STATISTIK
Räkna med
sannolikheter
Statistikskolan
Hur stor är sannolikheten att någon gång
ha tur och vinna på ett lotteri som man
deltar i ett visst antal gånger? Sådant går
att räkna ut med sannolikhetslärans räknelagar. Med dem kan man belysa utsikterna för lite svårfångade händelser, som
att ha tur någon gång. Liknande beräkningar har tillämpningar inte minst inom
statistik.
Av Martin Ribe
E
18
prickar hamnar uppåt, när man kastar en
tärning? Även här finns det sex möjliga utfall.
Av dem är tre gynnsamma för händelsen,
nämligen att en sida med en, två eller tre
prickar hamnar uppåt. Sannolikheten för
händelsen blir då 3/6 = 1/2 = 0,5.
Den här klassiska definitionen på sannolikhet är användbar just när det gäller tärningar och sådant. Men hur går det om man
är med om flera tärningskast i följd? Då kan
det vara intressant att få veta chanserna att
turen eller oturen håller i sig.
n tärning har sex sidor, som alla lika
gärna kan hamna uppåt när man kastar tärningen. Hur stor är sannolikheten att det blir en sexa, alltså att sidan med
sex prickar hamnar uppåt när man kastar
tärningen? Det ger sig ganska naturligt. Av
tärningens sex sidor är det en som har sex
prickar. Det finns därför en möjlighet på sex
att det blir en sexa. Sannolikheten att det blir
en sexa blir då en på sex, alltså en sjättedel.
Svaret blir 1/6, eller 0,17 avrundat.
Sannolikheten för en händelse är ett tal
mellan noll och ett. Sannolikheten är noll
för en händelse som omöjligt kan inträffa,
t.ex. att man får en åtta när man kastar en
tärning. Någon sida med åtta prickar finns
ju inte på tärningen. På motsvarande sätt är
sannolikheten lika med ett för en händelse
som absolut säkert kommer att inträffa.
Sannolikheter har även tidigare tagits upp i
VälfärdsBulletinens statistikskola (1997, nr 3).
Om man gör två tärningskast efter varandra,
vad är då sannolikheten att det blir en sexa i
båda kasten? I första kastet är sannolikheten
för sexa lika med 1/6, som vi just såg. I andra
kastet är situationen densamma, och sannolikheten för sexa är då också lika med 1/6.
När man kommer till andra kastet spelar
det ingen roll hur det gick i första kastet.
Sannolikheten för sexa i andra kastet är
alltid lika med 1/6, oberoende av om det
blev sexa i första kastet eller ej. Annars
kunde man möjligen tro att om det blev
sexa i första kastet, så skulle det minska
chansen för sexa i andra kastet. Turen skulle
så att säga vara lite förbrukad i första kastet,
om det blev sexa då. Men så är det inte. Det
andra kastet är en sak för sig och fungerar
oberoende av hur det gick i första kastet.
Nu vill vi räkna ut sannolikheten att det
blir sexa i båda kasten.
En klassiker
En hjälpsam räknelag
För länge sedan kom man på en matematisk
definition på sannolikhet som numera kallas
den klassiska. Denna klassiska definition
säger hur man kan räkna ut sannolikheten
för en händelse: Man dividerar antalet gynnsamma utfall med antalet möjliga. Vad betyder det? Tärningen har sex sidor som alla kan
hamna uppåt, och därför finns det sex möjliga utfall. Av dessa möjliga utfall är det ett
som är gynnsamt för sexa. Därför dividerar
vi 1 med 6 och får 1/6, och detta tal är som
sagt lika med sannolikheten för sexa.
På samma sätt kan man räkna fram sannolikheter för andra händelser. Hur stor är t.ex.
sannolikheten att en sida med högst tre
Vi kan ta hjälp av en fundamental räknelag
för sannolikheter, som kallas sannolikhetslärans multiplikationssats. Den handlar om
hur man får fram sannolikheten för att två
olika händelser båda kommer att inträffa.
Den säger att för detta ska vi multiplicera de
båda händelsernas sannolikheter med varandra. Det här gäller under den förutsättningen att två händelserna är oberoende och
därmed inte kan påverka varandra.
Vi har nu att göra med två oberoende
händelser, sexa i första kastet och sexa i
andra kastet. Båda händelserna har sannolikheten 1/6. Sannolikheten för att båda händelserna inträffar får vi nu med vår räknelag:
Två tärningskast
VälfärdsBulletinen Nr 4 1998
STATISTIK
Vi multiplicerar de båda händelsernas sannolikheter med varandra. Sannolikheten för
sexa i båda kasten blir då
(1/6) × (1/6) = 1/36 = 0,028.
Grövre uttryckt blir det knappt tre hundradelar, alltså ganska nära noll. Det betyder att
det är ganska sällsynt med två sexor i följd.
Hur ofta något händer
Sannolikheten för en händelse kan uppfattas
som ett mått på hur vanlig händelsen är i
det långa loppet. Vi kan tänka oss att vi
gång på gång är med om situationen att två
tärningskast görs. Med tiden blir det ett
mycket stort antal gånger. Andelen gånger
som det blir sexa i båda kasten kommer då
med tiden att hamna nära sannolikheten för
den händelsen. I det långa loppet kommer
alltså denna händelse att inträffa mindre än
tre gånger på hundra.
Händelserna vars sannolikheter multipliceras ihop måste som sagt vara oberoende av
varandra. Annars gäller inte den här muliplikationslagen. Oberoende betyder att händelserna utspelas var för sig och inte kan påverka varandra. Tärningskast är oberoende.
Exempel på händelser som däremot inte är
oberoende är vädret i morgon och i övermorgon. Blir det sol i morgon så påverkar
det chansen att det blir sol i övermorgon,
om t.ex. ett högtryck ligger kvar. Där råder
ett beroende.
På liknande sätt som nyss kan vi gå till
väga om vi har en situation med flera än två
tärningskast. Om man t.ex. gör fem kast i
följd, hur stor är då sannolikheten att det
blir sexa i varje kast? Även nu multiplicerar vi
ihop händelsernas sannolikheter, och det ger
(1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) = (1/6)5
= 0,00013,
bara lite mer än ett på tio tusen.
Det här kan man utveckla vidare och
tillämpa på många intressanta vis.
Chansen att få tur
På en större arbetsplats finns en konstförening för de anställda. Två gånger om året
lottar man ut vinster i form av konstverk till
tolv av medlemmarna i föreningen. Utlottningen görs slumpmässigt bland alla medlemmar, utan hänsyn till vilka som fått vinster
tidigare. Antalet medlemmar i föreningen
ligger konstant på 400, antar vi för enkelhets
skull. Om en person är med i konstföreningen
i tio år, hur stor är då sannolikheten att personen får åtminstone en vinst?
Det är lättare att se det från andra hållet,
sannolikheten att inte få vinst. I varje utlottVälfärdsBulletinen Nr 4 1998
ning är det 400 – 12 = 388 medlemmar
som blir utan vinst. Sannolikheten att
en person blir utan vinst i en utlottning blir därför 388/400. Under tio
år är personen med i 20 utlottningar, varje gång med sannolikheten 388/400 att bli utan vinst.
Enligt vår räknelag ska vi multiplicera ihop de 20 sannolikheterna med
varandra, vilket ger
(388/400)20 = 0,54.
Detta är sannolikheten att personen jämt har
otur och inte får någon vinst på 20 utlottningar. Den motsatta händelsen är att personen får tur och vinner minst en gång under
den tiden. Sannolikheten för det är lika med
ett minus talet 0,54 och är alltså 0,46. Vi ser
att under de förutsättningar vi antog så är
det ungefär lika stor chans för en person att
vinna minst en gång som att aldrig vinna.
De utvalda
Såna här situationer förekommer förstås inte
bara i lotterier och spel. De kan inte minst
dyka upp i statistiska sammanhang.
Tänk på två urvalsundersökningar som
görs oberoende av varandra. Undersökningarna använder varsitt urval på 3 000 personer
ur samma population på 6 000 000 personer,
t.ex. alla svenskar utom de yngsta och de
äldsta. Urvalen görs oberoende av varandra
och i form av s.k. oberoende slumpmässiga
urval. Där har alla i populationen samma
chans att komma med. Sannolikheten för en
person att komma med i urvalet är då i
vardera undersökningen lika med
3 000 / 6 000 000 = 1 / 2 000.
Nu kan vi räkna ut sannolikheten att en
person kommer med i båda undersökningarna. På samma sätt som förut blir den sannolikheten lika med
(1 / 2 000) × (1 / 2 000) = 1/ 4 000 000.
”Risken” för en person att komma med i
båda undersökningarna är alltså bara en på
fyra miljoner. Det betyder att det är ytterligt
sällsynt att komma med i båda undersökningarna. Det här gäller dock i exakt mening
bara när urvalen dras som oberoende slumpmässiga urval. I praktiken är det ofta vanligt
med andra former av urval, och då blir
beräkningen mera komplicerad.
Det här var lite exempel på vad man kan
komma åt med räknelagar för sannolikheter.
I andra former och kombinationer kan
sådana lagar bland annat ge mått på osäkerhet i statistiska undersökningar.
●
Martin Ribe är metodstatistiker vid SCB,
tfn 08-783 48 54.
19
