1/1 Föreläsningar 1 2• 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. Specifikationer. Rotort. Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. Tidsdiskreta system. Specifikationer i frekvensplanet. Kompensering i bodediagram. Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning. 2/1 Repetition: Reglerproblemet 3/1 Exempel: Temperaturreglering En enkel modell av temperaturen i ett hus: Välj styrsignalen u(t) så att systemet S (enligt mätsignalen y(t)) beter sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots inverkan av störningar v(t). cẏ(t) = u(t) − d(y(t) − v(t)) v Här är u Här tittar vi i första hand på linjära, dynamiska system. S y y(t) = temperaturen i huset [grader C eller K] u(t) = värmeelementens effekt [W] v(t) = utomhustemperaturen [grader C eller K] c = husets värmekapacitet [J/K] d = värmeövergångstalet för väggarna [W/K] 4/1 Repetition: Öppen styrning & P-reglering 5/1 Repetition: P-reglering: Normal utomhustemp. Temperaturreglering, P−reglering (r=20, v=0, d=200) 20 Öppen styrning Kp=1000 Kp=5000 18 Öppen styrning (styrning utan hjälp av mätningar): P-reglering u(t) = KP (r(t) − y(t)): • Fungerar skapligt och kan t.ex. göra systemet snabbare. • Ger ofta ett stationärt fel. • Om detta fel ska bli litet måste KP vara stort (stora styrsignaler krävs). Temperatur (grader C) 16 • Är känslig för störningar och modellfel. 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 Tid (h) 50 60 70 6/1 PI-reglering: Normal utomhustemperatur 7/1 PI-reglering: Låg utomhustemperatur Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=0, d=200) Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=−10, d=200) 25 25 Öppen styrning Kp=600, Ki=100 Öppen styrning Kp=600, Ki=100 20 Temperatur (grader C) Temperatur (grader C) 20 15 10 5 0 0 15 10 5 10 20 30 40 Tid (h) 50 60 70 0 0 10 20 30 40 Tid (h) 50 60 70 8/1 PI-reglering: Normal utomhustemperatur 9/1 PI-reglering Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=0, d=200) 30 Öppen styrning Kp=600, Ki=600 Temperatur (grader C) 25 I-delen: 20 • Eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel. • Kan göra systemet mer oscillativt. 15 10 5 0 0 10 20 30 40 Tid (h) 50 60 70 80 10 / 1 PID-reglering: Normal utomhustemperatur 11 / 1 PID-reglering Temperaturreglering, PID−reglering (r=20, v=0, d=200) 30 Öppen styrning Kp=600, Ki=600 Kp=600, Ki=600, Kd=4000 Temperatur (grader C) 25 D-delen: 20 • Minskar ofta överslängen i stegsvaret. • Gör systemet mer känsligt för mätbrus. 15 • Kan inte implementeras exakt. 10 5 0 0 10 20 30 40 Tid (h) 50 60 70 80 12 / 1 Stegsvar och rampsvar 13 / 1 Inställningsregler för PID-regulatorer Man kan ställa in PID-regulatorer även om man inte har en matematisk modell eller förkunskaper om systemet: Ett systems stegsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är ett steg: ( 0, t < 0 u(t) = 1, t ≥ 0 1. Bestäm en enkel modell m.h.a. ett experiment: • • Ett systems rampsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är en ramp: ( 0, t < 0 u(t) = t, t ≥ 0 Stegsvarsexperiment Självsvängningsexperiment (P-reglering med så stort KP att systemet självsvänger) 2. Ställ in PID-parametrarna genom att använda någon inställningsregel, t.ex.: • • Ziegler-Nichols Åström-Hägglund 14 / 1 Två typer av reglerproblem 15 / 1 Instabilitet Ett försök till PI-reglering av en satellits position: 15 10 • Servoproblemet: Systemets utsignal ska följa en given referenssignal så bra som möjligt. (T.ex.: Industrirobotar) • Regulatorproblemet: Systemets utsignal ska hållas konstant trots att det finns störningar som påverkar systemet. (T.ex.: Nivåreglering i en tank) 5 0 −5 −10 −15 −20 0 2 4 6 8 10 16 / 1 Stabilitet 17 / 1 Laplacetransformen Ett alternativ till att arbeta direkt med differentialekvationer är att använda laplacetransformen: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. Y (s) = L[y(t)](s) = Z ∞ y(t)e−st dt 0 (s = σ + iω) Fördel: Underlättar många beräkningar som t.ex. derivering, integrering och faltning. 18 / 1 Laplacetransformen. . . 19 / 1 Överföringsfunktion Några egenskaper: L{af (t) + bg(t)} = aF (s) + bG(s) d L{ f (t)} = sF (s) − f (0) dt Z t 1 L{ f (τ ) dτ } = F (s) s 0 L{ Z 0 t Betrakta en differentialekvation dn dn−1 dm y(t) + a1 n−1 y(t) + . . . + an y(t) = b0 m u(t) + . . . + bm u(t) n dt dt dt Laplacetransformering ger (om alla initialvillkor är noll) L{f (t − L)} = e−sL F (s) f (t − τ )g(τ ) dτ } = F (s)G(s) Slutvärdesteoremet (om f (t) konvergerar): lim f (t) = lim sF (s) t→∞ s→0 Y (s) = b0 sm + . . . + bm U (s) sn + a1 sn−1 + . . . + an där G(s) = b0 sm + . . . + bm sn + a1 sn−1 + . . . + an är systemets överföringsfunktion. 20 / 1 Poler och nollställen Stabilitet Överföringsfunktion: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. m G(s) = 21 / 1 sn b0 s + . . . + bm B(s) = n−1 + a1 s + . . . + an A(s) Ett system med proper överföringsfunktion G(s) är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla poler till G(s) har strikt negativa realdelar. Systemets poler: Rötterna till A(s) = 0 Systemets nollställen: Rötterna till B(s) = 0 (proper = nämnarpolynomets gradtal ≥ täljarpolynomets gradtal) 22 / 1 Poler och stegsvar 23 / 1 Tidskonstant 1 Stegsvar från första ordningens system 0.9 Parametern T i 0.8 0.7 1 sT + 1 G(s) = 0.6 är ett mått på systemets snabbhet och kallas för tidskonstant. 0.5 Tidskonstanten är den tid det tar för stegsvaret att nå 63% av slutvärdet. (Denna definition gäller även för system av högre ordning.) 0.4 • T =1 • T =2 • T =3 0.3 0.2 0.1 0 0 1 sT + 1 2 4 6 8 10 24 / 1 Poler och stegsvar. . . 25 / 1 Poler och stegsvar. . . 1 0 0.9 0.8 Stegsvar från andra ordningens system 0.7 Stegsvar från andra ordningens system 0.6 −5000 0.5 2 (s + 1)(s + 2) −2 (s − 1)(s + 2) 0.4 0.3 −10000 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 −15000 0 10 2 4 6 8 26 / 1 Poler och stegsvar. . . 27 / 1 Poler och stegsvar. . . 1.6 Stegsvar från andra ordningens system ω02 s2 + 2ζω0 s + ω02 400 1.4 300 Stegsvar från andra ordningens system 1.2 1 ω02 s2 + 2ζω0 s + ω02 0.8 • ζ=1 • ζ = 0.6 • ζ = 0.2 (ω0 = 1) 10 0.6 200 100 0 (ω0 = −3, ζ = 0.2) 0.4 −100 0.2 0 0 2 4 6 8 10 −200 0 2 4 6 8 10 28 / 1 Poler och stegsvar – Sammanfattning • En pol (eller flera) i högra halvplanet ger ett instabilt system. • Alla poler i vänster halvplan ger ett stabilt system. 29 / 1 Sammanfattning • P-, PI- och PID-reglering • I-delen eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel men kan göra systemet mer oscillativt • De poler som är närmast origo dominerar (oftast) dynamiken. (De långsammaste polerna bestämmer mest.) • D-delen har en dämpande inverkan men kan göra systemet mer känsligt • Dominerande poler långt från origo ger ett snabbt system. • Insignal-utsignalstabilitet • Dominerande poler med stor imaginärdel (jämfört med realdelen) ger ett oscillativt (slängigt) system. för mätbrus • Överföringsfunktioner • Nollställen • Poler och deras koppling till stegsvaret www.liu.se