokumentation
Läsandets roll i matematikutbildning
Att lösa olika typer av matematiska uppgifter och problem är nog den vanligaste aktiviteten
inom matematikutbildning. Även om uppgifter och problem kan uppstå och förmedlas på
olika sätt, är nog uppgifter givna i text allra vanligast. Detta gör att läsning och läsförståelse
blir en viktig faktor inom matematik.
Ett viktigt generellt mål med utbildning kan anses vara att få studerande att utvecklas som
självständiga personer när det gäller att ta till sig information av olika typer och att lära sig på
egen hand. Att kunna läsa, förstå och lära sig från texter blir då en central aspekt av vad
utbildning borde fokusera på – även inom matematik. Synen på kunskap inom matematik
verkar också vara på väg att nyanseras i bland annat denna riktning. I ett projekt i Danmark
beskrivs till exempel matematisk kunskap med hjälp av åtta kompetenser (Niss & Højgaard
Jensen, 2002), något som arbetsgrupper bakom förslagen på nya kursplaner för svenska
gymnasiet verkar ha inspirerats av.
Man kan alltså diskutera läsning och matematik på (minst) två olika sätt:
• Läsning kopplat till att lösa givna uppgifter: Läsning blir indirekt kopplat till förståelse
och lärande i matematik eftersom läsning kan ses som förutsättning för att kunna ta sig an
problemet som beskrivs. Därmed inte sagt att denna typ av läsning bör trivialiseras –
denna situation kan tänkas kräva speciell typ av läsförståelse.
• Läsning för att förstå och lära sig på egen hand: Läsning blir direkt kopplat till förståelse
och lärande eftersom detta är läsningens direkta syfte. Men behöver man lära sig att läsa
på nytt när man kommer till läsning av matematiska texter, eller handlar det bara om att
innehållet i texten är speciellt och att man klarar sig med att läsa texten på samma sätt
som andra texter?
Att läsa och att lösa uppgifter
Vissa diskussioner har förekommit om det språkliga innehållet i de nationella proven i
matematik, och vissa menar att man bör minska mängden text för att ”renodla” matematiken.
Men är förhållandet mellan matematik och språk så enkelt att man kan separera matematik
och matematisk kunskap från språk? En diskussion kring läsförståelse och lösning av
matematiska uppgifter kan belysa denna fråga.
Här följer två exempel på uppgifter som kan klassas som matematiska men som också har
ett ganska stort allmänt språkligt innehåll:
A. Kalle har 5 kronor. Kalle har 3 kronor mer än Lisa. Hur mycket pengar har Lisa?
B. Markus, Anna och Eva plockade gurkor under sommarlovet. En dag plockade de 440
liter gurkor tillsammans. Markus plockade dubbelt så mycket som Anna. Eva plockade
40 liter mer än Markus. Hur många liter plockade Anna?
Ibland verkar argument finnas för att man behöver en viss typ av lässtrategi för att klara
av dessa typer av uppgifter, till exempel att man ska fokusera på vissa typer av nyckelord och
att läsa och ”översätta” bit för bit av texten. Dessa typer av strategier liknar försök att renodla
texten från vanligt språk och översätta texten till matematik, det vill säga att fokus ligger på
texten i sig, och egentligen inte på betydelsen av texten (möjligen fokuseras på betydelsen av
vissa delar av texten, men inte på texten som helhet)! Att översätta en text till exempel från
svenska till engelska ord för ord kan gå ganska bra, även om resultatet inte blir grammatiskt
korrekt så är det oftast förståeligt också i det nya språket. Att matematiken också är ett språk
brukar man höra ibland, så borde detta inte då också fungera för matematik? Ett försök till att
översätta uppgiftstexterna skulle kunna vara:
A. 5+3=8
B. 2x+40+x=440
En undersökning bland elever i år 9 visade att för uppgift B var det ganska många som
angav ovan nämnda ekvation för att lösa uppgiften (Nilsson, 2004). Detta försök till
översättning verkar fokusera på tre delar i texten: ”440 liter tillsammans”, ”dubbelt så
mycket” och ”40 liter mer”, som sedan kombineras till en ekvation. För uppgift A kan fokus i
texten ligga på ”5 kronor” och ”3 kronor mer”.
Problemet med dessa typer av speciella lässtrategier verkar alltså vara att de fokuserar på
texten i sig, och hur den ska ”översättas”, istället för att fokusera på den situation som texten
beskriver, och försöka ”översätta” den till matematik (se figur). Modellering kan man kalla
det sistnämnda, något som kräver en situation beskriven i vanligt språk eftersom att skapa en
modell just handlar om att översätta något ”utanför” matematiken till matematik.
Jag tror de flesta kan vara överens om att i princip alla elever i år 9 faktiskt har förmågan
att förstå situationen som är beskriven i uppgift B – texten är inte språkligt komplicerad.
Anledningen till att vissa inte klarar av uppgiften verkar alltså ha att göra med att de utvecklat
vissa (starkt begränsade) strategier för att ta sig an dessa uppgifter. Anledningen till att de
utvecklat dessa är antagligen för att de visat sig vara någorlunda effektiva för att lösa vissa
typer av uppgifter! (För mer diskussioner kring förhållandet mellan läsförståelse och
problemlösning, se Österholm, 2006.)
Dessa diskussioner kring lösning av uppgifter behandlar ju texter som beskriver en
situation ”utanför” matematiken som behöver ”översättas” till matematik. Men även läsning
av ”inommatematiska” texter kan vara intressanta att diskutera, vilket här kommer att göras
genom att diskutera läsning för att förstå och lära sig, och speciellt användningen av symboler
i texter.
Situation
Läsförståelse
Uppgiftstext
Modellering
Text till text
Matematik
Läsning för att förstå och lära sig matematik
Jag kommer här att beskriva och diskutera resultat från min egen forskning. Det blir dock en
mycket kortfattad beskrivning av de metoder och analyser jag genomfört i en specifik studie
från min licentiatavhandling (se Österholm, 2004).
I studien deltog gymnasielever från år tre på det naturvetenskapliga programmet samt
universitetsstudenter från ingenjörs-, civilingenjörs- och lärarutbildningar som alla läst några
matematikkurser på universitetet (i algebra och matematisk analys). Deltagarna fick läsa två
texter, en matematiktext om grundläggande begrepp inom gruppteori och en historietext om
de ryska revolutionerna. Matematiktexten fanns i två versioner, en som använde sig av
symboler och en som inte alls använde symboler. Hälften av deltagarna läste texten med
symboler och andra hälften den utan. Samtliga läste dock samma historietext. Innan de läste
texterna testades deras förkunskaper och efter testades deras läsförståelse.
Resultat från jämförelser mellan läsförståelse för de olika texterna visade likheter mellan
historietexten och matematiktexten utan symboler samt skillnader mellan matematiktexten
med symboler jämfört med de två övriga texterna. För dessa texter verkar det alltså inte vara
det matematiska innehållet som mest påverkar läsförståelsen utan mer hur detta innehåll
presenteras (med eller utan symboler). Jämförelse mellan de båda matematiktexterna visade
att läsförståelsen var bättre för texten utan symboler. Det verkar alltså som deltagarna läser
texten med symboler på ett speciellt sätt jämfört med andra texter, vilket i detta fall inte
verkar vara särskilt gynnsamt. Jämförelse mellan gymnasieelever och universitetsstudenter
visade också att det inte fanns någon signifikant skillnad mellan dessa avseende deras
läsförståelse för matematiska texten med symboler, men en bättre läsförståelse för texten utan
symboler bland universitetsstudenter. Det verkar alltså inte ske någon direkt förbättring av
läsning av texter med symboler efter några kurser på universitetet!
Likheten i läsförståelse mellan matematiktexten utan symboler och historietexten visar
också att det verkar finnas en potential att ta sig an matematiktexter på liknande sätt som
andra texter och fortfarande skapa förståelse. Kanske skulle denna allmänna typ av
läsförmåga också vara användbar för texten med symboler men att problemet för deltagarna
är att de inte ”aktiverar” denna, utan att de skapat en speciell typ av lässtrategi för texter av
denna typ (innehållande symboler). Kanske kan detta vara samma fenomen som diskuterades
för lösning av uppgifter, att läsningen sker på ett mer ytligt sätt där fokus ligger på vissa
nyckelord eller delar av texten och inte på helheten.
Symboler kanske är nyckeln till dessa diskuterade typer av (brister i) läsförståelse. Man
kan nämligen betrakta symboler på åtminstone två olika sätt; med fokus på symbolens
operativa betydelse (vad man kan och inte kan göra med symbolen, t.ex. avseende
räkneregler) eller med fokus på symbolens semantiska betydelse (precis som för vanliga ord,
att de står för något). I min egen undervisning på en inledande universitetskurs i matematik
noterade jag att en grupp av studenter verkade läsa symboliska uttryck med fokus på den
operativa betydelsen och inte alls på den semantiska. De var nämligen mycket osäkra på att
utläsa följande uttryck: {x ∈ Z : x > 0} , speciellt var det ingen som använde sig av ordet
”mängd” i sina utläsningsförsök. (Ett sätt att utläsa uttrycket är ”mängden av alla positiva
heltal”.) Men de klarade av att göra ganska mycket med sådana uttryck i olika situationer. Ett
fokus på operativa betydelser (av symboler eller i allmänhet) kan möjligen skapa ett fokus i
läsning på nyckelord som antas berätta vad man ska göra med de storheter eller uttryck som
beskrivs i texter. Detta kanske alltså inte bara är relevant när man läser uppgiftstexter utan
även vid läsning av texter som beskriver och förklarar något för att få läsaren att förstå och
lära sig något.
Behöver man lära sig läsa matematik?
Det kan vara på sin plats att som avslutning försöka besvara den fråga som tas upp i titeln.
Utifrån de diskussioner som här genomförts menar jag att svaret på den frågan måste bli: JA!
Det verkar finnas åtminstone två olika typer av läskunskap man kan fokusera på:
1. Att på ett effektivt sätt lära sig utnyttja mer allmänna läsförmågor även när det gäller
matematiska texter.
2. Att lära sig läsa symboler på flera olika sätt, speciellt att se symbolers relation till
vanligt språk och inte endast som delar av procedurer eller algoritmer.
Hur kan man då gå tillväga för att få elever och studenter att lära sig dessa saker? Som
inom all undervisning finns det tyvärr inget direkt svar på den frågan, men utifrån de
genomförda diskussionerna kan man i alla fall notera vissa saker.
För punkt 1 så kan man fokusera på att inte gå genvägen att försöka översätta text direkt
till matematik utan att gå vi den situation som texten beskriver, dvs. att fokusera också på
modellering. Detta ställer krav på uppgifter man ger till elever och studenter så att de inte
indirekt uppmuntrar en sådan genväg, dvs. att uppgifterna inte bör gå att lösa genom att på ett
ytligt sätt översätta texten i sig.
För punkt 2 så kan man fokusera på översättningar mellan symboliska uttryck och vanligt
språk. Detta kan ske både muntligt och skriftligt, men min egen erfarenhet pekar på att försök
till muntliga översättningar tenderar att göras för snabbt och därmed slarvigt, åtminstone
bland personer som inte är vana med dessa typer av övningar.
Avslutningsvis kan konstateras att om man ska lära sig läsa matematiska texter i
matematikutbildning, så bör också läskunskap lyftas fram i examinationer inom matematik
och inte bara tas för givet. Hur man kan göra detta har jag dock ännu inte undersökt, men kan
vara en intressant sak att gå vidare med…
Referenser
Nilsson, D. (2004) Att skriva en ekvation. En studie av hur elever i år 9 översätter en
matematisk problemtext till en ekvation. Examensarbete, Matematiska institutionen,
Linköpings universitet.
Tillgänglig via: http://www.diva-portal.org/liu/undergraduate/abstract.xsql?dbid=2548
Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (red.) (2002). Kompetencer og matematiklæring - ideer og
inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Rapport nr. 18 - 2002.
København: Undervisningsministeriets forlag.
Tillgänglig: http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf
Österholm, M. (2004). Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i läsprocessen.
Licentiatavhandling, Matematiska institutionen, Linköpings universitet.
Tillgänglig: http://www.ep.liu.se/lic/science_technology/11/34/digest.pdf
Österholm, M. (2006). A reading comprehension perspective on problem solving. Bidrag till
Madif 5, matematikdidaktiskt forskningsseminarium, 24-25 januari 2006, Malmö.
Tillgänglig via: http://www.mai.liu.se/~maost/publicerat/
913
Konst och matematik: Möbiusbandet
Ett Möbiusband får man genom att ta en pappersremsa och klistra ihop ändarna efter att ha
vridit ena änden upp och ner. Det är ett matematiskt begrepp som har Möbius' namn.
Möbiusbandet har inspirerad många konstnärer under 1900-talet. I föredraget använder vi
Möbusbandet för att illustrera hur matematiska begrepp hjälper oss att "se" på konst och hur
konst hjälper oss att illustrera matematiska begrepp.
Milagros Izquierdo är docent vid Matematiska institutionen, Linköpings universitet. Hon
forskar inom geometri och topologi. Hon har medverkat flera gånger som föreläsare i kurser
om konst och matematik.
Föreläsning
Gy Högsk Lärutb
Dokumentation
Möbiusbandet är, topologiskt, en icke-orienterbar yta med en randkomponent. Man bygger ett
Möbiusband på följande sätt (konstruktionen beskrevs av A. F. Möbius i “Ûber die Bestimmung
des Inhaltes eines Polyëders”, 1865 ): Tag en pappersrektangel med hörn A, B, A’ och B’.
Limma ihop kortsidan AB’ med kortsidan BA’ så att A klistras ihop med A’ och B med B’.
A’
B’
B
A
I differentialgeometri ser vi följande definition:”Ett Möbiusband är ytan som genereras av en
regel som glider längs en cirkel (centrala cirklen) och samtidig roterar kring dess mittpunkt π
radianer”. Observera att vinkelhastigheten är halva glidhastigheten.
M. Bill “Endless Ribbon” 1935. Första skulpturen om Möbiusbandet.
En egenskap hos Möbiusbandet är att det har en enda randkomponent som vrider sig två varv
kring centrala cirkeln. Ordet topologi förekom först 1847 i Listings studie av matematiska objekt
som uppkommer som en följd av fenomenet ovan: de så kallade palodroma ringarna. Det var
Listing som först publicerade om Möbiusbandet i ”Der Census räumlicher Complexe”, 1861.
Listing, liksom Möbius, var Gauss’ student. Topologins födelse skedde inom de matematiska
kraftansträngningarna att beskriva rummen som modellerar den fysiska världen. Studien av
“rumsliga komplex” (ännu ej topologiska rum) är relaterad till framsteg inom elektromagnetism.
Intressantaste egenskapen hos Möbiusbandet i förhållandet till konst är att det är icke
orienterbart, dvs det har en enda sida. Denna egenskap har gjort av Möbiusbandet det
matematiska föremalet som används mest utanför matematikvärlden: Möbiusbandet har inspirerat
konstnärer, och används i industrin för att förlänga spelningstid i videoband och för att minska
slitaget av transportband och inspelningsbara band. Första Möbius-molekulen syntetiserades
1982. År 2000 publicerade japanska forskare i Nature syntet-iseringen av första kristallen med
Möbiusbandets struktur.
Bästa sättet att uppfatta Möbiusbandet är att bygga det, kanske p.g.a detta har Möbiusbandet
lockat skulptörer: man uttrycker dynamiken, evigheten och växelverkan mellan det som ser ut
att vara olika världar (2 sidor) men som i verkligheten är en enighet (1 sida).
Dessa foton visar olika företällningar av Möbiusbandet:
J. Robinson ”Inmortality”.
R. Wilson “Möbius Strip”.
J. de Rivera “Infinity”
I litteraturen inspiererar icke-orienterbarheten hos Möbiusbandet till ambivalens och brist på
kommunikation.
Lewis Carroll var den förste att beskriva Möbiusbandet inom konst: i ”Sylvie and Bruno
concluded”, 1868. I boken förklarar Carroll hur Herr Professor lär Sylvie att med två näsdukar
konstruera ett klot som innehåller universum. I själva verket är klotet ett projektivt plan.
Projektiva planet är en annan icke orienterbar yta, Att projektiva planet innehåller världen ser
man tydligt i renässansens och Dalis måleri med användningen av perspektivitet. Idag används
projektiva planet till CAD. Herr Professorns två näsdukar är en skiva och ett Möbiusbandet
ihopklistrade längs gemensamma randen. Det finns få exempel på Möbiusbandet inom måleri.
Den målare som antagligen mest har använt Möbiusbandet är Oscar Reutersvärd (1915-2002).
Med Möbiusbandet ville han uttrycka de två ihopflätade sidorna som bygger en unik helhet i
naturen och framförallt i människan. Här en målning av Escher.
Möbiusbandet är vitt använt inom grafisk design p.g.a. att det, till skillnad från en cylinder,
framkallar en dynamisk och obegränsad bild. Första logotypen med Möbius-bandet var den för
“ren ull” från 1920. Som vi ser ovan är logotypen för återvinning och kretslopp ett Möbiusband
(sedan 1970), liksom Lärarförbundets.
Exempel på Möbiusbandet inom musik är: “Möbius Strip Tease” av N. Slonimsky, och stycken i
Schönbergs “Style and Idea”. “Crab Cranon” i “Musical Offering” av J. S. Bach är ett annat
exempel.
Nyligen har teoretiska studier av möjliga användningar av Möbiusbandet inom arkitektur
presenterats: man tolkar att Möbiusbandet har en enda sida genom relationen mellan inre och
yttre och mellan intimitet och omgivning. Den förste arkitekt som ritade ett Möbiusband var
Eiserman (dekonstruktivismens grundare), det så kallade Max Reinhardt Haus (1993, ej byggt) i
bilden nedan.
De sista två skulpturerna (ovan och nedan till höger) illustrerar en annan matematisk egenskap
hos Möbiusbandet: det är en minimalyta, den yta med given rand som har minsta arean, exempel
på sådana ytor är såpbubblor. Minimal area innebär att skillnaden mellan ytspänningarna på de
båda siodrna är minimal. Nedan till vänster visar vi datorgrafik som använts för att tillverka
skulpturen.
Referenser
C. P. Bruter (ed.) Mathematics and Art, Springer-Verlag, 2002
L. Carrol, Sylvie and Bruno Concluded, Dover 1988,
C. Fadiman, Fantasia Mathematica, Springer-Verlag, 1997.
J. Fauvel, R. Flood, R. Wilson, Möbius and his Band, Oxford Univ. Press, 1993.
D. Hofstadter, Gödel Escher and Bach, Basic Books, 1999..
V. Petresin, L-P. Robert, The double Möbius Strip Studies, Nexus Network Journal, 2002
Pressley, Differential Geometry, Springer-Verlag, 2001.
Schoenberg, Style and Idea, U.C. Press, 1989.
J. Thulaseedas, R. Krawczyck, Möbius Concepts in architecture, Proc. ISAMA 2003
http://www.cpm.informatics.bangor.ac.uk/
http://pantheon.yale.edu/~jar55/math/project/
http://www.sckans.edu/~bridges/ (International Conference on Maths and Arts)
http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html
http://www.math-inf.uni-greifswald.de/mathematik+kunst/moebius.html
http://www.enc.org/thisweek/calendar/unit/0,1819,136,00.shtm. (Bra skolmatematik)
http://www.uib.no/People/nfytn/mathgal.htm
http://web.meson.org/topology/mobius.html
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7773/mobius.html
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_05_27_02.html
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_11_01.html
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_11_4_00.html
http://www.sciencenews.org/articles/20031101/mathtrek.asp
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_9_4_00.html
http://home.att.net/~mathtrek/muse0199.htm
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_7_10_00.html
914
Algebra på Kubik
Vi vill visa exempel på hur vi försökt lära högstadieelever att tänka i generella och abstrakta
banor. Under 5 år har vi arbetat med att förbereda högstadieelever för teoretiska
gymnasieprogram. I matematik arbetar vi med att förstärka aritmetiken genom att först
medvetandegöra eleverna om deras kunskaper och brist på kunskaper och sedan få dem att
själva vilja lära sig det de behöver. För att göra matematiken rolig arbetar vi med kluringar
och för att lyfta dem till ett plan över aritmetiken lär vi dem algebra. För oss är algebra att
hitta mönster i olika matematiska sammanhang och att uttrycka dessa mönster med hjälp av
tabeller, diagram, figurer av olika slag och algebraiska uttryck. Vi arbetar med mängdlära,
talteori, geometri och funktionslära. I arbetet försöker vi sätta saker av olika slag i deras
händer för att förstärka inlärningen. Arbetet får de redogöra för muntligt i liten utsträckning
men framför allt skriftligt. De arbetar i grupper om 2-4 elever, men varje elev måste skriva sin
egen redogörelse för arbetet. Det blir som en slags laborationsrapport. Vi utvärderar flitigt för
att få eleverna att deltaga i utvecklingen av kursen. Utvärderingsfrågorna är enkla. Vad har du
lärt dig idag? Har du fått den hjälp du behöver? Hur har samarbetet fungerat? Har du hjälpt
någon? Har du själv fått hjälp? Hur kan vi förbättra uppgiften? Vad var svårt? Vi bestämmer
grupperna, men de varierar.
Gerd Ripa och Ulla Dellien, lärare i matematik vid Kubikskolan i Helsingborg
Föreläsning
Gr Gy
Dokumentation
Exempel på uppgifter
Venndiagram med olika svårighetsgrad för åk 7 och åk 9.
Arean av rektanglar med samma omkrets.
Att omvandla mellan svenska språket och det algebraiska språket
Mönster med hjälp av kvadrater.
Triangelmönster
Att lägga polygoner
Symmetrilinjer
Linjära funktioner med hjälp av vägning och längdmätning
Exponentiella funktioner med hjälp av A3-papper och studsbollar
Mönster med liksidiga trianglar
Elevsynpunkter
Man lär sig tänka logiskt. Man ökar sin förmåga att reflektera och dra slutsatser. Man lär sig
göra sina egna formler. Man ser på matte på ett nytt sätt. Man lär sig formler man kan
använda i vanliga livet.
Resultat
De elever som har svårigheter i matematik tycker oftast att det är svårt, men när en elev
kommer på ett mönster, så är det en oerhörd förstärkning av självkänslan och en stor glädje
för den eleven.
Vi har försökt att analysera resultatet på nationella prov för att se om algebrakursen haft
någon betydelse. Vi tycker oss se att våra elever har mycket bättre resultat än medeleleven i
uppgifter av algebratyp. I geometri har de inte så bra resultat, så det blir väl nästa kurs.
915
Varför räknar vi så mycket i geometri?
Tyvärr så sysselsätter vi våra elever med beräkningar av allehanda slag även på
geometrilektioner. Detta skymmer sikten mot idéer inte enbart inom geometrin utan även den
övriga matematiken. Geometrin är nog mest lämpad som avantgarde mot ändrad syn på
matematikämnet.
Pesach Laksman, lärarutbildare vid Malmö högskola.
Föreläsning
Gs Gy Vux
Dokumentation
Genom tiderna har det bedrivits olika sorters geometriundervisningar. Realskolans byggde på
den euklidiska traditionen och där poängterades väldigt starkt stringens. Detta resulterade i
elitundervisning och elever från kunskapsmässigt mindre gynnade miljöer kände inte igen sig
i den strängt vetenskapliga tankesfären. Motreaktionen slog istället alltför kraftigt åt andra
hållet och urvattnade så gott som samtliga idéer som bär det här matematiska området. Enligt
van Hiele bör man i viss ordning förflytta sig på kunskapsnivåtrappan. Förr hade man alltför
bråttom att hamna på det högsta steget och obetänksamt hoppade över ett och annat steg av de
tidigare. Dagens situation är det rakt motsatta. Man stannar i nedre delen av trappan av någon
sorts missriktad omtanke om eleverna. Att inte ta tillfället i akt och höja kunskapsnivån kan
också vara ödesdigert för begreppsbildning.
Nåväl, vilka är dessa steg. Det första steget heter igenkänning och hör på förskolorna och i de
tidigaste skolåren. Det handlar om att särskilja olika former. Man kan känna igen exempelvis
rektanglar men kan inte redogöra för dessas egenskaper. Nästa steg som heter analys sysslar
med beskrivning av enskilda egenskaper. Då kan eleven konstatera vinklarnas storlek,
sidornas längd, ta reda på vissa figurers areor. Aktiviteter begränsar sig till mätningar och
beräkningar. Tyvärr fördröjer man elever på den nivån genom hela grundskolan. Detta är
troligtvis anledningen till varför det blir svårt om inte omöjligt att lyfta dem till nästa nivå.
Abstraktionsnivån handlar bland annat om olika begrepps relation till varandra. En kvadrat
har samma egenskaper som rektanglar och därför kan ses som sådan. Utan abstraktionsnivån
blir det förstås vanskligt att nå den deduktiva nivån. Den sistnämnda nivån är ingenting som
är omöjlig för en elev från grundskolans senare år. Att arbeta på den höjden och kunna
rättfärdiga sitt kunnande ger tillfredställelse utan like. Kunskap känns då inte som belastning
utan som befrielse.
Å andra sidan kan vi fråga oss vad det är som driver människor till erövringar av ny kunskap.
Utan tvekan är det nyfikenhet. Men vi måste veta vad vi är nyfikna på. Vi måste med andra
ord få idéer om det som vi kommer att uppleva som intressant. Skapandet av idéer sker
mestadels intuitivt. Den matematiska intuitionen går att utveckla och geometrin bjuder på
rikliga möjligheter. Det är nog koppling till visuella intryck som gör geometrin lämpligare för
ändamålet än andra matematikområden. Matematiska satsers tillblivelse har startat från
upptäckter och intuition. Deras verifiering sker däremot med stöd av strikt logiska regler. Vill
vi få eleverna till den högsta nivån, vilket bör betraktas som självklart, får vi inte försumma
de tidigare.
Föredraget skall koncentrera sig på processer från beskrivning till definition, från intuitiv
iakttagelse eller upptäckt via deduktion till sats och bevis. Vid bestämmande av π skall dess
irrationella karaktär beaktas. Begrepp som proportionalitet och kontinuitet skall få sitt
naturliga berättigande. Vi skall väcka frågan om godtycklig rektangel går att avbilda på en
dubbelt så stor/liten med avseende på både omkrets samt area.
Målet med matematikundervisningen bör vara att skapa tankestrukturer. Goda
räknefärdigheter kommer på köpet. Har man siktet inställt på det senare målet når man det
paradoxalt inte.
916
Mål, ämnesintegration och undervisningslinjer i ett F-9perspektiv
Fridaskolan är en personalägd skola som idag driver fristående grundskolor med allmän
inriktning i Uddevalla, Trollhättan och Vänersborg. På Fridaskolan i Vänersborg arbetar
lärare och elever från förskoleklass till år 9 med ett projekt i matematik. Vi startade projektet
2003 och i projektgruppen som leder arbetet ingår tre lärare med inriktning på olika åldrar
samt utvecklingschefen på Fridaskolan.
Alla elever från förskoleklass till och med år 9 har arbetat med ett antal rika problem.
Problemen har varit kopplade till Skolverkets analysscheman i matematik (2000,2003).
Matematikansvariga pedagoger har diskuterat bedömning och undervisningslinjer utifrån
elevlösningarna.
Eva Widell, MA/NO-lärare, år 6-9 vid Fridaskolan i Vänersborg.
Lena Larsson, matematikansvarig, år F-5 vid Fridaskolan i
Vänersborg.
Jan Blomgren, utvecklingsledare vid Didaktik Centrum AB och
lärare 6-9 vid Fridaskolan i Vänersborg.
Workshop
Gr
Dokumentation
Ni får pröva på hur man med hjälp av målen i de nationella styrdokumenten arbetar fram rika
matematikuppgifter och utvecklingslinjer. Vi visar hur elevprestationer används för att
utveckla lärarnas gemensamma bedömningsgrunder och hitta kritiska punkter i elevernas
kunskapsutveckling. Vi visar också hur vi skapar tillfällen till ämnesintegration och med stöd
av detta utvidgar vi läromedelsbegreppet och förändrar matematikundervisningen.
Projektet vi redovisar och använder oss av i vår workshop är tydligt kopplat till de mål som
finns i de nationella styrdokumenten. Projektmålen riktar sig dels mot pedagogernas arbete
med att förändra sin undervisningspraktik, dels mot eleverna som fått arbeta med uppgifter
som utmanar dem och ger dem en delvis ny roll i klassrumssituationen. Tydligare
målstyrning, ett större elevansvar och att utveckla elevens lust att lära över tid hör till målen
för projektet med inriktning mot eleven. Arbetet med att ta fram rika problem och pröva dem i
olika elevgrupper har varit mer kopplat till de mål för projektet som rör pedagogerna, d.v.s.
att förändra system och innehåll i undervisningen samt metoder och modeller för
skolutveckling. Lägesanalysen som projektet inleddes med och alla konferenser som
pedagogerna deltagit i skapade en plattform och ett forum för erfarenhetsutbyte. En del av
skolutvecklingstanken är att pedagoger ska samverka i ett strukturerat idéutbyte och via
arbetet med eleverna i klassrummet lära nytt samtidigt som man förändrar och utvecklar sin
undervisningspraktik. De erfarenheter vi gjort via arbetet med att ta fram rika problem, som
sedan använts i elevgrupper från F-9 och i ett stort antal kunskapsområden där
ämnesintegration och mål styrt delar av matematikundervisningen, ligger till grund för det vi
kan redovisa i vår workshop.
När lägesanalysen genomförts arbetade projektgruppen vidare med att formulera ett antal s.k.
rika matematikproblem.
Utifrån Skolverkets analys – och diagnosschema (2000-2003),
formulerade vi fyra problem – ett för varje område i Skolverkets materiel – som skulle kunna
lösas av elever från förskoleklass till år 9:
•
•
•
•
Taluppfattning – ”Bullbråk”, uppgift
Symboler, mönster och samband – ”Innebandyturnering”, uppgift
Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband – ”Parkeringsplats”, uppgift
Sortering, statistik och sannolikhet – ”Gångbar statistik”, uppgift
Vid genomförandet fick pedagogerna förändra och anpassa problemen efter elevernas ålder
och mognad. Samtliga elever i varje årskurs arbetade med problemen. Så gott som alla elever
i skolan från förskoleklass till skolår 9 lämnade in lösningar på de fyra problemen.
Alla pedagoger som ansvarade för matematikundervisningen från förskoleklass till år 9
träffades vid sex tillfällen för att diskutera elevlösningarna. Tillsammans fick vi en god
uppfattning om hur elever i olika åldrar tagit sig an uppgifterna, vilka begrepp eleverna
använde, vilka sätt de löste problemen på och vilka olika nivåer av kunnande vi kunde
urskilja. Dessa diskussioner var mycket uppskattade av pedagogerna och givande för
förståelsen av hur elevers kunnande utvecklas från förskoleklass till år 9. En ökad förståelse
för hur viktigt det är att begrepp och färdigheter är väl förankrade inför nästa utvecklingssteg
framkom också i diskussionerna. Genom att jämföra olika elevlösningar kunde skillnader och
variationer i hur eleverna löst problemet synliggöras. Matematikstrategier, begreppsanvändning och olika vägar att nå en godtagbar lösning blev föremål för diskussion i såväl
elevgrupperna som pedagoggruppen. Att påvisa olika kvaliteter i kunnandet var ett av
huvudsyftena med insamlingen av elevlösningar. Via diskussionerna med pedagogerna kunde
vi i projektgruppen använda elevlösningarna för att identifiera vilka kunskaper eleverna
behöver ha för att nå målen i år 5 och 9. Syftet var att med hjälp av elevlösningarna försöka
skönja en utveckling när det gäller begrepp, färdighet och kompetens, det vill säga hur
kunskapsutvecklingen breddas och fördjupas över tid. Det vi gjorde var att kartlägga det vi
kallar för undervisningslinjer. En undervisningslinje går att förstå som en tydlig riktning i
undervisningen där man utgår från mål att sträva mot i planeringen av undervisningen för att
sedan i de genomförda elevprestationerna kunna identifiera kunskapskvaliteter som motsvarar
kravnivåerna i mål att uppnå.
Så här kan ett uppgiftsblad se ut (förenklat för att visa strukturen);
Parkeringsproblem
1. Ett antal frågor presenteras av pedagogen för elevgruppen. Pedagogen anpassar det
hela till den elevgrupp som skall arbeta med det rika problemet.
Uppgiften i det här fallet var att konstruera en parkeringspalts för minst 10 bilar.
”Hur stor plats behöver en bil på parkeringsplatsen?” (exempel på fråga)
2. Mål att sträva mot ur Kursplaner 2000 (angavs här)
3. Lösningsnivåer som pedagogen skulle leta efter i elevprestationerna.
t ex ”Beskriver skala med vedertagna symboler” (angavs här)
4. Tips på material och tillvägagångssätt vid genomförandet i elevgrupp.
5. Mål att uppnå år 5 och 9 ur Kursplaner 2000 (angavs här), samt koppling till
Skolverkets Analysschema.
Vi anser att arbetet med öppna och rika problem kan vara en bra väg till att förändra arbetssätt
och innehåll i matematikundervisningen. Att arbeta med rika och öppna problem upplevdes
som lustfyllt och inspirerande av både elever och pedagoger. Motivationen ökade i och med
att fler elever var aktiva och engagerade jämfört med mer traditionellt arbete i läroboken.
Intressant var också det gemensamma lärande som uppstod som en följd av att alla elever var
involverade i att lösa samma typ av problem. Utbyte av lösningsstrategier och goda exempel
på färdiga produkter i form av olika ”svar” stärkte många av de elever som annars inte kan,
vill eller törs. Elever med ett genuint intresse för matematik fick ökade möjligheter till
stimulans och tillfälle att nå nya och högre kunskapsnivåer. Positivt var också att många
elever långt efter genomförandet kunde redogöra för hur de arbetat med uppgifterna och att de
i sina s.k. elevportföljer hade dokumenterat och värderat sina prestationer.
Ur ett skolutvecklingsperspektiv kunde pedagogerna konstatera att det var mycket positivt att
alla elever från förskoleklass till år 9 arbetade med samma typ av matematikproblem. Den
lärarsamverkan kring undervisningsinnehållet arbetet med uppgifterna gav upphov till ansåg
man stärka både den egna självkänslan och ämneskompetensen. Pedagogernas ökade kunskap
om elevernas förförståelse och hur det matematiska kunnandet byggs upp över tid under
elevens skolgång är exempel på nyvunnen kunskap enligt flera pedagoger. Man kan med den
kunskapen lättare lämna läroboken och i stället utgå från målen och elevernas förkunskaper
när man planerar och genomför undervisningen. Pedagogerna var också överens om att i
framtiden ägna mer tid i undervisningsgruppen åt att lyfta fram och diskutera kvaliteterna i
elevprestationerna samt låta eleverna ta del av olika metoder och lösningsstrategier. Att
fortsätta med samma problem och ge det mer komplexitet kan vara ett sätt att få elever att
byta till en bättre och mer kvalificerad lösningsmetod ansåg man. I arbetet med de
gemensamma rika problemen kunde vi i projektgruppen se hur ett enda rikt
matematikproblem kan ge förståelse för många olika undervisningsmål inte minst om det
kopplas till det ämnesövergripande arbetet inom de s.k. ”områdesarbetet”.
Ämnesintegration
Vår syn på och hur vi arbetat med ämnesövergripande studier där matematik ingår, som en
naturlig del i det som skall läras, låter sig inte beskrivas kortfattat. Vi är övertygade om att det
krävs övningar i vår workshop med därtill hörande exempel för att kunna förstå hur vi arbetar
med ämnesintegration i större kunskapsområden, med vår terminologi, områdesarbete. När vi
planerar ett områdesarbete utgår vi från mål att sträva mot i läroplanen och de kursplaner som
ingår och sammanför dessa samt mål att uppnå i en områdesbeskrivning som innehåller en
tidsplan, mål och förslag på metoder och aktiviteter. Arbetet är målstyrt och eleverna
involveras i planering och genomförande. Arbetet leds av ett antal pedagoger som arbetar i
arbetslag. Läroplanens kunskapssyn och hur den sedan konkretiseras i kursplanerna ligger till
grund för varför vi anser att ämnesintegration behövs för att utveckla elevernas
matematikkunskaper. Nedanstående citat visar på vikten av att ha en helhetssyn på lärande
och kunskap.
”Uppdelningen i ämnen är ett sätt att organisera utbildningens innehåll, men avsikten är inte
att skapa gränser mellan dem. Samverkan mellan ämnen är nödvändig för att möjliggöra en
allsidig och meningsfull kunskapsutveckling i enlighet med läroplanens värdegrund, mål och
riktlinjer” (ur inledningen, Kursplaner 2000, Skolverket). ”Matematik har nära samband
andra skolämnen. Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden och får därmed underlag för
att vidga sitt matematiska kunnande”. (Kursplanen i matematik, Skolverket 2000).
Visst väcker det tankar om orienteringskartan är idrott eller matematik? Eller om linjalen och
skalan på slöjden är matematik?
Lästips:
Johansson, H (2002) Kompetens och färdighet – om långsiktiga mål för lärande. Tidningen
Skolbarn nr 3 årgång 12
Myndigheten för skolutveckling. (2003), Baskunnande i matematik,
best.nr:U03:013
Shepard, L. (2000). Utvärdering som källa till insikt och hjälp. Pedagogiska Magasinet nr
4/2000, 36-42.
Skolverket, (2000a). Analysschema i matematik - för åren före skolår 6,
best.nr 00:588
Skolverket, (2000b). Diagnostiska uppgifter för användning i de tidiga skolåren,
best.nr 00:589
Skolverket, (2001-2002). Lusten att lära - med fokus på matematik, best.nr 02:757
Skolverket, (2003a). Analysschema i matematik - för skolår 6-9, best.nr 2003:797
Skolverket, (2003b). Diagnostiska uppgifter för skolår 6-9, best.nr 2003:798
Ska vi inte lägga till ytterligare referenser, t ex:
Hög tid för matematik, NCM (2001)
917
Varför förenkla när vi kan förkrångla?
Ur kursplanen för matematik kan man läsa om att elever bland annat skall få uppleva glädje,
erfara något om matematikens skönhet, diskutera problemlösning, utforma matematiska
modeller, få insikt i hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas. Dessa är alla
aspekter som levandegör gymnasiematematiken. I föreläsningen visar jag ett antal konkreta
undervisningsexempel kopplade till Kurs A-E där jag väver in dessa aspekter med hjälp av
arbetsformer så som laborationer och dialoger.
Anette Jahnke, arbetar som gymnasielektor i matematik vid Hvitfeldtska gymnasiet och på
Nationellt Centrum för matematikutbildning i Göteborg.
Föreläsning
Gy
Dokumentation
Information om min föreläsning på Matematikbiennalen 2006 kommer att finnas på min
hemsida http://www.anettejahnke.nu
918
Rosengård kan - Aktiviteter för år 6-9
När vi arbetat med algebra har vi märkt våra elevers enorma ”rädsla för det obekanta”. Vi
anser att algebra bör introduceras via arbete med mönster. Tyvärr ges detta inte stort utrymme
i våra läromedel 6-9. Därför ser inte eleverna det som viktigt. Vi har dock fört in egna
mönster-uppgifter, och sett hur elever kan utvecklas när de upptäcker och beskriver på olika
sätt. Vi, och ett par elever, låter er prova några Aktiviteter som vi utvecklat i våra klasser.
Petra Svensson, lärare 6-9.
Majvi Zander, specialpedagog.
Elever åk 6-9.
Rosengårdsskolan, Malmö.
Workshop
Gs
919
Om undervisning om negativa tal
Negativa tal är vanligen förekommande i samband med temperaturangivelser och
saldoangivelser vid penningtransaktioner. BERÄKNINGAR där negativa tal ingår, är inte
vanliga i vardagliga sammanhang. I skolans matematikundervisning och angränsande
områden möter alla elever uppgifter där beräkningar med negativa tal ingår. Undervisning
inom detta område upplevs av en del lärare som ganska problematisk. Förslag på tänkbara
undervisnigsmodeller kommer att framläggas under föreläsningen. Inslag av workshop.
Ingvar O. Persson, universitetslektor i matematikämnets didaktik vid Lärarhögskolan i
Stockholm. Persson har har bl.a intervjuat ett antal matematiklärare om deras uppfattningar
om undervisning inom det aktuella området.
Föreläsning (med inslag av workshop)
Gr Gy Vux
Dokumentation
Tal som är mindre än noll, kallas negativa tal. Namnet kommer från latinets negare som
betyder förneka, upphäva. I vardagslivet används dessa tal bland annat för beteckna
temperaturer (köldgrader i Celsiusskalan) och saldoställning inom bankvälden. Begreppet
uppfattas inte som speciellt problematiskt idessa sammanhang. Beräkningar där negativa tal
ingår är mycket sällsynta i vardagslivet. I olika vetenskapliga sammanhang används negativa
tal på olika sätt. För att kunna utföra och förstå beräkningar med dessa tal, undervisar vi om
dem i skolans matematikundervisning på såväl högstadiet som gymnasiet.
Troligen är det indierna som först skapat begreppet negativa tal. För varje tal, t.ex. 5 införde
de ett nytt tal (-5). Lars Nystedt skriver i boken ”På tal om tal” att under 1500-och 1600-talen
kände de flesta matematiker till negativa tal, men vägrade att acceptera dem som tal eller
rötter till ekvationer. Först för cirka 200 år sedan accepterades de negativa talen fullt ut.
En strävan är att vid beräkningar där negativa tal används, ska samma räkneregler gälla som
vi beräkningar med positiva tal.
Ett problem med de negativa talen, visar sig i följande påpekande av matematikern Arnauld:
Kvoterna 1/(-1) och (-1)/1 ger båda resultatet (-1). Arnauld påpekade det märkliga i att
ett större tal dividerat med ett mindre kan ge samma resultat som ett mindre tal dividerat med
ett större.
Mot denna bakgrund är det förståeligt att räkning med negativa tal ibland kan uppfattas som
problematiskt i skolans matematikundervisning.
Min erfarenhet är att lärare som enbart ger regler för hur beräkningar med dessa tal ska
utföras, ofta inte uppfattar att området är problematiskt. I sådana fall har alla anspråk på att
eleverna ska kunna förstå vad det handlar om getts upp.
För egen del blev jag undervisad på detta sätt. ”Gör så här så blir det rätt” var en
återkommande instruktion inom såväl detta som andra områden.
Ibland görs försök att förklara speciella beräkningar. Gemensamt för många
förklaringsmodeller är, att de har begränsad räckvidd och inte är generella. Vissa beräkningar
går att förklara andra inte. Ibland väljs förklaringsmodeller från andra områden t.ex. retorik.
Mitt problem med dessa är att jag inte kan se att de förklarar någonting om beräkningar med
negativa tal.
Minustecknets olika betydelser kan vara en av orsakerna till problemen för den som vill
förstå. Vi använder minustecknet dels som subtraktionstecken, dels som beteckning för
negativa tal . En tredje betydelse är när minustecknet används för att beteckna motsatt tal.
Dessa olika betydelser, är numera synliga vid beräkningar med miniräknare. Minustecknets
olika betydelser har lagts in på olika tangenter. Vid användningen av sådana räknare är det en
fördel att kunna hålla isär de olika betydelserna.
Under föredraget är avsikten att peka på några svårigheter och möjligheter i undervisningen
inom detta område.
Ett par undervisningsmodeller som jag använder kommer att presenteras för
seminariedeltagarna.
I samband med detta kommer också en del kompletterande material att utdelas.
920
Vad kan man finna på NCM:s och Nämnarens webb?
Vilka resurser för lärararbetet kan man finna på och genom NCM:s och Nämnarens
webbplatser? En presentation av aktiviteter, problem, artiklar och webblänkar som kan vara
till nytta och glädje. Möjlighet kommer att finnas att lämna synpunkter och önskemål.
Anders Wallby, webbredaktör på NCM.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Ofta när vi berättar om vad som finns på våra webbplatser, får vi reaktionen ”Så mycket! Det
hade jag inte en aning om …” Och så är det nog, ncm.gu.se och namnaren.ncm.gu.se är
ganska välfyllda. Frågan är bara, hittar du det du söker efter och finns det som du behöver och
letar efter?
När vi som arbetar med webbplatserna har byggt upp dem, har vi utgått från vad vi ”tror”
att lärare skulle ha nytta av. Därför är det av stor vikt att vi får feedback från användarna.
Synpunkter, allt från ”det där var väldigt nyttigt” till ”varför i hela världen har ni lagt ut det
där?”, är väsentliga för att våra webbplatser ska kunna utvecklas på rätt sätt.
Vad kan man finna – några exempel
På Nämnarens webbplats ges information om innehållet i aktuellt nummer. Vi lägger också ut
vissa delar av varje nummer, t ex Problemavdelningen och Uppslaget, att användas fritt av
alla. All information runt Kängurutävlingen hittar du också här. Alla tidigare års problem
finns här att hämta ner och det är verkligen en resurs väl värd att undersöka och ta del av.
Under advent bör man heller inte missa Nämnarens adventskalender. Med hjälp av
artikeldatabasen kan man enkelt söka bland artiklar från tidigare nummer. Även våra två
övriga tidskrifter Normat och Nomad har egna webbplatser med information om aktuella och
tidigare publicerade artiklar.
Under rubriken Strävorna kopplar vi kursplanens mål att sträva mot till artiklar från
Nämnaren, aktiviteter, problem, webblänkar mm. Strävorna är en webbtjänst vars syfte är
tvåfalt. Dels att tjäna som hjälp i arbetet kring mål att sträva mot och dels att vara
utgångspunkt för samarbetsprojekt lärare emellan. Vår erfarenhet är att det är mycket
utvecklande att tillsammans med kollegor arbeta med att ta fram och förfina aktiviteter och
problem för publicering på Strävorna.
Vi lägger ner en hel arbete på att följa och informera om aktuella frågor och nyheter som
rör om matematikutbildning. Resultatet av detta arbete kan du dagligen ta del av under
rubriken Aktuellt på NCM:s webbplats. Länkar till senaste årets nyheter om studier, satsningar
och reformer om matematikutbildning har vi samlat på en särskild sida under rubriken
Aktuellt: studier, satsningar och reformer på webbplatsen första sida.
Det blir allt vanligare att vi kompletterar böcker med webbmaterial. Innehållet i vår nya
bok Matematikverkstad följs nu upp med olika typer av webbstöd. Det kan vara sånt som inte
får plats i boken, sånt som kan tänkas förändras och utvecklas över tid och därför passar bättre
på webben.
I våra lokaler i Göteborg finns en matematikverkstad som man kan besöka. Självklart är
det inte lika lätt för alla. För att i högre grad göra matematikverkstaden tillgänglig för alla
pågår arbete med att utveckla och publicera aktiviteter, problem och spel från verkstaden på
nätet. Du hittar dem under rubriken Matematikverkstad, men även på Strävorna.
Via Länkbiblioteket hittar du till andra webbplatser som vi tror kan vara till nytta och
glädje. Besök t ex Nrich på adress www.nrich.maths.org.uk/, en rik källa till material att
använda i matematikklassrummet.
Under rubriken Bibliotek informerar vi om vårt nationella referensbibliotek. Här ges också
stöd till litteratursökning och information om nya tidskriftsartiklar och nyinköpt litteratur.
På webbplatsen finns också information om våra Publikationer, var de kan beställas och i
flera fall laddas ner utan kostnad.
Under rubriken Konferenser finns aktuell information om kommande och genomförda
konferenser kring matematikundervisning – nationella, nordiska och internationella.
Och det finns mer …
Välkommen till seminariet och till våra webbplatser! Utforska, upptäck, använd och kom med
synpunkter och förslag till förbättringar i innehåll och form!
Anders Wallby
[email protected]
921
Skapa liksidiga polygoner med origami
I origami finns det gott om matematik. Origamiteknik ersätter linjal och passare så att man
utan verktyg kan göra mycket. Men inte bara det. Man kan se och förstå geometri och teori.
Origami är en bron till både geometri och algebra.
Norio Torimoto är Origami Master av Nippon Origami Association, industridesigner och
innovatör.
Workshop
Gr Gy
Dokumentation
Origami betyder "vika papper". Vad inom matematiken kan man vika fram?
1
Sträckor
sträckor
1) Skapa sträckor 2) Dela sträckor i olika proportioner 3) Addera
2
Vinklar
1) Skapa vinklar genom att dela och addera vinklar 2) Hitta lika vinklar
3) Tredela valfri vinkel (Det går inte med passare och linjal!!)
3
Konstatera symmetri eller kongruens hos figurer
genom att stapla två eller flera figurer.
4
Besvara matematiska frågor med hjälp av punkterna 1,2,3.
5
Psykologisk effekt för elever och studenter av den tekniska
fram på detta sätt.
bevisning som kommer
För teknisk högskola är punkterna 1 - 4 relevanta.
För lärarhögskolan är också punkt 5 viktig.
Nu ska vi börja att skapa en liksidig triangel
Vik så här 1 till 3.
Nu fick du
en 30ﾟ
och en 60ﾟ
vinkel
Nu har du
en färdig
liksidig triangel
För att göra en liksidig niohörning behöver man skapa vinkeln 40ﾟ. Hur gör man det?
1
2
På bild 2 finns det två kvadrater. Högra kvadraten viker man som på förra sidans bild 1 - 3.
4
3
Bilden är förstorad
5
Om 30ﾟ vinkeln kunde delas tre lika vinklar fick vi lätt
40ﾟ. Det går inte med passare men med origami kan
valfri vinkel tredelas i. Jag ska visa er hur på
matematikbiennalen 2006 i Malmö. Du får en ledtråd! Se
Bild 6.
6 Liksidig niohörning (Liksidig artonhörning)
Nu skapade vi en
30 vinkel
Vi skapar vidare med origami olika
polygoner och så vidare.
liksidiga
Liksidig tiohörning
Liksidig femhörning
Körsbärsblomma
Stjärna
Litteratur: N. Torimoto Nämnaren 2002 No 2 Origami
N. Torimoto Nämnaren 2002 No 4 Gyllene snittet med origami
922
Projekt Eureka
* Workshop i bild
* Workshop i rytm och rörelse
Föreläsningen beskriver hur man har arbetat vid en skola i Kungshamn under ett antal år.
Projketets grundtanke är att konst i alla former kan vara en bro mellan konkret och abstrakt
tänkande. Genom att måla med skilda material och gå igenom olika grundläggande
matematiska begrepp som ex.vis geometri, skapar vi en förståelse inte bara för dessa utan
också för bildkonstens uppbyggnad och komposition och vi kan hitta nya vägar till inlärning
som är till glädje för såväl teoretiskt som praktiskt begåvade elever.
Gunnel Berlin, konstnär och konstpedagog. Initiativtagare till projekt Eureka och författare
till boken om projektet.
Eva Dal, skådespelerska och rytmterapeut enligt Ronnie Gardiners rytmterapimetod.
Workshop
Gt
Dokumentation
Projekt Eureka är ett projekt som startade på Kungshamn-Åsenskolan i Kungshamn i
september 2002. Grundtesen är: ”Konst i alla former kan vara en bro mellan konkret och
abstrakt tänkande”
Projektet finansierade inledningsvis av Stiftelsen Framtidens Kultur och Sotenäs Kommun.
Efter den inledande projekttiden valde Sotenäs kommun att tillsammans med Smögens
Havsbad finansiera fortsatt verksamhet till viss del genom en konstpedagog på halvtid. Den
tjänsten innehas av Gunnel Berlin. Under innevarande läsår stöder Sparbanksstiftelsen Väst
projektet med en rytm/teaterpedagog och den tjänsten innehas av Eva Dal.
Projektet presenteras på matematikbiennalen vid tre olika tillfällen. Det första, nr 525, är en
föreläsning av Gunnel Berlin om verksamheten som innehåller en muntlig beskrivning och en
bildserie som visar hur de barn som deltagit i projektet har löst sina uppgifter.
Den andra, nr 922, är en work-shop med Gunnel Berlin där deltagarna får prova hur man kan
använda konsten för att ta in matematiska begrepp.
Den tredje, nr 1022, är en work-shop som leds av Eva Dal, där deltagarna får lära sig hur man
kan använda den av Ronnie Gardiner utarbetade rytmterapi-metoden samt andra
rytmövningar som där matematiska begrepp och övningar kommer in naturligt.
Vi värnar om att låta konstarterna komma in som fullvärdiga ämnesområden med sin egen
kraft och styrka och en egen dynamik.
Bakgrundstankar:
Konsten, dess olika uttrycksformer i bild, musik, dans och teater, har människan ägnat sig åt
och utvecklat sedan urminnes tider över hela jorden. Den har varit och kommer att fortsätta
att vara en nödvändighet för att hjälpa oss att höja oss övervardagen, förstå helheten och vår
plats i sammanhangen.
Dess plats i samhället har under de senaste seklerna fått en ömsom undanskymd, ömsom
elitistisk plats. Den fjärmas från vårt vardagsliv. Vi lever i en tekniskt och naturvetenskapligt
dominerad värld som rent överlevnadsmässigt behöver balanseras av humanistiska och
kulturella värden.
I skolans värld återspeglas detta av att de teoretiska kunskaperna värderas högre än de
praktiska. Samspelet mellan hjärnas olika delar stimuleras inte och barnen förlorar tillgång till
det som hjärnfysiologen Matti Bergström kallar för "möjlighetsmoln". Begreppet innebär kort
att dra nytta av mötet mellan medvetandeströmmarna från hjärnstammen och de
kunskapssamlande, organiserande delarna i hjärnbarken för att uppnå ett kreativt flöde, för
problemlösningsförmåga, för nytänkande, etc.
Många barn har svårt med steget mellan konkret och abstrakt tänkande. De tappar därmed
möjligheten att följa med i den abstraktion som studierna innebär. Detta är särskilt påtagligt
inom det matematiska ämnesområdet.. Inte minst de nationella proven visar att det krävs mer
av undervisningen än det som erbjuds idag. Enligt professor Brian Butterworth i Cambridge
är människans matematiska förmåga en mycket komplex verksamhet som inbegriper många
olika delar av den mänskliga hjärnan. Om ett område är svagt kan det balanseras upp av andra
delar. Här skulle de konstnärliga uttrycken kunna fylla en stor uppgift.
Exempelvis kan nämnas den till synes enkla additionen "Linda har två äpplen och Martin har
tre äpplen, hur många har de tillsammans?" Den innehåller en kedja av abstraktioner, där
barnen ska förvandla detta konkreta exempel till det symboliska språket "2 + 3 = 5".
Om barnen inte förstår hoppen mellan personerna, deras äpplen och abstraktionerna "2", "+"
och "=", så får det ingen grund att bygga sitt matematiska tänkande på. Dessa matematiska
begrepp ökar och fördjupas i rask takt under skolåren och i värsta fall läggs de oförstådda
abstraktionerna på hög som blir en ointaglig borg och matematikämnet blir en plåga.
Skolans traditionella matematikundervisning har brister i att entusiasmera barn som inte
behärskar ett snabbt uppfattande av abstraktioner. Projektet är tänkt att hitta former för att få
så många barn som möjligt att göra de nödvändigaste kopplingarna och få ett gediget
kunnande i basämnena. De olika konstnärliga disciplinerna och ett praktiskt förhållningssätt
breddar vår förståelse. "Eureka"
Målsättning:
Ge barnen möjligheter att via olika konstformer öka förståelse och
begreppsbildning inom basämnena och därigenom indirekt även till andra ämnen.
Tydliggöra sambanden mellan konkreta och abstrakta värden och få en naturlig
vandringsled däremellan.
Ge barnen en gedigen konstnärlig grund, där konstens olika grundbegrepp blir en
självklarhet.
Låta skolarbetet utgå från en helhetssyn där de olika ämnena kompletterar varandra
och ger barnen en djupare bildning.
Ge barnen möjligheter att kontinuerligt konfronteras med professionell konst inom
olika konstarter. Därigenom får barnen ta del av samhällsdebatten, existentiella
frågeställningar, mm.
Arbeta fram en metod med handledningsmaterial som kan fortsätta att utvecklas
när projekttiden är över.
Hur projektet genomförs:
Genom gemensam planering mellan skolans ordinarie verksamhet och projektet, får man fram
arbetsmetoder där konsten stärker barnens känsla för geometri, antal, förhållanden och
proportioner, sociala mönster, mm. Dessa kan exempelvis vara:
•
För att stärka förståelsen för den grundläggande matematiken: bygga mönster av
geometriska figurer. Bygga med olikfärgade klossar de figurer som kvadraten av 1, 2,
3, 4, etc. bildar. Leka med räknestavar för få in känslan för storlek och proportion,
träna motorik och estetik.
•
Undersöka och måla av tallkottar, solrosor, snäckor och annat som är grundat på
dubbelspiralen. Räkna och inse att förhållandet mellan antalet spiraler förhåller sig
som det Gyllene snittet, tala om dess påverkan i vår kultur.
•
Jämna och ojämna tal: Dansa runt i ring till tvåtakt resp. tretakt, för att känna ända in i
kroppen vad som skiljer jämnt och ojämnt. Utöka till att omfatta andra rytmer och
dess påverkan på rörelsemönstret.
•
Med utgångspunkt från konstnären Eschers arbeten förstå sambanden mellan de olika
geometriska formerna och hur de kan varieras. Jämförelser kan göras med
mosaikuppbyggnad.
•
För att främja individualiteten parallellt med samspelet i gruppen kan man träna på en
sång eller en låt. När den sitter, får barnen göra stämmor som ger sången eller låten en
vidare och djupare klang. Det är en övning i improvisation och stämsång och ett
exempel på hur helheten blir mer än summan av dess delar i enkel och påtaglig form.
Detta är mycket enkla exempel på grundidén. Dessa blir ju naturligtvis mer avancerade ju mer
barnens kunskapsnivå ökar.
Konsten har ju även ett alldeles eget, påtagligt värde. Genom att barnen övar olika
konstformer, så tränas också deras insikter i de grundläggande konstnärliga begreppen, såsom
form, rörelse och riktning. Detta gör dem medvetna om att det inte bara är viktigt att säga de
repliker som en viss roll har, utan också av vikten att skapa en laddning i rummet, att rikta sig
åt adekvat håll, vara medveten om kroppens visuella betydelse på scen, etc. Detta handlar om
mycket komplexa begrepp som stärker oss som människor, både vad det gäller självkänsla
och som gruppmedlem.
Detta gör att projektet ingalunda behöver bli långtråkigt eller tröttsamt för barn som är
begåvade på abstraktioner. Projektet har däremot en chans att vidga det kreativa tänkandet
och stimulera fantasin hos alla deltagande. Detta gör i sin tur att antalet synapser i hjärnan,
vilket befäster de upptäckter som barnet gör och ger ett fördjupat kunnande.
Övrigt:
Projektet har en hemsida: www.projekteureka.nu som tyvärr inte är uppdaterad på ett tag.
Vill du komma i kontakt med projektet så kontakta:
Gunnel Berlin, projektledare, 0523-701 42 alt 0523-39662. Mobil:070 926 90 08
Eva Dal: rytm- och teaterpedagog, 0523 – 535 19 Mobil: 070 633 35 19
I september 2005 utkom på Ekelunds/Gleerups förlag en bok av Gunnel Berlin som handlar
om den bildkonstnärliga och matematiska aspekten av projektet. Den heter ”Eureka! En
idébok om konstens väg till matematiken – och tvärtom.” Se vidare
http://www.gleerups.se/defaulttip.asp?titelid=3911
923
10 år med ämnesprovet i matematik för skolår 5
Sedan 1996 har ämnesprovet för skolår 5 erbjudits skolorna. Det är ett utvecklingsarbete och
förändringar har därför skett under åren. I föreläsningen kommer att belysas vilka synpunkter
lärare och elever har uttryckt som påverkat provet. Föreläsningen kommer dock framför allt
att fokusera elevernas arbete med provet och deras tal- och begreppsuppfattning genom den
analys och bedömning av elevarbeten som gjorts.
Lena Alm arbetar i Prim-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm och är provansvarig för
Ämnesprovet i matematik för skolår 5.
Föreläsning
Gt
Dokumentation
Bakgrund
PRIM-gruppen har i tio år haft Skolverkets uppdrag att konstruera ämnesprovet i matematik
samt att analysera och sammanställa resultaten. Under dessa år har många lärare uttalat synpunkter på och erfarenheter av proven, dels vid utprövningar, dels efter provens genomförande. Nästan 2 000 lärarenkäter skickas in till PRIM-gruppen varje år. Lärarna ger sin syn på
hur provet har fungerat för eleverna och kommer med värdefulla synpunkter, som beaktas vid
kommande provkonstruktion. Eleverna ger också viktig information genom att t.ex. uttrycka
sig kring de uppgifter som de arbetat med, vad de tycker är roligt eller svårt och hur de ser på
matematiken och inlärningen. Ca 500 elevers arbeten skickas in varje år och analyser görs av
elevernas lösningar. En sammanställning av lärarnas synpunkter från enkäterna och elevernas
resultat ges ut varje år och läggs sedan år 2004 ut på Skolverkets hemsida.
Äp5 – ett utvecklingsarbete
Inför det första provet 1996 ägde många diskussioner rum med ansvariga från Skolverket,
lärare, lärarutbildare och forskare om bedömning och tolkning av den nya läroplanen, Lpo-94,
och kursplanen i matematik. Blickarna vändes även mot den forskning som var gjord inom
området bedömning. Läroplanens kunskapssyn skulle genomsyra provet och i den betonas
den kunskapande processen, vilket innebär bl.a. ”en starkare betoning på bedömningen hur
eleverna kommer fram till ett svar. Processen fram till ett svar är viktig. Det innebär bl.a. att
vi mer uppmärksammar vad eleverna kan, och inte i så stor utsträckning vad de inte kan. Det
är en positiv bedömning som tillämpas. Det innebär också att vi ska bedöma det som är
väsentligt att bedöma och inte fokusera på det enkelt mätbara.” (Pettersson 2004, sid. 94)
Provet skulle bli ett stöd i lärarnas bedömning om eleverna hade uppnått de mål som
kursplanen krävde. Provet skulle också ha ett diagnostiskt syfte och kunna visa elevernas
starka och svaga sidor. Ett samarbete med provinstitutionerna för svenska och engelska
startades och en utprövning gjordes för att få synpunkter på den uppläggning och de uppgifter
som utvecklats. Utprövningar har även fortsättningsvis varit av stor vikt för urval av uppgifter
och för att kunna skriva tydliga bedömningsanvisningar. Referens- och konstruktionsgrupper
har också spelat en mycket viktig roll för utvecklandet av provet.
I det första provet försökte vi att pröva elevernas kunnande utifrån de flesta mål att uppnå,
som fanns i kursplanen. Detta ledde till många synpunkter från lärarna på att provet var för
omfattande. De var inte nöjda med att de ibland fick bläddra fram och tillbaka i materialet för
att finna information och de önskade tydligare bedömningsanvisningar. Under åren har färre
mål prövats i varje prov men då i stället med flera uppgifter av olika slag, så att bedömningen
kring ett mål har blivit säkrare. Bedömningsanvisningar, exempel på godtagbara svar och
autentiska elevarbeten har införts. Varje delprov har dessutom blivit tydligare knutet till ett
visst mål, vilket också har underlättat bedömningen. För bedömningen av gruppuppgifter har
iakttagelseöversikter och senare bedömningsunderlag utvecklats och i de senaste proven har
de gjorts mer uppgiftsspecifika för att på så sätt underlätta bedömningen.
Både elever och lärare uppskattar oftast uppgifterna, som är av olika slag och har olika
bedömningspotential. En strävan är att försöka konstruera uppgifter som både kan visa olika
kvaliteter i elevernas kunnande och som kan avslöja eventuella missuppfattningar och brister.
Uppgifterna bör också vara så stimulerande att eleverna vill och vågar ta sig an dem. Uppgifter som är nära elevernas erfarenhetsvärld uppskattas oftast mest och därför hoppar eleverna inte så ofta över dem utan möjlighet finns att se deras tankar (Alm 2004). De senaste
åren har proven innehållit allt fler s.k. ”öppna” uppgifter, eftersom eleverna i dem ofta kan
visa olika kvaliteter i sitt matematikkunnande och också kunnande vad gäller fler än ett mål.
Redan från början konstruerades en kunskapsprofil i vilken läraren kan dokumentera en
sammanfattande bedömning av elevens prestationer på provet och i andra sammanhang. Den
är alltså bara en del i den helhetsbedömning som görs. Profilen kan utgöra en del av underlaget vid utvecklingssamtal och sparas för kommande diskussioner om elevens kunskapsutveckling. Profilen har under åren förändrats en hel del. Numera finns det ett större utrymme
för lärarna att kunna formulera sig kring elevens prestationer och eleven själv har möjlighet
att kunna kommentera vad som går bra och vad som är svårt. Elevens delaktighet har blivit
tydligare. Elevens delaktighet och ansvarstagande för sin inlärning visas också i den del för
självbedömning som funnits med sedan 1996. Eleven har också möjlighet att uttrycka sig
kring matematiken och sin inlärning i en elevenkät. Den har förändrats en del och är år 2005
kopplad till varje provdel.
Under åren har samarbetet med provinstitutionerna i svenska och engelska vuxit och en
strävan har varit att till varje prov skapa ett gemensamt tema, som skulle kunna underlätta för
eleverna och stimulera dem. Sedan år 2000 har gemensamma gruppuppgifter för svenska och
matematik konstruerats och placerats i en särskild flik i provpärmen. Detta har minskat den
totala provtiden då gruppuppgifter kräver både mycket tid och god organisation. År 2005 har
två tredjedelar av lärarna använt gruppuppgiften ”Spelet” och det är en större andel än under
de första åren. ”Spelet” har liksom övriga delar i matematikprovet för första gången en
gemensam kontext, sagan ”Clara i Pysslinglandet”.
Vad tycker lärarna?
Vad tycker då lärarna om provet som helhet? Oftast är de mycket nöjda och år 2005 tycker i
stort sett alla lärare (94 %) att provet är bra eller ganska bra. De lärare som år 2005 svarar att
provet är bra ger liksom lärare tidigare år många kommentarer.
”De flesta kommentarer handlar om att uppgifterna är bra därför att de t.ex. är
omväxlande, inspirerande, kluriga, av olika typer och belyser viktiga delar av
matematiken. Lärare nämner också att de är lagom svåra och att de relaterar bra till
målen. Många kommentarer handlar om sagotemat. Så här skriver några lärare:
Mycket ’prata/diskutera matte’ – det gillar jag. Kluriga, spännande och roliga
uppgifter. Härligt! Även sagan var jättebra för att komma in i ’stämningen’ –
miljön.
Prövar många olika delar. Sagan hjälper till förståelse (mycket bra med tanke på att
vi nästan bara har elever med svenska som andra språk).
Barnen tyckte om berättelsen. Den gav motivation.
Lärare anser också att provet är bra för att det har givit upphov till diskussioner på
skolan.
Livlig diskussion på personalrummet angående vårt ’mattematerial’ – vi hade inte
skala med i åk 5.”
(Alm 2005, sid. 9)
En del lärare kommenterar att alla mål inte prövas och att man önskar ett heltäckande prov.
Några lärare tycker att provet år 2005 innehåller väl mycket text och att gruppuppgifterna är
onödiga eller svåra att genomföra. De flesta lärare som har använt gruppuppgifterna tycker
dock att de är bra och roliga. ”En hel del lärare kommenterar att det positiva med gruppuppgifter är att de upptäcker elever vars matematikkunskaper synliggörs bättre i samtalet än
vid skriftliga redovisningar.” (PRIM-gruppen/Myndigheten för skolutveckling 2003, sid. 10)
De flesta lärare, ca 80 % de senaste åren, anser att omfattningen av provet är lagom. Andelen
lärare som anser att provet är för omfattande och andelen som anser att det borde vara mer
omfattande är ungefär lika stor. Allt fler lärare, 15 % år 2005, kompletterar provet med
uppgifter från tidigare år.
De allra flesta lärarna, 94 % år 2005, har haft stort stöd eller visst stöd vid bedömningen av
elevernas kunskaper och de flesta verkar nöjda med bedömningsanvisningarna och tycker att
kunskapskraven är rimliga med tanke på målen att uppnå enligt kursplanen (Alm 2005).
Hur lyckas eleverna?
Genom de analyser av 200 elevers arbeten som görs varje år har vi fått en god överblick av
elevernas prestationer inom de olika matematiska områdena. Det område som eleverna klarar
bäst är statistik. 92 % av eleverna klarade t.ex. år 2000 den föreslagna kravgränsen (Alm
2000). Även delar som avser att pröva taluppfattning av naturliga tal, talmönster och obekanta
tal har en lösningsfrekvens runt 90 %. De mål som eleverna har svårast att nå handlar om tal i
decimalform och bråkform och om att använda skriftliga räknemetoder. Det är ingen större
skillnad mellan åren i vilken grad eleverna uppnår de olika målen.
Referenser
Alm L. (2005). Ämnesprovet i matematik för skolår 5 våren 2005. Ämnesprov i svenska,
svenska som andraspråk, engelska och matematik för skolår 5 vårterminen 2005. En
redovisning av enkäter och elevresultat. Stockholm: Skolverket.
Alm L. (2004). På upptäcktsfärd i elevernas värld av tal. Att visa vad man kan. Stockholm:
Skolverket.
Alm L. (2000). Ämnesprovet i matematik för skolår 5 våren 2000. Ämnesprov i svenska,
engelska och matematik för skolår 5 vårterminen 2000. En redovisning av enkäter och
elevresultat. Stockholm: Skolverket.
Pettersson A. (2004). Räkneförmåga och matematisk kompetens. Att visa vad man kan.
Stockholm: Skolverket.
PRIM-gruppen/Myndigheten för skolutveckling (2003). Studiehandledning till filmen Tala
om kunskap. Stockholm: PRIM-gruppen.
924
Matematikkartor - 2
Detta är Del 2 av workshopet Matematikkartor 1-2-3 som pågår under tre timmar. Syftet är att
deltagarna provar idén med matematikkartor genom att konstruera en matematikkarta i grupp
som täcker hela grundskolans matematik. För utförligare beskrivning av matematikkartor, se
Matematikkartor 1.
Del 1 (Pass 7, nr 724) Demonstration av matematikkartor av Mia Selander, Anna Svärd och
Håkan Lennerstad.
Del 2 (Pass 9, nr 924)) Workshopets deltagare delas in i smågrupper för diskussion och skiss
om möjliga sätt att gestalta grundskolans matematik som en karta.
Del 3 (Pass 10, nr 1024) Workshopets deltagare samlas och en gemensam karta ritas genom
att sätta samman idéerna från grupperna i Del 2.
Mia Selander är adjunkt i matematik vid grundskolan Friskolan Asken, Strängnäs.
Anna Svärd är adjunkt vid Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona.
Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola.
Workshop
Gs Gy Högsk
Dokumentation
Bakgrund
Matematikkartor har ritats av grupper av grundskolelever, gymnasielever och lärarutbildare. I
reaktionerna har man beskrivit upplevelsen av frihet och utbyte av varandras synpunkter vid
konstuerandet. De som deltar får tillgång till en helhetsbild av de matematiska kunskaper man
själv besitter, flera elever har blivit förvånade över att det är så mycket matematik som de
kan. Kartan ger möjlighet att på samma plats gestalta matematiska förhållanden och känslomässiga relationer till dem, som kanske division med liggande stolen i ett träsk. Kartritandet
är en träning på matematikens terminologi eftersom dessa ord är vad som förekommer på kartan. Man får också ta ställning till vilka begrepp som är viktiga och bör vara med. Om kartan
sätts upp i klassrummet är den en ständigt närvarande minneslista över matematisk terminologi med en antydan av dess sammanhang eller betydelse, och en trofé över ett gemensamt
arbete. Metoden är också en länk mellan matematik och bildämnet. En bild- och en
matematiklärare kan samarbeta.
Som deltagare i detta workshop provar du idén genom att själv vara med och rita en matematikkarta i grupp. Kartan ska beskriva/antyda/illustrera hela grundskolans matematik – dess begrepp, kalkylmetoder och vanliga exempel, och hur de hänger ihop. Tag gärna med läroplanen för grundskolan eller läroböcker!
Referenser:
Håkan Lennerstad, Krister Larsson, Matematikkartor, Nämnaren no 3, 2003.
Håkan Lennerstad, Mia Selander, Klass 9A:s matematikkarta, Nämnaren, no 2, 2004.
Tine Tillqvist, Ingrid Persson, En matematikkarta, Nämnaren, no 4, 2005.
925
HÖJA NIVÅN i matematik Från 10,8 % icke godkända till 1,2 % med lust
Järfälla kommun, Viksjö kommundel, med ca 3000 barn och elever, har satsat på ett
omfattande kompetensutvecklingsprojekt för att HÖJA NIVÅN hos våra elever. Vi startade
2002 och vi arbetar långsiktigt från förskolan tom år 9. Våra goda resultat består. Vi berättar
om projektet, innehåll, organisation, finansiering och all den glädje och lust som vi fått genom
vårt arbete med matematik.
Vi är ett nationellt exempel och finns med på Myndigheten för Skolutvecklings hemsida,
matematik.
Pi Högdahl, projektledare för Höja Nivån i matematik, Viksjö för-och grundskolor, Järfälla
kommun.
Marlene Allsten, ingår i projektgruppen Höja Nivån, förskollärare, Mjölnarens förskola,
Järfälla kommun
Eva Wedlund, ingår i projektgruppen Höja Nivån, förskollärare, Fastebols förskola
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Vi tror att engagerade, kunniga pedagoger med lust till utveckling och lärande får elever med
bättre resultat.
Våra nyckelord för projektet är: Höja hela nivån, delaktighet, långsiktighet, resultat,
genomförande av LPO-94s och LPfö-98s mål, ökad matematisk medvetenhet, ökad
metakognition, överföra kunskaper och samordningsvinster och organisation för
utvecklingsarbete.
Viksjö för och grundskolor, Järfälla kommun, startade våren 2002 en behovsstyrd, långsiktig
kompetensutveckling för pedagoger i matematik. Projektet omfattar ca 4000 barn och 300
pedagoger. Vi arbetar utifrån senaste forskning om matematik.
Årets arbete har fokus på matematik – språk - skolutveckling
Kompetensutvecklingen sker dels på enheterna egna hemmaträffar, dels på nätverksträffar,
stora gemensamma proffsföreläsningar och ”kurser”
Hemmaträffarna är enhetens egna mattemöten som matematikutvecklarna håller. På träffarna
har de work-shops ex utematte , djupdykning i PRIM-gruppens analysschema, skapande av
arbetsplaner för matematik.
Nätverksträffarna bjuder in alla pedagoger inom resp åldergrupp, ec förskolan, fskl-år 3 osv
och alla deltagare visar vad de gör hemma hos sig.
Proffsföreläsningar- vi köper in erkända duktiga didaktiker, ex Karl-Åke Kronkvist, Ann
Åberg, Håkan Lennerstad, Lisa Björklund, Katarina Källstrand, Margareta Forsbäck, mm som
alla våra pedagoger inbjudes till.
Kurser. För förskolan tom år 3 finns kursen” Forskningscirkel om Matematiska begrepp”
För pedagoger från år 4- år 9 finns Dialogseminariet Matematiska
Projektet har en projektgrupp som stödjer/coachar alla enheters matematikutvecklare att leda
sin skolas egna utvecklingsarbete. Projektet har också en styrgrupp.
Hela projektet finns på www.jarfalla.se under Utbildning, Höja Nivån
Där finns all dokumentation samt material att använda för eget utvecklingsarbete.
927
Tanken, språket och matematiken
Ett samtal mellan Astrid Pettersson och Birgitta Garme, båda med lång erfarenhet av
undervisning och arbete med nationella diagnostiska material.
Astrid Pettersson, professor och projektledare för PRIM-gruppen
Birgitta Garme, universitetslektor i svenska vid Institutionen för nordiska språk med
forskningsinriktning mot elevers skrivna och talade språk.
Föreläsning
Alla