1. Magnetism

L1
1. Magnetism
Magnetismen som fenomen upptäcktes redan under antiken, då man märkte att vissa malmarter attraherade vissa metaller. Nuförtiden vet vi att magneter också kan skapas på konstgjord väg.
1.1 Magnetiska fenomen
Demonstration: De magnetiska grundfenomenen. Utrustning: Tre stavmagneter, metallkulor, mynt, kompass.
­ Två poler per magnet. Magneternas ändor attraherar metall, men de attraherar/repellerar varandra parvis. ­ Beroende på vilken av polerna som attraherar en kompassnål kallar vi polerna nordpol N och sydpol S. Lika poler repellerar varandra, olika attraherar.
­ Vissa metaller attraheras av magneter, andra inte.
­ Magneternas inverkan på metaller är avståndsberoende
1
Viktigt att minnas:
L1
Magneter är nästan alltid dipoler. De har en nordpol och en sydpol. Ingen ensam magnetpol har hittats. Man har hittat magnetiska monopoler!!!
Magnetism är en distansväxelverkan, och kan åskåddliggöras genom att använda fältbegreppet, som ju är bekant från gravitationsfält och elektriska fält. Kring magneten finns ett fält, riktat från magnetens nordpol mot dess sydpol. Magnetfältets egenskaper visas med fältlinjer ­ de visar riktningen och styrkan hos fältet (ju tätare linjer desto starkare fält)
Det magnetiska fältets styrka beskrivs med storheten magnetisk flödestäthet B och har enheten T (tesla).
2
1.2 Jordens magnetfält
L1
Magmaströmmarna i jordens mantel ger upphov
till ett magnetfält, vars styrka är ungefär 5×10−5 T. Fältets nordpol är nära den geografiska sydpolen, och dess sydpol är nära den geografiska nordpolen.
Fältet är inte statiskt, och det rör på sig. Magnetfältet kring jorden minskar mängden kosmisk strålning som når jordytan.
Deklination
Kompassen visar mot den magnetiska nordpolen, inte den geografiska. Skillnaden i riktning kallas deklination, och måste beaktas vid noggranna positionsbestämningar
Inklination
Magnetfältets poler ligger inte på jordens yta, utan inuti jordklotet. Det leder tillsammans med jordens klotform till att magnetfältet inte är horisontellt ­ ovanför polerna dras kompassnålen lodrätt! Detta kallas inklination. Vanliga kompasser beaktar inte inklinationen, men fenomenet kan användas för att bestämma breddgrader.
3
1.3 Materia och magnetism
L1
1.3.1 Magnetiska och icke­magnetiska ämnen
Magnetismen hos ett ämne beror på atomstrukturen hos ämnet. Elektronens rotation runt atomen och runt sin egen axel skapar ett litet magnetfält. Atomerna är alltså små elementarmagneter ­ de minsta magnetiska byggstenarna. Tillsammans skapar atomerna magnetiska domäner, magnetiska områden.
Ickemagnetiska ämnens domäner är i oordning, så inget yttre fält kan skapas.
Magnetiska ämnens domäner är ordnade på ett sådant sätt att elementarmagneternas fält förstärker varandra. Magnetfältets styrka beror på hur stor del av domänerna som är ordnade. Om alla domäner är riktade åt samma håll kan ämnet inte bli mer magnetiskt; man säger att ämnet är magnetiskt mättat.
Icke­magnetiskt ämne
Magnetiskt ämne
4
1.3.2 Magnetisering av ämnen
L1
Vad händer då ett icke­magnetiskt ämne placeras i ett magnetfält?
Svar: Det beror på ämnet. Vissa ämnen reagerar starkt på ett yttre fält, medan andra reagerar mindre starkt. Ett ämnes förmåga att reagera på ett yttre magnetfält beskrivs av storheten permeabilitet, μ. Oftast uttrycks permeabiliteten med hjälp av ämnets relativa permeabilitet μr, i samband med permeabiliteten i vakuum μ0:
Ämnen indelas i tre grupper beroende på hur de reagerar på ett yttre magnetfält:
1. Diamagnetiska ämnen
­ blir magnetiserade, men försvagar det yttre magnet­ fältet en aning
­ μr < 1
2. Paramagnetiska ämnen
­ är i sig själva svagt
magnetiska, och förstärker ett yttre magnetfält en aning ­ μr > 1
3. Ferromagnetiska ämnen
­ förstärker ett yttre magnetfält kraftigt.
­ ju starkare det yttre fältet är, desto fler atomer vänder i fältets riktning och förstärker det, ända tills ämnet når magnetisk mättnad.
­ μr >>1. Dessutom beror ett ferromagnetiskt ämnes permeabilitet på det yttre magnetfältets styrka.
5
L1
1.3.3 Ferromagnetiska ämnen
Ferromagnetiska ämnen indelas i magnetiskt mjuka och magnetiskt hårda ämnen.
Magnetiskt mjuka ämnen:
­ är lätta att magnetisera, dvs magnetisk mättnad nås redan med svaga yttre fält.
­ tappar sin magnetisering snabbt då det yttre fältet försvinner.
­ används bl.a. till elektromagneter
Magnetiskt hårda ämnen:
­ är svåra att magnetisera, kräver alltså starka yttre fält för magnetisk mättnad.
­ behåller sin magnetisering även då det yttre fältet försvinner ­ kräver ett motsatt riktat yttre fält för att avmagnetiseras!
­ används för minneskretsar, bankkort etc.
Magnetiseringen följer ett annat beroende av det yttre fältet än avmagnetiseringen. De mjuka och hårda ämnenas magnetisering i förhållande till det yttre fältets styrka beskrivs med hystereskurvor, dvs. kurvor av två funktioner:
2.
3.
1.
4.
6.
5.
http://hyperphysics.phy­astr.gsu.edu/hbase/solids/hyst.html#c2
Uppgifter:
Läs sid. 6­20
Besvara uppgifter: 1­14, 1­15 b)
6
1.4 Laddad partikel i magnetfält
L2
1.4.1 Kraftverkan på laddning
En laddad partikel som rör sig i ett magnetfält kommer att påverkas av fältet. Hur mycket den påverkas beror på laddningens storlek Q, den hastighet v, magnetiska flödestätheten B och i vilken vinkel laddningen rör sig mot fältets riktning.
Kraftens storlek ges av uttrycket
, där α är vinkeln mellan magnetfältets riktning och hastighetsvektorns riktning. Man använder sig alltså egentligen av hastighetens vinkelräta komponent mot fältet.
Kraftens riktning ges av högerhandsregeln: För en positiv laddning:
Sätt pekfingret i i hastighetsriktningen och långfingret i fältets riktning. Tummen visar nu vart kraften riktas. För en negativ laddning: Sätt pekfingret i motsatt riktning mot hastighetens riktning och långfingret i fältets riktning. Tummen visar kraftens riktning.
7
Ex. 1
L2
Den laddade partikeln rör sig åt höger. Bestäm kraften som verkar på den.
8
1.4.2 Magnetisk flödestäthet B
L2
Med hjälp av kraftverkan på en laddning kan vi beräkna den magnetiska flödestätheten om den inte är känd. Vi får också en förklaring till enheten tesla. Vi antar att partikeln rör sig rätvinkligt mot fältet och får då:
1.4.3 Partikelacceleratorer och masspektrometri
Kraftverkan på laddningar i magnetfält används bl.a i partikelacceleratorer, för att styra de laddade partiklarna i önskade banor. Ett exempel är LHC i Schweiz, där protoner accelereras till 99,9 % av ljushastigheten. Fast omkretsen på den cirkulära acceleratorn är 27 km behövs mycket starka magneter för att böja protonernas bana tillräckligt.
Masspektrometri används för att identifiera ämnen. Man joniserar ämnets atomer och skickar jonerna med en bestämd hastighet genom ett magnetfält med känd fältstyrka. De påverkas då av en kraft som avlänkar dem i en cirkelbana. Beroende på jonernas massa kommer radien på cirkelbanan att vara olika stor, och massan kan då bestämmas. 9
Ex. 2
L2
Protonerna i LHC färdas i en cirkel med omkretsen 27 km. Hur starkt behöver magnetfältet vara?
Enligt Cerns hemsida genererar elektromagneterna i LHC ett fält med flödestätheten 8,3 T, så uträkningen ovan är fel med en faktor av 100 000. Orsaken till detta är att vi inte beaktade att protonens massa ökar då den rör sig allt närmare ljushastigheten.
Uppgifter
Läs sid. 35­44
Besvara: 1­43, 1­45, 1­50
10
1.5 Magnetfält kring ledare
L 3
Kring en strömförande ledare bildas ett magnetfält vars riktning beror på strömmens riktning. Riktningen ges av högerhandsregeln; grip tag om strömledningen med höger hand så att tummen är i strömriktningen. Magnetfältet är riktat i fingrarnas riktning.
1.5.1 Biot­Savarts lag
Det magnetiska fältet är starkare nära ledaren och försvagas då avståndet till ledaren ökar. Fältet blir starkare då strömstyrkan ökar. Förhållandet mellan magnetisk flödestäthet, avstånd och strömstyrka beskrivs av Biot­
Savarts lag: 11
L 3
Ex. 3
Bestäm den magnetiska flödestäthetens storlek och riktning i punkten P.
12
1.5.2. Magnetfält och kraftverkan; två raka ledare
L 3
Två parallella strömförande ledares magnetfält påverkar elektronerna i ledarna så att det bildas en kraftverkan på dem. Därmed påverkas också ledarna som helhet.
Magnetfälten kring ledarna kan beskrivas med fältlinjer ­ då magnetfälten har motsatt riktning försvagas fältet, och då de har samma riktning förstärks fältet.
1.5.3 Amperes lag
Med hjälp av kraftverkan på ledarna definieras enheten för strömstyrka,
Ampere:
"En Ampere är den strömstyrka som ger upphov till en kraft på 2*10­7 N/m på två strömförande ledare som är på en meters avstånd från varandra."
Vi kan beräkna kraften på den ena ledaren med av Amperes lag:
13
L 3
Ex. 4
Kraften per längdenhet som ledarna påverkar varandra med är 7,1*10­6 N/m. Bestäm I2.
14
1.5.4 Kraftverkan på ledare i magnetfält
L 3
Amperes lag gav oss ett utryck för kraften på en ledare. Med hjälp av Biot­Savarts lag kan vi förenkla uttrycket: Insättning ger som resultat formeln för kraftverkan på en rak ledare i ett magnetfält. Här antas att ledaren är vinkelrätt mot magnetfältet. Om ledaren ligger snett mot fältet, får lagen formen
(Lagen kan också härledas från formeln för kraftverkan på en laddning, F = qvB.)
15
L 3
Ex. 5
Bestäm kraften på ledaren.
Läs sid 22­28
Besvara 1­22, 1­24, 1­28
16
1.6 Spole i yttre magnetfält
L 4
1.6.1 Magnetfält kring spole
En spole bildas av ledningsslingor. Då ström går genom ledaren, samverkar de enskilda slingornas magnetfält och bildar ett gemensamt magnetfält inuti spolen.
Magnetfältets riktning fås av högerhandsregeln för en spole; ta tag om spolen så att fingrarna följer strömriktningen, tummen visar magnetfältets riktning.
1.6.2 Vridmoment på spole
Då en strömförande spole sätts i ett yttre magnetfält, påverkas den av ett vridmoment som får spolen att vridas. Spolen vrids så att det yttre magnetfältets fältlinjer går genom spolens öppning och så att det yttre magnetfältets riktning är densamma som riktningen för magnetfältet som skapas på grund av elströmmen.
Om strömriktningen i spolen ändras, kommer spolen att vridas i motsatt riktning. Orsaken till vridningen förklaras då man betraktar en enskild slinga i spolen.
17
L 4
1.6.3 Strömledningsslinga i magnetfält
Då en strömförande ledningsslinga placeras i ett magnetfält påverkas dess sidor av krafter precis som för en rak ledare. I slingan går strömmarna åt motsatta håll för motstående sidor av slingan, så kraftverkan kommer att vara motsatt riktad på olika sidor av slingan. Eftersom kraften verkar på avståndet r från slingans rotationsaxel skapas ett vridmoment M.
Faktorer som inverkar på vridmomentets storlek är strömstyrkan I, den magnetiska flödestätheten B och slingans area A.
Vridmomentet varierar även med slingans position i magnetfältet; det är störst då slingan är parallell med fältet och minst då slingan är vinkelrätt mot fältet.
OBS! I uttrycket för vridmomentet används vinkeln mellan slingans normal och fältets riktning.
α
Vridmoment på en slinga i ett magnetfält:
α
En spole består av flera slingor. för att beräkna vridmomentet på spolen, multipliceras vridmomentet på en slinga med antalet slingor N i spolen:
18
Ex. 6
I en slinga med dimensionerna 0,50 m x 0,30 m går en ström med styrkan 20 A. Beräkna det maximala vridmomentet på slingan.
19
L 4
1.6.4 Likströmsmotorn
I likströmsmotorn används vridmomentet på slingan som drivkraft. Slingorna placeras så att det hela tiden är vridmoment på någon av dem. Strömmens riktning växlas med en omkopplare (kommutator) så att vridmomentet alltid är riktat åt samma håll ­ annars skulle ju motorn inte fungera ­ och genom att använda fler slingor fås en jämnare rotation.
Läs sidorna 30 ­33
Uppgifter: 1­34, 1­36, 1­38
20
2. Induktion
L 5
Induktionsfenomenet upptäcktes av Michael Faraday år 1831 och utgör grunden för vår moderna elproduktion ­ så gott som alla elproducerande kraftverk utnyttjar induktion.
2.1 Spole i föränderligt magnetfält
Då en spole utsätts för ett föränderligt magnetfält uppstår en spänning i spolen. Spänningen orsakar en ström i spolen. Detta är induktionsfenomenet. Strömmen som börjar gå i spolen orsakar ett magnetfält i spolen. En närmare granskning visar att riktningen på spolens egna magnetfält motverkar förändringen i det yttre fältet.
Om det yttre fältet försvagas, uppstår ett magnetfält som har samma riktning som det yttre fältet. Om det yttre fältet förstärks, uppstår ett magnetfält som har motsatt riktning mot det yttre fältet.
Fenomenet beskrivs av Lenz lag:
"Induktionsströmmen har en sådan riktning att magnetfältet den skapar motverkar förändringen i det magnetiska flödet som orsakade induktionsströmmen."
21
2.2 Rak ledare i magnetfält
L 5
För att få en kvantitativ beskrivning av induktionsfenomenet börjar vi med en lättare version; en rak rörlig ledare i ett magnetfält.
Då ledaren rör på sig påverkas de fria elektronerna i ledaren av magnetfältet enligt FB = qvB. Kraftverkan orsakar en ansamling av elektroner i ena änden av ledaren. Eftersom det i ena änden finns ett överskott och i andra änden ett underskott av elektroner, bildas ett elfält mellan ledarens ändor.
En laddning i ett elfält påverkas av en elektisk kraft enligt FE = qE, där E är fältstyrkan. Riktningen på kraften är motsatt mot den magnetiska kraften.
Ju fler elektroner som samlas, desto starkare blir elfältet, och därmed kraften på elektronerna. Till slut är krafterna lika stora och elektronerna slutar röra sig. Vi kan skriva jämviktsvillkoret:
Den inducerade spänningen i ledaren är alltså
Om ledaren inte är vinkelrät mot fältet, eller rör sig snett i fältet, måste vi använda ledarens vinkelräta längd i fältet:
22
Ex. 7
L 5
Ett flygplan som flyger vågrätt har en hastighet på 175 m/s. Jordens magnetfält har den magnetiska flödestätheten 30 μT och det bildar en 25 graders vinkel med vertikalplanet. Avståndet mellan vingspetsarna är 35 m. Rita en figur över situationen och beräkna den inducerade spänningen över vingspetsarna. 23
2.3 Ledningsslinga i magnetfält
L 6
Beskrivningen av induktion för en slinga kräver att vi först definierar magnetiskt flöde.
2.3.1 Magnetflödet Φ
Φ betecknar det magnetiska flödet, och är ett mått på hur många fältlinjer som går genom en viss area A. Ju större fältstyrka B desto tätare är fältlinjerna bredvid varandra, så flödet beror både på arean A och flödestätheten B. Om fältlinjerna skär A vinkelrätt gäller att flödet är:
Om ytans normal är i en vinkel α mot fältet är flödet beroende av vinkeln:
A cos α motsvarar ytans vinkelräta projektion på magnetfältet, dvs. storleken på den yta som är vinkelrät mot fältet. Med andra ord, då vinkeln mellan ytnormalen och magnetfältet är noll, är ytan vinkelrät mot fältet och vi har igen Φ = BA. Då ytnormalen är vinkelrätt mot fältlinjerna är ytan parallell med fältet och flödet genom ytan är noll.
24
L 6
Ex. 8
Hur stort är det magnetiska flödet genom ytan?
Läs sid. x­x
Besvara uppgifter: 2­16, 2­17, 2­18, 2­23
25
2.3.2 Induktion i ledare uttryckt genom flöde
L 6
Vi såg tidigare hur en spänning induceras i en rak ledare. Ledaren ligga på två sammankopplade metallskenor, så att en ström kan gå igenom slingan som bildas.
Ledaren rör sig med hastigheten v. Hastigheten är som bekant förhållandet mellan förändringen i position och tid, v = Δx/Δt. Det ger oss Δx = vΔt.
Arean förändras då ledaren rör sig, och vi kan ge ändringen i area, ΔA = lΔx = lvΔt. Då arean ändras förändras även flödet genom slingan, ΔΦ = BΔA = BlvΔt.
Men lvB = e, så ΔΦ = eΔt, vilket vi kan uttrycka som Tolkning: Den inducerade spänningens storlek är beroende av hur snabbt flödet förändras.
26
2.3.4 Faradays och Henrys lag
L 6
Vi fick fram ett uttryck för hur den inducerade spänningen e beror på hur flödet ändras. Vad som saknas är ett sätt att uttrycka spänningens riktning; då flödet genom slingan ökar induceras en spänning som motverkar flödets ökning och tvärtom.
Faradays och Henrys lag:
För en spole med N slingor blir den inducerade spänningen
27
Spolen har sex slingor. Vad blir den inducerade spänningen?
Läs sid. 60­64
Uppgifter: 2­25, 2­29, 2 ­31
L7
28
2.4 Självinduktion
L7
Vi betraktar en krets med en spänningskälla, en brytare och en spole.
Då kretsen sluts, ökar strömmen i kretsen. Strömmen skapar ett ökande magnetfält i spolen. Det ökande magnetfältet i spolen inducerar en spänning som motverkar ökningen.
Om strömmen i kretsen minskar, minskar magnetfältets styrka. Det minskande magnetfältet inducerar en spänning som motverkar minskningen.
Självinduktion kan skada elektriska apparater om stöpseln dras ur då apparaten är påslagen. Den plötsliga minskningen i ström inducerar en stark spänning som kan ge upphov till gnistor.
2.4.1 Induktans
Då strömmen i spolen ändras, ändras magnetfältet. I stället för att använda ändringen i magnetflödet i spolen som vi gjort tidigare, kan vi använda ändringen i elströmmen. Vi behöver dock veta spolens induktans. Induktansen anger styrkan hos självinduktionsfenomenet. Då vi vet induktansen kan vi ge medeltalet av den inducerade spänningen:
Induktansens enhet är H (henry).
29
L7
30
L7
31
2.5 Induktiv koppling
L7
Två spolar är induktivt kopplade om en L7
ändring i magnetfältet i den ena spolen går helt eller delvis genom den andra spolen. Vi ser två spolar S1 och S2. Strömmen I1 går genom spolen S1. Då strömmen ändras, induceras en spänning i spole S2. Storleken på denna spänning ges av:
2.5.1 Ömsesidig induktans M
M kallas den ömsesidiga induktansen och har enheten henry. M anger hur stor den inducerade spänningen blir i den induktiva kopplingen. Värdet för M beror på hur den induktiva kopplingen ser ut.
Se Ex. 1 sid. 74!
32
2.6 Magnetfältets energi
L8
En spole i en krets kommer då kretsen sluts att lagra energi i form av det magnetfält som bildas i spolen. Då kretsen bryts, kommer energin att laddas ur spolen i form av elektricitet.
Vi kan ge ett uttryck för hur mycket energi som lagras i en spole:
33
Ex. Hur stor energi lagras i magnetfältet?
Läs: 67­75, 81­82
Uppgifter: 2­36, 2­40, 2­53, 2­57
34
L8
2.7 Virvelströmmar
Induktionsfenomenet uppträder för alla metaller.
Ett föränderligt magnetfält inducerar en spänning, som i sin tur åstadkommer en ström. Detta kan leda till problem,men det kan också utnyttjas.
I solida ledare som utsätts för föränderliga magnetfält kommer så kallade virvelströmmar att uppstå. Strömmarna flyter i komplexa mönster, vilka liknar en virvel. I bilderna är strömmarna förenklade till cirklar.
Om ledaren är i rörelse kommer den att bromsas in, eftersom det inducerade magnetfältet och det yttre fältet är motsatt riktade.
Man kan eliminera virvelströmmarna genom att dela upp ledaren i mindre delar ­ virvelströmmarna blir då inte lika starka.
2.7.1 Tillämpningar
En av de mer kända tillämpningarna av virvelströmmarna är induktionsspisen. Kastrullbottnen utsätts för ett varierande magnetfält, vilket ledar till virvelströmmar i kastrullbottnen. På grund av resistansen i kastrullen hettas den upp. Det finns även andra tillämpningar. Induktionsbromsar i tåg fungerar så att då tågens metallhjul rör sig in i och ut ur ett magnetfält induceras en spänning. Magnetfältet som uppstår i hjulet är motsatt riktat mot det yttre fältet så tåget saktar in. Dessutom är det inducerade fältets styrka beroende av hjulets vinkelhastighet ­ ju långsammare fart, desto svagare inbromsning.
35
3. Växelspänning
L9
Hela vår vardag är beroende av att vi kan producera elektrisk energi. Det här avsnittet fokuserar på hur elström skapas, och vilka egenskaper den producerade strömmen har.
3.1 Generatorn
Den moderna elproduktionens hörnsten är generatorn. En slinga roteras i ett magnetfält, vilket leder till induktion i slingan, eftersom flödet i slingan ändras då den roteras. Mekanisk energi från rotationen omvandlas till elektrisk energi.
3.2 Sinusformad växelspänning i generatorn
Det magnetiska flödet i slingan är Φ = BA cos α. Om slingan roterar med vinkelhastigheten ω och vinkeln från början är noll, kommer vinkeln efter en tid t att vara α = ωt. Flödet är alltså Φ(t) = BA cos ωt . Vi har alltså fått en funktion för flödet, där tiden är variabel ­ olika värden för tiden ger olika värden för flödet.
t = 0
α = 0
t = t
α = ωt
Den allmänna formen för den inducerade spänningen är:
Då vi insätter flödesfunktionen får vi den inducerade spänningen:
36
3.2.1 Spänningens toppvärde e0 L9
Den inducerade spänningen är sinusformad. Den kommer att nå sitt största värde, det så kallade toppvärdet e0 ,då slingan är vänd så att flödet genom slingan är noll ­
eftersom det då gäller sin ωt = 1. Toppvärdet är då e0 = BAω.
Vi kan använda oss av slingans frekvens f för att beskriva spänningen. Det gäller att
ω = 2πf, så med hjälp av toppvärdet får vi för den inducerade spänningen:
Då slingan roteras i magnetfältet induceras spänningar som byter riktning varje halvt varv ­ spänningen kommer alltså att växla mellan maxvärdena e0 och ­e0.
Elströmmen som induceras i en krets med resistansen R kommer enligt Ohms lag att vara: i0 är då strömmens toppvärde.
3.2.2 Växelspänning i spole
För att öka den inducerade spänningen ersätter man slingan med en spole. För en spole med N ledningsvarv fås för den inducerade spänningen:
http://www.wvic.com/how­gen­works.htm
37
L9
Ex.
I en generator roterar en spole med 50 ledningsvarv med radien 40,0 cm i ett magnetfält med flödestätheten 0,0900 T. Hur stor rotationsfrekvens krävs för att den inducerade spänningens toppvärde skall vara 85,0 V?
Läs sid. 83­87
uppgifter: 2­63, Testa vad du kan, s 89.
38
3.3. Växelströmskrets
L 10
I kurs Fy 6 behandlades likströmskretsens egenskaper. För att behärska växelströmkretsens egenskaper behöver vi repetera Ohms lag, samt koppling av motstånd och kondensatorer.
3.3.1 Effektiva värden
I växelströmskretsen uppkommer spänningen i en generator. Därmed varierar spänningen mellan två toppvärden. På samma sätt varierar strömstyrkan i kretsen mellan två toppvärden. Vi kan dock tala om effektiva värden för spänning och ström; den i kretsen rådande växelströmmens effektiva värde är lika stort som värdet på den likström som åstadkommer lika stor värmeutveckling i ett motstånd. Växelspänningens effektiva värde definieras på motsvarande sätt. En voltmätare som kopplas till en växelspänningskrets mäter det effektiva värdet för spänningen.
3.3.2 Motstånd i växelströmskrets
Ett motstånd som kopplas till en generator kommer att ha en varierande spänning över sina poler; då spänningen från generatorn varierar kommer strömmen genom motståndet att variera och således varierar även spänningen över motståndet.
Strömmen genom motståndet och spänningen över det varierar i samma fas; de når sina toppvärden och nollvärden samtidigt.
Både spänningen över motståndet och strömmen genom det kommer att variera som funktion av tiden. Spänningen över motståndet ges av uttrycket:
Strömmen genom motståndet är som vi sett tidigare:
39
3.3.3 Effekt i ett motstånd i en växelströmskrets
L 10
Elströmmen i motståndet ger upphov till värme på grund av resistansen i motståndet. Effekten i motståndet kommer att variera eftersom strömstyrkan varierar. Vi får
Effekten varierar som funktion av tiden, mellan noll och toppvärdet p0 = Ri02. I behandlingen av växelströmkretsen är det ofta mer användbart att använda medeleffekten P;
Vi kan, genom att betrakta mängden energi som omvandlas i motståndet, ge uttryck för de effektiva värdena för växelspänning och växelström (för en detaljerad behandling se boken s. 99­100):
40
Bestäm växelströmmens effektivvärde.
Läs sid. 93 ­ 100,
uppgifter: 3­5, 3­7, 3­8
41
3.4 RLC ­ kretsen
L 11
Växelströmskretsar kan ha olika utsende, men en av de mest använda är RLC­kretsen. Den heter så eftersom den har ett motstånd, en spole och en kondensator i serie. De tre komponenterna har olika egenskaper som påverkar egenskaperna för kretsen som helhet.
3.4.1 Impedans, Z
Vi kan mäta de effektiva värdena för spänning över spänningskällan och strömmen genom kretsen. Vi får en rak linje i ett (I,U)­koordinatsystem ­ värdena är direkt proportionella. Vi kan då utöka Ohms lag till att gälla i en växelströmskrets genom att skriva
Storheten Z kallas impedansen för kretsen. Den är proportionalitetskonstanten mellan spänningen och strömmen och fås av riktningskoefficienten för linjen i (I,U)­
systemet. Den beskriver växelströmskretsens förmåga att begränsa växelström. Enheten är densamma som för resistansen, dvs. ohm.
Impedansens storlek beror på de enskilda komponenterna. Motståndets resistans inverkar förstås, men vi måste även behandla spolens och kondensatorns inverkan.
42
L 11
3.4.2 Spole i växelströmskrets
Fasdifferens
Då vi undersöker förhållandet mellan spänningen över spolen och strömmen i kretsen finner vi att strömmen i kretsen inte är i samma fas som spänningen.
Den i spolen inducerade spänningen beror på strömmens förändrings­
hastighet enligt
så då strömförändringen är som störst når spänningen sina maxvärden, och då strömmen når sitt maxvärde (i någondera riktningen) är spänningen noll.
Vi ser att då vi startar med spänningens nollvärde kommer strömmens toppvärde att följa efter spänningens toppvärde med en fasdifferens (dvs. skillnad i fas) som uttrycks med symbolen φ. För en spole med liten resistans är fasdifferensen mellan spänning och ström φ = π/2 radianer.
Induktiv reaktans XL
Vi kan rita upp värden för strömmen i kretsen för olika värden på generatorns varvfrekvens (kom ihåg att spänningen genereras i en generator som kan roteras med olika hastighet). Det visar sig att strömmen genom spolen är omvänt proportionell mot frekvensen ­ ju större frekvens, desto svagare ström. Detta är naturligt; ju snabbare förändring i ström, desto större är induktionsspänningen som motverkar strömmen i spolen.
Induktionsspänningen blir också större då induktansen L blir större.
Spolens egenskap att motverka strömmen kallas induktiv reaktans och betecknas XL. Enligt ovanstående kan vi ge ett uttryck för dess storlek; spolen begränsar mer ström ju större frekvensen är och ju större induktans spolen har. Enheten för den induktiva reaktansen är Ω.
43
Bestäm den induktiva reaktansen hos de två spolarna, då växelströmkretsens frekvens är 60 Hz.
L 11
44
3.4.3 Kondensator i växelströmskrets
L 12
Fasdifferens
Då vi undersöker strömmen genom kretsen och spänningen över kondensatorn i en växelströmskrets, märker vi att de inte är i samma fas.
Låt strömmen ha sitt maximala positiva värde och låt kondensatorn vara oladdad. Kondensatorn börjar laddas upp, medan strömmen minskar mot noll (den följer generatorns frekvens).
Då strömmen når noll är kondensatorn fulladdad, så spänningen över den når sitt maxvärde. Då strömmen byter tecken, börjar kondensatorn laddas ur. Då strömmen når sitt negativa maxvärde har kondensatorn laddats ur helt, och spänningen över den är noll. Den börjar nu laddas upp igen, men med motsatt laddningsfördelning. Strömmen börjar minska mot noll, och spänningen över kondensatorn ökar. Precis som för spolen finns en fasdifferens mellan ström och spänning i kondensatorn, men den är omvänd; strömmen är före spänningen, vilket betecknas
φ = ­π/2.
Kapacitiv reaktans XC
Vi kan rita upp värden för strömstyrkan i kretsen för olika frekvenser hos spänningskällan. Det visar sig att strömmen är direkt proportionell mot frekvensen; ju högre frekvens, desto större strömstyrka. Strömmen ökar också då kapacitansen C ökar.
(Hemuppgift: Fundera på varför strömstyrkan ökar då frekvensen ökar).
Kondensatorns förmåga att begränsa ström måste då vara omvänt proportionell mot frekvensen; kondensatorns kapacitiva reaktans Xc minskar då frekvensen eller kapacitansen ökar. Vi kan skriva detta i formen
Den kapacitiva reaktansens enhet är Ω.
45
Bestäm den kapacitiva reaktansen hos de två kondensatorerna, då växelströmkretsens frekvens är 60 Hz.
46
3.4.4 Impedans i RLC­kretsen
L 13
Vi har nu betraktat de olika komponenterna i RLC­kretsen. Då de kombineras, fås ett uttryck för kretsens strömbegränsande egenskap, impedansen Z:
Enheten för impedansen är, som vi tidigare konstaterat, Ω. Storheten (XL­XC) kallas reaktans.
(Hemuppgift: Fundera på om det är möjligt att impedansen i en RLC­krets kan fås till
Z = R)
Motstånd: Spänning och ström i samma fas.
Kondensator: Strömmen före spänningen.
Spole: Spänningen före strömmen.
47
L 13
48
L 13
Läs: sid. 103­116 Uppgifter: 3­15, 3­16, 3­18, 3­19, 3­25, 3­29, 49
4. Elektromagnetisk svängningskrets
L 15
4.1 Resonans, resonansfrekvens
En RLC­krets kan betraktas som en harmonisk oscillator; den har en egenfrekvens. Då energi tillförs kretsen med denna egenfrekvens kommer ett resonansfenomen att uppstå, kretsen "vibrerar" med samma frekvens. Energitillskottet kan komma från en växelspänningsgenerator, eller från radiovågor med rätt frekvens.
Resonansfenomenet uppstår då impedansen i kretsen är så låg som möjligt. Detta sker då XL = XC. Vi kan skriva detta som
Frekvensen som uträknas kallas resonansfrekvensen och betecknas med f0. Genom att justera kapacitansen, induktansen, eller energikällans frekvens, kan vi få kretsen att uppvisa renonans.
50
51
4.2 Svängningskrets
L 15
En spole och en kondensator i serie bildar en svängningskrets. Om det inte sker energiförluster i form av värme, kan vi få energi att flöda fram och tillbaka i kretsen mellan spole och kondensator. Omvandlingen mellan energi i elfältet och energi i magnetfältet sker med kretsens resonansfrekvens. Vi får ett varierande (svängande) elektriskt och magnetiskt fält.
I figuren ser vi en svängningkrets och en graf över spänningen över kondensator­
plattorna. Spänningens värde är noll vid tiderna t = 0, t = T/2 och t = T, där T är svängningens period.
4.3 Antenn
LC­kretsen i 4.2 är en så kallad sluten svängningskrets. Vi kan skapa en öppen svängningskrets genom att "öppna" kondensatorn så att dess plattor är på båda sidor om spolen. Elfältets fältlinjer går då runt kretsen. En enkel svängningskrets består av en rak ledare med en viss induktans och kapacitans. En sådan här krets kallas en dipolantenn.
Genom att låta en sluten svängningskrets svänga med dipolantennens egenfrekvens kan energi överföras till antennen. Elektronerna i dipolantennen börjar svänga fram och tillbaka i antennen, den är alltså själv en svängningskrets. Ett varierande elfält bildas kring antennen, och detta leder till ett varierande magnetfält. Kombinationen är en elektromagnetisk vågrörelse, eller mer bekant, radiovågor.
En mottagarantenn kan ta emot dessa vågor om den är i samma plan som den sändande dipolantennen. Genom att ändra mottagarens induktans eller kapacitans kan andra våglängdsintervall tas emot ­ detta sker då man ställer in en kanal på en radioapparat.
En ideal mottagarantenn är hälften så lång som vågländen för den mottagna vågen, men i praktiken kan antennen ta emot vågor inom ett våglängdsintervall. Vi kan skriva det ideala förhållandet mellan antennens längd l och våglängden λ:
52
3.5 Effekt i RLC­krets L 13
Då vi betraktar energiomvandlingen i en RLC­krets, är det skäl att märka att endast motståndet omvandlar elektrisk energi till värme. Kondensatorn tar emot elektrisk energi då den laddas upp, men energin återgår till kretsen då kondensatorn laddas ur. Spolen tar emot elektrisk energi då magnetfältet kring den byggs upp, men energin från fältet återgår också till kretsen då strömriktningen ändras. I genomsnitt är effekten för spole och kondensator alltså noll.
I en krets med enbart resistans är medeleffekten, som vi sett tidigare;
Om kretsen innehåller alla tre komponenter kommer det att finnas en fasdifferens φ i kretsen. Detta leder till att energi periodvis både omvandlas till andra former från kretsen och återgår till kretsen. Medeleffekten, den så kallade aktiva effekten får, uttryckt genom spänningen och strömmen i kretsen, formen:
Faktorn cos φ får ofta benämningen effektfaktor ­ fasdifferensen avgör effektens storlek. Vi har nu två sätt att beskriva effekten i en växelströmskrets, båda är lika giltiga.
53
Ex.
Hur stor är den aktiva effekten i en växelströmskrets där ett motstånd med resistansen 2550 Ω är kopplat i serie med en kondensator med kapacitansen 7,00×10−8 F och en spole med induktansen 0,0200 H, då generatorn har ett maxvärde för spänningen av 12,0 volt och roterar med 10000 rad/s?
Läs sid. 148 ­158 + 121­124
Uppgifter: 4­7, 4­13, 4­16, 3­32, 3­35
54
3.6 Transformatorn
L 14
Elektricitet transporteras oftast långa sträckor från kraftverk till användare. För att minimera värmeförlusterna transporteras elektriciteten i så kallade högspänningsledningar, där spänningen kan vara så hög som 400 kV. Uteffekten från kraftverket är som bekant P = UI, så en hög spänning i ledningen gör att strömmen är liten. Effektförlusten i ledaren är åter P = RI2, så vi ser att det lönar sig att ha så låga värden på ström som möjligt. Slutanvändarens elektriska apparater fungerar dock inte med så höga värden för spänningen, utan spänningen måste omvandlas till lägre värden. Detta sker i transformatorer.
Transformatorn består av två induktivt kopplade spolar med gemensam järnkärna och olika antal slingor. Växelström som flyter i den ena spolen (primärspolen) skapar ett föränderligt magnetfält, som inducerar en spänning i den andra spolen (sekundärspolen). Förhållandet mellan spänningen över primärspolen och sekundärspolen är proportionellt mot förhållandet mellan spolarnas slingor:
55
56
Läs sid 121 ­ 131, INTE trefasväxelström.
Uppgifter: 3­32, 3­35, 3­46, 3­48
57
Provavsnitt:
s. 5­131,
s. 136­140 + s. 145
s.147­159 + s.168
Repetitionsuppgifter:
s. 178­185
58