TSRT91 Reglerteknik:
Föreläsning 2
Martin Enqvist
Reglerteknik
Institutionen för systemteknik
Linköpings universitet
1/1
Föreläsningar
1
2•
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Inledning, grundläggande begrepp.
Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering.
Specifikationer. Rotort.
Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning.
Tidsdiskreta system.
Specifikationer i frekvensplanet.
Kompensering i bodediagram.
Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet.
Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning.
Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet.
Återkoppling, polplacering, LQ-optimering.
Rekonstruktion av tillstånd, observatörer.
Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.
2/1
Repetition: Reglerproblemet
Välj styrsignalen u(t) så att
systemet S (enligt mätsignalen
y(t)) beter sig som önskat
(referenssignalen r(t)) trots inverkan
av störningar v(t).
v
u
Här tittar vi i första hand på linjära, dynamiska system.
S
y
3/1
Exempel: Temperaturreglering
En enkel modell av temperaturen i ett hus:
cẏ(t) = u(t) − d(y(t) − v(t))
Här är
y(t) = temperaturen i huset [grader C eller K]
u(t) = värmeelementens effekt [W]
v(t) = utomhustemperaturen [grader C eller K]
c = husets värmekapacitet [J/K]
d = värmeövergångstalet för väggarna [W/K]
4/1
Repetition: Öppen styrning & P-reglering
Öppen styrning (styrning utan hjälp av mätningar):
• Är känslig för störningar och modellfel.
P-reglering u(t) = KP (r(t) − y(t)):
• Fungerar skapligt och kan t.ex. göra systemet snabbare.
• Ger ofta ett stationärt fel.
• Om detta fel ska bli litet måste KP vara stort (stora styrsignaler krävs).
5/1
Repetition: P-reglering: Normal utomhustemp.
Temperaturreglering, P−reglering (r=20, v=0, d=200)
20
Öppen styrning
Kp=1000
Kp=5000
18
Temperatur (grader C)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
Tid (h)
50
60
70
6/1
PI-reglering: Normal utomhustemperatur
Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=0, d=200)
25
Öppen styrning
Kp=600, Ki=100
Temperatur (grader C)
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
Tid (h)
50
60
70
7/1
PI-reglering: Låg utomhustemperatur
Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=−10, d=200)
25
Öppen styrning
Kp=600, Ki=100
Temperatur (grader C)
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
Tid (h)
50
60
70
8/1
PI-reglering: Normal utomhustemperatur
Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=0, d=200)
30
Öppen styrning
Kp=600, Ki=600
Temperatur (grader C)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
Tid (h)
50
60
70
80
9/1
PI-reglering
I-delen:
• Eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel.
• Kan göra systemet mer oscillativt.
10 / 1
PID-reglering: Normal utomhustemperatur
Temperaturreglering, PID−reglering (r=20, v=0, d=200)
30
Öppen styrning
Kp=600, Ki=600
Kp=600, Ki=600, Kd=4000
Temperatur (grader C)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
Tid (h)
50
60
70
80
11 / 1
PID-reglering
D-delen:
• Minskar ofta överslängen i stegsvaret.
• Gör systemet mer känsligt för mätbrus.
• Kan inte implementeras exakt.
12 / 1
Stegsvar och rampsvar
Ett systems stegsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är ett
steg:
(
0, t < 0
u(t) =
1, t ≥ 0
Ett systems rampsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är en
ramp:
(
0, t < 0
u(t) =
t, t ≥ 0
13 / 1
Inställningsregler för PID-regulatorer
Man kan ställa in PID-regulatorer även om man inte har en matematisk
modell eller förkunskaper om systemet:
1. Bestäm en enkel modell m.h.a. ett experiment:
•
•
Stegsvarsexperiment
Självsvängningsexperiment (P-reglering med så stort KP att systemet
självsvänger)
2. Ställ in PID-parametrarna genom att använda någon inställningsregel,
t.ex.:
•
•
Ziegler-Nichols
Åström-Hägglund
14 / 1
Två typer av reglerproblem
• Servoproblemet: Systemets utsignal ska följa en given referenssignal
så bra som möjligt. (T.ex.: Industrirobotar)
• Regulatorproblemet: Systemets utsignal ska hållas konstant trots att
det finns störningar som påverkar systemet. (T.ex.: Nivåreglering i en
tank)
15 / 1
Instabilitet
Ett försök till PI-reglering av en satellits position:
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0
2
4
6
8
10
16 / 1
Stabilitet
Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad
insignal ger en begränsad utsignal.
17 / 1
Laplacetransformen
Ett alternativ till att arbeta direkt med differentialekvationer är att använda
laplacetransformen:
Z
Y (s) = L[y(t)](s) =
∞
y(t)e−st dt
0
(s = σ + iω)
Fördel: Underlättar många beräkningar som t.ex. derivering, integrering och
faltning.
18 / 1
Laplacetransformen. . .
Några egenskaper:
L{af (t) + bg(t)} = aF (s) + bG(s)
d
L{ f (t)} = sF (s) − f (0)
dt
Z t
1
L{
f (τ ) dτ } = F (s)
s
0
L{f (t − L)} = e−sL F (s)
Z
L{
t
f (t − τ )g(τ ) dτ } = F (s)G(s)
0
Slutvärdesteoremet (om f (t) konvergerar):
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
19 / 1
Överföringsfunktion
Betrakta en differentialekvation
dn
dn−1
dm
y(t)
+
a
y(t)
+
.
.
.
+
a
y(t)
=
b
u(t) + . . . + bm u(t)
1
n
0
dtn
dtn−1
dtm
Laplacetransformering ger (om alla initialvillkor är noll)
Y (s) =
b0 sm + . . . + bm
U (s)
sn + a1 sn−1 + . . . + an
där
G(s) =
sn
b0 sm + . . . + bm
+ a1 sn−1 + . . . + an
är systemets överföringsfunktion.
20 / 1
Poler och nollställen
Överföringsfunktion:
G(s) =
b0 sm + . . . + bm
B(s)
=
n
n−1
s + a1 s
+ . . . + an
A(s)
Systemets poler: Rötterna till A(s) = 0
Systemets nollställen: Rötterna till B(s) = 0
21 / 1
Stabilitet
Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal.
Ett system med proper överföringsfunktion G(s)
är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla
poler till G(s) har strikt negativa realdelar.
(proper = nämnarpolynomets gradtal ≥ täljarpolynomets gradtal)
22 / 1
Poler och stegsvar
1
Stegsvar från första
ordningens system
0.9
0.8
0.7
1
sT + 1
0.6
0.5
0.4
• T =1
0.3
• T =2
0.2
• T =3
0.1
0
0
2
4
6
8
10
23 / 1
Tidskonstant
Parametern T i
G(s) =
1
sT + 1
är ett mått på systemets snabbhet och kallas för tidskonstant.
Tidskonstanten är den tid det tar för stegsvaret att nå 63% av slutvärdet.
(Denna definition gäller även för system av högre ordning.)
24 / 1
Poler och stegsvar. . .
1
0.9
0.8
Stegsvar från andra
ordningens system
0.7
0.6
0.5
2
(s + 1)(s + 2)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
25 / 1
Poler och stegsvar. . .
0
Stegsvar från andra
ordningens system
−2
(s − 1)(s + 2)
−5000
−10000
−15000
0
2
4
6
8
10
26 / 1
Poler och stegsvar. . .
1.6
Stegsvar från andra
ordningens system
ω02
2
s + 2ζω0 s + ω02
1.4
1.2
1
0.8
• ζ=1
0.6
• ζ = 0.6
0.4
• ζ = 0.2
0.2
(ω0 = 1)
0
0
2
4
6
8
10
27 / 1
Poler och stegsvar. . .
400
300
Stegsvar från andra
ordningens system
ω02
s2 + 2ζω0 s + ω02
200
100
0
(ω0 = −3, ζ = 0.2)
−100
−200
0
2
4
6
8
10
28 / 1
Poler och stegsvar – Sammanfattning
• En pol (eller flera) i högra halvplanet ger ett instabilt system.
• Alla poler i vänster halvplan ger ett stabilt system.
• De poler som är närmast origo dominerar (oftast) dynamiken. (De
långsammaste polerna bestämmer mest.)
• Dominerande poler långt från origo ger ett snabbt system.
• Dominerande poler med stor imaginärdel (jämfört med realdelen) ger
ett oscillativt (slängigt) system.
29 / 1
Sammanfattning
• P-, PI- och PID-reglering
• I-delen eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel men kan göra
systemet mer oscillativt
• D-delen har en dämpande inverkan men kan göra systemet mer känsligt
för mätbrus
• Insignal-utsignalstabilitet
• Överföringsfunktioner
• Nollställen
• Poler och deras koppling till stegsvaret
www.liu.se
