Talteori

Talteori
Von Kochs kurva, även känd som snöflingekurvan, först beskriven av Helge von Koch
(1904). Kochkurvan är en kurva som saknar tangent i alla punkter. Numera även känd
för att vara en av de först beskrivna fraktalerna.
1 Grundbegrepp och kongruenser……………………………………………...1
2 Talföljder och rekursion…………………………………………………………6
3 Induktionsbevis……………………………………………………………….….14
4 Fraktaler…………………………………………………………………………….16
Facit…………………………………………………………………………………..…18
Bilder: Foton, illustrationer och konstruktioner av Nils-Göran Mattsson
Vi är tacksamma för att Niklas Gyulai gett oss tillstånd att använda Java pseudokod från hans
lärobok Java från A till O. (www.gyulai.se/java)
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Talteori - 1
1 Grundbegrepp och kongruenser
Teori ▪ Grundbegrepp
De hela talens teori kallas talteori. Vi har redan i de olika modulerna
(kurserna) berört detta kunskapsområde.
• Jämna och udda tal kan sägas vara två elementära talteoretiska
begrepp.
• Primtal och sammansatta tal är ett annat. Varje sammansatt tal kan
faktoriseras i enkla tal (primtal). T ex har talet 15 primfaktorerna 5
och 3 och kan skrivas 15 = 5∙3. Talet 4022 kan på samma sätt skrivas
4022 = 2∙2011. Avsnittet Primtal i modulen Aritmetik är ett
moment av talteorin.
• Tidigare (sid. 22 – 23 i samma modul) har vi även behandlat några
algoritmer som t ex liggande stolen för divisioner, Euklides algoritm
för största gemensamma faktor (SGF).
• Vi har sett att de hela talen kan skrivas med olika baser som t ex
(734) 10 = 7∙102 + 3∙101 + 4∙100 varifrån vi har skrivsättet med talet 7 i
hundraposition, talet 3 i tioposition och slutligen talet 4 i entalsposition. Teorin om binära tal (basen 2) och hexadecimala tal (basen 16)
finns beskriven i Tema – Binära tal.
• Ekvationen 11x + 13y = 1 har en heltalslösning (6, –5) ty
V.L = 11∙6 + 13∙(-5) = 1. Alltså V.L. = H.L. Ekvationer där man söker
heltalslösningar kallas diofantiska ekvationer efter matematikern
Diofantos som verkade i Alexandria på 200-talet e.Kr. En typ av
lösningar till diofantiska ekvationer behandlas i Tema – Diofantiska
ekvationer.
• I detta avsnitt behandlas Kongruenser.
• I avsnitt 2 behandlas Talföljder och rekursion.
• I avsnitt 3 behandlas Induktionsbevis.
Talteori - 2
Teori ▪ Kongruensräkning
Vi har ett förkortat skrivsätt för resten som fås om a divideras med m,
nämligen a(mod m). Alltså är 34 (mod 6) = 4 och 40 (mod 6) = 4.
Detta innebär att 40 (mod 6) = 34 (mod 6). Detta samband i sin tur
kan skrivas som 40 ≡ 34 (mod 6)
Definition:
Låt m vara ett positivt heltal. Om a – b är delbart med
m så säger vi att a är kongruent med b modulo m
(lat. a överensstämmer med b med avseende på det lilla
måttet m). Detta skrivs a ≡ b (mod m)
Sats Om och endast om m >1 så gäller:
• a ≡ a (mod m)
• a ≡ b ( mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)
• a ≡ b ( mod m) och b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)
Bevis: Vi visar endast det sista påståendet. Försök själv att bevisa de två
andra. a ≡ b (mod m) och b ≡ c (mod m) ger a – b = mk 1 och b – c = mk 2
Ledvis addition ger a – b + (b – c) = mk 1 + mk 2 vilket medför
a – c = m(k 1 + k 2 ) vilket är detsamma som a ≡ c (mod m).
Exemplifieringar: 13 ≡ 13 (mod m) ty 13 – 13 = är delbart med alla
positiva tal. Eftersom 13 ≡ 3 (mod 5), (13 – 3) är delbart med 5, så är
även (3 – 13) är delbart med 5. Eftersom 17 ≡ 12 ( mod 5) och
12 ≡ 7 (mod 5) så är även 17 – 7 delbart med 5.
Sats Om a ≡ b(mod n) och c ≡ d( mod n) så gäller
• a + c ≡ b + d (mod n) och
• ac ≡ bd (mod n)
• ka ≡ kb ( mod n)
• a n ≡ bn ( mod n)
Exemplifieringar: Eftersom 19 ≡ 8 (mod 11) så är även 3(19 – 8) =
=3∙19 – 3∙8 delbart med 11. Kan du ge fler exemplifieringar?
Talteori - 3
G1.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Vilka av följande påståenden är sanna?
37 ≡ 2(mod 7)
88 ≡ 1(mod 7)
187 ≡ 73(mod 3)
58 ≡ –20(mod 13)
7873 ≡ 7856(mod 17)
999999999999⋅19 ≡ 3⋅19(mod 19)
För alla heltalsvärden på a gäller 65a ≡ 2a(mod 9)
1693 ≡ 133(mod 13)
G1.2
Bestäm det minsta heltal a som är större än 7, där a ≡ 7(mod 11).
G1.3
För heltalet n gäller n ≡ 5 (mod 11). Ange det minsta positiva
heltal som är större än 16 för vilket påståendet gäller.
G1.4
För vilka heltal m gäller
28 ≡ 6(mod m)
301 ≡ 233(mod m)
68 ≡ 37(mod m)
a)
b)
c)
G1.5
Den 25 november 2002 var en måndag. Vilken veckodag är det
den 25 nov 2035? (Hjälp: Vilka år är skottår?)
G1.6
Bestäm det heltal x som ligger i intervallet 0 < x < 16,
om x ≡ 1(mod 4) och x ≡ 3(mod 5).
G1.7
Visa att 133 – 13 är delbart med 6.
Talteori - 4
G1.8
Visa att
a) 1⋅2⋅3 ≡ 1(mod 5)
b) 1⋅2⋅3⋅4⋅5 ≡ 1(mod 7)
c)
G1.9
7 är delare till 15n – 8n.
Visa att talet abcd är delbart med 3 om siffersumman
a + b + c + d är delbar med 3.
(Hjälp: Använd dig av sambanden: 1 ≡ 1(mod 3),
10 ≡1(mod 3), 100 ≡ 1(mod 3) och 1000 ≡1(mod 3)
G1.10 Fermats lilla sats lyder a p – 1 ≡ 1(mod p) för alla primtal p och
alla heltal, a, som inte är multipler av p. Pröva satsen för några
olika värden på a och p.
a
p
2
3
9
3
7
3
a p – 1 ≡ 1(mod p)
Varför stämmer
inte en av de tre
prövningarna?
G1.11 Visa att 6n – 2n är delbart med 4 för alla positiva heltal.
V1.12 Varför är summan 3n + 7n en multipel av 10 för n = 3, 5, 7, 9,
11,…?
V1.13 En pojke har ett antal tennsoldater som är mindre än 100. När
han delar dem i tre högar med lika många soldater i varje blir
det en tennsoldat över, när han delar dem i fyra högar blir det
två över, och när han delar dem i fem högar blir det tre över.
Hur många tennsoldater har han?
V1.14 Visa med två olika primtal p och q att följande kongruens
gäller: p q – 1 + qp - 1 ≡ 1(mod pq).
Talteori - 5
2 Talföljder och rekursion
Teori ▪ Talföljder
Vi har tidigare i modulen Förändringsfaktor stött på talföljder t ex den
geometriska. Talföljder består av ett ändligt eller oändligt antal tal skrivna i en bestämd ordningsföljd.
En talföljd är geometrisk om varje efterföljande tal fås ur det föregående
genom multiplikation av ett bestämt tal, k (= kvoten).
Talföljden är en funktion eftersom för varje positivt heltal n, finns högst
ett tal a n . Den geometriska talföljden ovan kan skrivas a n = a 1 ⋅kn-1
Exempel 1
Om a 1 = 7 och k = 3 får vi a 2 = 7∙3 = 21, a 3 = 7∙3∙3 = 63,
a 4 = 7⋅3⋅3⋅3 = 189...
Exempel 2
En talföljd är aritmetisk om till varje efterföljande tal adderas ett
konstant tal.
Om a 1 = 5 och d = 3 får vi a 2 = 5 + 3 = 8, a 3 = 5 + 3 + 3 = 11,
a 4 = 5 + 3 + 3 + 3 = 14,…Vi kan skriva fortsättningen a 5 = 5 + 4⋅3, där
talet 3 kallas talföljdens differens (= d ).
Formeln för talföljden är alltså a n = a 1 + ( n-1)⋅d
Talteori - 6
G2.1
Vilka är de tre följande talen i nedanstående talföljder:
10, 15, 20, 25, …
c)
81, 27, 9, 3, 1,...
17, 11, 5, –1, –7,..
d)
1, 2, 6, 24, 120, ...
G2.2
Vilka tal fattas i följande aritmetiska talföljd: 20, – , – , – , – ,
– , –22?
G2.3
Vilka tal fattas i följande geometriska talföljd: 20, – , 5 , – ,
1,25?
G2.4
Vilket tal är utelämnat i talföljden 7, –, 63 om talföljden är
geometrisk
b)
aritmetisk
G2.5
Ange de fem första talen i följande talföljder
a n = 3n +7
b)
a n = 5/n – 6
G2.6
G2.7
Bestäm a 10 i den följd av tal som definieras av funktionen
n2 + n − 2
an =
n −1
Vilket nummer har talet 14 i föregående talföljd?
G2.8
Skriv ned de första 4 elementen i följande talföljder:
a)
b)
a)
a)
a)
an =
1
n
b)
an = ( −1)n
an + 10
och a1 2
=
3
2
=
an +1 =
a1 2
d)
an + 1
c)
=
an +1
e)
a1 = 7 och an=
+1 3an + n
f)
a1 = 2 och an +=
1
G2.9
an 1
+
2 an
Bestäm det 10:e elementet i talföljden 1000, 700, 490, …
G2.10 Vilken är kvoten till talföljden 2, 6, 18, 54, …?
G2.11 En boll studsar lodrätt mot marken från två meters höjd.
Studshöjden minskar med 20% efter varje studs. Hur högt
kommer bollen efter att ha studsat åtta gånger?
G2.12 Vinklarna i en triangel är termer i en aritmetisk talföljd.
Beräkna triangelns vinklar om en vinkel är 50°.
Talteori - 7
V2.13 I en aritmetisk serie är a 2 = 3⋅a 3 . Summan av n termer med
start från a 1 är 0. Beräkna n.
V2.14 De tre första talen i Fibonaccitalföljden är 1, 1, 2, …. De två
följande finns i växterna nedan. Skriv rekursionsformeln för
talföljden.
V2.15 Tre tal, a, b och c vars summa är 3 bildar en aritmetisk talföljd.
Talen a2, b2 och c2 bildar en geometrisk talföljd. Vilken är den
aritmetriska talföljden?
V2.16 Vi antar att den slutna formeln till talföljden 0, 2, 5, 9, 14 … är
a n = bn2 + cn + d, vilken är då formeln?
V2.17 Kan du hitta någon metod för att beräkna antalet mynt som
behövs för att bilda de fortsatta mönstren enligt
konstruktionen nedan? Ange åtminstone antalet mynt för
det 5:te, 6:te, och 7:de mönstret.
1 mynt
6 mynt
15 mynt
28 mynt
V2.18 Tre tal bildar en aritmetisk talföljd med differensen 5. Vi
kan bilda en geometrisk serie ur denna genom att det
första talet ökas med 2, det andra med 3 och det sista med
6. Vilken är den aritmetiska serien?
Talteori - 8
Modell ▪ Rekursion
Vi konstaterar att vår tidigare nämnda aritmetiska talföljd kan definieras
på två olika sätt, antingen a1 = 5 och an+1 = an + 3 , en rekursionsformel 
eller a n = a 1 + (n-1)∙3 (en sluten formel)
Exempel
Bestäm en rekursionsformel för talföljderna:
a)
12, 15, 18, 21, 24, …
c) 3, –6, 12, –24, 48, –96,.
b)
5, 20, 80, 320, 1280,.
d)
3, 4, 8, 17, 33, 58, ...
Lösning
a)
Skillnaden mellan två närliggande element är 2.
Alltså a 1 = 12 och a n+1 = a n + 2.
b)
Varje efterföljande element har vi fått genom att multiplicera
det föregående talet med 4. Alltså a 1 = 5 och a n+1 = a n ⋅ 4
c)
Varje efterföljande element har vi fått genom att multiplicera
det föregående talet med –2. Alltså a 1 = 3 och a n+1 = a n ⋅ ( –2 )
d)
Skillnaden mellan två närliggande element är kvadraten på
närmast föregående tals nummer i följden. Alltså a 1 = 3 och
R
a n+1 = a n + n2
R
R
R
R
R
P
G2.19 Beräkna 10 element ur den rekursiva formeln an=
+1
an 2
+
2 an
med en räknare om a 1 =3 . (Hjälp: Tryck in talet a 1 =3 och därefter Enter. a 2 får du genom att trycka Ans/2+2/Ans. Nu
trycker du på Enter tills du fått tio tal i följden på skärmen.
Under kommandot Iteration i GeoGebra finns en bra räknare
av iterationer.
R
R
R
R
Talteori - 9
R
R
G2.20 Den första termen i en aritmetisk serie är 3. Summan av de
sex första termerna är 4 gånger större än summan av de tre
första termerna. Beräkna differensen. Ingen lösning finns i facit.
G2.21 Finn en rekursionsformel för
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7, 14, 28, 56, 112, …
1, 5, 14, 30, 55, …
11, 16, 21, 26, 31, …
2, –4, 8, –16, 32, –64, …
16000, 4000, 1000, 250, …
1, 8, 27, 64, …
G2.22 Ange en sluten formel för a n om
a)
b)
c)
a n+1 = 2a n och a 1 = 2
a n+1 = a n + 7 och a 1 = 5
a n+1 = 2a n + 1 och a 1 = 0 (Du känner igen denna rekursionsformel om du studerar ’Hanois torn’.)
d)
a n+1 = 2a n – 1 och a 1 = 2
Talteori - 10
Teori ▪ Algoritmer stegvis och i pseudokod
En algoritm är en följd av instruktioner som i ett ändligt antal steg
anger hur man utför en beräkning eller löser ett bestämt problem.
En algoritm skall tydligt visa:
Vilka data vi skall börja med (t ex en division mellan talen 132 och 11).
Algoritmen skall ange de enskilda steg som skall tas för att lösa
problemet (t ex den liggande stolen vid division). Det bör dessutom
framgå hur vi skall avbryta algoritmen och ange ett resultat. En viktig
fördel med en algoritmisk lösningsmetod är att problemet lätt kan
datorbehandlas.
Algoritmer innehåller en eller flera av följande komponenter:
• Sekvenser (följder) av beräkningssteg
• Villkor
• Iterationer (upprepningar)
• Lagring av mellanresultat
Pseudo Java I programmeringsspråket Java, liksom många andra språk
finns en metod att programmera algoritmer med villkorssatser . En
algoritm i Java inleds med orden ”public static void” följt av algoritmens
namn. Beskrivningen av algoritmen inleds och avslutas med
”måsvingar”, {, }. Vi skriver följande kanske inte helt korrekta program:
public static void Kaffe( )
{
int temp:= 93;
if (temp > 95)
System.out.println (”Kaffet kokar snart över!”)
else
System.out.println(”Kaffestatus: OK”)
}
Programmet tilldelar variabeln temp (med tecknet :=), som är ett heltal
(Integer), Int, värdet 93 grader.
Om detta värde är större än 95 så skrivs ”Kaffet kokar snart över!” på
skärmen.
Om inte värdet är större än 95 så skrivs (”Kaffestatus: OK”)
Talteori - 11
Exempel
Stoppsträckan är den sträcka som en bil rör sig från det ögonblick en
fara uppmärksammas tills bilen stannar. Stoppsträckan s m beräknas
med formeln s = 0,3v + 0,006v2 där v är bilens fart i km/h. Vilka steg
skall utföras om en algoritm skall kontrollera det inmatade värdet och
skriva ”För hög fart” om stoppsträckan är större än 40 m?
Lösning
1. Mata in ett värde på v (med enheten km/h).
2. Beräkna s med formeln s = 0,3v + 0,006v2.
3. Om s > 40 skriv på skärmen ”För hög fart”, annars skriv ”Farten
är OK”.
4. Slut
Låt oss skriva algoritmen i PseudoJava:
public static void Fart( )
{ Real fart:= 80;
Real sträcka:= 0,3∙fart + 0,006∙(fart) ^2
if (sträcka > 40)
System.out.println(”För hög fart”)
else
System.out.println(”Farten är OK”)
}
Vi skulle t ex med denna pseudokod kunna få följande resultat med
olika inmatade farter, alltså inte bara farten 80:
fart (km/h)
80
40
60
sträcka (m)
62,4
21,6
39,6
Println
För hög fart
Farten är OK
Farten är OK
Som exempel på en algoritm med iteration (upprepning) ger vi följande
enkla program:
public static void Hej( )
{ int n:= 0
for( n < 20; n:= n + 1)
System.out.println( ”Hej”); }
Programmet tilldelar variabeln n, som är ett heltal, Int, värdet 0.
Om detta värde är mindre än 20 så skrivs ”Hej” på skärmen. Värdet 0
tilldelas nu ett värde som ökas med 1, dvs 0 + 1 som blir 1.
Talteori - 12
Proceduren börjar därefter om igen. 1 är mindre än 20 och alltså skrivs
”Hej”. Så småningom tilldelas n värdet 20 och upprepningen upphör.
Hur många Hej skrivs ut?
Teori ▪ Fakultet(n) som rekursiv algoritm
Man kan definiera n! eller fakultet(n) rekursivt på följande sätt:
1 om n = 0
fakultet (n ) = 
n ⋅ fakultet (n − 1) om n > 0
Vi skriver en pseudokod för beräkning av n!
public static int Fakultet( int n)
{
}
if (n = 0)
Return (1)
else
Return(n∙Fakultet(n-1))
Return innebär att värdet innanför parentes returneras till metoden
int Fakultet
Hur sker då beräkningarna i denna rekursiva algoritm, t ex för n = 3?
Fakultet(3) =
3∙fakultet(2) =
3∙2 = 6
↓
fakultet(2) = 2∙fakultet(1) =
2∙1 = 2
↓
fakultet(1) = 1∙fakultet(0) =
1∙1 = 1
Rad 1 ger bara ’resultatet’ 3, fakultet(2) måste beräknas.
Rad 3 ger bara ’resultatet 2, Fakultet(1) måste beräknas.
Rad 5 ger både fakultet(1) och fakultet(0) och därmed produkten 1.
Denna etta förs upp till rad 2 och ger 2 som förs upp i rad 1 med
slutresultat 6.
Talteori - 13
3 Induktionsbevis
Teori ▪ Induktionsprincipen
Antag att P(n) är ett påstående med variabeln, heltalet n.
n
P (n ) : ∑ k =
k =1
n(n + 1)
är ett sådant påstående.
2
n(n + 1)
.
2
Vi antar dessutom att formeln gäller för n = 1 vilket tycks vara fallet
(1) Detta betyder utan summatecken: 1+2+3+4+...+n =
med vårt exempel ty V.L.=1 och=
H.L.
1(1 + 1)
= 1 vilket ger VL=HL.
2
(2) Om dessutom P(n) är sant för något tal n större än 1 så är även
P(n+1) sant.
Under dessa två förutsättningar säger induktionsprincipen att P(n) är
sant för varje heltal n större än 1. (Detta verkar högst rimligt ty om P (1)
så gäller P (2) så gäller P (3) osv i all oändlighet.)
Exempel 1 Bevisa påstående ovan med induktionsprincipen
Lösning (1) Vi har redan visat att P (1) stämmer.
(2) Vi antar att P(n) är sant. 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) / 2. Vi visar nu
att P(n+1)stämmer genom att addera (n+1) till bägge leden.
1 + 2 + 3 + ... + n + (n +1) = n( n + 1)/2 + ( n +1) =
=n(n + 1)/2 + 2(n +1)/2 = [bryt ut (n + 1)] = (n +1)(n/2 + 2/2)=
=(n +1)(n+ 2)/2 vilket är detsamma som påståendet P (n +1) dvs villkor
(2) är uppfyllt. Alltså gäller P(n) för alla n.
Talteori - 14
Exempel 2: Vi ser att 61=6, 62=36, 63=216, dvs de 3 första
heltalspotenserna av 6 har slutsiffran 6. Vi bevisar att detta gäller för alla
positiva heltalspotenser 6n.
(1) 61=6 har slutsiffran 6.
(2) Vi påstår att detta är sant för n, dvs 6n har slutsiffran 6. Tal med
denna slutsiffra kan skrivas 6n = 10k + 6 där k är ett heltal. Om detta
antagande gäller har vi för 6 n+1 får vi
6n+1 = 6∙6n = 6(10k + 6) = 60k + 36 = 60k + 30 + 6 = 10(6k + 3) + 6
dvs, 6 n+1 har också slutsiffra 6.
Eftersom vi har visat att påståendet gäller för n=1 samt att antagandet att
påståendet gäller för n medför att det också gäller för n+1, följer ur
induktionsprincipen att påståendet gäller för alla heltal n=1,2,3,...
G3.1 Bevisa att 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = n (n + 1)(2n + 1)/6 för alla
heltal.
G3.2 Visa att n3 + 2n är delbart med 3 för alla positiva heltal.
G3.3 Visa att n! > 2n för alla positiva heltal n större än eller lika med 4.
V3.4 Vi kan lätt kontrollera följande likheter: 13 = 1 och 13 + 23 = 9
Kan du formulera en generell regel för summan av kuber? Kan
du bevisa den? 13 + 23 + ..... + n3 = ??
V3.5 Visa att 11n – 4n är delbart med 7 för varje n=1,2,3,..
Fundera på detta
Antag att du fått 20 piller för att bota en allvarlig sjukdom. Tyvärr är
ett av pillren dödligt giftigt. Den enda skillnaden mellan pillren är
vikten. Det dödliga pillret är antingen tyngre eller lättare än de övriga.
Kan du med tre mätningar på en balansvåg ta reda på vilket det dödliga
pillret är?
Antag att du har 5 påsar med många pärlor i varje. Antalet pärlor i
varje påse skiftar. Alla pärlor väger 5 g styck utom pärlorna i en påse
som väger 6 g styck. Kan du med bara en vägning på en digitalvåg,
bestämma vilken påse som innehåller de tyngre pärlorna? Du får hälla
ut pärlorna ur påsen på ett bord om du tror att det hjälper dig men det
varken syns eller känns på pärlorna vilka som är tyngst.
Talteori - 15
4 Fraktaler
Modell ▪ Iteration av matematiska funktioner
Exempel med lösning Låt oss se på funktionen f(x) = x . Vi utför en
iteration genom att använda oss av Ans-verktyget för iterationer på en
avancerad räknare samt startvärdet x = 12.
Skärmbild från miniräknare
12 (Enter)
'Roten ur' (ANS)
3.464101…
1.861209…
1.364261…
Vilket värdet går iterationen mot då antalet iterationer växer över alla
gränser? Pröva med olika startvärden.
V4.1
Antag att vi har en funktion g(x) = x2. Pröva med olika
startvärden, negativa tal eller positiva tal, tal större än 1,
mindre än 1 och se mot vilket värdet går iterationen mot då
antalet iterationer växer över alla gränser.
V4.2
Antag att vi har en funktion h(x) = −
V4.3
iterationerna då antalet iterationer växer över alla gränser om
startvärdet är x = 1?
Antag att vi har en funktion h(x) = x(1 – x). Vad händer med
iterationerna då antalet iterationer växer över alla gränser om
startvärdet är x = 1?
Definition
1
. Vad händer med
x
Mängden av startpunkten (startvärdet) tillsammans med
alla dess iterationer kallas startpunktens bana (eng. orbit).
Talteori - 16
Bana för startvärdet x = 2 till g(x) = x2 är {2, 4, 16, 256, 65536, …}.
I uppgifterna ovan hände något av alternativen:
• Banan flyr mot oändligheten.
• Banan dras mot en punkt (attraktor) vilket innebär att
(i) banan kommer närmare och närmare ett visst värde,
(ii) banan rör sig först för att till slut stanna vid ett visst värde
(iii) banan rör sig inte alls.
• Banan är periodisk, dvs banan går fram och tillbaka mellan två
värden.
V4.4
Vilka banor finns till funktionen f(x) = x2 + c, där c = 0,25?
V4.5
Vilka banor finns till funktionen f(x) = x2 – 0,5?
V4.6
Har någon av banorna i de två föregående uppgifterna någon
attraktor?
Exempel Vi använder komplexa tal i stället för reella tal. Vi undersöker
f(z) = z2 + c. Formeln är i detta fall grunden för s k Juliamängder .
Värdet på c bestämmer utseendet av Juliamängden. Antag att vi har
funktionen f(z) = z2 – 0,1 + 0,8i. De komplexa talen i vår iteration
kallar vi a + bi. Vi färgar startpunkterna med olika färger beroende på
hur snabbt banan (orbit) flyr, dvs a 2 + b 2 går mot oändligheten och
vi färgar startpunkten svart om banan inte flyr. Denna färgning av
startpunkterna ger nedanstående figur.
Vi lämnar nu åt dig att undersöka fraktaler, en bra plats för
detta är:
Fractal Modeling Tools ®
Stimulation Software ®
A Java version of the Fractal
Microscope
Formula: z^2 + c;
Julia seed, c: -0,1+0,8i
Talteori - 17
Facit
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
a) c) d) e) f) g) h)
Det minsta heltalet a är 18.
27
a) 2 och 22 b) 2, 4, 17, 34 och 68 c) 31
33 år med 365 dagar plus 1 dag för varje skottår: 2012, 2016, 2020,2024,
2028 och 2032 ger 12051 dagar. Beräkna nu 12051(mod7) = 4. Alltså är
den 25 nov 2035 en fredag
Det heltal som uppfyller de båda villkoren är 13
Visa att 133 – 13 ≡ 0(mod 6). Eftersom 13 ≡ 13 (mod 6) är
133 – 13 +13 ≡ 13 (mod 6) Û 133 ≡ 13 (mod 6) Û 132 ≡ 1 (mod 6) vilket
är korrekt.
a) är ekvivalent med 6 ≡ 1 (mod 5) som är korrekt.
b) 120 ≡ 1 (mod 7) som är korrekt.
c) 15 ≡ 8 (mod 7) vilket ger 15n ≡ 8n(mod 7)
1 ≡ 1(mod 3), 10 ≡1(mod 3), 100 ≡ 1(mod 3) och 1000 ≡1(mod 3) vilket
ger d ≡ d (mod 3), c ⋅ 10 ≡ c(mod 3), b ⋅ 100 ≡ b(mod 3) och a ⋅ 1000 ≡
a(mod 3). Alltså gäller d + c ⋅ 10 + b ⋅ 100 + a ⋅ 1000 ≡ d + c + b + a(mod 3).
Vilket är detsamma som abcd ≡ d + c + b + a(mod 3).
Den sista raden stämmer inte och mycket riktigt a är en multipel av p
6n – 2n ≡ 0 (mod 4) Û 6n ≡ 2n (mod 4) Û 6 ≡ 2 (mod 4) vilket är
korrekt
1.12
7≡–3 (mod10) Û 7n ≡ (–3)n (mod10)Û72m+1 ≡ (–3)2m+1 (mod10) Û
Û72m+1 ≡ (–3)2m+1 (mod10) Û 72m+1 ≡ –32m+1(mod10) Û
Û72m+1 + 32m+1≡ 0 (mod10). 3 n + 7 n en multipel av 10 för n = 3, 5, 7, 9,…
1.13
2.1
a)
b)
2.2
2.5a
2.4
2.5b
2.6
2.7
2.8
58
.
30, 35, 40
c)
1/3, 1/9, 1/27
–13, –19, –25
d)
720, 5040, 40320
13, 6, –1, –8, –15
10, 13, 16, 19, 22
Aritmetisk = 35; geometrisk = 21
–1, –3,5, –13/3, –4,75,
12
2.3
10 och 2,5
Teckna och lös en andragradsekvation! n=6
a)
1, 1/2, 1/3, 1/4
d)
2, 2/3, 6/5, 10/11
b)
–1, 1, –1, 1
e)
7, 22, 68, 207
c)
2, 4, 14/3, 44/9
f)
2; 3/2; 17/12, 577/408
Talteori - 18
2.9
2.10
2.12
2.13
2.14
2.15
40,353607 (ungefärligt värde)
Kvoten = 3
2.11
36 cm
Varför finns det bara lösningen 50°, 60° och 70°?
Den aritmetiska serien är a 1 , 3⋅a 3 , a 3 ….. Detta innebär att a 1 = 5⋅a 3
eftersom differensen är konstant = –2⋅a 3 . Om vi skriver termerna en och en
så blir summan noll för 5⋅a 3 + 3⋅a 3 + a 3 + (– a 3 ) + (– 3a 3 ) + (– 5a 3 ). Alltså
är n = 6
F 0 = F 1 = 1 och F n = F n-1 + F n-2
Summan är tre ger a + d = 1 Alltså är d = 1 – a. Alltså är talen a , 1, 2 – a.
Om vi kvadrerar dessa får vi a 2 , 1, (2 – a )2 eller expanderat:
a 2 , 1, 4 + a 2 – 4a. Detta är en geometrisk serie eller talföljd, alltså
1
4 + a 2 - 4a
=
⇔ 4a 2 + a 4 - 4a 3 = 1 ⇔ a 4 - 4a 3 + 4a 2 − 1 = 0
1
a2
a = 1 är en dubbellösning och division ger a 4 − 4 a 3 + 4 a 2 − 1 = ( a 2 − 2 a + 1)( a 2 − 2 a − 1)
Ekvationen ( a 2 − 2 a − 1) =0 har lösningarna a =1 ± 2.
Endast lösningen a = 1 − 2 duger, varför?
2.16
2.17
2.18
2.21
a)
b)
c)
d)
Användandet av den slutna formeln ger: a 1 = b + c + d osv ger
(1) 0 = b + c + d
(2) 2 = 4b + 2c + d
(3) 5 = 9b + 3c + d Ekvationerna (1) och (2) ger 2 = 3b + c
Ekvationerna (3) och (2) ger 3 = 5b + c med lösningen b = 0,5 och c = 0,5
Alltså d = -1 med den slutna formeln: a n = 0,5n2 + 0,5n – 1.
Du kan kontrollera att detta även stämmer för a 4 a 5
45, 66 och 91
Antag att den aritmetiska serien är a, a+5, a+10. Den geometriska blir då
a+2, a+8, a+16 vilket ger ekvationen (a+8)/(a+2)=(a+16)/(a+8) med
lösningen a = 16. Den aritmetiska serien är 16, 21, 26
.
a n+1 = a n ⋅ 2 med a 1 = 7
e) a n+1 = a n ⋅ (–1/4)med a 1 =
1600
a n+1 = a n (n + 1)2 med a 1 =
n +1 3
1
f) a n+1 = a n (
) med a 1 = 1
n
a n+1 = a n + 5 med a 1 = 11
a n+1 = a n ⋅ (–2)med a 1 = 2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
P
P
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Talteori - 19
R
R
R
R
2.22
a)
c)
d)
a n =2∙2n-1
b) a n = 5 + 7(n-1)
a n = 2a n-1 + 1= 2(2a n-2 + 1) + 1 osv till:
a n = 16a n-4 + 8 + 4 + 2 + 1
a n = 24a n-4 + 23 + 22 + 2 + 1 osv till:
a n = 2n-1a 1 + 2n-2 + 2n-3 + 2n-4 + ….1 = 2n-1a 1 +(2n-1 – 1)
Eftersom a 1 = 0 får vi a n = 2n-1 – 1
Utnyttja c): a n = 2n + 2n-1 – 1)
3.1
•
•
•
•
P(n) =1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6
P(1) är sant ty VL = 1 2 = 1 och HL = 1 (1 + 1)(2∙1 + 1)/ 6 = 1.
Vi antar nu att P(n) är sant. 12 + 22 + 32 + .. + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6.
Vi visar att P(n+1) är sant genom att addera (n + 1)2 till bägge leden
1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6 + (n + 1)2
Bryt ut faktorn (n + 1) ur högra ledet samt gemensam nämnare 6 ger
= (n + 1)[n(2 n + 1)+ 6(n + 1) ]/6. Expansion av täljaren ger
= (n + 1) [ 2 n 2 + 7 n + 6 ] /6.
Faktorisera 2n 2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3)
= (n + 1) [ (n + 1 ) + )(2(n + 1) + 3) ] /6 = (n + 1)[(n + 2)(2n + 3)]/6
• Vi började med P(n) och har visat att
1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 + (n + 1) 2 = (n + 1)[(n + 2) (2n + 3) ] /6. Vilket är
påstående P(n + 1).
3.2
• P(n): n3 + 2n är delbart med 3
• P(1) = 3 är delbart med 3.
• Vi antar nu att P(n): n3 + 2n är delbart med 3.
Detta är ekvivalent med n3 + 2n = 3M där M är ett positivt heltal. Låt oss
expandera uttrycket (n + 1) 3 + 2 (n + 1)= n 3 + 3 n 2 + 5 n + 3
= [ n 3 + 2 n] + [3 n 2 + 3 n + 3]
= 3M + 3 [ n 2 + n + 1 ] = 3[ M + n 2 + n + 1 ]
• Alltså är även (n + 1) 3 + 2 (n + 1) delbart med tre.
3.3 Först visar vi att P(4) är sant. 4! = 24 0ch 2 4 = 16. Alltså gäller P(4).
•
Vi antar att P(n) är sant: n! > 2n. Nu multiplicerar vi bägge led med n + 1 vilket
ger n!( n + 1)> 2n(n + 1). Vänstra ledet är nu (n + 1)! För n > 4 gäller n + 1 > 2.
Eftersom vi bevisat både n!( n + 1)> 2n(n + 1) and 2n(n + 1) > 2n + 1 kan vi skriva
(n + 1)! > 2 n + 1. Vi har alltså bevisat att påståendet P(n +1) är sant.
Talteori - 20
3.4 Det finns kanske många sätt att upptäcka formeln, så här upptäckte jag den:
•
•
•
•
•
•
13 =12 och 1 3 + 2 3 = 3 2. Första tanken är att 13 + 23 + 33 = 42. Detta stämmer inte
ty VL=36 och HL=16. HL är 6 i kvadrat (1 3 + 2 3 + 3 3 = 6 2). Djärv tanke: i röd
formel är 1+2=3 och i grön formel är 1+2+3=6. Det tycks även stämma för högre
siffror.
Vi vet att formeln för den aritmetiska summan är 1+2+3….+n= n (n + 1)/ 2. Vi
satsar på den formel som alltså skall kvadreras.
P(n) definieras utifrån 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = n 2(n + 1)2/ 4
P(1) är sant ty VL = 13 = 1 och HL = 12(1 + 1)2/ 4 = 1
Vi visar att P(n+1) är sant genom att addera (n + 1)2 till bägge leden.
Vi antar nu att P(n) är sant. 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = n 2(n + 1)2 / 4.
Vi visar att P(n+1) är sant genom att addera (n + 1)2 till bägge leden
1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = n2 (n + 1)2 / 4 + (n + 1) 3
Bryt ut faktorn (n + 1) ur högra ledet: (n + 1)2 [n2/ 4 + (n + 1)]. Skaffa genensam
nämnare, 4, och gruppera om.
(n + 1)2 [n 2 + 4 n + 4 ] / 4 = (n + 1)2 [ (n + 2)2 ] / 4 = (n + 1)2 [ (n + 1)+1)2 ] / 4.
Vi började med P(n) och har visat att 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 =
=(n + 1)2 [(n + 2)2] / 4. Vilket är påstående P(n + 1).
3.5 Vi har att 111 − 41 = 11 − 4 = 7 är delbart med 7.
Vi antar att 11n − 4n =3 ⋅ 7 (delbart med sju) också delbart med 7.
11n +1 − 4n +1 =
11 ⋅11n − 4 ⋅ 4n =
(7 + 4) ⋅11n − 4 ⋅ 4n =
7 ⋅11n + 4 ⋅11n − 4 ⋅ 4n =
=
7 ⋅11n + 4(11n − 4n ) =
7 ⋅11n + 4 ⋅ 7 k =
7(11n + 4k )
Detta innebär att även 11n +1 − 4n +1 är delbart med 7
VSB
4.1 gränsvärdena går mot +¥eller -¥
4.2 h(x) pendlar mellan 1och –1
4.3 värdena har gränsvärdet 0
4.4 Förmodligen 0,5 och ¥
4.5 -0,366 och ¥
4.6 Attraktorer är 0,5 och -0,366
Talteori - 21
Talteori - 22