Effekt, energi, batterier – övningar i gymnasiekursen Ellära 1 EFFEKT, ENERGI, BATTERIER – ÖVNINGAR I GYMNASIEKURSEN ELLÄRA 1 ........................................... 1 EFFEKT I ELEKTRISKA KRETSAR ...................................................................................................................................... 2 Mätning av effekt ....................................................................................................................................................... 2 Effekt med Ohms lag ................................................................................................................................................. 2 ELEKTRISK ENERGI ......................................................................................................................................................... 5 BATTERIER, POLSPÄNNING, EMK OCH INRE RESISTANS ................................................................................................. 8 Elektromotorisk spänning ......................................................................................................................................... 8 Batteriets EMS och inre resistans ............................................................................................................................. 8 Citronbatteri.............................................................................................................................................................. 9 SPÄNNINGSDELNING ..................................................................................................................................................... 11 FACIT ............................................................................................................................................................................ 12 265336316 1/13 Brogårdsgymnasiet Effekt i elektriska kretsar Tråden i en glödlampa blir mycket varm när lampan ansluts till en spänning. Uppenbarligen leder strömmen och spänningen till effektutveckling i glödtråden. Om strömmen I passerar ett motstånd med spänningsfallet U beräknas effektutvecklingen på följande sätt: U P UI I [Watt] R Exempel: Vilken effekt utvecklas i en glödlampa som ansluts till spänningen 225 V, om strömmen genom lampan är 0,28 A? Lösning: U=225 V I=0,28A Effekten: P UI 225 0,28 63W Mätning av effekt Med en Watt-meter kan man enkelt mäta effektförbrukningen hos elektriska apparater. På lektionen demonstreras effektförbrukningen hos en glödlampa, overhead, samt hos en dator med och utan skärmsläckaren och med skärmen avstängd. Effekt med Ohms lag Är endast ström I och resistans R känt kan formeln för effekt ovan skrivas om med Ohms lag: U RI P UI RI I RI 2 På motsvarande sätt kan I ersättas, om endas spänningen U och resistansen R är känd: U I R U U2 P UI U R R U2 2 Sammanfattningsvis kan effekten P uttryckas på tre olika sätt: P UI RI R Exempel: Vilken effekt utvecklas i en tråd med resistansen 40 ohm som ansluts till 225 V? Lösning: U=225 V R=40 U 2 225 2 1266W Effekt: P R 40 Övningar: 1) När ett elektriskt element ansluts till spänningen 230 V drar det strömmen 6 A. Vilken effekt utvecklar elementet? 2) Vilken resistans har ett elektriskt element som utvecklar effekten 1000 W när det ansluts till nätspänningen 230 V? 265336316 2/13 Brogårdsgymnasiet 3) Vilken effekt utvecklar ett elektriskt element (elradiator) som har resistansen 25 ohm när det ansluts till spänningen 230 V? 4) Vilken effekt utvecklar ett elektriskt element som drar strömmen 8,3 A och har resistansen 29 ohm? 5) Ett elektriskt element med resistansen 23 ohm utvecklar effekten 1400 W. Hur stor ström drar elementet? 6) Till vilken spänning ska elementet med resistansen 23 ohm anslutas för att det ska utveckla effekten 500 W? 7) Ett RC-lok utvecklar effekten 3,6 MW (5000 hk) vid spänningen 15 kV. a) Bestäm strömmen i kontaktledningen. b) Antag att kontaktledningen är 10 km lång, har tvärsnittsarean 1 cm2 och är av koppar. Bestäm ledniningens resistans. c) Vilken effekt utvecklas i ledningen? d) Hur stor andel av lokets effekt försvinner i ledningen? 8) I en typisk högspänningsledning överförs strömmen 1000 A vid spänningen 400 kV. Ledningen är av aluminium och arean är 600 mm2 (6 cm2). a) Vilken effekt överför ledningen. Ange svaret i MW och i hk. b) Bestäm ledningens resistans per mil (10 km). c) Bestäm effektförlusten per mil. d) Högspänningsledningar går ofta från norra till mellersta Sverige, avstånd på kanske 80 mil. Vad blir effektförlusten på den sträckan? e) Ange effektförlusten i procent av den levererade effekten. f) Vitsen med hög spänning är att strömmen kan minska utan att effekten påverkas. Minskar strömmen minskar dock förlusterna i ledningen. I Kina är ledningsspänningen 750 kV och ABB undersöker möjligheterna med 1 MV. Nackdelen med höga spänningar är dock att de kräver höga ledningsstolpar för att undvika överslag och de starka magnetfälten (vid växelström). Antag att vi höjer spänningen till 750 kV i uppgiften vid oförändrad effektöverföring (400 MW). Vad blir då strömmen i ledningen? 265336316 3/13 Brogårdsgymnasiet g) Vad blir effektförlusten per mil? h) Vad blir effektförlusten på 80 mil? i) Ange effektförlusten i procent av den levererade effekten. Läs mer om högspänningsledningar här: http://www.iea.lth.se/et/G4_05.pdf och kolla filmen om högspänningsarbete: http://www.kossan.se/roligafilmer/helikopter__hoegspaenning__underhaall.htm 9) Värmespiralen i en varmvattensberedare kan anslutas både till en fas (vanlig väggkontakt) och till två faser. Vid en fas är anslutningsspänningen 230 V och vid två faser är spänningen 400 V (vid trefassystem är spänningen mellan varje fas 400 V och mellan fas och nollan 230 V, se http://sv.wikipedia.org/wiki/Trefassystem). Fördelen med att ansluta till två faser är att mer effekt utvecklas i spiralen och att det då går snabbare att värma vattnet. Nackdelen är att spiralen slits snabbare. Nu till frågan: När värmespiralen ansluts till en fas (230 V) utvecklas effekten 1000 W. a) Vilken resistans har värmespiralen? b) Vilken effekt utvecklas om den ansluts till två faser (400 V)? 265336316 4/13 Brogårdsgymnasiet Elektrisk energi I kursen Energiteknik i årskurs 1 läste vi om effekt (P) och energi (W), med sambandet: W Pt Där t är tiden i sekunder [s], P effekten i Watt [W] och W är energin i Joule [J]. Energin W mäts ofta i enheten kWh i samband med elförbrukning. Tiden t mäts då i enheten timmar [h]. Bra att veta: 1 kWh=3600000 J=3,6∙106 J= 3,6 MJ Exempel: Ett dator utvecklar effekten 120 W. Beräkna energiförbrukningen under ett dygn i enheten: a) Joule b) kWh c) Vad kostar det att ha datorn på under ett dygn, om strömmen kostar 1,25 kr/kWh? d) Vad kostar det att ha datorn på under ett år? Lösning: a) W=Pt=120∙24∙60∙60=10,37 MJ b) W=Pt=120∙24=2880 Wh=2,88 kWh c) Kostnad=2,88∙1,25=3,6 kr d) Kostnad=3,6 ∙365=1314 kr/år Exempel: En vanlig uteffekt på generatorn från en kärnreaktor är 800 MW. Hur många TWh elenergi producerar reaktorn maximalt under 11 månader. Räkna med 30,5 dagar per månad. Vanligtvis är en reaktor avställd under en månad för översyn och byte av uranstavar. Lösning: W=Pt=800∙106∙24∙30,5∙11=6,4∙1012 Wh=6,4 TWh Övningar: 10) Hur mycket energi förbrukar ett element med effekten 1500 W under 5 timmar? Svara i enheten: a) Joule b) kWh 11) Ett elektriskt element utvecklar effekten 750 W. Hur mycket energi förbrukar elementet under 55 minuter? Svara i enheten: a) Joule b) kWh 12) Under ett kallt vinterdygn står ett element som utvecklar effekten 1500 W på hela dygnet. Vad kostar elen för detta, om priset för 1 kWh är 90 öre? 13) En dator med skärm utvecklar effekten 130 W. a) Hur många kWh el förbrukar datorn om den står på i ett dygn? b) Vad kostar detta, om 1 kWh kostar 90 öre? c) Hur många timmar tar det för datorn att förbruka 1 kWh? 14) Datornörden Kalle stänger aldrig av sin datorserver, som utvecklar effekten 75 W. Vad är strömkostnaden för servern under ett år, om 1 kWh kostar 90 öre? 265336316 5/13 Brogårdsgymnasiet 15) I datorsalen finns 22 datorer med skärmar, som var och en tillsammans drar 120 W. Antag att alla datorerna är på under lektionstid. a) Hur många Watt utvecklar datorerna tillsammans? b) Vad är elkostnaden under en skoldag? Räkna med en effektiv tid på 5 timmar och att 1 kWh kostar 90 öre. c) Vad blir elkostnaden under ett läsår? Räkna med 170 skoldagar. Svar: 2020 kr 16) Vindkraftverken som byggs i Vänern utanför Hammarö utvecklar vardera effekten 3 MW. Hur många: a) Datorer som kräver 110 W kan ett vindkraftverk försörja med el? b) Element på 1500 W kan ett vindkraftverk försörja med el? c) Villor som vardera kräver effekten 10 kW kan ett vindkraftverk försörja med el? 17) Hur många hästkrafter (hk) motsvarar effekten 3 MW, om 1 hk=735 W? 18) Ett kärnreaktor utvecklar effekten 900 MW. a) Hur många vindkraftverk på 3 MW krävs det för att ersätta en kärnreaktor? Svar: 300 st b) Hur många hästkrafter motsvarar detta? 19) Antag att ett vindkraftverk genererar 3 MW under 10 % av ett år. a) Hur många kWh produceras under ett år? b) Vad ger detta i intäkter, om i kWh ger 90 öre? 20) En kärnreaktor producerar årligen elenergin 6 TWh. Vad är den elen värd, om i kWh kostar 90 öre? 21) Ett svenskt hushåll förbrukar i snitt c:a 15 000 kWh elenergi per år. Antag att Sverige har 3 miljoner hushåll. a) Hur många kWh förbrukas totalt under ett år i Sverige? Svar: 4,5 1010 kWh b) Hur många kärnreaktorer krävs för att producera den elen, om en reaktor årligen producerar 6 TWh? 265336316 6/13 Brogårdsgymnasiet 22) Ett bilbatteri har kapaciteten 55 Ah vid spänningen 12 V. Hur mycket elenergi innehåller batteriet? Svara i enheten: a) Joule b) kWh 23) Ett kylskåp drar 200 W och är igång 15 min varje timme. a) Vad blir årskostnaden, om elpriset är 1,10 kr/kWh? b) Vad sparar man i elkostnad under ett år, om man byter till en kyl som drar 150 W? 24) Ett hus tar emot elektrisk effekt via en aluminiumledning med arean 63 mm2. Ledningens längd till elstationen är 1200 m. Vid elstationen är spänningen 420 V och vid huset får spänningen inte understiga 400 V. Vilken maximal effekt kan tas ut vid huset? 25) Nyare bilar har batteriet i bagageutrymmet istället för i motorrummet. Detta innebär att det krävs en längre kabel mellan batteri och startmotor, samt att effektförlusterna i kabeln blir större. Vid startögonblicket kan strömmen uppgå till 100 A. Hur stor ska kabelns area vara för att effektförlusten ska vara oförändrad, om kabelarean är 50 mm2 och kabellängden 0,7 m i äldre bilar, samt kabellängden i nyare bilar är 3 m? 26) En elektrisk varmvattensberedare som rymmer 100 liter avger effekten 2500 W om den ansluts till enfas 230 V. a) Hur mycket energi krävs för att värma upp vattnet från 10-70 oC? Det går åt 4187 J för att värma 1 kg vatten en grad. b) Hur lång tid tar uppvärmningen? c) Vad kostar uppvärmningen, om 1 kWh el kostar 1,10 kr. d) Ansluts varmvattensberedaren till tvåfas blir spänningen 400 V. Vilken effekt avger då beredaren? e) Hur lång tid tar då uppvärmningen? 265336316 7/13 Brogårdsgymnasiet Batterier, polspänning, EMK och inre resistans Elektromotorisk spänning Vi börjar med att mäta spänningen över en belyst obelastad fotocell. Vi låter sedan fotocellen driva en liten fläkt och mäter samtidigt spänningen. Belysningen är densamma som tidigare. Det visar sig att spänningen över fotocellen sjunker när fläkten kopplas in. Sedan övergår vi till att mäta spänningen på ett obelastat batteri, den s k tomgångsspänningen. Den är 4,7 V. Vi kopplar sedan in en liten glödlampa i serie med batteriet. Batterispänningen är då 4,4 V. Man kan undra varför spänningen sjunker över en fotocell eller över ett batteri som belastas? Skälet är att fotocellen och batteriet har resistans. Går det ström genom dem blir det ett spänningsfall över resistansen. Alltså sjunker spänningen något. Spänningen som mäts när det inte går någon ström kallas tomgångsspänning, elektromotorisk spänning (ems) eller elektromotorisk kraft (emk). Batteriets EMS och inre resistans Batteri Ett batteri kan tänkas bestå av en spänningskälla (E) seriekopplad A B med batteriets inre resistans (Ri), enligt figuren intill. R I E i Är strömmen genom batteriet I blir den uppmätta polspänningen U mellan punkterna A och B: U = E - IRi (1) Polspänningen är alltså lika stor som ems då strömmen genom batteriet är noll. Vi vill nu bestämma ett batteris ems (E) och dess inre resistans (Ri). Vi gör det genom att successivt koppla in fyra glödlampor parallellt över ett batteri samtidigt som ström och spänning mäts genom och över batteriet, enligt kopplingen nedan: Vi för in mätvärdena i en tabell och ritar ett diagram. Vi anpassar en rät linje till punkterna. Ur diagrammet bestämmer vi sedan E och Ri. U (V) 4,7 4,4 4,1 4,0 3,8 I (A) 0 0,215 0,420 0,600 0,740 5,0 4,5 U (V) Antal Lampor 0 1 2 3 4 4,0 3,5 3,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 I (A) Batteriets ems fås när strömmen är noll, d.v.s. E = 4,7 V. Batteriets inre resistans Ri är detsamma som linjens lutning i diagrammet ovan, eller med formel (1): Ri = (E-U)/I = (4,7-3,8)/0,74 = 1,2 ohm 265336316 8/13 Brogårdsgymnasiet Citronbatteri Vi bygger en galvanisk cell, d.v.s. ett batteri, av citroner koppar- och zinkbleck. Eftersom varje citron ger spänningen knappt 1 V, seriekopplar vi tre citroner, enligt bilden till höger. När citronerna driver en röd lysdiod sjunker polspänningen något. Läs mer om galvaniska celler på länken http://school.chem.umu.se/Experiment/185. Eller varför inte bygga ett potatisbatteri? Här är en länk om energiinnehåll i olika batterityper: http://www.batteriladdare.net/laddningsbarabatterier. Här är en länk om olika typer av batterier, http://batteriforeningen.se/om-batterier/ och här en Powerpoint om batterier: http://web.kristinehamn.se/skola/anders/ellara/batterier.htm (visas bäst i Explorer). Exempel: Ett batteri har EMS E=4,62 V och inre resistansen 0,82 ohm. Batteriet belastas med en lampa som har resistansen 15 ohm. a. Rita kopplingsschema b. Bestäm strömmen i kretsen. c. Bestäm batteriets polspänning. Lösning: a) Up Ri I E RL b) I = E/(Ri + RL) = 4.62/(0.82+15) = 0.292 A 0.29 A c) Up= E-IRi = 4.62-0.292x0.82 = 4.38 V 4.4 V Övningar: 27) Ett batteri med EMK 4,5 V och inre resistansen Ri=1,5 ohm kopplas till ett motstånd med resistansen 15 ohm, enligt kretsen till höger. Bestäm: Batteri E=4,5 V B A I a) Strömmen I i kretsen. b) Batteriets polspänning U mellan punkterna A och B. 28) 15 Två batterier med vardera EMK 4,5 V och inre resistansen Ri=1,5 ohm seriekopplas till ett motstånd med resistansen 15 ohm, enligt kretsen till höger. Bestäm strömmen I och polspänningen UAB när strömbrytaren är: Batteri E=4,5 V Ri Batteri E=4,5 V Ri B A I a) Öppen som i figuren. b) Sluten. 265336316 Ri 15 9/13 Brogårdsgymnasiet 29) Inre resistansen Ri=1,5 ohm. Beräkna strömmen I och polspänningen U mellan A och B i figuren till höger om strömbrytaren är: a) Öppen som i figuren. Batteri E=4,5 V Ri B A I b) Sluten. 10 15 A 30) Ett batteri har EMK E=12 V och inre resistansen 1,5 ohm. Bestäm batteriets polspänning U, d.v.s. spänningen mellan punkterna A och B i kretsen till höger. Ri=1,5 5 10 15 E=12 V B 31) Vilken effekt frigörs i en skiftnyckel med resistansen 0,1 ohm som kortsluter ett 12 volts bilbatteri, om vi antar att batteriets inre resistans är noll? 265336316 10/13 Brogårdsgymnasiet Spänningsdelning Spänningsdelning är ett enkelt sätt att beräkna och fördela spänningen mellan två resistorer. Genom att välja olika resistans på motstånden R1 och R2 kan utspänningen uut varieras, vilken bestäms med Kirchhoffs andra lag: uin i( R1 R2 ) R1 uin R2 uut uin (1) R1 R2 Utspänningen uut tas ut över motståndet R2: (2) uut iR2 Sätt in (2) i (1) för att eliminera strömmen i: u R (3) u ut in 2 R1 R2 Eller formulerat som en överföringsfunktion G: u R2 (4) G ut uin R1 R2 Överföringsfunktionen visar hur stor andel utspänningen uut utgör av inspänningen uin. i Exempel: Bestäm uut, då uin=12 V, R1=20 och R2=10 . Lösning: u R 12 10 120 uut in 2 4V R1 R2 20 10 30 Övningar: 32) Bestäm utspänningen uut, om inspänningen uin=5 V, R1=300 och R2=200 , enligt kopplingsschemat ovan. 33) Hur ska motståndet R2 väljas, om uin=5 V och R1=300 och man vill ha 1 V på utspänningen? 12 V 34) 35) Bestäm spänningen över motståndet 15 med hjälp av spänningsdelning, d.v.s. utan att först beräkna strömmen I. I 15 20 Inspänningen är 24 V och utspänningen ska vara 6 V. Bestäm lämpliga värden på R1 och R2 så att de är i storleksordningen 100-500 . 265336316 11/13 Brogårdsgymnasiet Facit 1) 1380 W 2) 52,9 ohm 3) 2116 W 4) 1998 W 5) 7,8 A 6) 107 V 7) a) 240 A b) 1,8 ohm 8) a) 400 MW=544218 hk b) 0,483 ohm/mil c) 483 kW e) 137369 W f) 11 MW e) 2,8 % 9) a) 53 ohm 10) a) 27 MJ b) 7,5 kWh 11) a) 247500 J 2,48 MJ b) 0,6875 kWh 0,69 kWh 12) 32,40 kr 13) a) 3,12 kWh b) 2,81 kr c) 7,7 h 14) 591 kr 15) a) 2640 W b) 11,88 kr c) 2020 kr 16) a) 27 000 st b) 2000 st c) 300 st 17) 4082 hk 18) a) 300 st b) 1,2 miljoner hk 19) a) 2,628 milj kWh 2,6 milj kWh b) Svar: 2365200 kr 2,4 milj kr 20) 5,4 miljarder kr 21) a) 4,5 1010 kWh b) 7,5 st 22) a) 237600 J b) 0,66 kWh 23) a) 482 kr b) 120 kr 24) 7,2 kW 25) 214 mm2 26) a) 25,1MJ b) 10049 s = 2 h 47 min c) 7,7 kr d) 7561 W e) 3320 s = 55 min 27) a) 0,27 A 28) a) I=0 A, UAB=9,0 V b) I=0,5 A, UAB=7,5 V 29) a) I=0 A, UAB=9,0 V b) I=0,5 A, UAB=7,5 V 30) UAB=10,56 V 31) 1440 W 265336316 c) 103680 W d) 2,9 % d) 38,6 MW e) 9,7 % f) 533,3A b) 3,0 kW b) 4,1 V 12/13 Brogårdsgymnasiet 32) 2V 33) 75 34) 5,1 V 35) Exempelvis R1=300 och R2=100 265336316 13/13 Brogårdsgymnasiet