2015-01-24
Envariabelanalys 1
Umeå Universitet
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
PAB
24 januari 2015
Skrivtid 9.00 - 15.00
Hjälpmedel: Miniräknare
Lösningarna skall redovisas så att räkningar och resonemang är lätta att följa.
Svar skall ges på en sådan form att inga uppenbara förenklingar lätt kan göras.
OBS!
I skrivsalen finns tenterande på kurserna Envariabelanalys 1 och
Endimensionell analys 1. Kontrollera att du har fått rätt skrivning!
1. Bestäm derivatan av följande funktioner och förenkla svaret.
x2 − 3 x + 1
,
(x + 1)2
2
b) g(x) = x2 + 1 e−x
där x 6= −1
a) f (x) =
(1 p)
(1 p)
2. Bestäm det största värdet, ymax , och det minsta värdet, ymin , som
y = f (x) = x3 + 3 x2 − 9 x − 15 antar på intervallet −4 ≤ x ≤ 4.
Ange även motsvarande x-värden i svaret.
3. En polisbil A kör med hastigheten 70 km/tim
B
mot korsningen C (se figuren). Bilen B kör på en
väg som går vinkelrät mot den väg som A färdas
på. Vid den tidpunkt då A befinner sig 0,24 km
från C uppmäts, med radar, avståndet s till
C
bilen B. Radaravläsningen gav att avståndet s var
0,26 km och att avståndet minskade med 30 km/tim.
Bestäm hastigheten som B håller och ange om B
färdas mot korsningen C eller bort från C.
(3 p)
s
A
(2 p)
4. Bestäm följande gränsvärden.
x3 + x2 + x + 1
x→∞
1 − 2x3
π−x
b) lim
x→π sin(2x)
a) lim
(1 p)
(1 p)
2
c) lim (cos x)1/x
(1 p)
x→0
5. Genom ekvationen x3 + x2 y + y 3 = 1 definieras y implicit som en funktion av x.
a) Bestäm, genom implicit derivering, y 0 uttryckt i x och y.
b) Bestäm också ekvationen för tangenten till kurvan x3 + x2 y + y 3 = 1
i punkten (−1, 1).
6. Funktionen f ges av f (x) =
(1 p)
(1 p)
x2 − 2 x − 9
, x 6= ±2.
x2 − 4
a) Bestäm alla lokala maxima och minima till f (x). Ange både x− och
y− koordinaterna för de lokala max/min-punkterna.
b) Bestäm alla asymptoter till kurvan y = f (x).
c) Skissera, i ett koordinatsystem, kurvan y = f (x) och rita även in
asymptoterna samt markera var de lokala max/min-punkterna är.
(1 p)
(1 p)
(1 p)
OBS! Skrivningen fortsätter på nästa blad.
7. Bestäm Taylorpolynomet Pn (x), av grad n och felet En (x), enligt Taylors sats, vid utveckling
av funktionen f kring punkten x = a i följande fall.
a) f (x) = (1 + x)1/5 , då n = 1 och a = 0.
1
b) f (x) = x + 2 , då n = 2 och a = 1
x
c) f (x) = (x + 1)3 , då n = 3 och a = 2
(1 p)
(1 p)
(1 p)
8. Man vill bygga en ränna för att leda vatten. Till bygget vill man använda fyra plankor, alla
med längden L och bredden a. Rännan byggs så att två av plankorna bildar vertikala sidor
och de två andra utgör botten och bildar vinkeln w med varann, se figur 1. Upptill är rännan
öppen. Rännans genomskärningsyta är en femhörning, se figur 2. Om vi låter S vara arean av
femhörningen ABCDE så är rännans totala volym V given av V = S · L. Man vill bestämma
vinkeln w så att volymen V blir så stor som möjligt.
a) Sätt w = 2 · x och bestäm volymen V som en funktion av x.
(L och a ingår förstås också i uttrycket för volymen men de är konstanter.)
(0,5 p)
b) Bestäm det exakta värdet på x som ger maximal volym samt ange motsvarande
värde på vinkeln w, uttryckt i grader, avrundat till närmaste heltal.
(1,5 p)
(OBS! Det exakta värdet på x får i det här fallet skrivas med hjälp av invers trigonometrisk funktion.)
D0
d
läng
s
n
ka
plan
D
C0
=L
B0
E0
C
D
A0
C
a
a
bredd=a
E
w
E
B
Figur 1
B
w
a
A
a
A
Figur 2
9.
10.
a) Funktionen f är definierad på ett intervall [a, b] och a < c < b. Hur definieras att,
f är kontinuerlig i punkten c?
(1 p)
b) Låt f (x) vara en funktion. Definiera f 0 (x).
(1 p)
c) Antag att funktionen f är definierad på intervallet I. Hur definieras att,
f är en ett-ett funktion på I?
(1 p)
a) Ange lydelsen av den sats som kallas medelvärdessatsen.
(0,5 p)
b) Bevisa medelvärdessatsen.
(I beviset av medelvärdessatsen får Rolles sats användas utan att den bevisas)
(1,5 p)
