Tilläggsanteckningar hörande till föreläsning 2 och 3

Tilläggsanteckningar hörande till föreläsning 2 och 3
(Två anmärkningar: Det som finns med här finns även i boken. Detta är inte det viktigaste utan
det som jag vill påpeka men som jag inte tagit tid på föreläsningen.)
Om mängder
Exempel på mängder av tal är t.ex. mängden av heltal Z och mängden av reella tal R. Ofta används
intervall, vilka är speciella delmängder av R.
Intervallet (1, 10) är detsamma som mängden {x ∈ R : 1 < x < 10}. Detta intervall innehåller inte
ändpunkterna och kallas därför öppet. Det är också begränsat.
Intervallet (2, ∞) = {x ∈ R : 2 < x} är också öppet men däremot inte begränsat, eftersom hur stora
värden som helst ingår.
√ √
√
√
[− 2, 2] = {x ∈ R : − 2 ≤ x ≤ 2} är ett exempel på ett slutet begränsat intervall; det är
slutet eftersom båda ändpunkterna är med.
Mängder behöver inte bestå av tal, elementen (objekten) i mängden kan vara bokstäver, personer,
färger mm. Notera att elementen inte är ordnade, så att t.ex. {1, 7, 5} och {5, 1, 7} anger precis
samma mängd. Om vi kallar den mängden M så skriver vi 7 ∈ M för att beteckna att 7 tillhör M ,
Låt V vara mängden av alla vokaler, A = {a, å, ä} och B = {a, b, c, d, e}.
− Unionen ∪ av två mängder innehåller alla element från de båda mängderna.
Exempel: A ∪ B = {a, å, ä, b, c, d, e} och A ∪ V = V .
− Snittet ∩ av två mängder innehåller de element som är gemensamt för de båda mängderna.
Exempel: A ∩ B = {a} och V ∩ B = {a, e}.
− En mängd minus \ en annan ger de element som återstår från den första mängden om man tar
bort de som även finns i den andra.
Exempel: A \ B = {å, ä} och V \ A = {e, i, o, u, y, ö}.
Om absolutbelopp
Absolutbeloppet |x| är lika med x och x är positivt och −x om x är negativt. Ett annat sätt att
säga detta är att |x| anger avståndet från origo (alltså punkten 0 på tallinjen) till x på tallinjen.
Absolutbeloppet |x − 20| anger avståndet mellan x och 20. Ty om x är större än 20 blir x − 20
avståndet mellan x och 20 och om x är mindre än 20 så är avståndet 20 − x, vilket kan skrivas
−(x − 20). I båda fallen kan detta skrivas |x − 20|.
Enligt definitionen ovan betyder |x| ≤ 5 detsamma som −5 ≤ x ≤ 5, dvs intervallet [−5, 5].
Även om vi har ett intervall som inte har 0 i mitten kan vi skriva intervallet med hjälp av absolutbelopp. Låt säga att vi har intervallet (10, 30). Det motsvarar att 10 < x < 30. 20 är det tal som ligger
i mitten av detta intervall. Vi ser att intervallet består av alla tal som ligger på avstånd mindre än
10 från talet 20. Med absolutbelopp kan detta skrivas |x − 20| < 10. (Rita tallinjen, intervallet och
mittpunkten.)
1
Om funktioner
För varje funktion finns en regel som till varje tal* i definitionsmängden ordnar ett tal* (=funktionsvärdet). Alla funktionsvärden man får utgör värdemängden.
* Mer allmänt borde det stå element här, eftersom varken definitionsmängden eller värdemängden
måste bestå av tal. Det kan även vara flera tal.
Funktioner ges ofta av matematiska formler. Här är två exempel.
− Arean Ak av en kvadrat en funktion av kvadratens sidlängd s: Ak (s) = s2 .
− Arean av en triangel At är en funktion av triangelns bas b och höjd h: At (b, h) = bh/2.
Ett exempel på en funktion som inte ges av en formel är antal invånare I i Sverige som funktion
av årtal t. Denna funktion ges lämpligen som en tabell eller ett diagram, som anger antal invånare
I(t) för olika år t.
Ett exempel där variabeln inte antar tal är är den funktion som för varje färg ger dess RGB-kod;
definitionsmängden i detta fall är alltså alla färger och värdemängden de olika RGB-koderna (som
anger hur färgen ska visas på en tv- eller dator-skärm).
Ett exempel där variabeln är ett tal, men där funktionsvärdet inte är tal är den funktion som för
varje personnummer anger om personen är en kvinna eller en man. Definitionsmängden är alla
personnummer och värdemängden är {kvinna, man}, där regeln är att undersöka om näst sista
siffran i personnumret är jämnt eller udda.
Vi kommer dock ägna oss åt funktioner givna av ett matematiskt uttryck. Inom ekonomi har man
sällan sådana funktioner a priori. Men utifrån de data man har finner man lämpliga matematiska
modeller, funktioner vilka man sedan kan analysera med matematiska metoder.
Kvadratkomplettering
Ett par exempel på kvadratkomplettering för att undersöka en andragradsfunktion.
Ex. 1. Låt f (x) = 2x2 + 6x − 4. Genom kvadratkomplettering ska vi finna symmetrilinjen för
parabeln y = f (x) samt funktionens minsta värde. (Notera att vi vet att den kommer ha ett minsta
värde pga att koefficienten för x2 är positiv.) När koefficienten för x2 inte är 1 börjar vi med att
bryta ut koefficienten för att sedan kvadratkomplettera inne i parentesen.
f (x) = 2x2 + 6x + 5 = 2 x2 + 3x − 25 = 2 (x + 32 )2 − ( 23 )2 + 52
= 2 (x + 23 )2 −
9
4
+
10
4
= 2 (x + 32 )2 + 14 = 2(x + 32 )2 +
1
2
Nu ser vi att minsta värdet antas då x = − 32 (detta motsvarar symmetrilinjen) och att det minsta
värdet är 21 ; parabeln har alltså sitt vertex i (− 32 , 12 ). Pga 2:an framför kvadraten så är denna parabel
”smalare” (den är utdragen i y-led) än parabeln y = x2 .
Eftersom det minsta värdet är
1
2
så saknar funktionen nollställen.
Ex. 2. Låt g(x) = − 31 x2 + x + 21 . Denna funktion kommer ha ett största värde pga att koefficienten för x2 är negativ (parabeln y = g(x) är ”upp-och ned”). Vi bryter ut − 13 för att sedan
kvadratkomplettera.
f (x) = − 13 x2 + x + 21 = − 13 x2 − 3x − 32 = − 31 (x − 23 )2 − ( 23 )2 − 32
= − 13 (x − 32 )2 −
9
4
−
6
2
= − 13 (x − 32 )2 −
2
15
4
= − 13 (x + 32 )2 +
5
4
Med en negativ koefficient framför kvadraten så kommer x = − 23 att ge funktionens största värde,
vilket är 54 ; parabeln har alltså sitt vertex i (− 23 , 54 ). Faktorn 23 framför kvadraten gör att denna
parabel ”bredare” (den är ihoptryckt i y-led) än parabeln y = x2 .
Vi har nytta av kvadratkompletteringen även för att bestämma funktionens nollställen.
g(x) = 0
⇔
− 13 (x + 32 )2 +
5
4
=0
⇔
(x + 32 )2 =
15
4
⇔
x+
3
2
√
=±
15
2
Lösningarna blir
√
√
3
15
−3 ± 15
x=− ±
=
.
2
2
2
(Längre än så kommer vi inte med exakt räkning, men vill man ha närmevärden kan man notera
√
√
att 15 ≈ 16 = 4.)
Om division av polynom
En kvot mellan två polynom kallas för ett rationellt uttryck, t.ex.
x2 − 4
.
x+2
Uttrycket ovan kan vi förenkla; vi kan enkelt beräkna divisionen om vi först använder konjugatregeln
i täljaren.
x2 − 4
(x + 2)(x − 2)
=
=x−2
x+2
x+2
Om vi däremot har
x2 − x − 2
(x + 1)(x − 2)
=
x+2
x+2
så är det inte lika enkelt. Det finns en metod för att beräkna att
4
x2 − x − 2
=x−3+
.
x+2
x+2
3
Denna division går inte ”jämnt ut” (detta kan jämföras med divisionen 23
5 = 4 + 5 ). Så blir det alltid
om täljaren inte innehåller de faktorer som nämnaren har. Hur man utför divisionen som gjordes
ovan, där det inte går jämnt ut, ingår inte i kursen.
Om allmänna logaritmer
Den naturliga logaritmen av x, ln x, är det tal som gör att eln x = x. Funktionen f −1 (x) = ln x är
invers till funktionen f (x) = ex .
Har vi en annan bas, säg a kan vi på motsvarande sätt definiera mer allmänna logaritmer. alogaritmen av x, loga x, är det tal som gör att aloga x = x. Funktionen f −1 (x) = loga x är invers till
funktionen f (x) = ax .
(Om ln x inte hade denna egna beteckning skulle det skrivas loge x.)
Alla räkneregler för ln gäller även loga . Förutom basen e är det ganska vanligt att man använder
basen 10 eller basen 2.
Ex. 10-logaritmer
log10 1000 = 3 eftersom 1000 = 103 .
log10 0, 01 = −2 eftersom 0, 01 = 10−2 .
3
Ofta skrivs log10 bara log eller lg.
Ex. 2-logaritmer
log2 1 = 0 eftersom 1 = 20 .
log2 2 = 1 eftersom 2 = 21 .
log2 8 = 3 eftersom 8 = 23 .
log-log-modell / linjärisering
Antag att en mängd data (xn , yn ) (n står för numret på data-punkten) tycks beskrivas ganska väl
av en potensfunktion y = Axβ , så som skissats i figuren.
Genom att logaritmera sambandet kan man införa relaterade variabler vilka uppfyller ett linjärt
samband på följande sätt.
y = Axβ
⇔
ln y = ln(Axβ )
⇔
ln y = ln A + β ln x
I sista steget ovan har två av logaritmlagarna använts. Låt nu Y = ln y och X = ln x vara nya
variabler. Då blir sambandet
Y = ln A + βX,
dvs ett linjärt samband mellan X och Y . Om man plottar punkterna (ln xn , ln yn ) kommer de därför
ligga nästan på en linje (se skissen).
För att anpassa en linje till dessa punkter kan man använda sk linjär regression. Denna metod ger
bästa möjliga värden på konstanterna ln A (skärningen med y-axeln) och β (linjens lutning).
Man säger att man har en log-log-modell eller att man linjäriserat modellen.
(Omskrivningarna ovan utnyttjar endast räknelagar som ingår i kursen, men att ha kunskap om
denna typ av linjärisering är inget som ingår. Det är dock troligt att ni senare stöter på det i
statistik-kursen.)
4