Parabeln och vad man kan
ha den till
Anders Källén
MatematikCentrum
LTH
[email protected]
Sammanfattning
I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk
konstruktion och varför den kan beskrivas som grafen till ett
andragradspolynom. Vi tittar också in på dess geometriska och
optiska egenskaper.
Parabeln och vad man kan ha den till
1 (5)
Introduktion
De kurvor som vi får som grafen av ett andragradspolynom brukar kallas parabler, men
parabeln är en rent geometrisk konstruktion och beskrivningen som grafen till ett andragradspolynom bara är en konsekvens av dess geometriska definition i ett lämpligt
koordinatsystem. I det här dokumentet ska vi titta på vad parabeln egentligen är för
något, och vad man kan använda den till. Och varför den kan användas till vad den
används till. Vår diskussion kommer att använda den analytiska geometrins metoder,
d.v.s. vi kommer att räkna fram de geometriska egenskaperna genom att använda analys
på en beskrivning av kurvan i ett väl valt koordinatsystem.
Parabelns definition
Det finns minst två geometriska definitioner av vad
en parabel är. Den enklaste, och kanske ursprungliga,
baserar sig på att man ger en linje, kallad styrlinjen, och en punkt, kallad brännpunkten av skäl som
vi återkommer till, som inte ligger på linjen. Parabeln
som definieras utifrån en sådan linje och punkt består
av de punkter i planet som har samma avstånd till
punkten som till linjen[1] .
symmetriaxel
brännpunkt
vertex
styrlinje
Man inser mer eller mindre direkt att en sådan kurva
måste vara symmetrisk kring en linje som är vinkelrät
mot styrlinjen, en linje som vi kallar parabelns symmetrilinje (streckad i figuren). Dess
skärning med kurvan sker i en punkt som kallas parabelns vertex.
Basen för vår diskussion är nu att vi härleder en ekvation för parabeln i ett väl valt koordinatsystem. Vi
väljer detta så att x-axeln är parallell med styrlinjen
och ligger mitt emellan den och brännpunkten. Som yaxel tar vi parabelns symmetrilinje. Parabelns vertex
hamnar då i origo, d.v.s. i skärningen mellan koordinataxlarna. Vidare väljer vi skalan så att brännpunkten
kommer i punkten (0, 1). När vi gjort det har vi figuren till höger.
1
−1
p
x2 + (y − 1)2
(x, y)
1
|y + 1|
y = −1
Villkoret för att punkten (x, y) ska ligga på parabeln blir nu avståndet från (x, y) till
(0, 1) ska vara samma som avståndet från (x, y) till (x, −1), alltså att
p
x2 + (y − 1)2 = y + 1.
Kvadrerar vi denna likhet får vi den ekvivalenta[2] likheten
x2 + y 2 − 2y + 1 = y 2 + 2y + 1
⇔
y=
x2
.
4
Detta är det koordinatsystem vi kommer att använda i den kommande diskussionen om
parabelns geometriska egenskaper.
Parabeln och vad man kan ha den till
2 (5)
Låt oss dock notera att om vi väljer en annan skala på axlarna (samma axlar alltså), så
att brännpunkten istället hamnar i punkten (0, c) och styrlinjens ekvation blir y = −c,
så ska vi införa nya koordinater (x0 , y 0 ) genom x = cx0 , y = cy 0 . I dessa koordinater gäller
då att styrlinjen har ekvationen y 0 = −1 och brännpunkten ligger i (0, 1) och vi har att
y=
x2
4
⇔
y0
(x0 /c)2
(x0 )2
=
=
c
4
4c2
⇔
y0 =
(x0 )2
.
4c
Slutligen, om vi istället lägger vårt koordinatsystem (vi slänger nu prim:en) så att det nya
origo svarar mot punkten (x0 , y0 ), så får vi ekvationen y − y0 = a(x − x0 )2 där a = 1/4c.
Det betyder att en parabel kan alltid skrivas på ekvationsformen y = ax2 + bx + d för
lämpliga a, b, d om vi väljer vårt koordinatsystem så att x-axeln är parallell med styrlinjen
och y-axeln vinkelrät mot den. Omvänt beskriver varje sådan ekvation en parabel eftersom
vi har kvadratkompletteringen
y = ax2 + bx + d = a(x +
b 2
b2
) +d− .
2a
4a
Den andra geometriska definitionen av en parabel är som ett kägelsnitt. Vi återkommer
till den längre fram i detta dokument.
Några geometriska egenskaper hos parabeln
Parabeln har en viktig geometrisk egenskap som vi
ser i figuren till höger. Parabeln definieras av att de
två röda linjesegmenten är lika långa, vilket gör att
de bildar två sidor i en likbent triangel. Den viktiga
egenskapen är att tangenten till parabeln i topphörnet
skär triangelns bas under rät vinkel.
brännpunkt
styrlinje
För att se att så är fallet, inför vi samma koordinatsystem som tidigare, med brännpunkten i (1, 0) och
styrlinjen som y = −1. Då gäller alltså att parabeln
har ekvationen y = x2 /4 vilket betyder att tangenten till parabeln i punkten (x, y) kommer att ha riktningskoefficient k = x/2. Men den linje som är basen i triangeln har
riktningskoefficient k 0 = −2/x eftersom den är hypotenusa i en rätvinklig triangel med
höjd 2 och bas x. Men kk 0 = −1, vilket betyder att de två linjerna (tangenten och basen)
är vinkelräta.
En annan intressant geometrisk egenskap hos parabeln är att om två tangenter till den skär på styrlinjen,
så skär de under rät vinkel. Med samma koordinatsystem som innan har vi då att tangenten till parabeln
2
i punkten (a, a2 /4) har ekvationen y − a4 = a2 (x − a).
Skärningen (x, y) mellan de två tangenterna i punkterna vars x-koordinat är a respektive b och som skär
styrlinjen y = −1 ska då uppfylla de tre ekvationena
Parabeln och vad man kan ha den till
a2
a
y − 4 = 2 (x − a)
2
y − b4 = 2b (x − a)
y = −1
⇔
2
− b (1 +
− 2b (1 +
y = −1
3 (5)
a2
)
4
b2
)
4
=x−a
=x−a
⇔
2
2
a(4 + a ) = b(4 + b )
2
− 2b (1 + b4 ) = x − a
y = −1
Det första villkoret definiera vilket samband som måste gälla mellan tangenternas tangeringspunkter, och kan skrivas
4(a − b) = (b − a)(b + a).
så om a 6= b så gäller att b + a = −4, dvs b = −4/a. Men det betyder att tangenten i
(b, b2 /4) har riktningskoefficient b/2 = −1/(a/2), vilket betyder att den är vinkelrät mot
tangenten i (a, a2 /4), eftersom denna har riktningskoefficient a/2. Ekvationen b = −4/a
talar också om varifrån vi ska dra den andra tangenten för att skärningen ska hamna på
styrlinjen.
Anmärkning Vi har här använt analytisk geometri för att lösa geometriska problem: vi
inför ett lämpligt koordinatsystem så att vi kan ställa upp ekvationer och räkna. Det går
naturligtvis att visa påståendet rent geometriskt också – det var så de gamla grekerna
gjorde.
Parabelns optiska egenskap
– varför heter det brännpunkt?
Om P och Q är två punkter på samma sida om en rät linje, hur ska vi välja punkten R
på linjen så att summan av sträckorna P R och RQ är så liten som möjligt?
Om vi tittar i figuren till höger ser vi att följande
konstruktion ger svaret: spegla P i linjen så att vi
får punkten P 0 . Dra sedan den räta linjen P 0 Q mellan
spegelbilden och Q och kalla dess skärningspunkt med
linjen för R. Då gäller för varje annan punkt R0 på
linjen att
P R0 + R0 Q ≥ P R + RQ
eftersom P 0 Q är tredje sidan i den triangel som bildas
av P 0 R0 och R0 Q, och alltså mindre än deras summa
(se figuren).
P
Q
R
R′
Den viktiga konsekvensen av detta är följande geometriska observation: summan P R+RQ är som minst när
P′
vinkeln mellan P R och linjen, och vinkeln mellan RQ och linjen är lika stora, d.v.s. den
ingående vinkeln är lika med den utgående vinkeln. Dessa påståenden är ekvivalenta[3] .
Vi vet empiriskt[4] att för ljus gäller att när det reflekteras i en plan yta är den infallande
vinkeln lika med den utgående vinkeln, vilket betyder att ljus färdas den kortaste vägen
mellan de två punkterna, när det reflekteras i en linje.
Parabeln och vad man kan ha den till
Vi återvänder nu till parabeln. Jämför figuren till
höger med den första i föregående avsnitt. Vi ser då
att vinkeln β är lika stor som vinkeln mellan tangenten och den sträckade linjen, eftersom dessa är halva
toppvinkeln i en likbent triangel. Men den senare vinkeln är motstående vinkel till vinkeln α i figuren, så
vi har att α = β. Det betyder att om vi reflekterar en
vertikalt inkommande stråle i tangenten, så kommer
den reflekterade strålen att hamna i brännpunkten.
Alla vertikalt inkommande strålar reflekteras alltså i samma punkt.
4 (5)
α
β
Eftersom t.ex. ljus och ljud reflekteras på detta sätt, så betyder det
att ljus som kommer in parallellt med symmetriaxeln kommer att
reflekteras till brännpunkten. Omvänt, om det finns en ljuskälla i
brännpunkten kommer ljuset att lämna parabeln i form av parallella ljusstrålar.
Detta är principen bakom både parabolantenner, som samlar upp parallellt inkommande elektromagnetiska vågor till en mottagarhuvud,
och bilstrålkastare, där en glödlampa i brännpunkten genererar ljus
som reflekteras till parallellt ljus framåt.
Naturligtvis är varken parabolantennen eller billyktan en kurva, utan en två-dimensionell yta. För att
utnyttja parabelns geometriska egenskaper har man
därför konstruerat en rotationsparaboloid, vilken uppkommer genom att vi roterar en parabel längs sin
symmetrilinje. Om vi skär denna paraboloid med plan
som innehåller symmetrilinjen (som blir rotationsaxel för paraboloiden) så kommer skärningarna mellan
plan och paraboloid att vara identiska parabler vilka
alla kommer att ha samma symmetrilinje och samma
brännpunkt. Allt ljus som kommer in parallellt med rotationsaxeln kommer därför att
reflekteras till brännpunkten.
Parabeln som ett kägelsnitt
Det finns som påpekats ovan, en alternativ, geometrisk, definition
av vad en parabel är. Nämligen som en av de kurvor vi kan få
om vi skär en kon med ett plan. Figuren till höger illustrerar hur
sådana skärningar kan se ut, och en parabel får man om man skär
konen med ett plan som är parallellt med konens sida. Som sådan
ser vi att en parabel utgör en sorts övergång mellan ellipser och
hyperbler[5] , en sorts degenererad ellips eller hyperbel.
För att se att det verkligen är så att vi får en parabel när vi skär
en kon med ett plan som är parallellt med konens sida, betrakta
figuren på nästa sida. Låt θ vara vinkeln mellan planet och konens
axel och inför beteckningar x och y som i figuren (basen på det
Parabeln och vad man kan ha den till
5 (5)
lila området är alltså 2x och höjden är y).
Låt nu θ vara vinkeln mellan skärningsplanet och konens axel och låt r vara konens basradie på den höjd
där skärningens högsta punkt ligger. Vi ser då att
BM = 2y sin θ och att CM = 2r. Enligt kordasatsen gäller att
BM · CM = DM · EM,
vilket betyder att 4ry sin θ = x2 , och alltså
y=
1
x2 .
4r sin θ
Här är r, θ konstanter som bara bestäms av konen och
planet. Vi ser alltså att i det koordinatsystem vi valt
får kurvan ekvationen för en parabel med brännpunkt
i (0, r sin θ)t.
Noteringar
1. Med avståndet till linjen menas det minsta avståndet.
2. Ekvivalens? Den kvadrerade ekvationen är ekvivalent med att
p
x2 + (y − 1)2 = ±(y + 1),
men här kan vi inte använda minustecknet eftersom y ≥ 0. Så uttrycken är ekvivalent under
bivillkoret att y + 1 ≥ 0.
3. Detta kallas Herons problem
4. empiriskt=erfarenhetsmässigt
5. Ellipser och hyperbler behandlas i kapitlet Om ellipser och hyperbler
