Linjär algebra – kurs TNA002
Lektionsanteckningar klass ED1
I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit
under lektionstid under kursen TNA002 . Alltså kan detta dokument långt
ifrån betraktas som ett läromedel – bara ett dokument med stödord vilka
hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid...
Peter Holgersson
Lektion 12 – Forts. linjär avbildning
Spektralsatsen…
Exempeluppgift 1
Verifiera Spektralsatsen för matrisen
.
Lösning
Allmänt om spektralsatsen…
Enligt spektralsatsen är reella symmetriska matriser (såsom matrisen )
diagonaliserbara enligt
; egenvektorerna bildar kolonnerna i matrisen
tillhörande egenvärden bildar diagonalen i diagonalmatrisen .
Om egenvektorerna i matrisen
dessutom är ortonormerade gäller att
och
.
Egenvärden…
Egenvärden är de faktorer som egenvektorer – alltså ”högfärdiga” vektorer vilka
behåller sin riktning skalas med under linjär avbildning. Dessa bestäms med hjälp
av sekularekvationen:
eller
Egenvektorer (egenrum)…
Egenrum bestäms – alltså av vektorer vilka behåller sin riktning…
Det första egenrummet är endimensionellt (egenvektorerna en linje):
Det andra egenrummet är tvådimensionellt (egenvektorerna spänner upp ett plan):
Oortogonala basvektorer till egenvektorerna (egenrummen)…
Basvektorerna i det tvådimensionella egenrummet är inte ortogonala men dessa båda
basvektorer är däremot ortogonala mot det endimensionella egenrummet (kontrolleras
med hjälp av skalärprodukten = 0). Därför måste en av basvektorerna i planet ersättas
med en annan vektor inom samma plan. Detta kan ske med hjälp av Gram Schmidts
ortogonaliserings-metod men också genom vektorprodukt ty problemet löses i :
Vektorprodukten
ger en en trippel med tre ortogonala vektorer
Våra egenrum med tidigare basvektorer:
och
Våra egenrum (samma) men ortogonala basvektorer:
och
Normering ger ON-bas och matriserna
och
…
Våra egenrum med ortonormerade basvektorer fås genom division med hjälp av
vektorernas norm:
och
Matrisen byggs nu upp med hjälp av ON-basen, skrivna i positivt orienterad riktning.
Samma ordning som vektorprodukten gjordes i ger lämplig ordning:
och
Vill man kontrollera att ordningen i matrisen ovan är lämplig gör man det enklast genom
att beräkna matrisens determinant och se att den är positiv, i detta fall exakt +1 tack vare
att vektorerna dessutom bildar ON-bas.
Diagonalmatrisen med egenvärden skapas:
Matrisen byggs nu upp med hjälp av basvektorernas tillhörande egenvärden i samma
ordning som egenvektorerna:
Verifiering av sambandet
Verifiering av sambandet
sker nu genom matrismultiplikation:
Vänsterledet: A
Vänsterledet:
Kontroll visar att Vänsterledet
Högerledet
Kvadratisk form…
Exempeluppgift 2
Identifiera grafen till funktionen
alltså punkterna närmast och längst bort från origo.
med tillhörande ”extrempunkter” –
Lösning
Inledning…
Att identifiera och skissa upp elliptiska kurvor med kryssprodukttermer (
-termer) är
svårt i det ordinarie koordinatsystemet – detta p.g.a. att ellipsen är sned. Svårt är
exempelvis att finna ellipsens extrempunkter; de yttersta och innersta punkterna.
Lämpligen genomförs ett basbyte så att man kan beskriva funktionen med en matris på
kanonisk form (utan ”kryssprodukttermer”). På så vis hamnar kurvans extrempunkter
på basvektorernas axlar. Skissande av graf + beräkning av intressanta punkters
koordinater blir då klart enklare.
De nya basvektorerna skapas m h a matrisens egenvektorer vilka är orienterade i
extrempunkternas riktning (kan visas). Med fördel väljs egenvektorerna i form av
ortonormerade vektorer…
Funktion en med hjälp av matris…
Funktionen skrivs med hjälp av matris så att man därefter kan söka egenvärden och
egenvektorer:
Som synes en symmetrisk matris och egenvektorerna kommer att vara ortogonala…
Egenvärden…
Sekularekvationen ger egenvärden:
Egenvektorer (egenrum)…
Egenvektorer bestäms – alltså ”högfärdiga” vektorer vilka behåller sin riktning om linjär
avbildning skulle sker m h a matrisen ovan…
Den första egenvektorn:
Den andra egenvektorn:
Matrisen T med ortonormerade basvektorer…
Egenvektorerna är redan ortogonala (kontrolleras lätt m h a skalärprodukten = 0) och
dessa normeras nu genom division med vektorernas norm:
och
En matris T med ortonormerade egenvektorer i kolonnerna samt en matris skapas nu.
Lämpligt vald ordning av egenvektorerna (det T = +1) är:
och
Diagonalmatrisen D med egenvärden:
Matrisen byggs nu upp med hjälp av ON-basen, skrivna i positivt orienterad riktning. Det
kan exempelvis vara den ordning som vektorprodukten skrevs i:
Kontroll…
Matrisen är nu (ortogonal-) diagonaliserad enligt
och kontroll visar att VL = HL:
De nya basvektorerna…
och
Om man orienterar ett nytt koordinatsystem med hjälp av egenvektorerna ovan som
basvektorer så pekar koordinataxlarna i riktning mot ellipsens extrempunkter.
x2
y1
y2
x1
Den nya ekvationen…
Den kvadratiska formens, skriven på kanonisk form, har en graf som är enklare att skissa
tack vare att skärningspunkterna med de nya axlarna utgör extrempunkter i den nya
basen:
x2
y1
y2
x1
Extrempunkterna…
Insättning av
respektive
ger sedan extrempunkternas koordinater och
avstånd från origo… Extrempunkterna är
respektive
