“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 8. Om primtal
1. Visa att om p är ett primtal större än 3 så gäller 24 | p2 − 1.
2. Rita en tallinje, t.ex. från 0 till 40, och markera multiplerna av 6 på den. Markera sedan
förekommande primtal. Man ser då att med undantag av 2 och 3 ligger primtalen på avståndet
1 från multipler av 6. Ibland är båda talen bredvid en multipel av 6 primtal, ibland bara ett
av dem.
a) Vilken är den första multipel av 6 som inte har något primtal på avståndet 1 ?
b) Visa att alla primtal större än 3 verkligen ligger på avståndet 1 från en multipel av 6.
3. Visa att om n > 1 och n delar talet (n − 1)! + 1 så måste n vara ett primtal. (Att den omvända
utsagan gäller är innehållet i Wilsons sats.)
4. Visa att inga av talen
12321, 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321
är primtal. (Ledning: de har en egenskap gemensam!)
5. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att talet 2p2 + 1 är delbart med 3.
6. För vilka primtal p gäller att även p2 + 2 är primtal?
7. Visa först att ett tal på formen 4n + 3 måste ha en primfaktor på samma form. Försök sedan
modifiera Euklides’ bevis för att det finns oändligt många primtal till ett bevis för att det finns
oändligt många primtal på formen 4n + 3.
8. Genomför motsvarande resonemang för att visa att det finna oändligt många primtal på formen
6n + 5. Försök sedan hitta ytterligare tal a och b så att det finns oändligt många primtal på
forman a n + b. (Dirichlet visade i ett berömt arbete 1837 det allmänna resultatet att om
SGD(a, b) = 1 så finns det oändligt många primtal på formen an + b.)
n
9. Euklides bevis kan också användas för att visa att den n:te primtalet pn uppfyller pn < 22 .
Hur går det till?
10. För vilka primtal p gäller att också talet p2 + 2p är primtal? (Ledning: undersök talet “modulu
3”!)
11. Visa att om n ≥ 3 så finns ett primtal p så att n < p < n! . (Ledning: undersök talet
N = n! − 1.)
12. Visa att om talet an − 1 är ett primtal så måste a = 2 och n vara ett primtal. (Primtal
på denna form kallas Mersenne’ska primtal och av tradition har de flesta stora primtalen haft
denna form, så t.ex. det hittills största 257.885.161 −1 (upptäckt i februari 2013; utskrivet skulle
talet bestå av nästan 17 miljoner siffror). Man vet ej om det finns oändligt många primtal på
denna form.)
n
13. Visa att om 2n + 1 är ett primtal så måste n vara en potens av 2. Tal på formen 22 + 1 kallas
Fermat-tal (betecknas Fn ) efter Pierre Fermat. Han uppställde år 1640 hypotesen att de alla
var primtal, men 1732 visade Euler att F5 är delbart med 641. Visa detta genom att först visa
att 216 ≡ 154 (mod 641) och sedan undersöka 232 på motsvarande sätt.
Gunnar
