Kap 4 - Trigonometri

Kap 5 – Trigonometri och
komplettering kurs 3c
1
GENOMGÅNG 5.1
•
•
•
•
•
Cosinus, Sinus & Tangens
Exakta värden
Två speciella trianglar
Cirkelns ekvation
Enhetscirkeln
2
TRIGONOMETRI
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
3
sin v 
5
4
cos v 
5
3
tan v 
4
TRIGONOMETRI
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
sin v 
a
b
cos v 
c
b
tan v 
a
c
TRIGONOMETRI
Definitioner
sin v 
a motstående katet

b
hypotenusa
cos v 
c närliggande katet

b
hypotenusa
a motstående katet
tan v  
c närliggande katet
TANGENS
Definitioner
a motstående
tan v  
c närliggande
Var har du sett detta förr??
k
y
x
dy
dx
f ( x  h)  f ( x )
h
Kärt barn har många namn.
f '( x)
y'
TRIGONOMETRI
Definitioner
1
sin 30 
2
1
sin 1    30
2
1
cos 60 
2
1
cos 1    60
2
1
tan 30 
3
 1 
tan 
  30
 3
1
Tvåspeciella trianglar
sin 45 
1
2
1
sin 30 
2
cos 45 
3
sin 60 
2
cos 60 
1
2
3
cos 30 
2
1
2
1
tan 45   1
1
1
tan 30 
3
tan 60 
3
 3
1
OBS!
1
2

2
2
1 2
2

2
2 2
1
3

3
3
1 3
3

3
3 3
OBS!
1
2

2
2
Exakta värden
OBS!
Finns i formelhäftet!!
Tangen för 90° ???
Varför är inte tan 90° definierat?
Uppgift 4114, sid209
1
3
1
3
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
3

3
3
Cirkelns ekvation
r   x  a   y  b
2
2
( x, y )  punkt på cirkelranden
(a, b)  cirkelns medelpunkt
r  cirkelns radie
2
Cirkelns ekvation – ett exempel
En cirkel har radien r = 4 och medelpunkten (3,-1).
Bestäm denna cirkels ekvation.
r   x  a   y  b
2
2
2
4   x  3   y   1 
2
2
Cirkelns ekvation är
16   x  3   y  1
2
2
2
Cirkelns ekvation – ett exempel
Ligger punkten (5, 2) på cirkelranden, innanför cirkeln
Eller utanför?
2
2
16   x  3   y  1
Vi sätter in x = 5 och y = 2 i ekvationens högerled:
HL   5  3   2  1  2  3  13
2
2
2
2
Eftersom HL < 16 (= r²) ligger punkten innanför cirkeln.
Cirkelns ekvation
MARKÖR
HÄR!
ENHETSCIRKELN
Vad vinner man på att
sätta
radien till värdet 1?
y
sin v   y
1
x
cos v   x
1
ENHETSCIRKELN
y
sin 
Radien = 1
(cos  , sin  )
Plängdenhet
y-koordinat
x-koordinat
cos 
x
sin(180°- v) = sin v
sin v1 = sin v2 = 0,72
cos(180°- v) = -cos v
-0,69
0,69
cos v1 = - cos v2
GENOMGÅNG 5.2
Triangelsatserna
• Areasatsen
• Sinussatsen
• Cosinussatsen
30
AREASATSEN
motstående / hypotenusa
mult. båda led med 2,8
SINUSSATSEN
SINUSSATSEN
a
Ett exempel
Vi vill veta längden av
sidan BC (a)
SINUS- OCH AREASATSERNA
Beräkna sidorna a och c i triangeln ABC.
SINUS- OCH AREASATSERNA
Beräkna arean av triangeln ABC.
c  7,9
a  5, 4
69, 7
NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?
Hur skall vi rita den 3:e sidan?
Vi får alltså 2 fall, nämligen…
och
NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?
Sinussatsen ger
sin B 
10,0
15,0

sin 37,0 sin B
15,0  sin 37,0
 0,902722534728...
10,0
 15,0  sin 37,0 
B  sin 
  64,5
10,0


1
B  sin 1 0,902722534728  64,5
Vi får 2 fall
B1 ≈ 64,5°
B2 ≈ 180° - 64,5° = 115,5°
NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?
B1 ≈ 64,5°
B2 ≈ 180° - 64,5° = 115,5°
sin(180°- v) = sin v
COSINUSSATSEN
Med egen text:
Kvadraten på sidan c är lika med kvadraten på sidan a
plus kvadraten på sidan b minus produkten av 2 gånger a
gånger b gånger cosinus för C
COSINUSSATSEN
I en triangel är sidorna 4 och 5 cm kända. Deras mellanliggande vinkel
är 50 grader. Beräkna sidan som är motstående 50 graders vinkeln.
c  a  b  2ab  cos C
2
2
2
COSINUSSATSEN
I en triangel är sidorna 4 och 5 cm kända. Deras mellanliggande vinkel
är 50 grader. Beräkna sidan som är motstående 50 graders vinkeln.
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C
x 2  42  52  2  4  5  cos 50
x 2  16  25  40  cos 50
x 2  16  25  40  0, 64278...
x 2  15, 288...
x  3,9
COSINUSSATSEN
I en triangel är sidorna 4,5 och 6 cm kända. Deras mellanliggande
vinkel är 45 grader. Beräkna sidan som är motstående 45 graders
vinkeln.
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C
x 2  4,52  62  2  4,5  6  cos 45
x 2  18, 066...
x  4,3
Kan vi nu ta reda på de andra vinklarna i
denna triangel?
DE TRIGONOMETRISKA FUNKTIONERNA
FÖR GODTYCKLIGA VINKLAR
Absolutbelopp
y x
Absolutbelopp
Absolutbelopp
5  5
5 5
x x
Rotekvationer
x2  x

x2

2
 x2
x  2  x2
x2  x  2  0
x  0,5 
 0,5 
2
2
x  0,5  2, 25
x  0,5  1,5
x1  1
x2  2
Varför är x = -1 en falsk rot?
LärarDalle
Sammanfattning Kapitel 4
C:a 23 minuter
Matteboken.se
Repetition av Kapitel 4