tentamen 11 mars 04 med svar, word-fil

TENTAMEN
11 mars 04
Matematik 2 , kurskod: 6H2324
KTH SYD, Media 2004
Lärare: Armin Halilovic
Skrivtid: 8:15-12:15
Hjälpmedel: Miniräknare
Bedömning: Varje uppgift bedöms med 0-4 poäng.
Tentamen består av 8 uppgifter á 4 poäng (+ eventuella bonuspoäng max 8) För att få full
poäng på en uppgift krävs en fullständig lösning samt ett korrekt svar.
För att få godkänt betyg (3) fordras minst 16 poäng, betyg fyra (4 ) minst 25 poäng och betyg fem
(5) minst 30 poäng.
Uppgift 1 )
a)Bestäm alla heltal x  Z och y  Z
som satisfierar ekvationen
7x -5y = 5
Svar: x=5+5n, y=6+7n, där n  Z
b) Bestäm alla naturliga tal x  N , y  N och z  N som satisfierar systemet:
12x+3y +6z = 48
2x+2y+2z= 12
Svar: Två lösningar: (2,0,4) och (3,2,1)
Uppgift 2 )
a) Bevisa följande formel
a  b mod m och c  d mod m medför (implicerar) ac  bd mod m
b) Det är torsdag idag (11 mars 04). Vilken dag blir det ( måndag, tis, ons, tor, fre, lör eller
söndag) om N dagar då
N  6101  1463  3  833
Svar: b) 6101  6 mod 7
14 63  0 mod 7
och 3  833  3 mod 7
Härav
N  9 mod 7
Eftersom 9  2 mod 7 får vi
N  2 mod 7
Svar: lördag
Uppgift 3) Visa med induktion att för alla naturliga tal n  1 gäller
n
a)
 (4k  3)  2n
k 1
n2
2
 5n
b) 8  9 2 n 1 är delbart med 73
Lösning b)
Vi betecknar uttrycket med f (n) .
Alltså f (n)  8 n  2  9 2 n 1 .
Induktionsbas: n=1
f (1)  8 3  9 3  1241 är delbart med 73
Induktionssteg:
Vi antar att f(p) är delbart med 73 dvs
f ( p)  8 p  2  9 2 p 1  73k .
Då gäller
f ( p  1)  8 p 3  9 2 p 3  8  8 p  2  81  9 2 p 1  8  8 p  2  8  9 2 p 1  73  9 9 p 1 
8  (8 p  2  9 2 p 1 )  73  9 9 p 1  ( enligt antagande) = 8  73k  73  9 9 p 1 
73(8k  9 9 p 1 )
är delbart med 73.
Enligt matematisk induktion gäller påståendet för alla n  1
Uppgift 4)
Bonden Marc hade x får som han sålde för x kr/st. För pengarna han fick köpte han så många
hönor han kunde. Dessa kostade 24 kr/st. När hönorna var betalda hade han mer än 12 kr
kvar. För dessa pengar köpte han en kyckling. Vad kostade den?
Lösning:
Mark har fått x2 kronor.
Om man delar ett tal med 24 då kan man få en av följande rester:
0, 1, 2, 3, 4,…,23
Men om man delar kvadrat av ett hel tal ( d v s x2 )
kan man få endast följande rester ( du kan kontrollera detta själv) :
0,1,4,9, 12 och 16
Av resterna är endast 16 större än 12.
Svar: 16 kr.
Uppgift 5)
a) Beräkna Arg(z) om z satisfierar ekvationen
(1  i ) z  2iz  7  i
Svar a: z  2  3i
Arg ( z )  56  ,3 (k * 360  )
Alternativt: Arg ( z )  0.98279rad (2k )
b)
1 i 3

är en lösning till ekvationen
2
2
z 4  z 3  4 z 2  3z  3  0
z1  
Bestäm alla lösningar (4 st)
1 i 3
1 i 3
Svar b: z1   
, z2   
, z 3  i 3 , z 4  i 3
2
2
2
2
Uppgift 6) Lös följande differentialekvationer
y2  4y
a)
y 
x5
dy
dx
 5
a) Lösning: Vi separerar variabler och får ekvationen 2
y  4y x
dy
dx
dy
dx
 5   2
 5
(*)
2
y  4y
x
y  4y x
Vi beräknar varje integral för sig:
dy
1
1 1
1
 y 2  4 y  [Partialbråkuppdelning ] =  4 ( y  y  4 )dy = 4 (ln | y |  ln | y  4 |)
1
y
= ln |
|
4
y4
dx
x 4
5

x
dx
=
C
 x5 
4
x 4
1
y
Från (*) får vi svar:
C
ln |
|=
4
y4 4
y
eller efter mult. med 4: ln |
|=  x4  D
y4
y
Svar ln |
|=  x4  D
y4
b) y   y cos x  sin x cos x
Lösning: Detta är en linj. diff ekv. av första ordningen med
g ( x)  cos x h( x)  sin x cos x
Härav : G ( x)  sin x
y( x)  e (C 
G
 sin x
y ( x)  e
 he dx)
(C   sin x cos xe
G
sin x
(C sin xe
y ( x)  Ce
sin x 1
 sin x
sin x
y ( x)  e
e
sin x
dx)
)
 sin x
{Anmärkning:
 sin x cos xe
sin x
dx = [subst
=  te t dt = [part. integration]= tet  e t  C }
Svar y ( x)  Ce
Uppgift 7)
 sin x
sin x 1
sin x  t ,
cos xdx  dt
]
En lösningskurva till differentialekvationen 2 y   2 y begränsar tillsammans med
de positiva koordinataxlarna och linjen x  ln 2 ett område med arean 1 areaenhet.
Bestäm denna lösningskurva.
Lösning:
dy
Lösning: Vi separerar variabler och får ekvationen
 dx
y
dy
 x C
C x
 y   dx  ln | y | x  C1  | y | e 1  y  e 1 e 1
x
 y  De
För att bestämma D använder vi villkoret Arean =1.
Arean =1 

ln 2
ln 2
0
0
 y( x)dx  1   De
x

dx  1   De  x
ln02  1
 De  ln 2  D    D  D   D  1 D  2
2
2
Alltså D=2 .
x
Svar: y  2e
Uppgift 8)
Luften i ett rum med volymen 200 m3 har koldioxidhalten 0,25 %. Frisk luft med
koldioxidhalten 0,05 % strömmar in i rummet och blandas med den befintliga luften.
Den inströmmade och den utströmmade luftmängden är båda 10 m3 per minut.
Efter t minuter innehåller rummet y(t) m3 koldioxid
a) Bestäm y(t)
b) Efter hur lång tid har koldioxidmängden i rummet minskat till 0,1 %?
Lösning:
Varje minut strömmar in 10*0.0005=0.005 m3 koldioxid.
y (t )
Varje minut strömmar ut 10 
=0.05* y(t) m3 koldioxid.
200
För förändringshastigheten y (t ) gäller
y (t ) = Hin-Hut
Härav:
y (t )  0.005  0.05 y (t )
Vi kan lösa ekvationen som en linjär DE av första ordningen eller som en DE med separabla
variabler.
Vi löser ekvationen med hjälp av formeln fören linjär DE av första ordningen:
g (t )  0.05
h(t )  0.005
Härav : G (t )  0.05t
y(t )  e (C 
G
 he
G
dt )
0.05t
y(t )  e
(C 
 0.005e
(C  0.005e
0.05 x
dt )
0.05t
 0.05t
y (t )  e
y (t )  Ce
0.05t
)
0.05
( den allmänna lösningen)
 0.1
Begynnelse v: y (0)  200*0.0025=0.5
y (0)  0.5  0.5  Ce  0.1  C=0.4
0
0.05t
Svar a) y (t )  0.4e
 0.1
0.05t
b) 0,1 % av 200 är 0.2 som vi substituerar i y (t )  0.4e
0.05t
0.2  0.4e
t
0.05t
 0.1  0.1  0.4e
ln( 0.25)
 27.7
 0.05
0.05t
 0.25  e
 0.1
