Föreläsning 6

Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 6
Innehåll: Analytisk geometri
Parabeln
Kapitel 5.1-5.3, A.1-A.4
En parabel är en kurva som i lämpligt koordinatsystem kan skrivas
y = x2 . Detta kan vi för y = ax2 + bx + c om a 6= 0:
1.
2.
3.
4.
5.
Vad är analytisk geometri?
Räta linjens ekvation
Parabler
Att räkna med absolutbelopp
Cirkelns ekvation
y = ax2 + bx + c
⇔
y = a( x + b/2a)2 + c − b2 /4a.
När har denna en maximipunkt och när har den en minipunkt? I vilken punkt antas detta extremvärde? Vilket är dess värde. Vad är villkoret för att ax2 + bx + c = 0 ska ha en lösning?
Efter dagens föreläsning måste du
- Kunna ställa upp ekvationen för en rät linje utan att använda tvåpunktsformeln
- Kunna beskriva hur grafen till funktionen ax2 + bx + c ser ut
- Hantera absolutbelopp på ett korrekt sätt
- Känna igen en cirkel på dess ekvation
Vad är analytisk geometri?
Analytisk geometri i planet innebär att man lägger in ett koordinatsystem så att olika figurer kan beskrivas med hjälp av ekvationer i
koordinaterna. Vi antar hela tiden att koordinatsystemet har vinkelräta axlar och att skalorna på de två axlarna är lika (ON-system). Det
gör det möjligt för oss att lösa geometriska problem genom att räkna
med tal. Delar av detta kommer att diskuteras mer i kursen i linjär
algebra.
Analytisk geometri uppfanns på 1600-talet av fransmannen Descarte (även kallad Cartesius). Ta som hemuppgift reda på hur den svenska drottning Kristina kommer in i detta!
Räta linjens ekvation
En rät linje L i planet bestäms av
y − y0 = k ( x − x0 )
y = x2 + 8x − 12
y = 2x + 4
.
Ger punkterna (2, 16) och (−8, −12).
Att räkna med absolutbelopp
- Generellt: | P − Q| betecknar avståndet mellan två punkter P ochQ.
- För tal betyder det att |3 − 5| är avståndet mellan 3 och 5 vilket är 2
(och inte −2)
- Det betyder också att | x | = x om x ≥ 0 men att | x | = − x om x < 0!
Detta måste man ofta använda!!!
Exempel Lös ekvationen
Det betyder att L består av alla punkter ( x, y) sådana att
⇔
(
Exempel Vilka reella tal x uppfyller | x − 4| = 3? | x − 4| > 3?
- en punkt ( x0 , y0 ) som den går igenom
- sin riktningskoefficient k.
y − y0
=k
x − x0
Exempel Att bestämma skärningen mellan parabeln y = x2 + 8x −
12 och linjen y = 2x + 4 är ekvivalent med att lösa ekvationssystemet
(Enpunktsformeln).
|2x − 1| + |2x + 1| + x = 4.
Svaret är x = 4/5 och x = −4/3.
Cirkelns ekvation
Har du lärt dig en två-punktsformel: glöm den!
Exempel Bestäm den räta linje som går genom punkterna (1, 2) och
(2, 5). Vi kan ange riktningskoefficienten på två sätt:
5−2
y−2
=
=3
x−1
2−1
⇔
y = 3x − 1.
Anmärkning Detta är egentligen tvåpunktsformeln, men gjort utan
att man använder någon formel (annat än den grundläggande karakteriseringen av en rät linje).
Normalen till en linje med riktningskoefficient k har en riktningskoefficient k1 som är sådan att k1 k = −1. Bevisas geometriskt.
Exempel Bestäm den räta linje genom (1, 5) som är vinkelrät till linjen y = 2x + 3. Svar: y = − x/2 + 11/2.
Inte alla räta linjer i planet kan skrivas y = kx + m, varför man också
har den mer allmänna formeln ax + by + c = 0. Vilka linjer är det som
inte täcks i det förra fallet?
I två dimensioner gäller att (varför?)
|( x, y)| =
q
x 2 + y2 .
Det betyder att cirkeln med medelpunkt i origo och radien 1 kan skrivas |( x, y)| = 1 som blir detsamma som x2 + y2 = 1. Kallas enhetscirkeln och blir mycket viktig snart.
Exempel Vad beskriver ekvationen
( x − 3)2 + (y + 2)2 = 4?
Vi kan skriva om den som |( x − 3, y + 2)| = 2, vilket i sin tur kan
skrivas om som |( x, y) − (3, −2)| = 2. Läser vi ut vad här står är det
alla punkter ( x, y) vars avstånd till punkten (3, −2) är 2. Det är alltså
en cirkel med medelpunkt i (3, −2) och radien 2.
Tänk på cirkeln på detta sätt!
Exempel √Bestäm ekvationen för tangenten
i punk√
√ till enhetscirkeln
√
ten (1/2, 3/2). Svaret är y = − x/ 3 + 3/2 + 1/2 3.
Att fundera på till nästa gång
- Vilken kurva beskrivs av ekvationen
x2 − 2x + y2 + 4y − 4 = 0?
I vilka punkter skär denna kurva den räta linjen y = 2x + 1?