Lösningsförslag för Övningstentamen i Dynamiska System och Reglering, TSRT21
1. (a) Det behövs 4 tillstånd eftersom systemet G(s) har 4 poler.
(b) Systemet har ett nollställe i s = −2. Systemet har två poler i s = −1 eftersom (s + 1)2 = s2 + 2s + 1.
Systemet är stabilt eftersom polerna är i vänster halvplan, alltså s < 0
Rτ
Rτ
2. (a) Vi har att 0 θ̇(τ )dτ = 0 ω(τ )dτ = θ(t). Dessutom är vinkelhastigheten konstant, dvs ω(t) = ω0 . Om
man bortser från eventuellt brus kommer gyroskopet att mäta ωm = ω0 + b och således kommer vinkeln fås
som integralen av gyrosignalen, alltså, θ = t(ω0 + b). Rotationsvinkeln beror alltså linjärt på biasfelet.
(b) D-delen i en PID-regulator minskar ofta överslängen (fördel), gör systemet långsammare (nackdel) och
känsligare för högfrekvent mätbrus (nackdel).
3. (a) Ur figuren fås att stegsvaret går mot 4 som också är värdet på Kp . Det kan man antingen bestämma Kp
P 1
med hjälp av slutvärdes teoremet som ger limt→∞ y(t) = lims→0 sG(s)U (s) = lims→0 s sTK+1
s = Kp = 4
1
−T
eller i tidsdomänen där stegsvaret blir y(t) = Kp (1 − e ) och y(t) = Kp = 4 då t → ∞. Tidskonstanten
T kan avläsas som tiden det tar för utsignalen att nå 63% av slutvärdet, dvs 4 · 0.63 ≈ 2.5 som sker vid
t ≈ 10. Alltså är T = 10.
(b) Specifikationen är att det slutna systemets tidskonstant Tc skall vara dubbelt så snabb som det öppna
systemet, alltså Tc = T /2 = 5. Från Kurskompendiet i avsnitt 4.4.2 fås att Tc /T = λ = 0.5 och systemet
innehåller ingen tidsfördröjning så L = 0. Ekvation (4.17) ger då att K = KpTλT = 4 · 1010· 0.5 = 0.5 samt
TI = T = 10. Alltså fås regulatorn
1
1
F (s) = K 1 +
= 0.5 1 +
(1)
sTI
s10
4. (a) Den röda (streckade) signalen har en vinkelfrekvens ωröd = 2rad/s och den blå (heldragna) signalen, som är
dubbelt snabb, har alltså vinkelfrekvensen ωblå = 4rad/s. Samplingsteoremet säger att samplingsfrekvensen
skall minst vara dubbelt så snabb som den snabbaste frekvensen i systemet. Detta ger att fs = 1/Ts ≥
ωblå 2 = 8rad/s = 4/πHz. Detta vill man göra för att undvika aliaseffekt.
(b) Filtret i Figur 5 har använts eftersom det är ett lågpass filter och den filtrerade signalen har väldigt lite
högfrekvent innehåll kvar. Filtret i Figur 6 är ett högpassfilter.
5. Tillståndsformen blir
ẋ1
ẋ2
=
0
−k/J
1
−f /J
x1
0
0
+
u=
x2
k/J
−2
1
x1
0
+
u
−1
x2
2
Poler i −2 ± 2i svara mot en karakteristisk ekvation
0 = (s + 2 − 2i)(s + 2 + 2i) = s2 + 4s + 8
Karakteristika ekvationen för det slutna systemet med återkopplingen u(t) = −Lx(t)+r(t), där L = (l1 , l2 ),
blir
0
1
0
l1 l2
0 = det sI −
+
= s2 + (1 + 2l2 )s + 2 + 2l1 .
−2 −1
2
Koefficienterna kan nu identifieras som l1 = 3 och l2 = 3/2
6. (a) Det återkopplade systemets blockschema illustreras i figur 1.
Figure 1: Slutna systemets blockchema för uppgift 6.(a).
Det återkopplade systemets överföringsfunktion blir
Gc (s) =
G(s)F (s)
KP + KD s
KP + KD s
=
= 2
1 + G(s)F (s)
ms2 + ds + k + KP + KD s
s + s + 1 + KP + KD s
1
(b) I och med att det återkopplade systemet är stabilt så kan man använda slutvärdesteoremet. Då fås
lim y(t) = lim sGc (s)R(s) = lim s ·
t→∞
s→0
s→0
2
KP + KD s
1
KP
· =
s2 + s + 1 + KP + KD s s
1 + KP
