V¨AXJ¨O UNIVERSITET Matematiska och system

VÄXJÖ UNIVERSITET
Matematiska och systemtekniska institutionen
Hans Frisk
Tentamen i Grundläggande Algebra, MAA701, 4 p
Måndagen den 24 oktober 2005
För att erhålla maximal poäng på en uppgift krävs en fullständig lösning presenterad
på ett sådant sätt att räkningar och resonemang är lätta att följa.
Skriv bara på ena sidan av pappret.
Hjälpmedel: Formelblad
1. (a) Markera i det komplexa talplanet de punkter z som uppfyller olikheten
|z + 3i| < 2.
(2p)
(b) Vad blir
π
π
−1 + ei 3 + e−i 4 ?
Svara på formen a + ib och markera talet i det komplexa talplanet.
(c) Visa att
iϕ
e −1 e−iϕ − 1 = 1
(1p)
för alla argument ϕ.
(2p)
2. (a) Vilken är koefficienten framför x9 i polynomet
(2x − 1)20 ?
(2p)
(b) Studera binomialkoefficienterna i Pascals triangel och försök finna positiva heltal
n och k för vilka
n
n
=
.
k
k+1
Markera tre sådana par i Pascals triangel.
Finn sedan med direkta räkningar ett allmänt samband mellan n och k som måste
gälla för att likheten skall vara uppfylld.
(3p)
3. Hur många av de 9000 fyrsiffriga talen 1000,1001,1002,.....,9998,9999 består av fyra
skilda siffror som utgör en växande följd läst från vänster till höger? Exempel på
sådana tal är 1468 och 5679.
Hur många av de 9000 talen ovan består av fyra skilda siffror som utgör en avtagande
följd läst från vänster till höger? Exempel på sådana tal är 8410 och 9431.
(5p)
v.g.v.
4. Lös ekvationen
z 2 + 4z − 3i = 0.
Svara på formen a + ib.
(5p)
5. Lös följande fjärdegradsekvation
x4 + 7x2 + 6 = 0.
Samtliga rötter är imaginära, dvs deras realdelar är noll.
Uttryck sedan summan
4
X
exk
k=1
som ett reellt tal. Här är xk , k = 1, 2, 3, 4, de fyra rötterna till polynomekvationen.
(Anm. För att kunna lösa differentialekvationerna för fjädersystemet i figuren nedan
så tvingas man lösa denna fjärdegradsekvation. Svängningarna antas vara odämpade
(ingen friktion) och då blir alla rötter imaginära. För vissa startvillkor kan utslaget
för den översta massan, u1 , vid en viss tidpunkt ges av summan.)
(5p)
6. Ett reellt eller komplext tal kallas för ett algebraiskt √
tal om det
√ äriπ en rot
√ till √en
polynomekvation där koefficienterna är heltal. Visa att 5, 1 + 2e 8 och 2 + 5
är algebraiska tal. Du skall alltså √
finna polynom p√1 (x), p2 (x) och p3√
(x) (alla
√ med
iπ
8
heltalskoefficienter) sådana att p1 ( 5) = 0, p2 (1+ 2e ) = 0 och p3 ( 2+ 5) = 0.
(5p)
LYCKA TILL!
Resultatet kommer på w3.msi.vxu.se/users/hfr/maa701/maa701.html torsdagen den 27/10.
Utdelning av tentamen sker i sal Bessel torsdagen den 3/11 kl 12:00-13:00.