Endimensionell analys (FMAA005)
Anders Källén
Föreläsning 22
Innehåll: Första ordningens differentialekvationer
Kapitel 15.1 t.o.m. sid 364
1. Första ordningens differentialekvationer
2. Massbalans
3. Integrerande faktor
Efter dagens föreläsning måste du
- veta vad en första ordningens differentialekvation är
- kunna ställa upp en sådan efter massbalansprincipen
- kunna metoden med integrerande faktor
Första ordningens differentialekvationer
En första ordningens differentialekvation är (i vår kurs) en ekvation
som ska bestämma en funktion y(t) utifrån kunskap om dess derivata:
y0 (t) = f (t, y(t)).
Ger differentialekvationen
M0 (t) = 100 − 0.05M(t).
Dessutom vet vi att M(0) = 100 · 30 = 3000 g. Detta avslutar Steg I.
Steg II och III kommer strax.
Integrerande faktor
Saltexemplet gav en ekvation på formen
y0 (t) + ky(t) = h(t).
Sådana löses med ett trick: multiplicera ekvationen med ekt . Då blir
vänsterledet en jämn derivata och vi kan lösa ekvationen:
ekt h(t) = ekt y0 (t) + kekt y(t) = (ekt y(t))0 .
Det är bara att hitta en primitiv funktion till vänsterledet här:
För att få funktionen entydigt bestämd måste vi ange ett ytterligare
villkor, vilket oftas är ett begynnelsevillkor
y (0) = y0 .
Funktionen f (t, y) talar alltså om vilken riktningskoefficient tangenten till grafen y = y(t) ska ha i punkten (t, y). Geometriskt inser man
Genom en punkt (t, y) går högst en graf till en lösning till
differentialekvationen.
En linjär differentialekvation av första ordning är på formen
Z
ekt y(t) =
ekt h(t)dt.
Lägg märke till att det finns en okänd konstant i högerledet!
Exempel Problemet
M0 (t) + 0.05M(t) = 100,
M(0) = 3000
löses genom multiplikation med e0.05t :
(e0.05t M(t))0 = 100e0.05t ⇒ e0.05t M(t) = 2000e0.05t + C ⇔
M(t) = 2000 + Ce−0.05t .
a(t)y0 (t) + b(t)y(t) = c(t)
Därmed är Steg II klart.
Konstanten C bestäms av villkoret vid start:
där a, b, c är kända funktioner.
Massbalans
⇔
3000 = M (0) = 2000 + C
Exempel En 100 L tank innehåller salt med koncentration 30 g/L.
Den fylls med en saltlösning med concentration 20 g/L med en hastighet av 5 L/min, samtidigt som den tappas på sitt innehåll med samma
hastighet (så att volymen hela tiden är 100 L). Blandningen är hela tiden väl blandad. Vilken koncentration kommer tanken att innehålla
efter lång tid, och när når den koncentrationen 25 g/L?
Intuitivt är det klart att efter lång tid är saltkoncentrationen 20 g/L,
men för att kunna svara på den andra frågan måste vi kunna bestämma koncentrationen som en funktion av tiden.
C = 1000,
och eftersom koncentrationen var 1/100 av mängden följer att
C (t) = 20 + 10e−0.05t .
Detta fullbordar Steg III.
Återstår att bestämma tidpunkten i problemet:
C (t) = 25 ⇔ 25 = 20 + 10e−0.05t ⇔ t = 20 ln 2,
vilket är approximativt 14 min.
Steg I: Identifiera samband som måste gälla för funktionen (här:
identifiera en differentialekvation)
Steg II: Bestäm alla funktioner som uppfyller dessa samband
Steg III: Använd starvillkor (el. dyl.) till att bestämma den lösning vi
söker
Massbalans Mängd M(t) av något ändras med en hastighet som är
nettot av inflöde och utflöde:
dM = min dt − mu dt
⇔
M0 (t) = min − mut
där m X är flöden (alltså storheter mängd per tidsenhet).
I vårt fall
- M(t) = 100C (t) där C (t) är koncentrationen salt vid tiden t.
- min (t) = 20 · 5 = 100 g/L
- mut (t) = 5C (t) = 0.05M(t) g/L.
En ekvation på formen
y0 (t) + g(t)y(t) = h(t)
kan i princip lösas med samma trick: multiplicera med eG(t) där G är
en primitiv funktion till g. Faktorn kallas integrerande faktor (som gör
integration möjlig).
eG(t) y0 (t) + g(t)eG(t) y(t) = h(t)eG(t) ⇔ (eG(t) y(t))0 = h(t)eG(t) .
(Om vi sedan lyckas hitta primitiva funktioner är en annan fråga!)
Exempel Lös
y0 +
- Primitiv funktion till g( x ) =
√
√
xy =
√
x.
x är G ( x ) = 32 x2/3 .
3 2/3
- Multiplicera ekvationen med eG( x) = e 2 x
- Nu ska vi ha en jämn derivata i vänsterledet:
3 2/3
(ye 2 x
- Integrera:
2 3/2
ye 3 x
=
Z √
)0 =
√
2 3/2
xe 3 x
3 2/3
xe 2 x
.
2 3/2
dx = e 3 x
+ C.
- Snygga till:
2 3/2
y = 1 + Ce− 3 x
.
Ett exempel till
En varm soppa kyls ner från 90◦ C till 60◦ C på 10 minuter i ett rum
som håller temperaturen 20◦ C. Efter hur lång tid tar det för soppan
att svalna till 35◦ C?
Första problemet är att skapa en realistisk modell för avkylningen.
En rimlig modell är att den är proportionell mot skillnaden mellan
soppans temperatur och rummets. Det antagandet, kallas Newtons
avkylningslag, ger oss differentialekvationen
T 0 (t) = −k ( T (t) − 20)
för temperaturen T (t) vid tiden t. (Vi har infört minustecknet för vi
vill ha k > 0. Tänk efter varför det leder till minustecknet.)
Vi löser denna (då vi använder T (0) = 90) till
T (t) = 20 + 70e−kt .
För att bestämma k använder vi att T (10) = 60, vilket ger oss att
1
k = 10
ln 74 .
När vi nu fått reda på vad k är kan vi svara på frågan. Vi vill lösa
ekvationen T (t) = 35, vilket leder till
t=
10 ln
ln
7
4
14
3
≈ 25.5 min.
Svaret på frågan är därför 17.5 min.
Ytterligare problem
Exempel (1) I början av 1980-talet (innan Montrealprotokollet) var
det globala utsläppet av freon (CFC-12) i atmosfären 4.2 · 108 kg/år.
Denna avlägsnades med hjälp av fotolys (fotoner) med en hastighet
som i varje ögonblick var proportionell mot massan freon i atmosfären och med en proportionalitetsfaktor som var k = 0.01 per år. År
1980 fanns det 8.5 · 109 kg freon i atmosfären. Hur mycket fanns det
(enligt modellen) 1984?
Exempel (2) En rättsläkare kallas kl 23.00 till en lägenhet där ett
mord har begåtts. Rummets temperatur är 21◦ och den dödes kroppstemperatur 27◦ . Rättsläkaren vet att kroppstemperaturen avtar med
en hastighet som är 0.32 gånger temperaturskillnaden mellan kropp
och rum. När ägde mordet rum?
