Repetition Geometrisk tolkning
Linjär Algebra
F4
Linjer och plan
Pelle
2016-01-28
Pelle
2016-01-28
Repetition Geometrisk tolkning
baser koordinatsystem linjer och plan
Baser
Två icke-parallella vektorer e1 , e2 i i planet bildar bas.
Varje vektor u i planet kan skrivas
u = x 1 e1 + x 2 e2 ,
där talen x1 och x2 är entydigt bestämda.
Skriver kortare u = (x1 , x2 )
Istället för icke-parallella kan man säga att e1 , e2 är linjärt oberoende
λ1 e1 + λe2 = 0 =⇒ λ1 = λ2 = 0
Pelle
2016-01-28
Repetition Geometrisk tolkning
baser koordinatsystem linjer och plan
Koordinatsystem
Två icke-parallella vektorer i planet och en referenspunkt origo O.
Varje punkt P motsvarar då en ortsvektor
OP = xex + y ey .
Vi säger att P har koordinaterna (x, y ) i koordinatsystemet Oex ey .
Kortare P : (x, y ).
Pelle
2016-01-28
Repetition Geometrisk tolkning
baser koordinatsystem linjer och plan
Linjer och plan
Linje:
R2
Plan:
Parameterform:
x = x0 + αt,
y = y0 + βt,
t ∈ R.
Affin form:
ax + by + c = 0.
R3
Parameterform:
x = x0 + αt,
y = y0 + βt,
z = z0 + γt.
Parameterform:
x = x0 + α1 t + α2 s,
y = y0 + β1 t + β2 s,
z = z0 + γ1 t + γ2 s.
t ∈ R,
s, t ∈ R,
Affin form:
ax + by + cz + d = 0.
Pelle
2016-01-28
Repetition Geometrisk tolkning
linjer plan
Geometrisk tolkning av ekvationssystem
Allmänt 2 × 2-system:
a11 a12
x1
y1
a11 x1 + a12 x2 = y1
=
⇔
a21 a22
x2
y2
a21 x1 + a22 x2 = y2
Tolkning: Skärning mellan 2 linjer i R2 .
1. Entydig lösning
`1
2. Ingen lösning
3. Oändligt många
`1
`1 = `2
`2
Pelle
`2
2016-01-28
Repetition Geometrisk tolkning
linjer plan
Geometrisk tolkning av ekvationssystem
Allmänt
a11
a21
a31
3 × 3-system:
a12 a13
x1
y1
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = y1
a22 a23 x2 = y2 ⇔
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = y2
a32 a33
x3
y3
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = y3
Tolkning: Skärning mellan 3 plan i R3 .
1. Entydig lösning
2. Ingen lösning
3. Oändligt många
π1
π1
π1
π2
π2
π2
π3
π3
π3
Pelle
2016-01-28
