Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ortogonala vektorer och ortonormerade baser ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE BASER I Rn INLEDNING ( repetition om Rn ) Låt 𝑹𝑹𝒏𝒏 vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs 𝑹𝑹𝒏𝒏 = {(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑎𝑎1 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ 𝑹𝑹} Två vektorer 𝑢𝑢 �⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗ = (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) är lika �⃗ = 𝑣𝑣⃗ om och endast om 𝑎𝑎1 = 𝑏𝑏1 , 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 , … 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑢𝑢 Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) 𝝀𝝀 enligt nedan (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) + (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … . , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) = (𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 , 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) 𝜆𝜆(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) = (𝜆𝜆𝑎𝑎1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 , … . , 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑛𝑛 ) Nollvektorn i rummet 𝑹𝑹𝒏𝒏 är (0,0, … . ,0). �⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗ = (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) 𝑢𝑢 Längden av en vektor 𝑢𝑢 �⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) betecknas || u || eller |𝑢𝑢 �⃗| och definieras med �⃗|| = �(𝑎𝑎1 )2 + (𝑎𝑎2 )2 + ⋯ + (𝑎𝑎𝑛𝑛 )2 ||𝑢𝑢 Skalärprodukt ( dot product) definieras på följande sätt: �⃗ ∙ 𝑣𝑣⃗ = 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 + ⋯ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑢𝑢 Därmed: || u || = u ⋅u Anmärkning 1: ( Standard) Vektorprodukt definieras endast för 3-dimensionella vektorer Anmärkning 2: Rummet Rn där skalärprodukten och normen är definierade på ovanstående sätt kallas även ett euklidiskt rum. Definition 1. ( Ortogonala vektorer i Rn ) Vi säger att två vektorer u , v är ortogonala om deras skalärprodukt är 0 dvs om u ⋅ v = 0 Definition 2. (Ortogonal mängd) �⃗𝟏𝟏 , … , �𝒗𝒗⃗𝒏𝒏 } är Om vektorerna 𝑣𝑣⃗1 … 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är parvis ortogonala då säger vi att mängden {𝒗𝒗 ortogonal. Uppgift1. Vi betraktar rummet R3 Bestäm om mängden { u , v , w }är ortogonal då − 2 0 1 a) u = 2 , v = 1 , w = 0 0 0 5 − 2 0 1 b) u = 2 , v = 1 , w = 1 0 0 5 Svar a) Ja b) Nej Några viktiga egenskaper för längden ( eller normen ) av en vektor u som vi här betecknar || u || : Sida 1 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ortogonala vektorer och ortonormerade baser || u ||= 0 ⇔ u = 0 || λu ||=| λ | ⋅ || u || || u + v || ≤ || u || + || v || ( Triangelolikheten) | u ⋅ v | ≤ || u || ⋅ || v || ( Cauchy-Schwarz olikhet) || u || = u ⋅ u Definition 3. Ortonormerad (eller ortonormal) mängd) Om vektorerna 𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är parvis ortogonala och ||𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 || = 1 , för varje k=1,2,…n, då �⃗𝟏𝟏 … 𝒗𝒗 �⃗𝒏𝒏 } är ortonormerad. säger vi att mängden {𝒗𝒗 Alltså en ortonormerad mängd består av parvis ortogonala enhets vektorer. Anmärkning: Från en ortogonal mängd { 𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 } får vi en ortonormerad mängd genom att dela varje vektor 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 med dess norm ( vi " normerar" vektorerna ). Exempel . Vektorerna 𝑣𝑣⃗1 = (1,2,1) och 𝑣𝑣⃗2 = (−2,1,0) är ortogonala med avseende på standard skalär produkt i 𝑅𝑅 3 eftersom (𝑣𝑣⃗1 , 𝑣𝑣⃗2 ) = 𝑣𝑣⃗1 ∙ 𝑣𝑣⃗2 = 0. Vi får ortonormerade vektorer genom att dela varje vektor med dess norm: 1 1 𝑣𝑣⃗1 = (1,2,1) ||𝑣𝑣⃗1 || √6 1 1 𝑓𝑓⃗2 = 𝑣𝑣⃗2 = (−2,1,0) ||𝑣𝑣⃗2 || √5 𝑓𝑓⃗1 = Uppgift2. Nedanstående vektorer är parvis ortogonala. − 2 0 1 u = 2 , v = 1 , w = 0 0 5 0 Bestäm en ortonormerad mängd genom att " normera " vektorerna u , v , w . Lösning: − 2 / 5 1 1 / 5 1 1 v1 = 1 / 5 och u1 = u = 2 2 / 5 = , på samma sätt || u || 5 0 0 0 0 w1 = 0 . 1 Uppgift 3. Vi betraktar planet x + y − 2 z = 0 . Bestäm två vektorer som är parallella med planet som tillsammans med planets normalvektor N = (1, 1, − 2) bildar en a) ortogonal mängd b) ortonormerad mängd Sida 2 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ortogonala vektorer och ortonormerade baser Lösning: Vi tar två punkter i planet t ex O(0,0,0) och A(1,1,1). → Vektor u = OA =(1, 1, 1)är då ortogonal mot N . → För tredje vektorn kan vi ta vektorprodukten v = OA× N = (−3, 3, 0) Vektorn v är parallell med planet eftersom den är vinkelrät mot N . Sats 1. (En viktig sats om ortogonala vektorer) Om vektorerna 𝑣𝑣⃗1 … 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är parvis ortogonala och skilda från nollvektorn då är de linjärt oberoende. Bevis. Antag att 𝑐𝑐1 𝑣𝑣⃗1 + 𝑐𝑐2 𝑣𝑣⃗2 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 = �0⃗ (∗) Vi ska visa att detta implicerar 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0 för varje k=1,2,…n. Om vi ”multiplicerar ” (*) med 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 får vi �⃗ (∗∗) 𝑐𝑐𝑘𝑘 (𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 ∙ 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 ) = 0 Alla andra termer försvinner eftersom 𝑣𝑣⃗𝑖𝑖 ∙ 𝑣𝑣⃗𝑗𝑗 = 0 , 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 (ortogonala vektorer). Från (∗∗), eftersom 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 ≠ �0⃗ , får vi 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0 . Detta betyder att 𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är linjärt oberoende V.S.B. ------------------------------------ Påföljden av föregående satsen är att n stycken ortogonala vektorer i Rn bildar en bas i vektorrummet Rn . n Därmed gäller samma för n stycken ortonormerade vektorer i R : n stycken enhetsvektorer i Rn som är parvis ortogonala bildar en bas i vektorrummet Rn som kallas ortonormerad bas. ORTONORMERAD BAS Definition 4. Ortonormerad (eller ortonormal) bas En bas (𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 ) i Rn som består av parvis ortogonala enhetsvektorer kallas för ortonormerad bas. KOORDINATER I EN ORTONORMERAD BAS Uppgift 4. Låt (𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 ) vara en ortonormerad bas i Rn och x = x1v1 + x2 v2 + + xn vn en vektorer i Rn då gäller Sida 3 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ortogonala vektorer och ortonormerade baser x = ( x ⋅ v1 )v1 + ( x ⋅ v2 )v2 + + ( x ⋅ vn )vn Med andra ord koordinater kan beräknas som skalärprodukter: x1 = ( x ⋅ v1 ), x2 = ( x ⋅ v2 ),, xn = ( x ⋅ vn ) Bevis: Vi startar med relationen x = x1v1 + x2 v2 + + xn vn och multiplicerar båda leden med 𝑣𝑣⃗1: Vi får x ⋅ v1 = x1 (v1 ⋅ v1 ) + x2 (v2 ⋅ v1 ) + + xn (vn ⋅ v1 ) För ortonormerade basvektorer gäller v1 ⋅ v1 = 1 och v 2 ⋅ v1 = 0, , v n ⋅ v1 = 0 och därför x ⋅ v1 = x1 ⋅1 På samma sätt visar vi att x2 = ( x ⋅ v2 ),, xn = ( x ⋅ vn ) . Exempel − 3 / 5 0 4 / 5 Vektorerna v1 = 0 , v 2 = 1 , v 3 = 0 0 4 / 5 3 / 5 bildar en ortonormerad bas i R3. Bestäm koordinater för vektorn 2 x = 1 i basen ( v1 , v2 , v3 ) . 0 Lösning: x1 = ( x ⋅ v1 ) = 8 / 5, x2 = ( x ⋅ v2 ) = 1, x3 = ( x ⋅ v3 ) = −6 / 5 Uppgift 5. " Pytagoras sats" i Rn . Låt a och b vara två vektorer i Rn och c = a + b . Bevisa att || c || 2 =|| a || 2 + || b || 2 om och endast om a och b är ortogonala vektorer " Sida 4 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ortogonala vektorer och ortonormerade baser Uppgift 6. Låt W vara ett underrum till Rn och v en vektor i Rn. Bevisa att || 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑊𝑊 (𝑣𝑣⃗) || ≤ ||𝑣𝑣⃗ || . Tips. Använd "Pytagoras sats" Uppgift 7. Bevisa Cauchy – Schwarz olikheten Om a och b vara två vektorer i Rn då gäller | a ⋅ b | ≤ || a || ⋅ || b || Tips. Använd föregående uppgift. Uppgift 8. Använd Cauchy – Schwarz olikheten för att bevisa triangelolikheten || u + v || ≤ || u || + || v || Anmärkning: Bevis för upp5, 6,7 och 8 finns i kursboken. Definition 5. Vinkeln mellan två vektorer i Rn Låt a ≠ 0 och b ≠ 0 vara två icke-nollvektorer i Rn . Vinkeln θ mellan vektorerna definieras med a ⋅b θ = arccos || a || ⋅ || b || a ⋅b ( ekvivalent med cos(θ ) = , där 0 ≤ θ ≤ π || a || ⋅ || b || ) a ⋅b Anmärkning: Enligt Cauchy-Schwarz olikheten är | |≤ 1 och därför finns θ så || a || ⋅ || b || a ⋅b att cos(θ ) = , med andra ord; vinkeln är definierad på ett korrekt sått. || a || ⋅ || b || Sida 5 av 5