TENTAMEN 11 mars 04 Matematik 2 , kurskod: 6H2324 KTH SYD, Media 2004 Lärare: Armin Halilovic Skrivtid: 8:15-12:15 Hjälpmedel: Miniräknare Bedömning: Varje uppgift bedöms med 0-4 poäng. Tentamen består av 8 uppgifter á 4 poäng (+ eventuella bonuspoäng max 8) För att få full poäng på en uppgift krävs en fullständig lösning samt ett korrekt svar. För att få godkänt betyg (3) fordras minst 16 poäng, betyg fyra (4 ) minst 25 poäng och betyg fem (5) minst 30 poäng. Uppgift 1 ) a)Bestäm alla heltal x Z och y Z som satisfierar ekvationen 7x -5y = 5 Svar: x=5+5n, y=6+7n, där n Z b) Bestäm alla naturliga tal x N , y N och z N som satisfierar systemet: 12x+3y +6z = 48 2x+2y+2z= 12 Svar: Två lösningar: (2,0,4) och (3,2,1) Uppgift 2 ) a) Bevisa följande formel a b mod m och c d mod m medför (implicerar) ac bd mod m b) Det är torsdag idag (11 mars 04). Vilken dag blir det ( måndag, tis, ons, tor, fre, lör eller söndag) om N dagar då N 6101 1463 3 833 Svar: b) 6101 6 mod 7 14 63 0 mod 7 och 3 833 3 mod 7 Härav N 9 mod 7 Eftersom 9 2 mod 7 får vi N 2 mod 7 Svar: lördag Uppgift 3) Visa med induktion att för alla naturliga tal n 1 gäller n a) (4k 3) 2n k 1 n2 2 5n b) 8 9 2 n 1 är delbart med 73 Lösning b) Vi betecknar uttrycket med f (n) . Alltså f (n) 8 n 2 9 2 n 1 . Induktionsbas: n=1 f (1) 8 3 9 3 1241 är delbart med 73 Induktionssteg: Vi antar att f(p) är delbart med 73 dvs f ( p) 8 p 2 9 2 p 1 73k . Då gäller f ( p 1) 8 p 3 9 2 p 3 8 8 p 2 81 9 2 p 1 8 8 p 2 8 9 2 p 1 73 9 9 p 1 8 (8 p 2 9 2 p 1 ) 73 9 9 p 1 ( enligt antagande) = 8 73k 73 9 9 p 1 73(8k 9 9 p 1 ) är delbart med 73. Enligt matematisk induktion gäller påståendet för alla n 1 Uppgift 4) Bonden Marc hade x får som han sålde för x kr/st. För pengarna han fick köpte han så många hönor han kunde. Dessa kostade 24 kr/st. När hönorna var betalda hade han mer än 12 kr kvar. För dessa pengar köpte han en kyckling. Vad kostade den? Lösning: Mark har fått x2 kronor. Om man delar ett tal med 24 då kan man få en av följande rester: 0, 1, 2, 3, 4,…,23 Men om man delar kvadrat av ett hel tal ( d v s x2 ) kan man få endast följande rester ( du kan kontrollera detta själv) : 0,1,4,9, 12 och 16 Av resterna är endast 16 större än 12. Svar: 16 kr. Uppgift 5) a) Beräkna Arg(z) om z satisfierar ekvationen (1 i ) z 2iz 7 i Svar a: z 2 3i Arg ( z ) 56 ,3 (k * 360 ) Alternativt: Arg ( z ) 0.98279rad (2k ) b) 1 i 3 är en lösning till ekvationen 2 2 z 4 z 3 4 z 2 3z 3 0 z1 Bestäm alla lösningar (4 st) 1 i 3 1 i 3 Svar b: z1 , z2 , z 3 i 3 , z 4 i 3 2 2 2 2 Uppgift 6) Lös följande differentialekvationer y2 4y a) y x5 dy dx 5 a) Lösning: Vi separerar variabler och får ekvationen 2 y 4y x dy dx dy dx 5 2 5 (*) 2 y 4y x y 4y x Vi beräknar varje integral för sig: dy 1 1 1 1 y 2 4 y [Partialbråkuppdelning ] = 4 ( y y 4 )dy = 4 (ln | y | ln | y 4 |) 1 y = ln | | 4 y4 dx x 4 5 x dx = C x5 4 x 4 1 y Från (*) får vi svar: C ln | |= 4 y4 4 y eller efter mult. med 4: ln | |= x4 D y4 y Svar ln | |= x4 D y4 b) y y cos x sin x cos x Lösning: Detta är en linj. diff ekv. av första ordningen med g ( x) cos x h( x) sin x cos x Härav : G ( x) sin x y( x) e (C G sin x y ( x) e he dx) (C sin x cos xe G sin x (C sin xe y ( x) Ce sin x 1 sin x sin x y ( x) e e sin x dx) ) sin x {Anmärkning: sin x cos xe sin x dx = [subst = te t dt = [part. integration]= tet e t C } Svar y ( x) Ce Uppgift 7) sin x sin x 1 sin x t , cos xdx dt ] En lösningskurva till differentialekvationen 2 y 2 y begränsar tillsammans med de positiva koordinataxlarna och linjen x ln 2 ett område med arean 1 areaenhet. Bestäm denna lösningskurva. Lösning: dy Lösning: Vi separerar variabler och får ekvationen dx y dy x C C x y dx ln | y | x C1 | y | e 1 y e 1 e 1 x y De För att bestämma D använder vi villkoret Arean =1. Arean =1 ln 2 ln 2 0 0 y( x)dx 1 De x dx 1 De x ln02 1 De ln 2 D D D D 1 D 2 2 2 Alltså D=2 . x Svar: y 2e Uppgift 8) Luften i ett rum med volymen 200 m3 har koldioxidhalten 0,25 %. Frisk luft med koldioxidhalten 0,05 % strömmar in i rummet och blandas med den befintliga luften. Den inströmmade och den utströmmade luftmängden är båda 10 m3 per minut. Efter t minuter innehåller rummet y(t) m3 koldioxid a) Bestäm y(t) b) Efter hur lång tid har koldioxidmängden i rummet minskat till 0,1 %? Lösning: Varje minut strömmar in 10*0.0005=0.005 m3 koldioxid. y (t ) Varje minut strömmar ut 10 =0.05* y(t) m3 koldioxid. 200 För förändringshastigheten y (t ) gäller y (t ) = Hin-Hut Härav: y (t ) 0.005 0.05 y (t ) Vi kan lösa ekvationen som en linjär DE av första ordningen eller som en DE med separabla variabler. Vi löser ekvationen med hjälp av formeln fören linjär DE av första ordningen: g (t ) 0.05 h(t ) 0.005 Härav : G (t ) 0.05t y(t ) e (C G he G dt ) 0.05t y(t ) e (C 0.005e (C 0.005e 0.05 x dt ) 0.05t 0.05t y (t ) e y (t ) Ce 0.05t ) 0.05 ( den allmänna lösningen) 0.1 Begynnelse v: y (0) 200*0.0025=0.5 y (0) 0.5 0.5 Ce 0.1 C=0.4 0 0.05t Svar a) y (t ) 0.4e 0.1 0.05t b) 0,1 % av 200 är 0.2 som vi substituerar i y (t ) 0.4e 0.05t 0.2 0.4e t 0.05t 0.1 0.1 0.4e ln( 0.25) 27.7 0.05 0.05t 0.25 e 0.1