Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
Algebra I, 5 hp
Sammanfattning av föreläsning 5 (problemdemonstration 1).
För att primfaktorisera ett heltal räcker det att testa delbarhet med primfaktorer. Med
andra ord börjar man med att dividera talet med 2 så många gånger som det går. Sedan med 3
så många gånger som det går, sedan med 5, 7, 11, 13, 17, . . . så många gånger som det går. √
När
man ska primfaktorisera n räcker det att testa delbarhet med primfaktorer upp till och med n.
1. Primfaktorisera a) 171 b) 203 c) 211.
Lösning:
(a) 171 = 32 · 19.
(b) 203 = 7 · 29.
(c) 211 är ett primtal och kan inte skrivas som produkt av några icke-triviala delare. Den
slutsatsen kan man dra efter att ha testat delbarhet med 2, 3, 5, 7, 11, och 13 (eftersom
nästa primtal är 17 och 172 > 211).
Aritmetikens fundamentalsats säger att dessa faktoriseringar är entydiga i den meningen att det
inte går att faktorisera de tre talen på något annat sätt i primfaktorer förutom ordningsbyte
av faktorerna (till exempel kunde vi ha skrivit 171 = 3 · 19 · 3, men det finns inget sätt att
faktorisera 171 i några andra primfaktorer än just dessa tre).
2. Visa att om 4|(a − 1), så gäller 4|(a2 + 3).
3. Visa att k 2 + k är delbart med 2 för varje heltal k.
4. Låt p, q och r vara tre utsagor.
a) Avgör om följande två utsagor är ekvivalenta:
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)
(1)
(p ⇒ q) ∧ ((p ∧ q) ⇒ r).
(2)
b) Vilka, om några, av de tre utsagorna (p ⇒ q), (¬p ∧ q), och (p ∨ ¬q) är ekvivalenta?
5. Låt A och B vara delmängder av en mängd X. Visa att (A ∪ B c )c = Ac ∩ B.
6. Låt a vara ett heltal. Visa att om a − 3 är delbart med 7, så är a2 + a − 12 är delbart med
98.
7. Bestäm alla primtal p för vilka 17p + 1 är en jämn kvadrat.
8. Vid en undersökning av 1000 hushåll visade det sig att 673 hade bil, 552 hade frys och 748
hade färg-TV. 350 hushåll hade både bil och frys, 515 både bil och färg-TV och 462 hade
både frys och färg-TV. I dessa siffror är medräknade de 302 hushåll, som hade alla tre. Hur
många hushåll hade varken bil, frys eller färg-TV?
9. Bestäm det största heltalet d med egenskapen 3d |10! .
Extraproblem
Här följer ytterligare några övningsproblem – vi tar upp dem på föreläsning 6 om tiden tillåter.
10. Är talet 25 · 36 · 57 + 1 delbart med 5?
11. Visa att 1572 − 1502 är delbart med 7.
12. Visa att n(n2 − 1) är delbart med 6 för varje heltal n.
13. Låt a och b vara två heltal. Förkortningen MGM utläses ”minsta gemensamma multipel”,
och MGM(a, b) är det minsta (positiva) tal som är delbart med både a och b. Visa att
SGD(a, b) · MGM(a, b) = ab.
Tips: Om vi tar
a = 756 = 22 · 33 · 71 · 110 och
b = 264 = 23 · 31 · 70 · 111
så gäller SGD(a, b) = 22 · 31 · 70 · 110 och MGM(a, b) = 23 · 33 · 71 · 111 . Det följer att
SGD(a, b) · MGM(a, b) = 25 · 34 · 71 · 111 = ab.
Försök att generalisera detta till godtyckliga tal a och b.
14. Låt a och b vara två tal, och låt d = SGD(a, b) vara deras största gemensamma delare.
Visa att talen a/d och b/d inte har några gemensamma delare förutom 1. Med andra ord:
När man har dividerat bort den största gemensamma delaren till a och b, så finns det inte
några gemensamma delare kvar.
Exampel 0.1. Med hjälp av Euklides algoritm kan man räkna ut att SGD(315, 56) = 7. Om
vi dividerar bort den största gemensamma delaren, så får vi kvar de två talen 315/7 = 45 och
56/7 = 8, och mycket riktigt så gäller det att SGD(45, 8) = 1.
15. Bestäm SGD(315, 56), SGD(96, 144), och SGD(729, 611).
16. Är talet 6100 delbart med a) 10 b) 9, c) 64?
17. För talet a gäller att 6|a. Visa att 9|a2 .
