Problem

Lektion 28. Grafer och ekvationer med beloppstecken
Teoridel.
För att bilda en graf av funktion med beloppstecken ska man skriva om funktionsuttrycket som
en styckvis definierad funktion, bilda varje graf separat och har bara de delarna kvar som tillhör
det rätta intervallet.
Ifall man är säker att man kommer att få en styckvis linjär funktion, så är grafen en bruten linje.
Då räcker det att bestämma funktionens värde endast i spetsarna samt i två godtyckliga punkter:
en ska vara större än den största spetsen och en mindre än den minsta spetsen. Spetsarna svarar
mot den brutna linjens hörn.
Exempel. Bilda grafen y=3|x–7|–|5x–10|.
Lösning. Spetsarna är x=2 och x=7. Som godtyckliga punkter passar x=0<2 och x=10>7.
Värdena som en tabell
x
0
2
7
10
y
11
15
–25
–31
Vi drar en bruten linje ABCD där A(0, 11), B(2, 15), C(7, –25), D(10, –31) och förlänger
strålarna BA och CD till oändligheten.
För att lösa en ekvation på ett intervall som ej innehåller spetsar kan man förenkla
beloppsuttryck på intervallet, således omvandla ekvationen till en vanlig ekvation, lösa den och
kontrollera, att roten tillhör det rätta intervallet. .
Exempel. Lös ekvationen |5x–15|+x=21 på intervallet [4, 10].
Lösning. På det angivna intervallet är 5x–15>0, således byter man 5x–15 mot (5x–15) och får
ekvationen (5x–15)+x=21. Den har endast en lösning x=6[4, 10].
För att lösa en ekvation på den hela tallinjen löser man den på varje intervall som spetsarna
delar tallinjen i. Det går bra att bilda grafer och se på vilka intervall finns lösningarna: så slipper
man de olönsamma intervallen.
Exempel 2. Lös ekvationen 3|x–7|–|5x–10| = 2x.
Lösning. Spetsarna delar tallinjen i intervall ]-, 2[, [2, 7[ och [7, [. Ritar man graferna
y=3|x–7|–|5x–10| (en bruten linje) och y=2x (en r’t linje) så syns det att skärningspunkten finns
endast på det andra intervallet. Där skrivas ekvationen om till 3(7–x)–(5x–10)=2x som har en
lösning x=3.1
Uppgifter
Upp 1. Bilda grafer
a) y=|2x–10|
b) y=2|x–10| + x–|2x+6|
c*) y=|x2–4x|+|16–4x|
Upp 2. Lös ekvationer på intervallet [5, 9]
a) 72=3|2x+10|
b) 2|x–10| = 3x+10
Upp 3. Lös ekvationer
a) |5x–15|+x = 9
b) |x–1| + |x+1|=2x
c*) x2–5|x|+6=0
den 21 mars 2007, http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/indexsve.html