Endimensionell analys (FMAA005) Anders Källén Föreläsning 17 Innehåll: Skissera lösningar till differentialekvationer 1. Exponentiella tillväxt 2. Första ordningens differentialekvationer 3. Massbalans Efter dagens föreläsning måste du - veta vad en första ordningens differentialekvation är - kunna ställa upp en sådan efter massbalansprincipen Detta kallas logistisk tillväxt och innebär att när y(t) ≈ 0 så har vi (nästan) exponentiell tillväxt, men när y(t) ≈ K sker ingen ytterligare tillväxt. Vi ska återkomma till ett exempel på detta nedan. Anmärkning Om vi definierar exponentialfunktionen y( x ) = e x som den funktion som uppfyller y0 ( x ) = y( x ), y(0) = 1, så gäller att funktionen y( x ) = e x0 e x löser problemet y0 ( x ) = y( x ), y(0) = e x0 . Men det gör också funktionen y( x ) = e x+ x0 , och eftersom det bara finns en lösning måste det gälla att e x+ x0 = e x0 e x . Vi ser att differentialekvationen medför att potenslagarna ska gälla. Första ordningens differentialekvationer Exponentiell tillväxt I en viss bakteriekultur ändras antalet bakterier med en hastighet som är proportionell mot antalet bakterier. Det betyder att det finns en konstant k sådan att om y(t) = antalet bakterier vid tiden t, så gäller att y0 (t) = ky(t). En första ordningens differentialekvation är (i vår kurs) en ekvation som ska bestämma en funktion y(t) utifrån kunskap om dess derivata: y0 (t) = f (t, y(t)). För att få funktionen entydigt bestämd måste vi ange ett ytterligare villkor, vilket oftast är ett begynnelsevillkor Detta är en första ordningens differentialekvation. För att få en entydig lösning på den måste vi ange någonting till, och det naturliga här är att ge ett startvillkor, dvs specificera vad värdet är då t = 0: y (0) = y0 , y (0) = y0 . men vi kan ange värdet i vilken punkt vi vill. Funktionen f (t, y) talar om vilken riktningskoefficient tangenten till grafen y = y(t) ska ha i punkten (t, y). Grafen till en lösning på differentialekvationen kallas en bana för ekvationen. Geometriskt inser man att Enligt en diskussion i F13 har detta problem lösningen y(t) = y0 ekt . Genom en punkt (t, y) går precis en bana till differentialekvationen. Antag att vi vet att antalet bakterier vid en viss tidpunkt var y0 = 4 · 106 celler och att vi börjar räkna från den tidpunkten. Om det två timmar senare hade vuxit till 108 celler, kan du då bestämma hur många det fanns efter ytterligare två timmar? Strikt sett krävs lite av f för att detta ska gälla, men de kraven gäller i de fall vi är intresserade av. Ja, för villkoret innebär att y(2) = 108 ⇔ 4 · 106 e2k = 108 ⇔ k = 1 ln 25 2 Vi ska nu endast intressera oss för fall där funktionen f (t, y) inte beror av t (annat än genom y(t)). Med andra ord, vi ska fokusera på ekvationer på formen y0 (t) = f (y(t)) för någon funktion f (y) av en variabel. För dessa gäller att om f (y0 ) = 0 så gäller att den konstanta funktionen och vi får nu att y(4) = 4 · 106 e4k = 4 · 106 e2 ln 25 = 106 · 4252 = 1 10 10 4 Anmärkning Ett snyggare sätt att räkna här är y (4) = 1 1016 1 y (2)2 = = 1010 . y0 4 4 · 106 I det här fallet hade vi en differentialekvation som vi kunde lösa med våra kunskaper från denna delkurs. Att lösa allmännare differentialekvationer kommer vi att återkomma till i nästa delkurs. Det vi ska göra nu är att försöka använda ekvationen själv till att skissera lösningarna, utan att för den skull ha en explicit formel för dessa. Anmärkning Exponentiell tillväxt kan naturligtvis inte fortgå hur länge som helst. Om inte annat räcker inte födan med tiden. En mer relatistisk modell för tillväxt är därför att konstanten k inte är en konstant, utan beror på hur många djur det finns. En enkel modell bygger på att vi antar att det finns ett maximalt antal som djuren kan uppnå, kalla det K, men att tillväxthastigheten avtar ju mer man närmar sig detta värde. Mer precist antar man att den relativa tillväxten kan skrivas y0 (t) y(t) = r (1 − ). y(t) K y(t) = y0 för alla t är en lösning till differentialekvationen (med y(0) = y0 naturligtvis). Sådana lösningar kallas jämviktslösningar till ekvationen och spelar en viktig roll som vi snart ska se. Till stor del beror det på att grafen för en annan lösning inte kan korsa nivån y = y0 . Vidare kan vi observera att om y(t) växer (eller avtar) mot ett värde y0 , så måste y0 (t) → 0 då t → ∞. Men då följer att 0 = f (y0 ), vilket betyder att y0 är en jämviktslösning. En monoton lösningskurva kan därför endast antingen närma sig en jämviktslösning eller gå mot ∞ eller −∞. Massbalans Frågan i följande exempel har nog ett svar som är självklart. Men det ändå värt som en introduktion till det vi ska göra. Exempel En 100 L tank innehåller salt med koncentration 30 g/L. Den fylls med en saltlösning med concentration 20 g/L med en hastighet av 5 L/min, samtidigt som den tappas på sitt innehåll med samma hastighet (så att volymen hela tiden är 100 L). Blandningen är hela tiden väl blandad. Vilken koncentration kommer tanken att innehålla efter lång tid? Det vi ska göra är att Steg I: Identifiera samband som måste gälla för funktionen (här: identifiera en differentialekvation) Steg II: Skissera hur olika lösningar kan se ut till denna ekvation, och speciellt den lösning som svarar mot vårt startvillkor. Massbalans Mängd y(t) av något ändras med en hastighet som är nettot av inflöde och utflöde: dy = min dt − mu dt Eftersom koncentrationen fås genom att dividera med 100 och vi startar med C (0) = 30, så ser vi att C (t) → 20 då t → ∞. Som intuitionen sa oss. Anmärkning Faktum är att vi kan lösa denna ekvation explicit också. Om vi nämligen inför funktionen z = 100 − 0.05y, så gäller att z0 = −0.05y0 = −0.05z och z(0) = 100 − 0.05y(0) = 100 − 150 = −50. Det betyder att z(t) = −50e−0.05t och från det får vi att y(t) = (100 − z(t))/0.05 = 2000 + 1000e−0.05t . Men detta tillhör egentligen nästa delkurs. y0 (t) = min − mut ⇔ Ett ekologiskt exempel där m X är flöden (alltså storheter mängd per tidsenhet). I vårt fall - y(t) = 100C (t) där C (t) är koncentrationen salt vid tiden t. - min (t) = 20 · 5 = 100 g/L - mut (t) = 5C (t) = 0.05y(t) g/L. Ger differentialekvationen y0 (t) = 100 − 0.05y(t). Följande svit av exempel är extremt grova ekologiska modeller. Exempel På en liten söderhavsö finns en population om 6000 fåglar som är stabil år efter år. För sekler sedan när de första fåglarna sökte sig dit visade det sig att deras relativa tillväxthastighet var 0.3 per år. Om y(t) = antalet fåglar vid tiden t, räknat i tusental, så betyder det senare att y0 (t)/y(t) = 0.3 när N var litet, dvs y0 (t) = 0.3y(t) då. Nu är populationen stabil, och får antas vara i ett jämviktsläge y0 = 6. För att modellera detta använder vi den logistiska tillväxtmodellen som kort diskuterades ovan. Dessutom vet vi att y(0) = 100 · 30 = 3000 g. Detta avslutar Steg I. Kvalitativ analys av ekvationen Vi antar att det är “fågeldynamiken” på ön. Vi ska nu se hur lösningarna till problemet y0 (t) = f (y(t)), y0 (t) = 0.3y(t)(1 − y(t)/6). För att förstå denna differentialekvation gör vi nu en teckentabell: y (0) = y0 , y f (y) y(t) där f (y) = 100 − 0.05y, ser ut. Vi ska skissera lösningarna utifrån ekvationen enbart, utan att lösa den (det ska vi gör i nästa delkurs). För detta noterar vi först att + % 6 0 − & Vi kan sedan översätta informationen i denna tabell till en enkel skiss över hur lösningarna ser ut: f (y) = 0 ⇔ y = 100/0.05 = 2000. 8 Vi gör nu en enkel teckentabell: y f (y) y(t) 0 0 & 6 2000 0 − & 4 y + % Det denna betyder är att om y(t) < 2000 gäller att y0 (t) = f (y(t)) > 0, vilket betyder att y(t) är växande. Om alltså y0 < 2000 och y(t) är den lösning som är sådan att y(0) = y0 , så kommer y(t) att växa hela tiden. Den kan emellertid endast växa asymptotiskt mot värdet y = 2000, så y(t) → 2000 då t → ∞. Om istället y(0) > y0 kommer y(t) att avta och asymptotiskt närma sig samma värde. 2 0 −2 0 5 10 15 t 3,000 Exempel En dag upptäckte långväga sjöfarare att fåglarna var goda att äta, varför de stannade till och “bunkrade” vid sina resor. De tog 250 fåglar per år. Det betyder att nu blir dynamiken istället 2,000 y y0 (t) = 0.3y(t)(1 − y(t)/6000) − 250. Frågan är nu, om detta pågår länge, hur många fåglar finns det då på ön? 1,000 Om fåglar räknas i tusental får vi här ekvationen 0 0 10 20 30 40 50 t Anmärkning Man säger att jämviktsläget i detta fall är stabilt, eftersom oavsett vilket värde i närheten av jämviktsvärdet vi startar med, så gäller att vi med tiden kommer att närma oss detta jämviksläge. y0 = 0.3y(1 − y/6) − 0.25 = − 1 (y − 5)(y − 1). 20 Genom att studera ekvationen inser vi att beståndet minskar till 5 tusen fåglar p.g.a. sjömännen. Figuren nedan visar jämviktslägena (röda) och några typlösningar till ekvationen (framtaget genom en teckenanalys av ekvationen, inte genom att beräkna lösningen). 6 y 4 2 0 0 5 10 t 15 20 Anmärkning Här ser vi att jämviktsläget y0 = 6 är stabilt som ovan, medan y0 = 1 inte är det. Istället gäller att hur nära 1 vi än startar (så länge y(0) 6= 1), så kommer y(t) att försvinna iväg från ett. Ett jämviktsläge som på detta sätt “stöter bort” lösningen sägs vara instabilt. Exempel Slutligen: efter en längre tid sker ett vulkanutbrott på ön som gör att endast 800 fåglar överlever. Vad får det för långsiktiga konsekvenser? Efter vulkanutbrottet gäller alltjämnt ekvationen ovan, med startvillkoret y(0) = 0.8. Eftersom y(0) < 1 kommer populationen att dö ut, men för att avgöra när måste vi lösa ekvationen. Och det gör vi i nästa läsperiod. Anmärkning Den finns en viktig lärdom om fenomenet fiskekvoter från detta exempel. Fundera igenom denna tolkning av data istället, och dess praktiska konsekvenser för fiskpopulationer. Exempel I en ekologisk modell som handlar om en insektslarv som förstör värdefulla träd behövde man förstå hur dynamiken fungerade: när är det larven endast finns sporadiskt och när sker utbrott. Modellen man använde var att densiteten larver u(t) var en lösning till ekvationen u0 (t) = f (u(t))u(t) där funktionen f :s graf ges nedan: 1 f (u) 0.5 u 5 10 15 −0.5 1. 2. 3. 4. Vilka jämvikslägen finns här? Vilka av dem är stabila? Skissera hur lösningarna ser ut för olika val av vad u(0) är. Kan du tolka resultaten i sammanhanget?