Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
Algebra I, 5 hp
Sammanfattning av föreläsning 3.
Ett par uppgifter på logik och mängdlära
Vi började med några övningsuppgifter om logik och mängdlära:
1. Visa med hjälp av Venndiagram de s.k. distributiva lagarna:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
2. Låt #(M ) beteckna antalet element i den ändliga mängden M . Antag att #(A) = 14, #(B) =
19, #(A ∩ B) = 7. Bestäm #(A ∪ B).
3. Skriv ut med ord påståendena
a) (P ∨ Q) ∧ (¬(P ∧ Q))
b) (P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P ).
c) Är de ekvivalenta?
4. Visa att om P och Q är två påståenden, så är (P ⇒ Q) ekvivalent med (¬Q ⇒ ¬P ).
Talteori
Introduktion
Dagens föreläsning handlade om talteori, alltså teorin för heltal. Ett grundläggande begrepp
inom talteorin är delbarhet, och det definieras som följer. Låt a och b vara heltal. Vi skriver b|a
(det utläses ”b delar a” eller ”b är en delare i a”) om det finns ett heltal c sådant att a = bc.
Exampel 0.1.
(a) 7|91.
(b) (−5)|75.
(c) För varje heltal b gäller att b|0.
Alla heltal a har ±1 och ±a som delare, och dessa fyra kallas för triviala delare. Ibland kan
det finnas fler delare än de triviala, till exempel har talet 6 följande delare: ±1, ±2, ±3, ±6 (±2
och ±3 kallas för icke-triviala delare eftersom de inte är triviala). Förkortningen SGD utläses
”största gemensamma delare”, och det betyder precis vad man tror att det betyder.
Exampel 0.2. Ett sätt att beräkna SGD(12, 30) är att skriva upp samtliga delare till 12 respektive 30. Delarna till 12 är
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
och delarna till 30 är
±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30.
Den största gemensamma delaren till 12 och 30 är uppenbarligen 6, och då skriver vi SGD(12,30)=6.
Ett mycket effektivare sätt att beräkna SGD(m, n) för två heltal m och n är att använda Euklides
algoritm.
Ett tal som inte har några icke-triviala delare kallas för ett primtal. Ett av våra huvudsakliga mål för de närmaste föreläsningarna är att bevisa följande (välkända) resultat.
Sats 0.3 (Aritmetikens fundamentalsats). Varje heltal som är större än eller lika med 2 kan
skrivas som en produkt av primtal, och så när på omordning av faktorerna är en sådan faktorisering entydig.
För att kunna utföra en primtalsfaktorisering i praktiken är det bra att veta några enkla
delbarhetsregler. Följande sats bevisas enkelt med hjälp av kongruensräkning – vi kommer att
se det på föreläsning 9.
Sats 0.4. Låt n vara ett positivt heltal
a) 2|n ⇔ n slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8.
b) 3|n ⇔ n:s siffersumma är delbar med 3. Siffersumman är det tal som man får om man
adderar alla siffror i n med varandra.
c) 4|n ⇔ de två sista siffrorna i n utgör ett tal som är delbart med 4.
d) 5|n ⇔ n slutar på 0 eller 5.
e) 6|n ⇔ n är delbart med både 2 och 3.
f ) 8|n ⇔ n de tre sista siffrorna i n utgör ett tal som är delbart med 8.
g) 9|n ⇔ siffersumman är delbar med 9.
h) 10|n ⇔ n är delbart med både 2 och 5.
i) 11|n ⇔ den alternerande siffersumman är delbar med 11. Den alternerande siffersumman
beräknar man genom att addera siffrorna i n med varandra, men med minustecken före
varannan siffra. Det ska vara ”+” på entalssiffran, ”-” på tiotalssiffran, ”+” på 100talssiffran osv.
Exampel 0.5. Den alternerande siffersumman av 1234567 är 1-2+3-4+5-6+7=4, och eftersom
4 inte är delbart med 11 så är inte heller 1234567 det.
Två tal a och b kallas för relativt primta om SGD(a, b) = 1. Exempel: 4 och 15 är relativt
prima (fast inget av dem är ett primtal). Lägg märke till delbarhetsregeln för 6: den fungerar
bara på grund av att 2 och 3 är relativt prima. Samma sak med regeln för division med 10, den
fungerar bara på grund av att 2 och 5 är relativt prima.
Exampel 0.6. Hur kan det komma sig att att 36 inte är delbart med 4 · 6 = 24 trots att 36 är
delbart med både 4 och 6? (Svar: det beror på att SGD(4, 6) 6= 1).
Delbarhet
Det viktigaste med definitionen för delbarhet är att formalisera det begreppet, trots att de
flesta troligen redan har en känsla för vad det betyder att ett heltal är delbart med ett annat.
Definitionen ska man kunna utantill (och inte bara veta på ett ungefär vad den innebär) –
anledningen är att det behövs om man vill bevisa någon sats som har med delbarhet att göra.
Den första satsen som vi bevisar är en bra övning i logik och bevisföring – det är det som är
själva svårigheten med satsen. Lägg gärna bort kursboken och föreläsningsanteckningarna och
försök att bevisa följande sats på egen hand!
Sats 0.7. Låt a, b, c, x och y vara heltal.
a) a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c).
b) a|b ⇒ a|bc.
c) a|b ∧ a|c ⇒ a|(xb + yc).
d) a|b ∧ a - c ⇒ a - (b + c).
Ett annat resultat om delbarhet som man ofta får nytta av är följande:
Korollarium 0.8. Låt x, y och z vara heltal sådana att x + y = z, och n ett heltal som delar
två av de tre. Då delar n även det tredje.
Bevis. Antag att n|x och n|y. Då är n en delare i x + y, enligt sats 0.7, alltså i z (som ju är lika
med x + y). Om istället n|x och n|z, så följer det av samma sats att n|(z − x), alltså att n|y.
Om vi till sist antar att n|y och n|z, så följer det att n|(z − y), alltså att n|x.
Divisionsalgoritmen
Divisionsalgoritmen är ett ”recept” som givet två heltal a och b med a ≥ 0 och b > 0 producerar
två tal q och r sådana att
a = bq + r, och 0 ≤ r < b.
Man kan föreställa sig att a är ett antal äpplen och att b är ett antal personer som ska dela på
de a äpplena. För att ta reda på hur många äpplen var och en får, dividerar man a med b med
kvot och rest, till exempel med liggande stolen. Talen q och r är då kvoten respektive resten.
Observera kravet på resten, att den ska vara ett icke-negativt tal och att den ska vara strikt
mindre än antalet personer. Genom att studera följande exempel kan man inse att detta villkor
på resten alltid kan uppfyllas.
Exampel 0.9. Säg att vi vill stoppa in talen a = 17 och b = 3 i divisionsalgoritmen. Det skulle
alltså motsvara att vi har 17 äpplen och 3 personer. Om vi delar ut 4 äpplen till var och en av de
tre personerna så blir det 17 − 3 · 4 = 5 äpplen över. Detta motsvarar q = 4 och r = 5. Observera
att dessa val av q och r gör att a = bq + r. Men, villkoret 0 ≤ r < b är inte uppfyllt! Det
beror på att när personerna har fått 4 äpplen vardera så återstår det 5 stycken, dvs. det återstår
fler äpplen en antalet personer. Alltså kan man ge alla personer ytterligare ett äpple. Det ökar
kvoten q med ett, och det minskar resten r med 3 (antalet personer). Nu blir r = 2, och det går
inte att dela ut fler äpplen. Slutsats: om vi sätter in talen a = 17 och b = 3 i divisionsalgoritmen
så får vi ut talen q = 5 och r = 2. Lägg märke till att a = bq + r och att 0 ≤ r < b. Denna rest,
alltså den minsta möjliga som är icke-negativ, kallas för den principala resten vid divisionsion
av a med b.
Kontrollera att du vet hur man utför en heltalsdivision med kvot och rest – liggande stolen
är ett bra sätt. Vad blir kvoten och resten då 10289 divideras med 41? (Svar: q = 250 och
r = 39).
Divisionsalgoritmen fungerar även för icke-positiva heltal a: även om a ≤ 0 så finns det
entydigt bestämda heltal q och r sådana att a = bq + r med 0 ≤ r < b.
På föreläsning 4 går vi igenom Euklides algoritm och bevisar aritmetikens fundamentalsats.
