Föreläsning 15

Endimensionell analys (FMAA005)
Anders Källén
Föreläsning 15
Innehåll: Skissera lösningar till differentialekvationer
1. Exponentiella tillväxt
2. Första ordningens differentialekvationer
3. Massbalans
Efter dagens föreläsning måste du
- veta vad en första ordningens differentialekvation är
- kunna ställa upp en sådan efter massbalansprincipen
Detta kallas logistisk tillväxt och innebär att när y(t) ≈ 0 så har vi
(nästan) exponentiell tillväxt, men när y(t) ≈ K sker ingen ytterligare
tillväxt. Vi ska återkomma till ett exempel på detta nedan.
Anmärkning Om vi definierar exponentialfunktionen y( x ) = e x som
den funktion som uppfyller y0 ( x ) = y( x ), y(0) = 1, så gäller att funktionen y( x ) = e x0 e x löser problemet y0 ( x ) = y( x ), y(0) = e x0 . Men
det gör också funktionen y( x ) = e x+ x0 , och eftersom det bara finns en
lösning måste det gälla att e x+ x0 = e x0 e x . Vi ser att differentialekvationen medför att potenslagarna ska gälla.
Första ordningens differentialekvationer
Exponentiell tillväxt
I en viss bakteriekultur ändras antalet bakterier med en hastighet som
är proportionell mot antalet bakterier. Det betyder att det finns en
konstant k sådan att om y(t) = antalet bakterier vid tiden t, så gäller
att
y0 (t) = ky(t).
En första ordningens differentialekvation är (i vår kurs) en ekvation
som ska bestämma en funktion y(t) utifrån kunskap om dess derivata:
y0 (t) = f (t, y(t)).
För att få funktionen entydigt bestämd måste vi ange ett ytterligare
villkor, vilket oftast är ett begynnelsevillkor
Detta är en första ordningens differentialekvation. För att få en entydig lösning på den måste vi ange någonting till, och det naturliga här
är att ge ett startvillkor, dvs specificera vad värdet är då t = 0:
y (0) = y0 ,
y (0) = y0 .
men vi kan ange värdet i vilken punkt vi vill. Funktionen f (t, y) talar
om vilken riktningskoefficient tangenten till grafen y = y(t) ska ha i
punkten (t, y). Grafen till en lösning på differentialekvationen kallas
en bana för ekvationen. Geometriskt inser man att
Enligt en diskussion i F13 har detta problem lösningen
y(t) = y0 ekt .
Genom en punkt (t, y) går precis en bana till differentialekvationen.
Antag att vi vet att antalet bakterier vid en viss tidpunkt var y0 =
4 · 106 celler och att vi börjar räkna från den tidpunkten. Om det två
timmar senare hade vuxit till 108 celler, kan du då bestämma hur
många det fanns efter ytterligare två timmar?
Strikt sett krävs lite av f för att detta ska gälla, men de kraven gäller i
de fall vi är intresserade av.
Ja, för villkoret innebär att
y(2) = 108 ⇔ 4 · 106 e2k = 108 ⇔ k =
1
ln 25
2
Vi ska nu endast intressera oss för fall där funktionen f (t, y) inte beror av t (annat än genom y(t)). Med andra ord, vi ska fokusera på
ekvationer på formen
y0 (t) = f (y(t))
för någon funktion f (y) av en variabel. För dessa gäller att om
f (y0 ) = 0 så gäller att den konstanta funktionen
och vi får nu att
y(4) = 4 · 106 e4k = 4 · 106 e2 ln 25 = 106 · 4252 =
1 10
10
4
Anmärkning Ett snyggare sätt att räkna här är
y (4) =
1
1016
1
y (2)2 =
= 1010 .
y0
4
4 · 106
I det här fallet hade vi en differentialekvation som vi kunde lösa med
våra kunskaper från denna delkurs. Att lösa allmännare differentialekvationer kommer vi att återkomma till i nästa delkurs. Det vi ska
göra nu är att försöka använda ekvationen själv till att skissera lösningarna, utan att för den skull ha en explicit formel för dessa.
Anmärkning Exponentiell tillväxt kan naturligtvis inte fortgå hur
länge som helst. Om inte annat räcker inte födan med tiden. En mer
relatistisk modell för tillväxt är därför att konstanten k inte är en konstant, utan beror på hur många djur det finns. En enkel modell bygger
på att vi antar att det finns ett maximalt antal som djuren kan uppnå,
kalla det K, men att tillväxthastigheten avtar ju mer man närmar sig
detta värde. Mer precist antar man att den relativa tillväxten kan skrivas
y0 (t)
y(t)
= r (1 −
).
y(t)
K
y(t) = y0 för alla t
är en lösning till differentialekvationen (med y(0) = y0 naturligtvis).
Sådana lösningar kallas jämviktslösningar till ekvationen och spelar en
viktig roll som vi snart ska se. Till stor del beror det på att grafen för
en annan lösning inte kan korsa nivån y = y0 .
Vidare kan vi observera att om y(t) växer (eller avtar) mot ett värde
y0 , så måste y0 (t) → 0 då t → ∞. Men då följer att 0 = f (y0 ), vilket
betyder att y0 är en jämviktslösning. En monoton lösningskurva kan
därför endast antingen närma sig en jämviktslösning eller gå mot ∞
eller −∞.
Massbalans
Frågan i följande exempel har nog ett svar som är självklart. Men det
ändå värt som en introduktion till det vi ska göra.
Exempel En 100 L tank innehåller salt med koncentration 30 g/L.
Den fylls med en saltlösning med concentration 20 g/L med en hastighet av 5 L/min, samtidigt som den tappas på sitt innehåll med samma
hastighet (så att volymen hela tiden är 100 L). Blandningen är hela tiden väl blandad. Vilken koncentration kommer tanken att innehålla
efter lång tid?
Det vi ska göra är att
Steg I: Identifiera samband som måste gälla för funktionen (här:
identifiera en differentialekvation)
Steg II: Skissera hur olika lösningar kan se ut till denna ekvation, och
speciellt den lösning som svarar mot vårt startvillkor.
Massbalans Mängd y(t) av något ändras med en hastighet som är nettot av inflöde och utflöde:
dy = min dt − mu dt
Eftersom koncentrationen fås genom att dividera med 100 och vi startar med C (0) = 30, så ser vi att C (t) → 20 då t → ∞. Som intuitionen
sa oss.
Anmärkning Faktum är att vi kan lösa denna ekvation explicit också.
Om vi nämligen inför funktionen z = 100 − 0.05y, så gäller att z0 =
−0.05y0 = −0.05z och z(0) = 100 − 0.05y(0) = 100 − 150 = −50.
Det betyder att z(t) = −50e−0.05t och från det får vi att y(t) = (100 −
z(t))/0.05 = 2000 + 1000e−0.05t . Men detta tillhör egentligen nästa
delkurs.
y0 (t) = min − mut
⇔
Ett ekologiskt exempel
där m X är flöden (alltså storheter mängd per tidsenhet).
I vårt fall
- y(t) = 100C (t) där C (t) är koncentrationen salt vid tiden t.
- min (t) = 20 · 5 = 100 g/L
- mut (t) = 5C (t) = 0.05y(t) g/L.
Ger differentialekvationen
y0 (t) = 100 − 0.05y(t).
Följande svit av exempel är extremt grova ekologiska modeller.
Exempel På en liten söderhavsö finns en population om 6000 fåglar
som är stabil år efter år. För sekler sedan när de första fåglarna sökte
sig dit visade det sig att deras relativa tillväxthastighet var 0.3 per år.
Om y(t) = antalet fåglar vid tiden t, räknat i tusental, så betyder det
senare att y0 (t)/y(t) = 0.3 när N var litet, dvs y0 (t) = 0.3y(t) då. Nu
är populationen stabil, och får antas vara i ett jämviktsläge y0 = 6. För
att modellera detta använder vi den logistiska tillväxtmodellen som
kort diskuterades ovan.
Dessutom vet vi att y(0) = 100 · 30 = 3000 g. Detta avslutar Steg I.
Kvalitativ analys av ekvationen
Vi antar att det är “fågeldynamiken” på ön.
Vi ska nu se hur lösningarna till problemet
y0 (t) = f (y(t)),
y0 (t) = 0.3y(t)(1 − y(t)/6).
För att förstå denna differentialekvation gör vi nu en teckentabell:
y (0) = y0 ,
y
f (y)
y(t)
där f (y) = 100 − 0.05y, ser ut. Vi ska skissera lösningarna utifrån
ekvationen enbart, utan att lösa den (det ska vi gör i nästa delkurs).
För detta noterar vi först att
+
%
6
0
−
&
Vi kan sedan översätta informationen i denna tabell till en enkel skiss
över hur lösningarna ser ut:
f (y) = 0 ⇔ y = 100/0.05 = 2000.
8
Vi gör nu en enkel teckentabell:
y
f (y)
y(t)
0
0
&
6
2000
0
−
&
4
y
+
%
Det denna betyder är att om y(t) < 2000 gäller att y0 (t) = f (y(t)) > 0,
vilket betyder att y(t) är växande. Om alltså y0 < 2000 och y(t) är den
lösning som är sådan att y(0) = y0 , så kommer y(t) att växa hela tiden.
Den kan emellertid endast växa asymptotiskt mot värdet y = 2000, så
y(t) → 2000 då t → ∞. Om istället y(0) > y0 kommer y(t) att avta
och asymptotiskt närma sig samma värde.
2
0
−2
0
5
10
15
t
3,000
Exempel En dag upptäckte långväga sjöfarare att fåglarna var goda
att äta, varför de stannade till och “bunkrade” vid sina resor. De tog
250 fåglar per år. Det betyder att nu blir dynamiken istället
2,000
y
y0 (t) = 0.3y(t)(1 − y(t)/6000) − 250.
Frågan är nu, om detta pågår länge, hur många fåglar finns det då på
ön?
1,000
Om fåglar räknas i tusental får vi här ekvationen
0
0
10
20
30
40
50
t
Anmärkning Man säger att jämviktsläget i detta fall är stabilt, eftersom oavsett vilket värde i närheten av jämviktsvärdet vi startar
med, så gäller att vi med tiden kommer att närma oss detta jämviksläge.
y0 = 0.3y(1 − y/6) − 0.25 = −
1
(y − 5)(y − 1).
20
Genom att studera ekvationen inser vi att beståndet minskar till 5 tusen fåglar p.g.a. sjömännen. Figuren nedan visar jämviktslägena (röda) och några typlösningar till ekvationen (framtaget genom en teckenanalys av ekvationen, inte genom att beräkna lösningen).
6
y
4
2
0
0
5
10
t
15
20
Anmärkning Här ser vi att jämviktsläget y0 = 6 är stabilt som ovan,
medan y0 = 1 inte är det. Istället gäller att hur nära 1 vi än startar (så
länge y(0) 6= 1), så kommer y(t) att försvinna iväg från ett. Ett jämviktsläge som på detta sätt “stöter bort” lösningen sägs vara instabilt.
Exempel Slutligen: efter en längre tid sker ett vulkanutbrott på ön
som gör att endast 800 fåglar överlever. Vad får det för långsiktiga
konsekvenser?
Efter vulkanutbrottet gäller alltjämnt ekvationen ovan, med startvillkoret y(0) = 0.8. Eftersom y(0) < 1 kommer populationen att dö ut,
men för att avgöra när måste vi lösa ekvationen. Och det gör vi i nästa
läsperiod.
Anmärkning Den finns en viktig lärdom om fenomenet fiskekvoter
från detta exempel. Fundera igenom denna tolkning av data istället,
och dess praktiska konsekvenser för fiskpopulationer.
Exempel I en ekologisk modell som handlar om en insektslarv som
förstör värdefulla träd behövde man förstå hur dynamiken fungerade:
när är det larven endast finns sporadiskt och när sker utbrott.
Modellen man använde var att densiteten larver u(t) var en lösning
till ekvationen
u0 (t) = f (u(t))u(t)
där funktionen f :s graf ges nedan:
1
f (u)
0.5
u
5
10
15
−0.5
1.
2.
3.
4.
Vilka jämvikslägen finns här?
Vilka av dem är stabila?
Skissera hur lösningarna ser ut för olika val av vad u(0) är.
Kan du tolka resultaten i sammanhanget?