Matematik för teknologer

MATEMATIK
Kort förberedande kurs
för blivande teknologer
av
Rolf Pettersson
Grafisk Formgivning:
Lennart Jörelid
Utgiven i juni 1999
Upplaga 10.000 ex
Centrala Studievägledningen
Chalmers Tekniska Högskola
412 96 Göteborg
Tel. 031 - 772 25 00
Till dig som söker till högre teknisk utbildning
Som du vet förutsätter studier i tekniska ämnen goda kunskaper i matematik. En stor del av
det första året ägnas därför åt grundläggande matematiska ämnen. Goda resultat i de teoretiska
ämnena under första studieåret ökar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna. Det
första läsåret vid en högskola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna. Har man
då luckor i gymnasiematematiken, kan det bli rätt arbetsamt. Om du inte är säker på att du redan
har mycket goda kunskaper i matematik, gör du klokt i att förbereda dig ordentligt genom att
repetera gymnasiekursen och läsa in avsnitt som du kanske tidigare försummat.
Hur gör jag då?
Till hjälp får du detta kompendium “Matematik – kort förberedande kurs för blivande teknologer”. Arbeta igenom det så grundligt, att du behärskar de olika avsnitten. De många övningsexemplen
ger dig möjlighet till nyttig räkneträning. I början av kompendiet finns dessutom ett diagnostiskt
prov och i slutet en provräkning med blandade uppgifter.
Kompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier. Ta avsnitten i den ordning du själv finner
lämplig. En metod är att först räkna alla [1] och [2]-uppgifterna (kompendiet rakt igenom). Sedan
alla [3]-uppgifterna osv. Har du bra betyg i matematik från gymnasiet och tror dig kunna gymnasiekursen ganska bra, kan du försöka dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift. (Uppgifterna
är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad.)
Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, t.ex. logaritmer, trigonometri
eller derivering med hjälp av kedjeregeln, kan du i första hand koncentrera dig på dessa. Det
väsentliga är att du räknar (mindre väsentligt är vad du räknar). Skulle du köra fast på några
uppgifter kan du eventuellt få hjälp per telefon (se bilaga “Upplysningar inför terminsstarten).
Ett syfte med kompendiet “Matematik – kort förberedande kurs för blivande teknologer” är att
nöta in vissa formler, som du kanske varit van att hitta i en formelsamling. På tentamen vid de
tekniska högskolorna kommer du inte att ha formelsamlingen till hands. Försök därför att klara
dig utan, när du löser övningsexemplen.
Kunskapskontroll?
Du kommer inte att avkrävas redovisning av de här repetitionsövningarna. Däremot kommer du
snart att märka, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högskolestudierna inleds
med en repetitionskurs i matematik.
Lycka till
Med Hälsningar från de Tekniska Högskolorna
ii
Tillägg av författaren
I detta kompendium behandlas i huvudsak de moment, som matematiklärare vid tekniska högskolor
ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematiken.
Den nuvarande gymnasiekursen i matematik är gemensam för alla skolor i landet, men olika
skolor och lärare betonar kanske vissa delar mer eller mindre starkt. Därför kan några delar av
kompendiet vara mer (eller mindre) välbekanta för dig.
Tips: Hoppa över avsnittet 3.4 om ellipser m.m., ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasiekurs.
Observera också att kompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematiken i
delarna A, B, C och D, som brukar genomgås de två första åren på gymnasiet. Däremot repeteras
vanligen del E (med bl.a. tillämpning av integraler och differentialekvationer), samt en eventuell,
frivillig del F, i samband med de ordinarie matematikkurserna på de tekniska högskolorna.
Lycka till!
Rolf Pettersson
Årets utgåva av “Matematik – kort förberedande kurs för blivande teknologer” är en grafiskt bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsak maskinskrivet, original. Jag har i samråd med författaren
försökt ge häftet en så lättöverskådlig och pedagogisk utformning som möjligt, utan att förändra
dess sakinnehåll nämnvärt. Eftersom jag själv är teknolog vid F-sektionen på Chalmers och
därmed konfronterats en del med teknisk kurslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en
utformning som i så hög grad som möjligt liknar teknologens “vardagslitteratur” – detta för
att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tekniska
Högskolornas.
Ett gott råd är dessutom att verkligen försöka lägga undan miniräknaren då Du räknar dig i
igenom häftet. Enligt min egen erfarenhet, var detta en av de verkligt givande poängerna med att
repetera gymnasiets matematik. Förståelsen för de grundläggande tekniska mattekurserna ökar
enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i “ryggmärgen”.
Lycka till!
Lennart Jörelid
iii
Innehåll
DIAGNOSTISKT PROV
5
1 Algebraiska räkningar
7
1.1
Addition, subtraktion och multiplikation av reella tal . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Division av reella tal. Bråkräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
Lineära ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4
Absolutbelopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5
Kvadratroten ur ett positivt reellt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6
Icke-reella tal. Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7
Andragradsekvationer. Faktoruppdelning av andragradspolynom . . . . . . . . . 19
1.8
Faktorsatsen. Ekvationer av större gradtal än två . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9
Olikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10
:te roten ur ett reellt tal. Allmänna potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Trigonometri
27
2.1
Vinkelmätning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2
Rätvinkliga trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3
De trigonometriska funktionerna för godtyckliga vinklar . . . . . . . . . . . . . 31
2.4
Några enkla trigonometriska formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5
Additions- och subtraktionsformler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6
Formler för dubbla resp. halva vinkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Plan analytisk geometri
38
3.1
Avståndet mellan två punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2
Räta linjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3
Cirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4
Ellipsen, hyperbeln och parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Funktionslära
44
4.1
Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2
Derivatans definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iv
4.3
Enkla deriveringsregler.
De elementära funktionernas derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4
Sammansatta funktioner. Kedjeregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5
Tangent och normal till en kurva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6
Maximi- och minimiproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
PROVRÄKNING (Blandade exempel)
54
FACIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTERNA
56
Facit till det diagnostiska provet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Facit till provräkningen (blandade exempel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
v
A. DIAGNOSTISKT PROV
(Lämplig tid: cirka 2 timmar)
(Svar finns på sista sidan i kompendiet)
[1] Förenkla
[2] Lös ekvationen
"
!
!
#
!
[3] Förenkla så långt som möjligt:
$&%('*) /.
+-,
)0
.
' /.
+ 0
)
1 2-3 4 5
[4] Förkorta (om möjligt) i uttrycket [5] Dividera (med polynomdivision) så långt som möjligt
[6] Lös ekvationssystemet 8
[7] Bestäm exakt >
? : 4 9;:$
9 $ #
!
#
6 1 "! -3 4 7
5
=<
5@ A
[8] Bestäm rötterna till ekvationen
%B4
#DC
[9] För vilka gäller olikheten
H
[10] Förenkla HN
!FE
!
G
! 3 %JILK A IMK ! 3 : IMK 1 -3 ILK ! 3 [11] Angiv exakta värdet av O-P K
RQS3T5 UWVTK RQS3 : (samt förenkla).
H[Z]\
3
O^X # !
[12] Bestäm alla vinklar X mellan CY och : CY som satisfiera HN
! 3
O_P K X #
[13] [a] I en rätvinklig triangel är sinus för en vinkel lika med 2/3 och den mot denna vinkel
stående sidan är 3 längdenheter. Bestäm hypotenusans längd exakt.
[b] Samma uppgift som ovan, om i stället tangens för vinkeln är 2/3.
3a
[14] Bestäm UNVTK exakt, om UWVK` # ! .
edBf5
[15] Angiv på formen = $`cb #"C en ekvation för räta linjen genom punkterna
och
! d ! .
6
[16] Ekvationen 4gh$4 # : betyder geometriskt en cirkel (i ett ortonormerat system). Bestäm
medelpunkt och radie.
[17] Bestäm derivatan ij (och förenkla den), om
< 4 i
!
#
) , 3 1)
[18] Bestäm i j C , om i D
# k
k
4 1
$ b
$
[19] Bestäm på formen
i
#DC en ekvation för tangenten till kurvan #
!
den punkt på kurvan, där # .
Kl7 mZn\ [20] Bestäm det största värde som i #
_O P
O kan anta för reella .
7
1 Algebraiska räkningar
1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av reella tal
För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler:
& &&
#
= % ? f
? ! %
f&
#
f
l
#
Jd
g
ty
#
#
? ! !
#
Man definierar potenser med heltalsexponenter som:
5o
! för qp
#r
. # dN 4
%C osv
s # % ftB# tBt-^d
dvs. produkten av stycken faktorer
#
Varav följer Potenslagarna
u % s
uv s
#
uw s
uyx s
5
g s # s s
#
? Eftersom ! 4
! och zh
#
&{
, så gäller att
ovs. För att förtydliga ges nedan några exempel:
Exempel
Exempel
#
y{ 4
#
{ 4 Jd y{ 1
5T|"T b 6T| b &Tl} b T # 5T|T ;bm T
l b
&
b
#
$ 4W~1 % ?= 4 $ 1
f2 . o $ . . ~ . 4
$ ~ . 4 % ?f25 %nW$ 1
#
#
Övningsuppgifter
8
b #
#
&{ 1
,
Ö-1 Förenkla
Ö-2 Beräkna
A :a ~ $ A 9 ~ $
[1] $
z"6T| b [2]
"6T b "l b T
[3] b

[1]
[2] 1
?f5 4
[3]
?= 1
[4]
?g o
[5]
Ö-4 Omforma (genom att multiplicera ihop parenteserna)
Ö-3 Förenkla
g 1|% 2g 4
[1]
6<T5W 4
[2]
$e4-( % $ [3] 1W$ %
?= 4W$1 ~ 1z% ~ 4 y
4 % ? 1$
[4]
n [1]
]
4 ! [2] 7"! 1
"! n 6 4 [3] 4
Följande viktiga formler bör man kunna utantill:
] 4
4 4
KVADRERINGSREGLERNA
4 # 4 Tg 4
#
] 1
1 T 4 g 4 1
KUBERINGSREGLERNA
#
1
1 4 g 4 1
#
4 4
]]]
KONJUGATREGELN
#
#
&]] #
1 1
&] 4 4 FAKTORUPPDELNINGARNA
#
1 1
n 4 g 4 #
dW
g 4
g 4
OBS! 4 4 4
och 4
kan ej faktoruppdelas med reella tal.
Exempel Utveckla
Exempel
6 7
~ 4 1
.
Lösning:
9 ~ 4 1
~ 4B
kuberingsregeln med # och #
#

#
1 % 4z% ~ 4 % {% ~ 4 4 ~ 4 1
#2
#
1 :4 ~ 4m < ~ ~
2 b 1 1b4 2 4Wb1
Faktoruppdela uttrycket !
.
Lösning:
! 2T b 5 1 1 b 4 2T 4 b 1
alla gemensamma faktorer bryts ut #
T 4 bl% A 4 ! Tg 1 b b 4 #

kan kvadreringsregeln användas? #
T 4 bl% g 1 4 % g 1 % bm #6 b 4

# kvadreringsregeln #
T 4bl% g 1 b 4
.
9
Exempel Faktoruppdela uttrycket 2 $ 1.
Lösning:
2 $ 1
Kan faktoruppdelningen för 1 1 användas?
#

4 1 $ 1
4 $ ]M 4 4 4 % $y $ 4 4 $ n (F 4 $ $ 4 #
#
#
Övningsuppgifter
Ö-5 Utveckla
[1]
[2]
[3]
$
6 < 4 Ö-6 Förenkla
4
4
$1 4
] 9 [1] T
4 nT 4 [2]
6 4 5n 4 5n A5
[3] m
Ö-7 Uteckla
[1]
[2]
[3]
[4]
Ö-8 Uppdela i faktorer
$ 1
<T 4 4
T 1
4 : 1
A
[1] 4
[2] 4 7
5 !J: 4
[3] 4
Ö-9 Uppdela i faktorer
Ö-10 Uppdela i faktorer
[1] 4
2
[2]
[3] 4W$e1S
[1] 1
$
[2] $ ~
2 1W$
[3] ! 2 $ $ 4
!n4
$ W1 $e4
Polynom; Kvadratkomplettering
Med ett polynom (i ) menas ett uttryck av formen
s tntBt 7 o
s
.
#
dBtntBtdW
sedBtBtBtd o
p
o kallas koefficienter för där s
. Om s #C säges vara av grad . Ett
viktigt begrepp är kvadratkomplettering i andragradspolynom (jämför detta med lösning av andragradsekationer [1.7]). Kvadratkompletteringen ges av:

7 4 " 4
4 9
4 % %B9 4 " 4
#
#
Exempel Bestäm
(genom kvadratkomplettering) minsta värdet av
i #
4"! 7
!
Lösning:
4m "
! i #
kvadratkomplettera #
# "
4 %B% 1 1 4
1 4 ! 7 1 4 #
#
4
4
4
4
10
! J
#
7
4
1 4
2
Eftersom 14 4 C för alla , med likhet om och endast om #
1
vilket inträffar då #
4 .
1
4 , inser man att i #
2
,
Övningsuppgifter
Ö-11 Kvadratkomplettera
Ö-12 Kvadratkomplettera
[1] 4 <
[2] $4 2
[3]
! $
[4]
C
[5] 4m:
[1] 4 7
4
[2] !
Aa [3] !J:4
4m [4] $e4 ~ 4 $ ~
[5] 4
!
4
$ e
$ 4
$4 $"!
Ö-13 Bestäm (genom kvadratkomplettering) Ö-14 Bestäm största värdet av
minsta värdet av:
!
[1] 4m < 4 ! !
[2]
C
[3] 4 7
!
<
4
[1] ! 4
[2]
! C 4
[3]
C
1.2 Division av reella tal. Bråkräkning
den entydiga lösningen #¡ ¢
Enligt definitionen på bråk har förstagradsekvationen % #
3T
7p
(kan också skrivas
) för #rC . För bråkräkning gäller bl.a. följande regler:
%b
bl% Förkortning och
b|% # # %Bb
förlängning:
p
(för b #DC )
Multiplikation:
Division,
dubbelbråk:
b #
b
% £ #
b
%
3T
b 3 £ #
b
£
#
b
% och
£
%
(¤ £ # b
% £
%b
b
£ # % £ ¥ % £ #
b
£
¥
b
Addition,
¥
£
subtraktion:
.
.
.
OBS! v ¢ är ej lika med ¢ . (Alltför vanligt fel att tro motsatsen.) Om t.ex. #
.
.
.
.
nämlligen
!
v ¢ # 4 , medan ¢ #
Potenser med negativa exponenter definieras som
11
#
! , är
Definition
!
§¦ s
s
#
varav följer
5u
s
#
u ¦ s
Exempel Förenkla uttrycket:
Lösning:
#
!
s ¦ u
¦ ¢©ª
¨ ¢ ¦ © « .
¨ ]
ze #
? ! ? l?
l
#
!
l 4 #
!
4
¬
Exempel Skriv
!
#
4 9"!
4 !
4
som ett bråk (på så enkel form som möjligt),
Lösning:
¬
!
9
!
!

# 4 4
4 # Faktoruppdela nämnarna
!
9
7"!
n 7
!
h%B
#
# Förläng de olika bråken, så att de nya bråken får samma nämnare.
Vi har minsta gemensamma nämnare D®¯
#
5
% !
%B 7
#
4 9
! 9
4 9
Tn 4|% 9
! 4 % Tn 12
4 7
#
T
n #
]
#
n 7
5
% !
] % 4 #
1 4 4 4 g
Anmärkning: Man kan också (i ovanstående exempel) först addera två av bråken och sedan
till summan addera det tredje bråket. Genomför dessa räkningar!
Övningsuppgifter
Ö-15 Beräkna
Ö-16 Beräkna
1 % J . °. 1 [1] 1

. 4 . -3§ [2] . 4

¦
[1] 1
3T5 ¦ 4
[2] !
? =< ¦ 1
[3]
Ö-17 Skriv som potens av 2
Ö-18 Förenkla
3T5
[1] !
T253T
[2] !
2T3 1
[3]
[1] C
T
[2]
[3] ! C
Ö-19 förenkla
Ö-20 Förkorta (om möjligt)
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
]_3|
] 4 3z 4
] 4 3z
ze 4 3 1
] 3z 1
§
$ -3 ! $ . o 1 ;: g 4 -3§g 4 $e4 ~ 1 < ~ $ ! < ~ 4W$ -3< $ ~ -3 4 4 g
[1] 4 4 _3 4 g
[2]
! _ 3 14 [3] 1
Ö-21 förenkla
Ö-22 Lös ekvationen
3 - 3 ! 3 $ _3 &"! 3 $ 3 [1] ! $
3 3 $ 3T 3T -3 ! 3Tz3T 4 [2]
3 53
[1] #
!! 32
6<
-3 ! g ! 3
T
[2] 9
#
7
!! _36 Ö-23 Skriv som ett bråk (på så enkel form som Ö-24 Skriv som ett bråk (på så enkel form som
möjligt):
möjligt):
3
[1] [2] 7
3
[3] ! !
: ! ! 3§ "!
3 ! 7
3 !z
_3 4 ! 3 ! 3 [1] !
3 6
_3 [2] 4
! _36 4 2 " ! _
3 4 2 [3] 7"
_3 4 7"! 13
Rationella uttryck, Polynomdivision
p
Ett rationellt uttryck (i ) kan skrivas på formen , där och är polynom och #
Om nu gradtalet för är större än eller lika med gradtalet för ,
C , dvs ej identiskt noll.
kan divideras med , så att gradtalet för restpolynomet ± blir mindre än gradtalet för
± . Man får kallas kvotpolynom. Polynomen ² och ± #r²
, där ²
kan bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm (se följande exempel)
-3 4 7
! så långt som möjligt.
Lösning: Skriv upp täljaren och nämnaren med “trappan” (eller “liggande
Exempel Dividera
1m4m
stolen”):
#
7
!
C
7"!
4 ´ 14 1 A 4 ! 4 C ! 4 "! C
C
C
!n ! - # ³² -
#
#
_
± Metod: Dividera högstagradstermen 1 i med högstagradstermen 4 i ,
3
dvs bilda 1 4 #
, som blir första termen i kvoten ² . Multiplicera se dan hela nämnaren med och subtrahera från . Fortsätt med att di videra högstagradstermen ! C 4 i resten med högstagradstermen i , dvs bilda
! 4 3 4
! , som blir nästa term i . Multiplicera och subtrahera som ovan.
C
#
C
² Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ± är strängt mindre än gradtalet för .
Svar:
14 !n ! 7"! 4 7
!
#
C
4 7
!
Övningsuppgifter
Ö-25 Dividera så långt som möjligt:
[1]
[2]
[3]
Ö-26 Dividera så långt som möjligt:
4 "
! _3 ! 4 ! _
3 4"! 1 < 7"
! _3 T-3 ! [1] a: 4
1 _36 4 ! [2] !

g-3§ 1 4 5
[3] 4m
14
1.3 Lineära ekvationssystem
Vid lösning av ekvationer med flera obekanta söker man genom elimination skaffa sig en ekvation, som innehåller endast en obekant. Man kan använda sig av en av två metoder – substitutionsmetoden eller additionsmetoden. För att illustrera, ges nedan ett exempel: (Tecknet “µ ”
betyder “om och endast om”)
Exempel Lös ekvationssystemet 8
7
7
< $
#
$
#
=<
Lösning: Metod 1 [Substitutionsmetoden]
¶< $ _3
Den första ekvationen ger #
, som man sätter in i den andra. Då erhålles
^< $ _3 $
=<
= ! < $ $
!
µ !
#
#
C µ
!!B$

µ
µ
y=2
#
< $ -3
Alltså är #
#
=§
d $
Svar: #
#

!
C
_3
#
f
Lösning: Metod 2 [Additionsmetoden]
Multiplicera (för att eliminera ) båda leden

och addera dem:
:7
! < $
: $ #
#
!!B$
#
, och man får ett
i de givna ekvationerna med 3 resp.
! !
C
=
Härav fås y=2 , som insatt i en av de givna ekvationerna ger #
.
OBS! Kontrollera alltid svaret genom insättning i de givna ekvationerna!
Anmärkning: Den lineära ekvationen f $ # b betyder geometriskt en rät linje.
Ett system av sådana ekvationer har alltså a) en b) ingen eller c) oändligt många
lösningar beroende på om de räta linjerna är a) skärande b) parallella (och olika) c)
sammanfallande.
Övningsuppgifter
Ö-27 Lös ekvationssystemet
<
9 $
#
[1] 8 9 < $
#
$
:
#
[2] 8
7
$
!
#
7 $
!
#
[3] 8 < $
#
Ö-28 Lös ekvationssystemet
7 $
#
[1] 8 :7 $
#
$
#
[2] 8 :
$
:
#
9 $ ~
¸H¹ #
:
[3] · 7$ ~ #
<
9 $ ~
#
15
1.4 Absolutbelopp
´ ´
DEFINITION
8
#

om q
om E
så är C
Alltså är ´ ´e C för alla och om ´ ´ #
#
avståndet mellan punkterna och på tallinjen.
och Exempel
4 #
!
Olikheten ´ #
´
E
<
¥
&?=
´
Exempel Enligt definitionen är ´
#
!§´
´
Exempel Exvationen kan skrivas =# C
#
.
kan även skrivas
º ´
. Geometriskt kan ´ uppfattas som

, ty #
E C .
!
# ¥ , varför rötterna är . #
=<
E
7
<
E
, dvs
=
E
E
!z
#
,
.
Studera tallinjen!
Övningsuppgifter
Ö-29 Bestäm
<
[1] ´ ´
< ´
[2] ´
2 ´
[3] ´:
=§t»< ´
[4] ´
2 ´
[5] ´ :
Ö-30 Lös ekvationerna
!§´
[1] ´ #
´
<et»<
[2] ´ 7
´ ´ # [3]
#
3T
[4] ´ 7"!§´ # !

´
[5] ´ 7
#
< ´
!
[6] ´ # Ö-31 Angiv utan absolutbelopp de , som satis- Ö-32 Skriv i utan absolutbelopp, om i fiera:
är:
´

´
[1]
[1] 9¼´ ´
E ´ ´
´
g
´
½
[2]
[2] ´ ´
´
!
[3]
[3] ´ 7"!§´´ E
!e´´ :7 ´
´g½ [4] ! E ´ [4] ´ 1.5 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal
Eftersom 4 #

C .
DEFINITION
¾%;
4
C för alla reella tal har ekvationen
#
reella lösningar endast om
@ Med , där C , menas det icke-negativa, reella tal vars
@ ] 4
för C .
kvadrat är . Alltså är
#
16
@ ¿
f¿
@ !B:
och inte ¥ .
OBS!
C för
C . Exempelvis är
#
(Mycket vanligt fel att tro motsatsen!)
@ Av definitionen på
följer vissa räkneregler:
@ %@ @ @ e3 @ =¿
för och
C .
@ 4
´ ´ för alla reella , varför @ 4 % ´ ´a% @ 2.
#
#
för C , alla .
@ n3
=¿
3 @ 3. !
för
#
C .
@ @ ]_3
! 3 @ @ ]
#
4. 8 ! 3 @ @ @ @ ]_3
#
=¿
Àp för och
C och # .
1.
#
och
#
>
3T
Reglerna 4 kallas förlängning med konjugatuttryck. (se exempel nedan.)
@ p @ @ OBS! I allmänhet är
.
#
Exempel Förenkla >
Exempel
?= 4
.
Lösning:
?= 4
´
´ Enligt räkneregel 2 ovan, är >
.
#
#
?= 4
@ En alternativ lösningsmetod är >
.
#
#
.
Skriv med heltalsnämnare 1 ¦eÁ
Lösning:
Förläng med konjugatet till nämnaren:
!
;@ < #
@ <
Â@ <n @ < #
@ <
4 "@ T
< 4 #
.¦ )
Á ) ¦ . och ange definitionsmängd.
Lösning:
3 @ @ !
är definierat för q¼! , men !
@ <
A< #
@ <
Exempel Förenkla
! @ ! #
Svar: För ¿
! är . ¦ )
Á ) ¦ . #
& @ ! ! #
@ 17
!
! endast för ¿
@ ! 4
@ ! #
! . För ¿
@ !
! är:
Övningsuppgifter
Ö-33 Förenkla
Ö-34 Förenkla
@ A
[1]
@ 4
[2]
?f
5 4
[3] >
@ t
[1] C !J:
<
@ [2] : C CCTC
@ 2 % @ ! 2
[3]
Ö-35 Förenkla
Ö-36 Skriv med heltalsnämnare:
@
[1] !
@ [2]
@
[3]
@
[4] !
2T3 @ A :
@ 2
< @ 5] @ < @ 5
@ @ 5
2 @ <
3 @ ! [1]
3 @ @ [2] !
3
@ : [3] ! !|
@ <-3= @ <
[4]
3 !| @ @ [5] !
3 @ @ @ : [6] !
Ö-38 Förenkla följande uttryck (och angiv definitionsmängd):
Ö-37 Förenkla
@ 4 % h¿
, om
[1]
C
@ 4 % [2]
, om E C
3T
h¿
[3] % >
, om
3T
[4] % >
, om E
Ekvationen 4 #
=¿
och
=¿ C
och
=¿ C
och
C
C
C och E C
har för
=¿
_3 @ 9 [1] 7
6< _3 @ <
[2]
_3 @ [3] 4
_3 @ 1 4
[4] !
_3 @ 1 4
[5] 4
3 @ 9
! ! [6] 6 4 -3 7 @ [7]
@ d 4 #
C två olika reella rötter . #
@ ÄÃ 4
.Å 4 # ¥
för C
#
@ . Man skriver
OBS!
4
8
A
Exempel Ekvationen 4
Exempel Ekvationen !|
4

#
4
#
#
µ
¥
#
Ã
@

4
Ã
4
#DC , dvs
#
@ @ #DC , dvs
#

3A
18
#
#
men
@
¥
@ T3T
har rötterna . Å 4 # ¥
.
!
@ À
saknar lösning, ty
C .
Övningsuppgifter
Ö-39 Lös ekvationen
Ö-40 Lös ekvationen
[1] 4 #
T
[2] 4
# C
4 "
[3]
# C
"
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
#
@ 7"!
#
@ 7 @ 4 "! #DC @ 4 # !
@ 4 # A
@ @ #
1.6 Icke-reella tal. Komplexa tal
b
saknar reella rötter om #
Ekvationen 4 #
E C . Däremot har den icke-reella (imaginära)
@ b
!
@ b d
4
.
rötter:
, där Æ #
. Man kan nu (något oegentligt) skriva:
4 #
#"Æ
Æ
b Ã @ b
@ baÇ b ¿
4
.Å 4 # ¥
# ¥ Æ
#
C
Exempel Ekvationen 4
=
4
#rC , dvs
#
8
har rötterna . Å 4 #
@ .
#rÆ @ 4 #
Æ
¥
@ =
#
¥ Æ
@ , dvs
Ett komplext tal kan skrivs på formen È Æ X , där È och X är reella tal och Æ är den imaginära
!
.
enheten, som satisfierar ekvationen Æ 4 #
Exempel
!
Æ
#

]6Æ
# Konjugatregeln #
Æ
Æ

A Æ 4 #
Æ
Övningsuppgifter
Ö-42 Skriv på formen È Æ X
" [1] !| Æ
]6 Æ
[2] !| Æ
_36 Æ [3] !| Æ
Æ 3= 3
[4] ! !| Æ "!
Æ
Ö-41 Lös ekvationen
=A
[1] 4 #
[2] 4m
#D
T< C
[3] !J:4
! 4 #"
fC [4] #
5 4m
!
[5] C#rC
19

Æ
! 1.7 Andragradsekvationer. Faktoruppdelning av andragradspolynom
Àp
¢
En adragradsekvation 4 cb #rC kan, då #rC , skrivas på normalform: 4* ¼É #"C .
En andragradsekvation på normalform, 4hfÀ #"C , kan lösas genom kvadratkomplettering:

4
4
4
4 4 7ËÊ *Ì Ê *Ì
n
Ê
9
Ê

*Ì #
*Ì
#rC µ
Alltså gäller att:
Ekvationen 4m9 #DC har rötterna
.Å
4 #

¥Í
4
Ê Ì
Dessa rötter . och 4 är
3 4 ¿
[1] Reella och olika, om
C
3 4
[2] Reella och lika, om
#rC
3 4
[3] Icke-reella och olika, om
E C
OBS! Om #DC , har ekvationen 4 Î #DC en rot . #rC , samt roten 4 #
Exempel Beräkna rötterna till ekvationen
< 4
#
.
Lösning:
Ekvationen kan skrivas på normalform: 4 .Å
4 #
Exempel
!
<9¥Í
! 4
Ê <*Ì Ê <*Ì #
4 1
#"C , och har rötterna
!
<¥Í
!
¸¹ . # < < # <
Alltså är rötterna ·Ï
! !
<
< #
4 #
Ï
: "! 4
Ekvationen
#DC har rötterna
@ A ! .Å
¥
¥
4 #
#
@
! <
< #
#
!
< T
¥
OBS! Kontrollera alltid svaret genom insättning i den givna ekvationen!
20

.
Æ
!
<9¥
<
Övningsuppgifter
Ö-43 Bestäm rötterna till ekvationerna
[1] 4 : [2] 4 # 9;:
[3] 4 [4] !!n4 #
< [5] 4 A 4 "! [6]
[7] : <
< Ö-44 Lös ekvationerna, dvs bestäm alla rötter:
[1] [2] [3]
[4] [5]
#rC
#DC
!
# C
D
:
# C
D
4
#DC
7:
4 #"C
4 9
!
C
#D
4 <
#
4;: 4
C
#rC (Sätt här
#

4
#
~ )
Faktoruppdelning (av andragradspolynom)
Om ekvationen 4¶Ð= #rC har rötterna . och 4 , så kan polynomet 4¶Ð§ faktoruppdelas:
4
] .
4
#
3T 4
49 ej
Anmärkning: Om
E C , så är . och 4 icke-reella och i så fall kan

4
¾

faktoruppdelas med reella tal. (Därmot kan
alltid faktoruppdelas med komplexa tal.)
Exempel Faktoruppdela polynomet Ñ
Lösning:
4 !
får
4 #
4
. Alltså är 4
!
!
Ñ #
¥Í
!
J! :
.
#
4 #
!
!
n .
4 #
#
! .
. 4 4 . Lös därför först ekvationen
. Å
4 #
Rötterna är alltså 8
4 #
!
#
4
. !
¥
! 3
4 !
#
21
! Ê 7
! n !
Ì #
*
! , varför
! ]6 &r! .
# C . Man
4 r
Övningsuppgifter
Ö-45 Faktoruppdela (med reella tal):
Ö-46 Angiv en andragradsekvation med
rötterna:
[1] 4 [2] :
[3] 4m
2 2
[4] [5] 4
=
[1] 1 och
@ ;@ [2] och
[3] !| Æ och !
Æ
º 4
4 :9
!
1.8 Faktorsatsen. Ekvationer av större gradtal än två
Sats
Faktorsatsen
om . är
Om är ett polynom i och . Ò
# C , dvs

. en
en rot till polynomekvationen
#ÓC , så är

faktor i
, dvs
%J .
#
där är ett polynom av en enhet lägre grad än .
Exempel Lös ekvationen 1
!T!n4m
T 5<
#DC .
Lösning:
d
d edBtBtBt
!
Efter prövning (av t.ex. C ¥ ! ¥
) finner man att . #
är en rot, ty !
!T!n 4 T h 5<
!T! }T 5<
faktorsatsen är alltså polynomet 1
#ËC . Enligt
?
.
!
"! . Division (av polynom, se 1.2) ger
delbart med #
#
7"! ] 4 ! <
1 !!n 4 9 5<
#
! 5<
Tredjegradsekvaitonens övriga rötter fås ur ekvationen 4
#DC . Man får
<
@ : 5<
:
:
!
, dvs 4 #
och 1 # .
alltså 4 Å 1 #
¥
¥
#
! <
.
Svar: Ekvationen har fötterna
, 4 #
och 1 # .
#
!!n 4 Tillägg: Vi har alltså faktoruppdelningen 1
<Tn .
OBS! En tredjegradsekvation har alltid tre rötter (lika eller olika)
22
Ô
5<
#
D! n Övningsuppgifter
Ö-47 Lös ekvationerna
[1] [2] [3] [4]
4 2 #rC
1 4 !
1 4 ;: 1 4m
Ö-48 Faktoruppdela (med reella tal):
1 #"C
# r C
!
[1] [2] [3] [4]
#DC
4 2 1 4 !
1 4 ;: 1 4m 1 Ö-49 Lös ekvationerna
Ö-50 Faktoruppdela
!
[1] #rC
!
[2] #
D
! 4 C
[3] 4
# C
D
[1] 1
1 !
[2]
[3] 14
!
4 ! 4 n! C
: 4W$ $:T$
1.9 Olikheter
Exempel För vilka är 1
E
!!n4 5< ?
Lösning:
!!n 4 T h 5<
Olikheten kan skrivas # 1
E C . (Ha alltid för vana att
flytta över termer, så att ena ledet blir noll.) Enligt exempel ovan har vi faktorupp n <Tn delningen # 9
! . Teckenstudium ger nu:
Exempel
!
<
Svar: Olikheten gäller för E
och för E E .
För vilka är 7"! ¬ )4 ?
Lösning:
! 4
Olikheten kan skrivas ¬ # 7"
C , där
)
7 ] 4 #
#Õ
! ¬
I Õ har vi endast faktoruppdelat täljaren. Teckenstudium av
= ½Ö
q¼! .
C och för
OBS! Den givna olikheten ( i senaste exemplet) får ej skrivas 9"!
Svar: Olikheten gäller för
23
E
ger nu:
, dvs olikheten får ej
multipliceras med , ty kan vara negativt!
h¿Â
%b ¿} %Jb d
µ
%b
%Jb d
Allmänt gäller att 8 h¿Â
µ
E
¿
om b
om b E
C
C
Ö-51 För vilka gäller följande olikheter?
Ö-52 För vilka gäller följande olikheter?
¿¼ 4
[1] 4
[2] 4 ½ [3] 4 À
[4] 4 !
<
[5] 1m: E 4 < 1
[6] : 4½ 9
"!
[1] 7
6 [2] 3
[3] ! q
1.10
Ø
_3 ×
½
! _3 !
:te roten ur ett reellt tal. Allmänna potenser
Ú@ ¶Ù
Û
Med Ú #
menas den reella (och
positiva, om #
# jämnt heltal) roten till ekvationen
Ú@
¶
Ù
]
s
s
s
Ú
.
Alltså
är
,
dvs
.
#
#
#
@ @, .Ü 4
¿
för C Ú@ . Om
För den vanliga kvadratroten gäller alltså att
#
#
C definieras
Wu Ü s
Û¾3 u Üs ©
u
potensuttrycket
(med rationell exponent
) genom ¨
. Man kan visa att
#
u Üs ©
satisfierar (de allmänna) potens- och exponentiallagarna:
¨
Potens- och exponentiallagarna
) % +
#
) T
3 + #
) +
#
g )
3T ) #
8
) v +
) ¦ +
) x+
#
) % )
) T
3 )
3TN+
Anmärkning: Den andra lagen ger speciellt !
#
Exempel Förenkal
>Ý
g@ ¦ +
, om #DC .
.
Lösning:
Þ
Ý
@ #
6 % ,Ù Ù
Ý #
24
6¶ß, Ù
Ý #
¶ß, x Ù
Ý #
àÙ
#
@à Ö-53 Förenkla
2 .Ü
[1]
¦ .á
[2]
@ T Ü 1
[3]
A ¦ .Ü % A o á
[4]
5T ¦ .á 3 ¦ á
[5]
Ö-54à Förenkla
@ A
[1]
@, 2
[2] Ù
ß @ <
[3] >
à @ A
[4] >Þ «
@ :
ß
[5] >
9¿
Man kan allmänt definiera uttrycket ) för
och alla reella , så att ) satisfierar potenslaC
garna ovan. ) kallas for en potens av , där kallas bas och exponent. Av speciellt intresse är
ed ! 25T2ÄtBtBt
den (naturliga) exponentialfunktionen k ) med basen k#
. För allmänt ) gäller bl.a.
att
¿
[1] )
C för alla .
Wo
! för alla .
[2]
#
¿
[3] i # ) är växande (för växande ) om
! .
avtagande (för växande ) om C E
E
OBS! Man skiljer på a) potensfunktionen i #
Exempel Lös ekvationen
Exempel
) % ) v .
#
! , och
¢ och b) exponentialfunktionen i #
)
.
!
.
Lösning:
% ) v .
!
% 5
!
!
kan skrivas ) % !
, dvs ) % #
eller
Ekvationen ) #
#
)
! .
,
varför
#
#
4
Lös ekvationen k ) k )
#DC .
Lösning:
×
~
!
Sätt k ) # ~ . Då erhålles andragradsekvationen ~T4 ~
#"C med rötterna . #
f
och ~ 4 #
. Man får nu två fall:
~
!
.
)
.
[1] k #
# fger
#"C .
¿
[2] k ) # ~ 4 #
är en orimlighet, eftersom k )
C för alla reella tal .
Svar: #DC
25
Övningsuppgifter
Ö-55 Bestäm reella lösningar till
Ö-56 Bestäm reella lösningar till
[1]
[2]
A
[3]
[4]
[5]
[1] k
[2] k
[3]
[4]
)
#
) v . 2 !
)
:
#
! 3T
)
# v . @ % )
)
#
eCât <
) v 4 % )
#
4) )
k
4) )
k
4 ) %
) v . A
)
# C (Sätt k #
D
"!
) #D! C2
#DC
% ) #rC
1.11 Logaritmer
För tio-logaritmen IMã$ och naturliga logaritmen ILKÄ$ gäller
IMã$ µ $
! ) , för $ ¿
#
#
C
C
IMKÄ$ µ $
$ ¿
)
#rk , för
C
¿
OBS! För att ILãT$ resp. IMKÄ$ skall vara definierat krävs alltså att $
#
IMã!
#DC
ty tex $
d ILã§!
#
!
C#
#
!
! d IMK!
C Y #
#"C
! ) µ
C
d IMK
k #

IMã!
! d
#
Av formlerna ovan följer också direkt att
ILã! )
och ILK )
för alla reella .
C #
k #
!
Cäåæ=#
$ och +
knä
#
$ för alla $ ¿
Exempel IMã! CCTC# ILã^! C 1 #
t
¦ .
Exempel IMã C ! # ILã! C #
.Ü
Exempel IMK @ k=# ILK k 4 #
Exempel Lös ekvationerna
C .
!
! 3
[1] J% ILKw #
[2] % k ) #
Lösning:
ât <
.á
@
µ MI Kw # !
µ D
[1] J% ILKw #
# k tâ<ç D
# k tè k
% )
t
»
<
K !
:
µ k ) # !
µ # IL
[2] k #
C C
Övningsuppgifter
26
C . Speciellt är
ILã5$
#
#rC
t
~ )
Ö-57 Förenkla
Ö-58 Förenkla
[1] ILã`! CCTCC
t
[2] ILã C CC !
á
[3] ! C äå 1
¦ o á
[4] ! C äå
[1] ILK k 1
@
[2] ILK ß k
3 @ [3] ILK !
k

[4] k ä
¦ .á
[5] k ä
Ö-60 Bestäm reella lösningar till:
Ö-59 Lös ekvationerna
[1] ILã #"C
!
[2] ILKw #
[3] %JILãm # !
[1] k
[2]
[3]
[4] k
[5]
)
#
% ! )
5
C
% ! )
5
C
4 ) <
%5! 4 )
C
#
:
! ) v .
"
C
#
) ;:
k
#rC
! ) :
C
# C
D
Ur potenslagarna kan man härleda följande logaritmlagar (för $ och ~
¿
C ):
Logaritmlagarna
Sats
[1] ILK +é $&% ~ # ILKÄ$ILK ~
ILKÄ$ IMK ~
[2] ILK
#
[3] ILKÄ$aê # ÔB% ILKÄ$
Motsvarande lagar gäller också för tio-logaritmen, ILã .
Av lag 2 följer speciellt att
!
ILK
ILK ~
~ #
$ ~ OBS! ILK är inte lika med IMKÄ$ILK ~ . (Mycket vanligt fel att tro motsatsen!)
Exempel Lös ekvationen
%JIMãm %BIMã !
#
Lösning:
¿
För att IMãT skall vara definierat krävs att garna, att
%JIMãT %JIMã µ
Svar:
#
@ <3T<
4
2 #
!
C
¦ .
µ
#
!
µ
4
ILã 4 ILã 1
#
¿
C . För
< µ
.
27
#
@ < #
#
C gäller enligt logaritmla-
4
!
µ ILã Ê
2 Ì #
5@ <
¿
ty
<
C
!
µ
Övningsuppgifter
Ö-61 Förenkla
Ö-62 Sök reella lösningar till ekvationerna
2 IMã 2
[1] ILã C
52 :%JILK! B% ILK [2] ILK
2 :%JILã @ [3] ILã
3TA ILK @ [4] ILK !
ILK IMK . < LI K A ILK T
[5]

t ! t»< IMã MI ã`! t»2 ! MI ã!
[6] ILã C !
C
%BIMK ILK
[1] ILKw7
#
IMãy IMã [2]
# IMKw 1
[3] ILK "!
IMKl
[4] ILK # [5] ILK "! ILK
IMã 9
!
[6] ILã
<
#
#
:IMK IMK #
ILK ! 4
IMã ! 2 Trigonometri
2.1 Vinkelmätning
Vinklar kan mätas i (delar av) varv, grader eller radianer. Med 1 radian menas storleken av centrumvinkeln i en cirkelsektor, där periferibågen är lika lång som cirkelns radie. (Rita en figur!)
:
Q
Sambanden mellan de olika enheterna är: ! varv #
radianer. Härav fås:
CYz#
QS3 ! 2
!
och
Y #
C 2 radianer
3aQqç¼<etë
1 radian= ! CY
Y
A
QS3
(Ofta skriver man inte ut enheten radian, utan skriver t.ex. C Y #
.)
Övningsuppgifter
Ö-63 Bestäm grader och radianer för
Ö-64 Bestäm grader och radianer för
3
[1] !
varv
3T
[2]
varv
3 [1] !
varv
=<
[2]
varv (Rita figur!)
Ö-65 Omvandla till radianer
Ö-66 Omvandla till grader
g<
[1] Y
<
[2] Y
[3] : CY
!
[4] C Y
QS3
[1] :
`QS3T2
[2]
TQì3 ! [3]
=<aQ
[4]
28
2.2 Rätvinkliga trianglar
A
Qì3
(radianer). Om en av de övriga vinklarna är X , blir
I en rätvinklig triangel är en vinkel CY|#
QS3
QS3T
2
Q
X , eftersom vinkelsumman i en triangel är ! CYÄ#
X
den tredje vinkeln
. Vinkeln
kallas komplementvinkeln till X . Den sida som står mot den räta vinklen kallas hypotenusa och
de båda övriga sidorna kallas kateter.
För rätvinkliga trianglar gäller Pythagoras sats:
Pythagoras sats
Sats
4 De trigonometriska funktionerna definieras (för C
e3 b O-P K X #
DEFINITION
Zn\
3 b #
O^X #
3T #
UWVTK X
# 3T #
Zn\ U
X #
#
4
E
#
X E
b 4
QS3T
):
_3
motstånende katet hypotenusa
-3
närliggande katet hypotenusa
_3
motstående katet närliggande katet
_3
närliggande katet motstående katet
Härur fås:
bl% O_P K X dW
b % nZ \ ^
l
O X
#
#
%BUWVTK Wd % Zn\ U
X
X , samt att
#
#
5ï
UWVTK X
#îðí ñ ï #
í
.
ðñóò ï .
Qì3
För komplementvinklen (
X ) gäller:

S
Q
T
3
n
Z
\
N
d
]
Z
\
RQS3
O-P K
X #
O^X
O
X # O-P K X
Z]\ U dNZn\ U RQS3
UWVTK QS3 X X
X # UWVK X
#
Man erhåller också:
Trigonometriska ettan
O_P K
Sats
OBS! O-P K 4 X #
4
X Zn\ 4
O X #
!
(Fås direkt ur Pythagoras sats)
4
O_P K X % O_P K X Ç O-P K X 4 är ej lika med O-P K X 4 .
O_P K X 4 #
29
Exempel
§t
T<
Solvera en rätvinklig traingel med #
Y (se figur), dvs. bestäm de
C och ô #
sidor och vinklar som inte är givna.
Lösning:
A
<
3 b
, varför sidan
Vinklen õ #
ô # : Y . Nu är O-P K ô #
CY
§t
§t
çet !
b
C< ç
të5CT
# O-P K ô # O-P K
C
Y
<
K
(O-P
räknesticka eller ur tabell.)
Y fås med räknedosa,
e3
e3 UNVTK
ç³§t 3 tè :: ç : tè
W
U
V
K
ô #
ô
Vidare är
, varför #
C C
<
d
¼
ç
e
t
w
ç
ë
t
! , och
:
Svar: õ # : Y b
(längdenheter).
QS3T
och C E X E
.
Lösning:
<
Rita en rätvinklig triangel med kateterna #
och #
. Då är UNVTK X #
Enligt Pythagoras’ sats är hypotenusan då
<
@ 4 < 4
@ T
dNZ]\
b
K
varför O-P X # @ O^X # @ T
#
#
Exempel Bestäm O-P K
X och
Zn\
53<
OX , om UWVTK X #
Övningsuppgifter
Ö-67 Solvera följande rätvinkliga trianglar (beteckningar enligt figur ovan):
§t :
[1] b #
och ô #
C Y
t
t
[2] #
och #
§t C
5C <
[3] #
och õ #
C
§t»<
Y
[4] #
och õ #
et»<
t»< CY
[5] #
och b #
et»
[6] #
och ô #
Y
30
53T<
.
QS3T
Ö-68 Bestäm (för C E X E
) exakta värdet
av:
Z]\
3T
[1] OX och UNVTK X , om O-P K X # ! . (Ledning:
Rita en rätvinklig triangel med # ! och b # )
Zn\
3T
[2] O-P K X och UWVTK X , om OX #
n
Z
\
<3
[3] O-P K X och O^X , om UWVTK X #
Zn\
Zn\
të
[4] O-P K X och O^X , om U X #DC
g< d
Vi härleder nu de trigonometriska funktionernas värden för Y : CY och TC Y . (Om man inte kan
dessa värden utantill, måste man snabbt kunna göra en härledning.)
g<
QS3
För X #
är den rätvinkliga triangeln (figur 1 ovan) en halv kvadrat. Då är kateterna
Y #
@
@
4 4
och # , samt hypotenusan b #
, varför:
#
Q
!
K
_
O
P
Y #
# @ Q
!
Z]\ g<
Z]\
O
O
@
Y #
#
Q
UNVTK g<
UNVTK !
Y #
#
Q
Z]\ U g<
Z]\ U
# !
Y #
g<
O_P K
QS3
För X # : C Y #
kan den rätvinkliga triangeln uppfattas som en halv liksidig triangel (figur 2 ovan). (I en liksidig triangel är alla vinklarna lika med : C Y , varför vinklarna i en halv
dWA
T
liksidig triangel är : C Y C Y och C Y .) Alltså är hypotenusan b #
och Pythagoras’ sats ger
n@ @ 4 4
,
varför:
#
#
Q
@ K
C Y # O-P #
Q
!
Z]\ :
Z]\
O C Y #
O # Q
@ UNVTK`:
UNVTK C Y #
#
Q
!
Z]\ U:
Z]\ U
# @ C Y #
O_P K`:
För X #
CY|#
Qì3 :
erhålles under betraktande av samma figur som för : CY :
31
O_P K
Z]\
O
C Y #
C
ty O-P K
C
C
Q
: #
Q
!
@ O : #
Y #
Q
!
NU VTK
Y #
:º# @ Q
@ ]Z \ U
Y #
: #
Z]\
UNVTK Z]\ U O-P K
CTY =(motsående katet)/(hypotenusan)=
3T
#
! 3 osv.
Övningsuppgifter
Ö-69 Bestäm exakta värdet av
[1]
Zn\
O
CY
UWVK Ö-70 Förenkla
ðñ Ü
Ü
[1] í ¨ëö © %B í ¨»ö 1 ©
(Ledning: använd potenslagarna!)
òL÷ Ü © %B ¦ ðñ Ü ©
[2] ¨ëö
¨ëö
Ü v ðñ Ü í 3 òø÷ Ü © v ðñóò Ü ©
[3] í ¨»ö © í ¨ëö 1 © ¨ëö
¨»ö
CY
Z]\ _3Z]\ :
K: O
-O P K [2]
Y C Y _3 O CY g< -O P
CTY
NU VTK4(C
Z
n
\
:
4
UNVTK
-O P K [3]
O
CY
C Y
Y
CTY
2.3 De trigonometriska funktionerna för godtyckliga vinklar
En vinkel räknas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen räknat
från positiva -axeln.
d Antag, att $ är en punkt på enhetscirkeln, vars ekvation är 4 ;$ 4 # ! . De trigonometriska
funktionerna för godtyckliga vinklar definieras genom:
32
DEFINITION
8
O-P K X # $
Zn\
OX # 8
UWVTK X
$ 3 #
Zn\
3
OX # $
p
dÓ
för r
# p C dù dvs. X
för $ #DC
dvs. X
p QS3T ; QS
QS
#
#p
QS3
Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för C E X E
, dvs för
¿
d
¿
$
K X
$ , är O_P K X positivt för vinklar i första och andra
.
(Rita
figur!)
Eftersom
O
P
C
C
#
Z]\ d
dNZ]\ U
kvadraten och negativt i tredje och fjärde. Liknande regler för O UNVTK
:
Av definitionerna ovan följer direkt att
Sats
3mZn\
3mZ]\ U
Zn\
Z]\
3
3
[1] UNVTK X # O_P K X
O^X # !
X och U X #
OX O_P K X # ! UWVK X
Z]\
O^X ½¼! för alla vinklar X
[2] !½ O-P K X ½¼! och !½
d
QS3T
d K Qì3
! d K aQ
! d O_P K Q
O-P
[3] O_P K C#DC O_P K
#
#rC O_P
#
#DC
Z]\
dNZ]\ QS3
dNZn\ Q
! dNZ]\ QS3T
dNZ]\ aQ
!
[4] O C# !
O
O #
O
O
#DC
#"C
#
aQS
Zn\
Z]\ F% aQì
O X
[5] O_P K X # O-P K X F%
och O^X #
, för varje heltal .
Zn\ 4
O X # ! [Trigonometriska ettan]
[6] O_P K 4 X 33
Exempel Bestäm exakt:
Exempel
Z]\ 5aQS3 :
)
O
Lösning:
Z]\ 5aQS3 : Zn\ Qì3 : % aQS
Zn\ RQS3 : @ 3T
O
O
O
#
#
#
Zn\
Zn\

QS3
Q
Bestäm O-P K X och OX , om U X #
och
.
E X E
Lösning:
Zn\
Zn\
3
Med hälp av formeln U X #
O^X _O P K X samt “triogometriska ettan” får man ekvationssystemet
Zn\
3

O X -O P K X #
(
nZ \ 4 4
O X
_O P K X # !
T3 @ <
OX # ¥
3g@ <
med lösningar 8
8
O-P K X #³ú !
Zn\
¿
Eftersom X ligger i andra kvadranten, där O^X E C och O_P K X
C , fås.
Svar:
Z]\
O^X #
=3 @ <
Zn\
och O_P K X #
! 3 @ < .
Övningsuppgifter
Ö-71 I vilken kvadrant hamnar följande Ö-72 Bestäm exakt
vinklar?
TQS3T
Zn\ Q
[1]
[1] O
aQS3
[2] CC Y
[2] O-P K !
TQS3g
< QS3
[3] C
[3] O-P K
aQS3 :
Zn\ ? =TQS35
[4] !
[4] O
? fAQS3ag
[5] ! CCC Y
[5] UWVK
ì
Q
T
3
n
Z
\
?
! ! QS3T5
[6] ! CC
[6] U
C
Ö-73 Visa att
Ö-74 Visa (för godtyckliga heltal ) att
3 Zn\ 4
m
O X # !|UNVTK 4 X
[1] !
3 K 4
!
! Zn\ U-4 X
[2] -O P X # |
Q
[1] O-P K`
Zn\
Q
[2] O
6
[3] O-P K
Zn\ M
[4] O
Ö-75 Bestäm exakt
#DC ? s
!
#
S
Q
3Ta
Ô
!
#
Ô"! QS3
! s
#DC
Ö-76 Beräkna exakt
Zn\
53
QS3
[1] O_P K X och UNVTK X , om OX #
och
[1] O-P K
E
aQ
QS3T
X E
Z]\
të
[2] O^X och UWVTK X , om O_P K X û
och X är i [2] O_P K
# C
Q
andra kvadranten.
X E
Zn\
Q
[3] O-P K X och O^X , om UWVTK X # , och E X E
[3] UWVTK
QS3T
Qì3
E
n
Z
\
3
[4] O-P K X och UWVTK X , om O^X #
34
X
X Zn\
Zn\
g3T
O^X , om UWVTK X #
O^X , om
Zn\ U
X #
och C E C E
=3
QS3T
och
E
nZ \ U
X X , om O_P K X
Q
X E
#
fA53 @ ! g
<
, och
2.4 Några enkla trigonometriska formler
Sats
O_P K
X
Z]\ # Zn\
O
X #

¾
Q
_O P K
X # -O P K
RQS3=
O_P K
X
8 Z]\ RQS3
O
X
QS
O_P K X 8 Z]\ Qì #
O X
#
8
O_P K X
O^X
#
X
Zn\
UNVTK
UNVTK ? X X
Z]\ U # ÀZ]\ U
X #
X
Q¾
qZn\
X #
OX

S
Q
3

Z]\ U
UWVTK
X #
X
8 Zn\ U QS3=
N
U
T
V
K
X #
X
S
Q
UWVTK X UWVK X
8 Zn\ U QS # Z]\ U
X
X
#
8
Z]\
O^X
K
# O-P X
O_P K X
ÀZn\
O(X
O
Dessa formler kan härledas med hjälp av spegling (se lärobok från gymnasiet.)
35
Exempel Bestäm
Zn\ 6 <aQS3 : O
.
Lösning:
<QS3 :
Zn\
ÀZn\ Q
ligger i andra kvadranten. Använd formeln OX #
O
X . Vi får alltså
<aQ
<aQ
Q
@ Z]\ Ê
ÀZ]\ Ê Q¾
ÀZ]\ Ê
O
O
O : Ì #
: Ì #
: Ì #
Exempel
O_P K Ê
5<aQ
Ì #
Q
aQ¾
O-P K Ê :%
Ì #
O_P K Ê
Q
Ì #
Q
K
Ê
O_P
Ì #
@ Övningsuppgifter
Ö-77 Bestäm exakt
Ö-78 Bestäm exakt
?`QS3g
[1] O-P K
6<aQì3 : [2] O-P K
?`QS3T5
[3] UWVTK
Zn\ 6<aQì3g
[4] O
Zn\ ?=aQS3 : [5] O
6aQS35
[6] UWVTK
Ö-79 Bestäm exakt
[1] O-P K
Zn\
[2] O
[3] O-P K
[4] UWVK
[1] O-P K
[2] UWVTK
Zn\
[3] O
Zn\
[4] U
!
C Y
! C <Y ? ! C Y
T
CCY
Ö-80 Visa (utgående från formlerna ovan) att
! QS3T5
6<aQì3g
6< QS3T5
? C ! Qì3T5
CC
Q¾
UNVTK
X #
X
[1] UWVK
Zn\ U Q¾
Z]\ U
À
X #
X
[2]
Av formlerna ovan (i detta och föregående avsnitt) erhålles:
Q
Sats
(1) O_P K X # O-P K Èhµ
X # È Ð%
Q×
aQ
X #
È Ð%
(2)
Z]\
O^X #
Z]\
O^Èhµ
X #
X #
Ð% aQ
È aQ
È Ð%
eller
eller
Ð% Q
(3) UNVTK X # UNVTK Èhµ X # È I samtliga formler ovan är ett godtyckligt heltal.
36
Exempel Lös ekvationen O-P K
X #
C
tâ<
, dvs bestäm alla vinklar X som satisfierar ekvationen.
Lösning:
Qì3 :
? `QS3 : Q 3 :
S
! 3
Enlösning är X #
, ty O-P K
.
-O P K
#
#
? `QS3 : QS3 : Q
`
K
K
Formel [1] ovan ger O_P X # O-P
eller X #
µ X #
Q
Svar:
X #
Qì3 :
Q
aQS3 :`
eller X #
Q
, där
Ql{Qì3 : är ett godtyckligt heltal.
Övningsuppgifter
Ö-81 Lös ekvationerna
Ö-82 Lös ekvationerna
3T
[1] O-P K X # !
Zn\
3 @ [2] O^X # !
@ [3] UWVTK X #
Ö-83 Lös ekvationerna
@ 53T
[1] O-P K X #
Zn\ <
! 3
<
[2] O X #
(Sätt X #"ü )
!
[3] UWVK X #
Ö-84 Lös ekvationerna
Zn\
[1] O
[2] O-P K
[3] UWVTK
Zn\
[4] O
yZn\ 4
O
[1]
mZn\ 4
O
[2]
[3] O-P K 4
[4] UWVK4 X
Z]\
X #
O^X
K
X # _O P X
X # UWV K X
X # O_P K X
X #
]Z \
Z]\
X O X # ! (Sätt ^
^
O X #
X O_P K X #
UWVTK
UNVTK1 X
X
#
2.5 Additions- och subtraktionsformler
Följande formler måste kunna utantill eller kunna härleda:
Sats
8
O_P K È X #
O_P K È
X #
nZ \
Zn\
O_P K È % ^
O X O È % _O P K X
^
]
Z
\
Z]\
K
%
O_P È
O X
^
O È % O_P K X
^
8
Z]\ O È
X #
]Z \ O È
X #
Z]\
Z]\
O^È % O^X
Zn\
Z% \
n
O^È
O X ^
8
UNVTK
UNVTK
È
È X
X
#
#
O_P K È % O-P K X
O_P K È % -O P K X
WU VTK
_3 ! UNVTK
È UWVK X
È %nUNVTK X
UNVTK
NU VTK - 3 !zUWVK
È
X
È B% UWVK X
OBS! O-P K È X är inte lika med O-P K È O_P K X . (alltför vanligt fel att tro motsatsen!)
37
~ )
Exempel Härled formeln för
Zn\ O È
X
X .
utgående från formeln för O_P K È
Lösning:
Zn\ O È
X
Q
#
#
#
Q
c
K
ý
O-P
È
X utgående från formeln för O-P K
[1] O-P K È
X .
_
X # È X
(Ledning: È
N
U
T
V
K
È
X från formlerna för O-P K È X
[2]
Zn\ O È
X .
[3] UWVTK È
X från formeln för UWVTK È X
Ö-87 Beräkna exakt
[2]
Zn\
[3] UWVTK
O
T<
T<
Y [Ledning:
<
#
È
g< C
È [1] UWVK È #
och [2] UWVK È #
.
#
% O-P K X
#
! 3§d UWVTK X
#
ed UNVTK
X #
2.6 Formler för dubbla resp. halva vinkeln
8
% K
Z]\
O-P K È #
O-P È % ^
O È
Zn\ nZ \ 4 4
O È #
O È
_O P K È #
8
4
O-P K
Zn\ 4
O
.
4.
4
þ
3
!
3Ted K
3
[1] O-P K È # !
. È och X befinner
O-P X #
sig i första kvadranten.
3T<ed K
3<
5
[2] O-P K È #
O-P X #
och C E È E
QS3T
Q
.
E X E
Y
4ï #
4 #
X
Ö-88 Bestäm O_P K È X , om
Y
ï
Ö-86 Bestäm UNVTK È X , om
Ö-85 Härled formeln för
<
Q
ÿ
K
ý
O-P
È
#
Q
Zn\
Zn\
È % ^
O X
O
O_P K Z]\
]Z \
O^È % ^
O X
_O P K È % O-P K X
Övningsuppgifter
[1] O-P K
X
óþ
% nZ \ 4 O È
! Zn\
O^X
!| Z]\
O^X
38
!
#
! % O_P K 4 È
Övningsuppgifter
Ö-89 Härled
Ö-90 Antag att
Zn\
[1] formlerna för dubbla vinkeln från additions- [1] O
formlerna
[2] formlerna för halva vinkeln från lämpliga [2] O-P K
Zn\ formler för O È
[3] O-P K
[4] UWVK
Zn\
OÈ #
3 ! T
. Bestäm exakt
È
È
3 T
È
3
È
Ö-91 Bestäm exakt
Ö-92 Antag att O_P K È #
QS3T
. Bestäm exakt
<
[1] O-P K! Y

S
Q
325
[2] O-P K
Ted<
[3] UWVTK
Y
[1] O-P K È
Zn\ [2] O È
Zn\ [3] O È
53 @ ! och att C E
È E
3 Plan analytisk geometri
3.1 Avståndet mellan två punkter
d d Avståndet mellan två punkter . $ . och 4 $ 4 i ett vanligt (ortonormerat) koordinatplan kan
beräknas med avståndsformeln (Rita en figur!):
Avståndsformeln
£
#
>
4 .
4
$ .
$ 4
4
Avståndsformlen bygger på Pythagoras sats.
Övningsuppgifter
Ö-93 Bestäm avståndet mellan (och rita en fi- Ö-94 Bestäm en punkt på -axeln, som ligger
lika långt från punkterna
gur)
[1]
[2]
[3]
[4]
6ed ! §d<T
och
dn
och origo
?C ! d ! dBf5
och
?=edBf5
! dB=
6dW5
d ! [1]
och
§dW5
dn
[2]
och !
och
39
3.2 Räta linjen
Ekvationen för en rät linje parallell med $ -axeln är #
, där och är konstanter.
lell med -axeln är $ #
och ekvationen för en rät linje paral-
d Betrakta i $ -planet en rät linje, som går genom en given punkt, o $ o och som ej är parallell
$ _3 o
o är konstant
med $ -axeln (se figur ovan). För punkter på linjen gäller att kvoten $
N
U
T
V
K
längs linjen och att konstanten är ²Ô#
X . Konstanten ² kallas riktningskoefficient och vinkeln
X kallas riktningsvinkel.
Vi får alltså den s.k. enpunktsformeln för räta linjen:
Enpunktsformeln
$ $ o
% o d
#r²
där ²Ô#
UNVTK X .
d d p
Om en rät linje går genom två givna punkter . $ . och 4 $ 4 , där . # 4 , så kan riktningskoefficienten ² beräknas med formeln (rita en figur över detta):
$ . $
4
²Ô# . 4
7 $;b
Sammanfattningsvis är
#DC den allmänna formlen för räta linjens ekvation.
40
Exempel Bestäm en ekvation för räta linjen genom punkterna
Lösning:
_3 .
Riktningskoefficeinten ²Ô# $ . $ 4
4 #
enpunktsformeln fås linjens ekvation:
$ "? ! #
=<3 , dvs
<
$
#
[Alternativt: $
#
<T3 ! µ
< 7
§dB ! d-g
och !
.
? ! qg_3w ! $ ! #
=<3
. Med
#DC
! , vilket naturligtvis ger samma svar.]
< $ ! Svar:
#DC
OBS! Kontrollera alltid räkningarna genom att visa att de givna punkterna satisfierar den erhållna
ekvationen!
Övningsuppgifter
Ö-95 Bestäm på formen × $¼b #
ekvation för räta linjen genom
[1] origo med riktningskoefficienten
dn=5
[2] !
med riktn.koeff. 1/2.
? d
[3] !
parallell med -axeln.
C en
=3<
Ö-96 Bestäm på formen q $h³b #
ekvation för räta linjen genom
C en
? d T
[1] !
parallell med $ -axeln.
? ! d T
[2]
med riktningsvinkeln CY
6 dB ! g<
[3]
med riktningsvinkeln
Y.
Ö-97 Bestäm en ekvation för räta linjen genom Ö-98 Sök skärningspunkten mellan linjerna (ripunkterna (rita figur!)
ta figur!)
6ed ! dW
och !
[1]
! dW
?f§dB ! [2]
och
?f§dT
[3] origo och
? ! d
dnfg
[4]
och !
6<3Ted<3T
?=ed ! [5]
och
[1] 9 $
< $
[2]

$ ;:
[3] $ [4]
och 9$ #rC
#DC
$ A
#"C och #DC
$
:7 och
#DC
$;: #DC
#rC och
#DC
Jämför även lineära ekvationssystem, avsnitt 1.3.
Normal
Om två räta linjer med riktningskoefficientrna ² . och ² 4 skär varandra vinkelrätt, så gäller att
!
! 3
! 3
p
%
, dvs ² . #
² . ² 4 #
² 4 och ² 4 #
² . , om ² . och ² 4 # C . Den ena linjen kallas
normal till den andra.
41
Exempel Bestäm en ekvation för normalen till linjen
$:
d
.
#rC i punkten C
Lösning:
g3 %â Den givna linjen, vars ekvation kan skrivas $ #
, har riktningskoefficienten
g3T
! 3
f53
. #
. Normalens riktningskoefficient är därför ² 4 #
och
² . #
²
1 $
normalens ekvation blir

#
C .
Svar:
$ 2
#DC .
Övningsuppgifter
Ö-99 Bestäm en ekvation för normalen till lin- Ö-100 Bestäm en ekvation för normalen till
jen
linjen
$
! d ! !
[1] # A i punkten
<
! Bd =
$ [2]
# C i punkten
r
$ !
<3ed [1] #
genom
< $ ed ! C
[2]
# C genom
r
3.3 Cirkeln
¬
En cirkel består av alla punkter, som ligger på samma avstånd (radien) från en given punkt
d (medelpunkten). Ekvationen för en cirkel med radien och¬ medelpunkten o $ o är:
4 $ $ 4 ¬
4
o
o
#
¬
4 ekvationen för en cirkel med radien
vilket följer av avståndsformeln. Speciellt är 4 Â$ 4 #
och medelpunkten i origo.
Exempel Angiv den geometriska betydelsen av ekvationen 4
7$4S
Lösning:
Ekvationen kan genom kvadratkomplettering skrivas
<
<
<
4 4
4 % 7 4 $ 4 % %J$ 4
¬ µ
#
vilket är en cirkel med medelpunkt
edB=<3
42
och radien
< $
#
#
T 4 3T
$
<
. Rita figur!
4
#
5A
Övningsuppgifter
Ö-101 Ge en ekvation för cirkeln med medel- Ö-102 Angiv den geometriska betydelsen av
ekvationen
punkt och ¬ radie:
¬
d d
<
[1] C C
[1] 4$4
¬
#
dWd
< #DC
[2] C
[2] 4$4
¬
#
# C
D
dnd
@ :
4 7$ 4
[3] !
[3]
# C
"
?f53ed ! 3g# d
t»<
4 7$ 4 T
: $ [4]
[4]
#DC
< $ < #"C
[5] 4 $ 4 #"C
[6] 4 $4;: $"! #DC
A $
[7] 4 $4 C
2 7 $#r
[8] :4;:T$4
#DC
3.4 Ellipsen, hyperbeln och parabeln
Anmärkning: Hoppa över avsnitt 3.4, om dessa begrepp inte behandlats i din gymnasie kurs.
d En ellips är en kurva som består av alla punkter $ , vilkas avstånd till två givna punkter
T
(brännpunkterna) har en given konstant summa ( #
). Man kan visa (se gymnasiets lärobok) att
ellipsens ekvation kan skrivas:
4
4 $4
4 #
!
Anmärkning: Längderna och kallas ellipsens halvaxlar. Ellipsen skär -axeln, dvs $ #DC ,
i punkterna # ¥ , samt $ -axeln, #rC , i punkterna $ # ¥ .
4
4m$e4
OBS! Om #
erhåller man , dvs en cirkel
#
@ 4 4
Om ¿} ligger ellipsens brännpunkter på -axeln i ( ¥ b d ), där b
.
C
#
@ 4 4
Om f¿} ligger brännpunkterna på $ -axeln i d ¥ b , varvid b
.
C
#
43
Med en enkel koordinattransformation, (byt mot o och $ mot $
$ o ), erhålles att
4 3T 4 o
$ $ 4 3T 4
!
o
#
d
är ekvationen för en ellips med medelpunkten o $ o ) och (halv-) axlarna parallella med koordiQìg
nataxlarna. Man kan visa att ellipsytans area är
. (Om man här sätter # , fås den välkända
Qì
cirkelarean 4 .)
d En hyperbel är en kurva som består av alla punkter $ , vilkas avstånd till två givna punkter
b d ? b d ). Hyperbelns ekva(brännpunkterna
C och
C ), har en konstant differens (skillnad ¥
tion kan skrivas: (jämför figur)
4 4
$e4
4 #
! d
4
där 4 # b4
.
Hyperbeln skär -axeln, $ #¼C , i punkterna # ¥ , men saknar skärning med #¼C . Man kan
T
3
T
3
3T
visa att hyperbeln 4 4 $4 4 # ! obegränsat närmar sig någon av de räta linjerna $ # ¥ (vilka kallas asymptoter till hyperbeln), då ´ ´ .
3T $4 3 4
!
3 T
4 3T 4
Anmärkning: Hyperbeln 4 4
, dvs $4 4
#
#
3T $ 4 3T 4
! .
ligger på $ -axeln, kallas konjugathyperbeln till 4 4
#
! , vars brännpunkter
d En parabel är en kurva som består av alla punkter $ , som har samma avstånd till en given
d b
). Parabelns ekvation
punkt (brännpunkten: C b ) som till en given rät linje (styrlinjen: $ #
kan skrivas
$
#D²
4
! 3 b . Parabeln $
4 har origo som vertex (= vändpunkt).
# ²
³
d Allmännare: $ $ o #³² o 4 är en parabel med vertex i o $ o och (symmetri-)axel parallell
o
$
$ o 4 är en parabel med vertex i o d $ o och symmetriaxel
med $ -axeln, medan #
parallell med -axeln.
där ²#
Exempel
4ìº$e4
3T $e4 3T2
!
, dvs. 4
geometriskt en ellips med medelpunkt
# betyder
@ @ 2
i origo och halvaxlar #
och #
(parallella med koordinataxlarna).
f¿}
d
@ :
@ 2
Eftersom
ligger brännpunkterna på $ -axeln i C ¥ b , där b #
.
#
#
2
44
Övningsuppgifter
Ö-103 Bestäm geometriska betydelsen av
följande ekvationer. (angiv i förekommande fall
medelpunkt, halvaxlar, brännpunkter och vertex.)
Ö-104 Bestäm geometriska betydelsen av
följande ekvationer. (angiv i förekommande
fall medelpunkt, halvaxlar, brännpunkter och
vertex.)
:
[1] 4m $4 #
A
:
[2] 4 $4 #
$ 4
:
[3] 4
$4 A 4 #
:
[4]
#
$
:
[1] 4
#
$e4
:
[2] # :
[3] 4 ;:7 $ 4 #
:
[4] 4;:7 $ #
4 Funktionslära
4.1 Inledning
En reell funktion, som kan betecknas med $$ # i eller kortare $ # i , kan
betraktas som en regel, med vilken varje (reellt) -värde, som tillhör en definitionsmängd ,
tillordnas ett entydigt bestämt reellt $ -värde. Mängden av alla $ -värden kallas värdemängden .
En funktion $ # i kan åskådliggöras med en kurva i $ -planet.
Exempel
³! 4
har som naturlig definitionsmängd E E ? ! ? !|"! 4
värdemängd C ½}$ E . Vi får t.ex. i
#
#"C och i
#
$
#
i #
och som
A
4 ).
Vidare är i ü # ü "! 4 varför t.ex. i 4 # 4"! 4 , (om üy# ! !z"
! 4
4 samt
Dessutom är i
#
#
-
- "! 4 "! 4
4 4 t
i i #
#
Övningsuppgifter
Ö-105 Antag att $
#
i #
Ö-106 Antag att i #
4m
! . Bestäm
[1] och [2] i
? ! [3] i
[4] i ü
? [5] i
[6] i 4
-
[7] i i [1] och [2] i !!
! [3] i ü
[4] i 1
5
[5] i ~ 4 ~ _
[6] i i
45
@ . Bestäm
4.2 Derivatans definition
Med en tangent till en kurva i en punkt Ñ menas en gränslinje, till vilken en sekant (dvs. en rät
linje) genom Ñ och en annan punkt på kurvan, obegränsat närmar sig då obegränsat närmar
sig Ñ längs kurvan.
d Antag att punkten Ñ har koordinaterna $ , där $ # i , och att den rörliga punkten har
d $`7$ , där $Ä9$ # i . Då har sekanten (räta linjen) genom
koordinaterna
Ñ och riktningskoefficienten
7$
i 7 i ² ÷ò # #
7
í
ty ² ÷ ò # UWVTK X , där X
är sekantens riktningsvinkel.
í
í
í
d Riktningskoefficienten för tangenten genom $ får man genom att låta (och därmed också
7$ ) obegränsat gå mot noll:
² òø÷
å
ò #
7$
I P
)! o 7 #
Detta gränsvärde
kallas derivatan av $ #
d#" + d $
tan är j " ) i(j
och Ði .
9
m
I P i
)! o
i #
i j d i i punkten $ . Vanliga beteckningar för deriva-
Anmärkning: Av definitionen följer att derivatan i(j existerar i en punkt om och endast om
kurvan $ # i har en tangent i punkten.
d OBS! Derivatans värde i(j varierar i allmänhet med , ty tangenterna i olika punkter $
på en kurva har i allmänhet olika riktningskoefficienter, dvs olika lutning.
46
Exempel
$
#
i #
då 7&
4 har derivaten i j #
m
7$
i #
7
4 h%$ 9 9$ 3 I C , dvs P )! o
#
Övningsuppgifter
Ö-107 Beräkna, om i #
[1] i j !
[2] i(j C
=
[3] i j
, ty differenskvoten
i 4 4
#
4 4
#
#
%
.
Ö-108 Beräkna om i #
[1] i j !
?=
[2] i(j
g3T
[3] i j
4
1 4
4.3 Enkla deriveringsregler.
De elementära funktionernas derivator
Sats
$
#
('
Ã
b|% È
#
$
%
# È X
3
$
# È X
Ã
È $
X
Ã
Ã
$ j
#
$ j
#
$ j
#
$ j
#
È j bw% È
È j %
È j %
För de elementära funktionerna kan man härleda följande derivator:
$
$ j
# i
# i j
konstant
0
%B ¦ .
) ) %JIM K )
)
k
k
Sats
IMKw
! 3 Z]\ O_P Kw
O
Z]\ O
O-P Kw
UNVTKÄ
! 3mZn\ O 4^
!|UWVTK4^
Z]\ U
! 3 K 4 # & !| Z]\ UN4^ O_P
#
47
)'
j
b
j om konstant
X È % X j
X
È % X j
X 4
d
X j
Exempel
@ Ã
$
Exempel
#
$ j
#
3
enligt formlen för med # ! .
! 3 4
$
! 3 Ã $ j
, ty
#
#
£
£
!
¦ .
£ #
# £ #
$ j
#
#
$ j
#
Exempel
!`%B ¦ . ¦ .
!
*,Ù
+
#
#
¦ 4
!
@ !
4
#
och X
)
#rk i produktformeln
1 % ) % )
1 % )
È j % X È % X j #
k
k #
k
9
$
Exempel
!
Ù ¦ .
B% ,
#
% ) ger med È
k
#
$
Exempel
Exempel
! 3§6 @ , ty
£
£
@ ,Ù £ # £ #
T-3 4 3
ger (då $ # È X med È #
och X # 4 )
% 4 "
T % 6 "! 4 9
È^j % X
È % Xgj
4 4
4 4
#
#
X 4
)
) %JIMK har È^j #
OBS! Förväxla inte potens funktionen med exponential funktionen ) !
3T
Beräkna i j ! , om i # ILK ! 1 .
$
#
1 har $ j
#
4
, men È #
Lösning:
Vi omformar först uttrycket för i med hjälp av logaritmlagarna (se avsnitt 1.11).
Vi får då
i #
ILK 6 1 #
ILK ILKw 1 #
ILK ILK| #
ILK ILK|
% ! 3 f53 Alltså är i j #DC
.
#
=
För # ! får vi i j ! #
.
OBS! Med i(j ! menas värdet av ij för punkten # ! . Man måste alltså först beräkna
allmänna uttrycket för i(j och sedan sätta in det speciella -värdet.
Övningsuppgifter
Ö-109 Bestäm i(j om i är
Ö-110 Derivera
19 <
[1] Zn\ U^
[2] 7
3 ! 3 4
[3] 4m7
!|"! 7"

<
[4] )

[5] ILK (
[1] k )
[2] 1
[3]
6<
[4]
3
[5] !
48
% nZ \ O %JILKw
! _3 "! 4 "! -3 1
O-P Kw
) k
[6] ILK
3mZn\ U
[6] !
@ 3
[7] 7
!
3 @ 9
! [8] @ 3 @ 7"! [9] 6<
[10] ILK %JIMK 1
6<
_3
[11] ILK ILK 1
Ö-112 Bestäm i j j om i är
Ö-111 Beräkna
[1] i
[2] i
[3] i
[4] i
5
?
j
<
j
j
j
om i ! om i
om i om i ! 3 IMKw
#
4 q f! -3< f! #
LI K 6 1z% ¦ ) # @ h% ) k
#
@ [1] 9
[2] k ) % O-P K`
-3 4m [3] 1
Anmärkning: Derivator av högre ordning definieras successivt:
£ 4
£
£
-
i
i
j dvs. £ 4 # £ £ i jj
# i j
osv.
4.4 Sammansatta funktioner. Kedjeregeln
}T
.* _
Funktionen i # LI K 4z kan betraktas som en sammansättning i #-,
av
.* }
L
I
w
K
w
4
funktionerna
och ,
(vilken naturligtvis också kan skrivas som
#
#
~ IMK ~ ).
,
#
Övningsuppgifter
.* -
Ö-113 Bestäm ,
om
.* d [1] #Dk ) , # O-P KÄ
.* "! d @ [2] #
.* 1 ,d #
! 3 [3]
#
,
#
.* ! -3 7
! d
[4] #
9
! -3= ,
#
Ö-114 Bestäm
.*
[1] .*
[2] .*
[3] .*
[4] ,
#
49
.* - om
,
Kw
) d r
#
k
, d # O- P
7
@ !
# 1 ,d #
! 3 #
,
#
! -3 7
! d
#
7
! -3§6 För derivatan av en sammansatt funktion gäller kedjeregeln. Om $ #
, ~ , där ~ #
0.* -
$
, så är:
#/,
Sats
.* , dvs om
Kedjeregeln
£
£ ~ 3 £ dvs.
.* --
.* _ % . j
,
#/, j
£ Anmärkning:
£ $
£ ~
%
£ ~ £ £ $
£ #
. .* _ kallas inre derivatan av ,
.
j
#
(Kedjeregeln är nog den viktigaste räkneregeln för en teknolog. Den används ständigt i differentialoch integralkalkyl!)
Exempel Beräkna derivatan av $
Lösning:
Vi skriver $
#
ILK ~ med ~
#
Här är
och
ILK 4 #
£ $
£ ~ #
£ ~
£ #
£
£ 4 4 £
£ ~
£ $
ÿ
och använder kedjeregeln: £ #
IMK ~ #
!
#
7
~ #
4 Alltså fås $ j som den sammansatta derivatan:
£ $
£ $
£ ~
$ j
%
# £ # £ ~ £ # 4 Tillägg: Om i # ILK 4 , är alltså
6
_ 3 T
:
i j
.
#
#
Anmärkning: Med kedjeregeln visas allmänt att
£
£ ILK ~ £ ~
!
IMK ~ %
£ £ ~
£ # ~ % ~ j
#
£
. IMK . -
j
£ # .* 50
dvs
!
£ $ £ ~
£ ~ % £ .
. l¿
vilket gäller för ~ #
Exempel
C . Allmännare kan visas att för
£
. .* ´
j
L
I
K
´
£ # .* £
Zn\ £ ILK
O
#
Z]\
O-P KÄ
O #
vilket fås ur resonemanget ovan genom att sätta
Exempel
£
£ ILK !|
@ !
#
!z
@ vilket fås ur resonemanet ovan genom att sätta
UWVTKÄ
.* !
% @ .* . p
#rC gäller att
#
Zn\
O .
!
@ #
#
!l
@ .
Övningsuppgifter
Ö-115 Visa med hjälp av kedjeregeln att Ö-116 Visa med hjälp av kedjeregeln att
. -3 .* _
" .* -
" @ ) ©
21 ) © % @ ) ©
>
") >
# .* j ¨
@
¨
¨
"
k
#
)
4 ) © k
Ledning: sätt # ~
¨
é
(Ledning:+ Använd
t.ex. kedjeregeln upprepade
"
" + % "43 é % "
gånger: " ) # "43
"
") )
Ö-117 Bestäm i j om i är
Ö-118 Bestäm i j om i är
[1] ILK "!

¦
[2] k 4 ) k )
Zn\ :7 5
[3] O
[4] O-P K 4 "!
6 4 [5] ILK

[6] 1
@ 4 [7]
¦
[8] [1] O-P K 4 [2] UWVK4^
.Ü
[3] k )
3
[4] > 9"!
¦ .
[5] ILK )) v .
[6] ILK ´ O_P Kw´
@ 4 ´
[7] ILK ´ 7
Ö-119 Beräkna
Ö-120 Derivera
[1] i j
[2] i(j
[3] i j
[4] i j
om i ! om i
om
C= i
om i
¦ ,
[1] k ) % -O P K`:
@
! %JIMK 4 "! [2] 4 "`
@ 4 3 @ 1 !
[3]
ILK 6 #
¦ ) ,
# k 6<
r
LI K 4 #
MI K ´ 1m -3 9"! ? ´
#
51
Ö-121 Bestäm
Ö-122 Derivera
) % @ 7
"!
[1] i j ! om i D
#
k
g

Q
S
3
UWVTK
J% IMK 4 [2] i j
om i
#
Zn\ , [1] O k )
ðñ ,
[2] k í ¨ ) ©
ðñ ,
[3] k í )
Á ,¦ .
[4] k 1 )
4.5 Tangent och normal till en kurva
d Enligt derivatans definition är riktningskoefficienten för tangenten i en punkt o $ o på kurvan
$
lika med derivatans värde i(j o i punkten. Alltså gäller att
# i
Tangentens riktningskoefficient ² òL÷ ò # i j o och
! 3 i j o om i j o p .
Normalens riktningskoefficient ² ñ45 å ÷ #
#DC
ä
!
%
ty ² òL÷ ò ² ñ45 ÷ #
enligt avsnitt 3.2.
å
ä
$
-
o #°² % o ger nu med $ o # i o
Insättning i enpunktformeln för den räta linjen $
ekvationerna för tangenten resp. normalen. (Riga figur!)
Anmärkning: Om i(j o # C , så är tangenten $ #
normalen # o parallell med $ -axeln. (Rita figur!)
$ o
#
Exempel Bestäm ekvationer
för tangent och normal till $
ed punkten
Lösning:
Bilda
!
$ j
#
i j #
6 o
ger i j
# < #
$
#rC .
% 4 "! 4 ! 4
i o parallell med -axeln och
#
i #
! % #
! 3 <
. Tangentens ekvation blir $
Normalens ekvation blir $
!
#
f 4 4 "! 4
!
#
! 3< % Â
, dvs.
< < $ A
dvs #rC .
52
! _3 4w°! i
Övningsuppgifter
Ö-123 Bestäm ekvationer för tangent och nor- Ö-124 Bestäm ekvationer för tangent och nor d d mal i enpunkt o $ o på kurvan $ # i , om mal i en punkt o $ o på kurvan $ # i , om
[1] $ #
[2] $ #
[3] $ #
!
och o # !
IMK 6 och o
#ì
Q
3
h%BUWVTKw och o
#
[1] $ #
[2] $ # IMK

[3] $ #Dk
"
! _3 1 ´< 1 7
,

@
¦ ) %
)
k

! och o
# ´ och o
!
#
¦ .
och o # !
4.6 Maximi- och minimiproblem
Lokala maximi- och minimipunkter i det inre av ett definitionsintervall för en deriverbar funktion
$
finns att söka bland rötterna till ekvationen i(j #/C . Villkoret att ij o # C är ett
# i
nödvändigt – men ej tillräckligt – villkor för lokalt extremvärde i o för en deriverbar funktion.
Tillräckliga villkor för extremvärde (tillsammans med i j o #DC ) kan fås genom
teckenstudium av förstaderivatan i j i en omgivning av o eller
beräkning (och teckenstudium) av andraderivatan i j j o i punkten o .
(se gymnasiets lärobok).
Exempel
1 4 ! 9"!
Sök lokala maximi- och minimipunkter för i #
samt rita
$
kurvan # i
Lösning:
! : =! n À . Ekvationen ij Bilda i(j # : 4 :
#
# C har rötterna
D
!
.
och 4 # .
#
Teckenstudium (metod 1) ger:
53
i j i E
!
E
0
6
8
7
väx. max avt
2
0
! A
6
min
väx
E
! 2
! A
Lokalt maximum för i
och lokalt minimum för i
.
#
#
:
! ! 2
!
Eller: (Metod 2) i j j
ger i j j
dvs. maximum för
# 2 ¿
#
6
!
E C
! 7
,
samt
(
i
j
j
,
dvs.
minimum
för
.
#
C
#
#
! 2
Svar: Lokalt maximum i
6
! A #
Lokalt minimum i
.
#
1 4 !
Ó! har lokala max och
Anmärkning: Funktionen i #
min, men saknar såväl största som minsta värde, ty i
, då 8 och
.
, då 9
i
Övningsuppgifter
Ö-125 Sök lokala maxima och minima samt ev. Ö-126 Sök lokala maxima och minima samt ev.
största och minsta värde, om i är:
största och minsta värde, om i är:
!
[1] 4 < < 4
[2]
1m
!
[3] [4] 1m:4"!
4
! [5] 1
C
[1]
[2] [3] k
@
[4]
54
1 ! 4
1m:
! 2 4 "! 7 !`% ¦ ) Ü
k
4) PROVRÄKNING (Blandade exempel)
[1] Skriv som ett bråk (på så enkel form som möjligt)
!
!
!
7"!
4 "!
[2] Sök reella lösningar till ekvationen
$ ¸¹
[3] Lös ekvationssystemet · 9 $
$
%´ ~
~
#
#~
!§´
<
#
#
!
[4] Bestäm samtliga rötter till ekvationen
1 4 #rC
[5] Sök reella lösningar till ekvationerna
ILK 6 ! IMK ! 3 [a] ILKw
#
= ILã
[b] IMã
#
[6] Bestäm exakta värdet av
<
[a] O_P K! C Y
<
[b] UWVK! Y
Z]\ et»<
[c] O
Y
[7] Höjden mot basen in en likbent triangel är 4 gånger så stor som den i triangeln inskrivna
cirkelns radie. Bestäm triangelns vinklar.
[8] Bestäm alla vinklar X som satisfierar ekvationen
mZn\ 4 O X
O-P K X #
!
[Ledning: använd “trigonometriska ettan”]
aQ
[9] Bestäm alla vinklar X mellan 0 och
som satisfierar ekvationen
UWVTK < X
#
Zn\ U
X
Zn\

[Ledning: använd formeln U X # UNVTK ö 4
X
} h¼! $
! betyder geometriskt en cirkel (i ett ortonomrerat
[10] Ekvationen 4| $e4
C #
koordinatsystem). Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.
! 4 $ 5 4
[11] Bestäm koordinaterna för skärningspunkterna mellan cirkeln och
#
$
!
räta linjen
. (Riga figur!)
#
55
@ 4 % ) ¦ .©
[12] Bestäm i j ! , om i #
k ¨
q $h¼b
$
[13] Ange på formen
# C ekvationer för tangent resp. normal till kurvan #
4 ! -3 1 i den punkt där # ! .
@ [14] Visa att det finns en konstant ² , så att funktionen $ # O-P K
satisfierar ekvationen ×%
$ j j $ j
%J$ .
#D²
?g
RQS3 ´
[15] Bestäm ij
om i # ILK ´UNVTK
.
! % 1)
[16] [a] Sök lokala maxima och minima för funktionen i # 4y
k , där
E
.
E
[b] Har funktionen något största resp. minsta värde?
56
FACIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTERNA
Ö-1
Ö-6
! ~
[1] :T$
|
[2] b
=T
T [3]
#
Ö-2
[1] 4
A| 4
[2]
2 !
[3] !J:
Ö-7
[1] 1 ;: 4 $"!
! <T 4 4m
[2] 1
T 1 < 4
[3]
T22
[4] :
[1] 81
[2] 64
[3] 9
f2
[4]
[5] 1
[1]
2T . 4
55 !B:1
^ $ 4
An n 5
[2] 4 4 6 $ 4
[3] 4W$ 4 Tgl 4
!
[2] | 1 4 [3] :
: g
! T<T
Ö-9
Ö-4
[1]
<Tg 5] 5
[1] 7
4
[2] 7
lTn e
[3]
4
<T 4 o
T
[2] :
..
[3] : $e
= 4 o $ . 1 ~
[4]
2 $ 1
Ö-8
Ö-3
[1]
$ 4 Ö-10
5] 4 7 A5
[1] 7
$ ] 4W$$4 [2] $ 4
]
$ 1 $ [3] 1 7 $ 1 4
Ö-5
:$ A $ 4
[1] 4 ;
7 <
[2] 4
C
2

4N$1"!J:T$
[3] 57
Ö-11
Ö-17
! 4 [1] 7
! 4
[2] :
T 4 <
[3] $
$ 4
[4] 1

5 4 $ 4 ! [5] 7
[1]
[2]
[3]
4
[1]
1 4
=
för #
[2] 16 för # !
! 3
[3] 3/4 för #
~ 4"! ~
~ 4 °..

Ö-20
[1]
[2]
[1] : för # !
<
=
5
[2]
för #
<T3
<3a

[3]
för #
3
4 7
[3] ! - 3 _36 $ [1] 4 $ 4
g -3&
[2] 4
Ö-22
[1] #
[2] Ö-16
#
32
t ! <
[1] !
#"C
-3§ Ö-21
Ö-15

4
t»
!
[2] !
l
[3]
3
[4] !
&& 4
[5]
Ö-14
[2] 9
3 T<
[3] ! !
#
t»< 1W$ ¦ 1
e
ß
ß #
4m Ö-19
=<
3
[1] ! C !
#
3<
!
[2] :
#

[1] 4 )+
[2] 4
[3] $
Ö-13
[1]
¦ .
Ö-18
Ö-12
1 4
[1] 7

4
" . 4
[2]
4
4
[3]
! 4"!
[4] 4
! 4 " $ [5] ¦
t 2
C C C
58
1
. #
1 .
#
1
.
f 1

Ö-23
Ö-29
,v .
[1] )) , ¦ .
àv ,v
[2] ) ) 1 ß ) ¦ . 4 )
[1] 5
[2] 5
[3] ) , 1 ¦ .
[3] 2
[4] 1.5
Ö-24
.
[1] 4 ) ) ¦ . ©
¨
ßv ) ,¦ ) v
)
[2]
¦ ) ,
¦ ,v ¦
[3] ) ) ) , ¦ ) © 4
¨
[5] 14
Ö-30
1
) ¦ .
[2] !
§d [3] . #
[4] .
d 4
) ,v .
[3] 4
=2etâ<
4 #
4 #rC
3§d #
g3T
4 #
[5] saknar lösning
ed g3T
[6] . #
4 #
1
) v 4
!|
!
4 #
etâ<d #
Ö-25
[1] [1] . #
[2] .
Ö-26
Ö-31
[1] .
[2] ) 4 4
[3] [1]

E
[2] !½}À½
[3] ! E E
=< ½}
[4]
¦ 1
4 ) , v )) ¦ . ©
¨
A 7 !| ) , ¦ . ) v
) ß¦ 1) ,v 4) ¦ 1
E
<
! 3T
=
E
Ö-27
[1] #
[2] ed $
[3] #
! d $
#
!
et : d $
#
#
#
Ö-32
=etë
!
Ö-28
[1] saknar lösning
Ã
[2] många lösningar; #}ü
[för alla ü ]
ed $
! d ~
=
[3] #
#
#
$
#
ü
8
[2] i #
8
[4] i ¸¹
·
59
[1] i #
[3] i #
och
¸H¹
·
#
! 2 !
:
! ! 2 ! C
C
E
!
q½¼!
E

för q
för E
för q
för C
!
C
C
för q
! ½Ö
för
! E
för
E
¼! 3 för À
! 3 Ö
½ för
3 E
! för E
! 3T
Ö-33
Ö-38
[1] 3
[1]
[2] 3
[2]
[3] 3
[3]
Ö-34
[4]
[1] 0.4
[5]
[2] 2500
[6]
[3] 12
[7]
Ö-35
@ 53
[1]
[2]
[3]
[4]
d e
=
[1] . #
4 #
@ [2] .Å 4 # ¥
3g@ T
g@ 53
[3] .Å 4 # ¥
# ¥
@ g@ Ö-40
[1] #
[2] 3
@ 5
[1] !
@ @ @ : ! _3<
[2]
[3]
[4]
[5] saknar reell lösning; ( #
=
är ej rot)
[6] # ; (
! -3
¥ Æ)
Ö-41
Ö-37
[1]
[3] saknar lösning
@ @ ed [4] . #
4 #
T@ <T-3
@ @ : _ 3
[5]
@ < @ @ : [6]
!J:
#
[2]
[4]
¿D=
för @ <
¿
<
för @ för E
@ ! 3 ¿ !
för @ 9
!
@
för ! E E C , och 9"!
¿
för C
! d p
@ 7"!|"!
för q
#DC
p
@ för q½ , #
Ö-39
Ö-36
[3]
@ 7
d f
[1] . #
Æ 4 #
Æ
[2] .Å 4 # ¥ Æ
< 3 [3] .Å 4 # ¥ Æ
@ §d [4] . # !z Æ
4 #
=
@
[5] .Å 4 #
¥ Æ ! C
@ f @ @ @ g
60
! Æ
@ Ö-42
Ö-46
[1]
!|
[2]
< [3]
! 3< <
[1] 4
#DC
7
!
[2] 4
#"C
7 [3] 4
#"C
Æ
Æ
3<
Æ
3T= 3 !
[4] !
Æ C
Ö-47
d [1] . r
4 #
# C
d
[2] . # ! 4 Å 1
ed [3] . #
4
[4] . # 4 # !
Ö-43
! d [1] . #
[2] .
§d 4 #
4 #
! d #
[3] . #
[4] .
#DC
d 4 #
4 #
?=<
<
=
=3
53 !!
[3] . Å 4 #
[4] .Å 4 #
[5] .Å 4 #
¥
Æ
@ ? !
@ 5-3
¥ Æ
@ ! -3
¥ Æ
och 1 Å # ¥ (Fyra rötter!)
¥
@ §d ¥
1 Å # ¥ Æ
#
Å1 #
d n 7
[1] ! n;: [2] ] 4
[3] 7
! 4 [4] Ö-44
1 #
?f

¥
@ <_3
!
¥ Æ
! 3ed
1 #
#
Ö-48
@ 5-3 :
[5] .Å 4 #
¥
3 T
[6] . # 4 # !
@ ! <_3T2
[7] .Å 4 #
¥
C
[1] . Å 4 #
[2] .Å 4 #
ed g
1 ¦eÁ n 9
4
T
1v Á 4
°. n 7
! 4
Ö-49
[1] . # 4 # d
[2] .Å 4 # ¥ ! [3] . # 4 # !

#
1 #
!
1 Å # ¥ Æ
d
1 #
#
Ö-50
Ö-45
! ] g
[1] ! ] 1 [2]
4
[1]
4m
! n [2]
] [3] [3] kan ej faktoruppdelas med reella tal
f2^ . 4
[4]
4
" @ -3 } @ _3a
[5] 61
! <
1 n 4
$ ] ] 5
!
!
Ö-51
Ö-55
!
[1] E
3
[2] C ½Ö½
[3] q½
och för À¼!

och för ! E E
[1] #"C
[2] saknar reell ösning
[3] #
=
[4] . # ! och 4 #
Ö-57
@ [1] 4
f
[2]
32
[2] !
[3] 9
A .Ü 1
[4]
#
@ [5]
[3] 3.7
@ß A
[4] 2.5
Ö-58
Ö-54
[3]
[4]
!
[5] #
Ö-56
Ö-53
[2]
§tâ<
#
½¼! 3
[1] C E q
<
[2] E
och för q
! 3T
[3] q½
och för C E À½¼!
[1]
! t»<
[3] #
[4] Ö-52
[1]
#
[4] alla [5] E
[6] q
[1] #
[2] [1] 3
@ @à .Ü
< . Ü
.Ü_.
[2] 1/3
tâ<
[3] C
#
#
.Ü_. 4
[5] :
#
#
@ <
Ý
Ù@ à Ù@ , :
[4] 5
[5] 2/3
Ö-59
[1] #
[2] !
[3] #
!
! 3
#
62
C
k
.Ü
#
@à !
C
Ö-60
Ö-65
ILK &ç
! tëA [räknedosa eller tabell]
t ! T<
LI ã g3T5ç
C
ILã [1] #
[2] #
[3] #
[4] .
ILK och 4 #
ILã #
[5] #
[1]
`QS3T
[3]
ILK aQS3 :
[4]
Ö-66
[1]
[1] 1
CY
=et»<
[2]
[2] IMK`:
Tg<
[3]
[3] 0
»t < J% IMK [4] C
fA
[4]
< dN çetë
Äç¼t»2
och
#
C Y
ç : t: d
¼
ç : §tè
b çDt»<
Y õ
Y och
<< dWÄç¼etë2
çD§t»A
och b
#
Y
et
7ç : t !
: d b
#
CY
#
C och
ç¼< : të d
ç³§t»
7ç³§t»
Y õ
Y och
: dN ç ! tè och b ç¼§t
#
Y
C
[2] ô
[3] ô
Ö-62
<3TA
[3] #
[4] ! 3 ! <
[4] ô
<
#
[5] ô
[6] õ
#
Ö-68
@ ! T-3
och 4 #
¿ !
[5] . #
@ ! T_3
[1]
Ö-63
CYz#
(rad.)
TQS3T
[4] O-P K X #
Ö-69
Ö-64
[1]
[1]
! 2
[2]
! 2
C Y #
CCTYl#
O(X #
#
QS3
C Y #
Zn\
[2] O-P K X #
[3] O-P K X
[6] saknar lösning för
A
Y
CCY
[1] õ
[1] #
[2] Y
Ö-67
[5] 0
f
[6]
[2]
<aQS3 ! [2]
Ö-61
[1]
QS3
`Q
[2]
! Q
C
[3]
63
< @ 53 :
Â@ 53
@ 2T3T§d UNVTK
X #
@ <3T§d UNVTK
X #
<35@ TAedNZn\
O^X #
! 3 @ ! AedNZ]\ O^X
C
C
! 3 @ 2
@ <3T
#
3g@ TA
53 @ ! A
C
Ö-70
Ö-76
Á
[1] 1
[1] 7/5
¦eÁ 1 © Ü 4
[2] ¨ 4
¦ .
[3] [2] 7/5
g<3T
[3] !
Ö-71
Ö-77
! 3g@ [1] tredje
[1]
[2] fjärde
[2] 1/2
@
[3]
3
[4] !
@
[5]
@
[6]
[3] andra
[4] tredje
[5] första
[6] tredje
Ö-72
[1]
@ 53
Ö-78
!
[2] 1
3 @ [3] !
3T
[4] !
[5] 1
[1]
! 3
[2]
! 3
[3]
! 3
[4]
@ Ö-79
35@ [6] !
[1]
Ö-75
[2]
@ 53
!
@ 3d UNVTK
@ 3T
3
X #
[1] O_P K X #
[3] !
Z]\
@ ! 3<ed UNVTK
35@ !
3g@ [2] O^X #
X #
[4] !
53 @ ! d-Zn\
=
! 3 @ !
Ö-81
[3] O_P K X #
O^X #
C
C
@ <3Ted UWVK
@ <3
QS3 :wÔ% aQ
X #
[4] O_P K X #
[första [1] X #
eller X #
= @ <T3ed
K
kvadranten] eller O_P X #
[ godtyckligt heltal]
f @ <3
UNVTK X
[fjärde kvadranten]
QS3a F% a Q
#
[2] X # ¥
QS3T Ð% Q
[3] X #
64
<aQì3 :lÔ% aQ
Ö-82
Ö-90
[1] X #
[2] X #
[3] X #
¥
Qì3T {=% aQ
eller X #
QS3 ! < ¾% QS3<
QS3T {=% aQ
[1]
=3TA
e@ T3A
[2] ¥
Qì3 ! Ð% QS3
3 @ [3] ¥ !
3 @ [4] ¥ !
Ö-83
Ð% aQS3T§d X
Ð% aQì3<
Ö-91
4 #
aQS3T§d
QS3T< F% aQS3T<
@ T
3
X 4 #
[2] X . # Ð%
[1] >
#
S
Q
T
3
@ 3

[3] X # Ð%
[2] >
QS3 ! Öq% aQS3T<ed
`QS3 :Â×%
@ !
[4] X . #
X 4 #
[3]
C
aQì3T
[1] X . #
Ö-92
Ö-84
[1] X . Å 4 #
[2] X .Å 4 #
[3] X . #
[4] X . #
¥
[1] 12/13
=<3 ! [2]
A53
A
[3] !! !B:
QS3 :fÐ% Q
QS3 Ð% aQd
Q Ð% aQ
X 1 #
¥
Q 3 :`F% Qd
S
<S
Q 3 :`Ð% Q
X 4 #
QS3a Ð% Qd
Qì3T F% Q
X 4 Å1 # ¥
Ö-93
[1]
@ ! Ö-86
[2] 2
@ !
[3]
[1] 11/10
f
[2]
[4] 5
Ö-87
[1]
@ :
@ -3
Ö-94
d d [1] $ # ! C
T
3 §d [2] ! C
C
@ : @ T-3
[2]
@ [3]
Ö-95
Ö-88
[1] 7
[2] [3] $
@ < @ T_3TA
[1]
@ ! 2-3<
[2]
65
< $
#DC
$
#rC
#rC
@
! -3 @ 2
Ö-96
Ö-102
¬
d [1] Cirkel med medelpunkt C C och radien
@ <
#
¬
[2] Saknar geometrisk betydelse
[1] "! r
# C
@
$ "
!| 5@ [2] #DC
!
[3] $
#"C
ed d ¬
C
#
! dBf5d ¬
[4] Cirkel; MP
#
<3Ted ! d
[3] Cirkel; MP
Ö-97
$
<
[1] #
$ <
[2] [3] $
5<
g3T§d $
[1] ellips; MP origo, halvaxlar
@ §d , brännpunkter ¥
C
#
[2] ellips; MP origo, halvaxlar
d @ <
, brännpunkter C ¥
)
[3] hyperbel; MP origo,
@ <ed #
brännpunkter ¥
C
[4] hyperbel; MP origo,
d @ ! 5 #
brännpunkter C ¥
[3] skärning saknas [parallella linjer]
-3
[4] alla punkter på linjen $ # [sammanfallande linjer]
Ö-99
<
[1] parabel;
dBf25
C
: och #
#
#
och #
: dW
edW
#
#
,
,
vertex
Bd =A
,
C
brännpunkt
A§d ! d [2] parabel; vertex
C , brännpunkt C C
?f§d @ <
[3] ellips; MP
, halvaxlar #
@ <3 C
?f
och
, brännpunkter
¥
@ ! <T3Te# d C
?f§dNg<3ag
[4] parabel; vertex
, brännpunkt
=§d- ! 3g
! <
Ö-101
A
[1] 4$4 #
4
!J:
[2] 4 $
#
$4 $
!
[3] 4
#
52 7"!J:T$4 2 $ [4] !J:a4
Ö-104
! Ö-100
[1] : $ #
[2] #
@ 253 :
Ö-103
f253T
#
#
@ [8] Saknar geometrisk betydelse
#"C
Ö-98
[1] $ #
< $
[2] #
#
[7] Cirkel; MP
[5]
#
¬ 53
#
=53TedB ! 3¬ d
[6] Cirkel; MP
=53Ted ! 3 : d
#rC
! d $
@ [5] Cirkel; MP
#DC
!
[4] "
#rC
$
[1] #
[2] #rC
66
Ö-105
[1] E
d
E
^!½}$ E
[2] 10
[3] 2
4 "!
[4] ü [5] 4"!
!
[6] "

[7] 4 Ö-109
2
!n4"!
[1] 1
! 3 K 4 qZn\ U 4 [2] !
O-P
#
¦ 4 %B ¦ 1
[3] 7"!
<
<
<
[4] ) %JIMK
3
[5] [6] 1
Ö-110
Z]\ [1] k )
O
O-P Kw
! MI Kl [2] 4 |
Ö-106
[1] ½Ö E
d
C ½
$ E
[2] 3
@ för ü
[3] ü
@ @
[4] 1
för q ß
@
för q
:
[1] 2
[2] 0
[3] :
[2] 20
[3] 0
[4]
?=< ;:1"! 4 5-3 1
ÀZ]\
3
4
O O_P K 3 Zn\ 4^
m
!|UWVTK4^
O
[6] !
#
_36 @ 7"! 4 [7] !
@ 9 -3 @ 7"! 4 [8]
3 @ @ 7"! 4 [9] !
^ <
-3
[10] ILK "! IMKl & ILK <_3 IMKl 4 [11]
Ö-107
Ö-108
[1] !
g3 7
! 4
[5]
[5] ´ ~ !§´
[6] >
[3]
Ö-111
3TA
[1]
3T2
[2] !
=3<
[3]
IMK % @ [4] !|
67
4
Ö-112
[1] [2] k )
[3] !
¦ 1 Ü 4 3
Z]\
O 1 -3§ 4
1
Ö-113
[1] O_P K k )
@ 7
!
[2]
3§6 1 [3] !
Ö-118
Z]\ O # O_P K [1] -O P Kw
Kw 3mZn\ 1 [2] UWTV Kw !wUWVTK 4 #
O_P
O
4 % .Ü )
[3] l
k
3 7
! @ 4 [4] !
3§6< 4 ! [5] ! C
Zn\
[6] U^
3 @ 4 [7] !
[4] Ö-119
=3T
[1]
Ö-114
¦
[2] ! C % k
f53
[3]
g3
[4]
C

[1] k í )
@ 7
!
[2]
4 -3 1 [3]
[4] Ö-117
53§ [1]
<
[2] ! k )
[3] : O-P K
Ö-120
Z]\ : K`: ¦
[1]
O
_O P
k
6
! R_3 @
[2] 9fILK 4 "
. 4 %§ ¦ .Ü 4%
[3] 4 % !
[förkorta!]
"! k
: ¦ 4)
5
% Zn\ 4 "!
[4]
O
5-3§ 4
[5] 7
4 ! n 1
[6]
3 @ 4 [7] =< 1 n [8]
1
¦
Ö-121
553a %
[1]
k
253TA IMK % QS3
[2]
Ö-122
= {% ) , % K ) , [1]
O-P k
k
= {% K 4 % ðñ ) , ©
O_P
[2]
k í¨
= KÄ% Zn\ h% ðñ , )
[3]
O_P
O
k í
h% Á 1 ) , ¦ . 3 @ 4 !
[4]
k
68
) ,
4 "!
4 /! ¦ 1 Ü 4 ,
Ö-123
Ö-126
[1] tangent:
$
[2] #
Qì
[3]
QS $
Q
#
Ö-124
A $
[1] 2
[2] ! 7$
[3] : k %JÔ
! :
2 $
<
T
<
, resp. 7:T$ #
! 2
! 2 $
!
, resp. #
#
$
!
: %$
#
k , resp.
k
#
4
#
k

, lok. min. i
[1] lok. max. i C û
#
C
#
f5
<

och i !
,
minsta
värde
#
T
=
i
#
53T
[2] lok. max. saknas; lok. min. i
#
Ç M d : är terrasspunkt], minsta värde
. 53C
i
. .
#
5
AÀ ! 2 ILK [3] lok.min. i ILK
, minsta
#
ILK 5
A ! 2 IMK värde i
#
! @ % .Ü
[4] lok.max. i
, lok.min.
C k
<T
@ :¾% # Ü
,
största
och
minsta
i
#
k %
<
värde saknas i
C , då
2
<
; normal $ #
, resp. 7 $ #
Q 4
2
6 }2 $
, resp. {
#
Q
4
#

Ö-125
[1] Lokalt minimum i
! =
värde i
#
? ! #
=
, minsta
t»5
<etèg<
[2] lokalt maximum i
, största
C
#
të5
<tëg<
värde i
C
#
? ! [3] lok.max. i ! #
, lok.min. i
#
!
, största och minsta värde saknas
f5
[4] lok.max. i
, lok. min. i C #
#
! , största och minsta värde saknas
[5] lok.max. & lok.min saknas, största och
minsta värde saknas.
69
Facit till det diagnostiska provet
Facit till provräkningen
(blandade exempel)
! l :
[1] ! C
C
3
! [2] #
& 7$ [3]
[1]
[7] 12
4 #
! 3<ed ! 3
[2] . #
4 #
ed $

! d ~
[3] #
#
#
! d
? !
@ ! _3
[4] . #
¥
4 Å1 #
@ 3<
d
@ <f ! -3
[5] [a] . # ! 4 #
[b]
@ @ : -3
@ 5-3§6 @ [6] [a] !|
#
@ [b]
.
@ [c] 4 >
3T
çÒ2§tëAT
ï
[7] Toppvinkeln
[ ty O-P K 4 # ! ],
ç t»<T Y
basvinklarna
Y
C
QS3 % QdaQS3 :wh% aQ
QS3 :|
[8]
och !!
F% aQ [ heltal]
4m 7
g-3§ [4] 6 !! _3 4 5
[5] d $
! 3
[6] #
#
3Ted [8] . #
[9] E !
[10] [a] IMK
f
[b]
< @ 3 :
[11]
dW
[12] [a] : C Y CC
! dW
[b] CTY
A53T
[13] [a]
@ ! 3
[b]
g3
QS3 ! QS3 :
d dWedBtBtBt !!
för #DC !
J. dB @ [10] 4
4 resp.
dNg
o d
[11] C
och 1 . 1 1. 41 )
! @ 3
Y
[9]
CTY
(längdenheter)
[12]
253 ! <
[14]
[15] $"!
#rC
§d [16]
C resp. 3
<
! -3§ [17] ! 4
C
f
¾A $ F
n! $ ×
[13] #"C resp
#DC
! 3 [14] ²Ô#
QS3T2
[15]
?=
¦
[16] [a] lok.max i
lok.min.
#
k
! 3T5
=< 3TA
i
#
k
[b] Största värde saknas, minsta värde
3T5
=< 3TA
i !
#
k
! 4
[18]
A $ 2
[19] #"C
@ [20] ! , för tan #
53T
70

Matematik för teknologer

Related documents

Products

Support

Matematik för teknologer

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib