Analytisk geometri
Analytisk geometri är en inriktning av geometri där algebraiska metoder används.
Descartes presenterade metoden år 1637. Han löste geometriska problem genom
att föra in bokstäver och ställa upp och lösa ekvationer eller ekvationssystem.
Nedan en figur ur Descartes skrift om regnbågen. Descartes lyckades i stort sett
förklara regnbågens färger genom att studera endast en regndroppe.
1.
2.
3.
Den räta linjen…………………………………………………..….
Grafisk och algebraisk lösning av ekvationssystem….
Ekvationssystem med tre obekanta(endast 2c)…..……….
2
13
21
4.
Egenskaper hos cirkeln och parabeln………………………
25
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller, geometriska konstruktioner och diagram av NilsGöran Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Analytisk geometri - 1
1 Den räta linjen
Teori ▪ Den räta linjen i parameter-, enpunkts- och
k-form. Den ortogonala linjen.
För att beskriva en rät linje behöver man en punkt på linjen och en
riktningsvektor som talar om linjens riktning.
I figuren nedan har du en rät linje. Punkten på linjen: P 0 är blå. Vektorn
OP0 är ortsvektor till linjen. Linjens riktningsvektor P0 A eller u=(a, b)
är röd till färgen. Den är dessutom lagd så att startpunkten ligger i P 0 .
Låt P vara en godtycklig rörlig punkt på den räta linjen. Det finns nu ett
tal, t, sådant att P0 P = tu.
Vanlig vektoraddition ger vektorformen för räta linjen: OP = OP0 + tu
Om vi skriver vektorformeln med koordinater får vi:
(x, y) = (x 0 , y 0 ) + t(a, b)
Alltså:
x = x 0 + t∙a och y = y0 + t∙b är parameterformen för den räta
linjen
Analytisk geometri - 2
De båda ekvationerna kan skrivas:
at x x0 och bt y y0 Detta ger abt b( x x0 ) och
abt a( y y0 ) eller b( x x0 ) a( y y0 ) .
b
Om vi dividerar bägge leden med a får vi ( y y0 ) ( x x0 )
a
[Ovanstående härledning är giltig om och endast om a är skilt från talet noll. Man kan
inte dividera ett tal med talet 0. Om t ex a = 0 duger bara parameterformen dvs x = x 0 .
Detta innebär att den räta linjen är en lodrät sådan (som går genom alla punkter med
x-koordinaten x 0 .)]
Vi ersätter uttrycket
b
(a ≠ 0) med värdet k och får
a
enpunktsformen för den räta linjen…y – y0 = k(x – x 0 )
Vi skriver detta uttryck y = kx – kx 0 + y 0 och ersätter – kx 0 + y 0 med m.
Detta ger k-formen.
k-formen för den räta linjen… y = kx + m
Om vi sätter x = 0 i k-formen för räta linjen får vi y = m vilket visar att
m är koordinaten för linjens skärning med y-axeln.
Eftersom en riktningsvektor för den räta linjen är (a, b) så blir linjen
b
k ( ) ett absolut mått på brantheten hos den räta linjen.
a
Figuren och beräkningarna nedan visar detta: Vektorn u 1 = (1, 2) visar
att a = 1 och b = 2 dvs k = 2/1 = 2. k för u 2 är 3, k för u 3 är –4, k för u 4
är –5 och k för u 5 är 6.
Analytisk geometri - 3
Om vi placerar två godtyckliga punkter (x 1 , y 1 ) och (x 2 , y 2 ) på den räta
linjen y = kx + m så är
y 1 = kx 1 + m
y 2 = kx 2 + m
Subtraktion ledvis av de två ekvationerna ger
y 2 – y 1 = kx 2 – kx 1 Þ y 2 – y 1 = k(x 2 – x 1 )
Þ k = (y2 – y1 ) /(x 2 – x 1 )
Vi kan alltså lätt rita grafen till funktioner där k-värdet är ett bråk.
2x
Låt oss rita y =
+ 1. Starta med punkten (0, 1). Från denna punkt
7
skall du gå 7 steg åt höger för att sedan klättra 2 steg uppåt.
Vinkelräta linjer
Vårt val av k innebär att istället för u = (a, b) kan vi använda riktningsvektorn (1, k) för den räta linjen.
Antag nu att den mot vår räta linje (med riktningsvektorn u) vinkelräta
linjen (med riktningsvektorn v), har k-värdet k 1 . Eftersom u och v är
vinkelräta mot varandra blir u •v = (1, k )•(1, k 1 ) = 1 + k∙k 1 = 0
För vinkelräta linjers k-värden gäller kk 1 = -1
Analytisk geometri - 4
G1.1
Ange två punkter på linjen y = 2x – 6. Ange också en
riktningsvektor till linjen.
G1.2
Bestäm den räta linjen, som går genom punkten (2, 3) och
riktningsvektor (1, 2), i parameterformen, enpunktsformen
samt k-formen.
G1.3
Ange en riktningsvektor och en normalvektor till linjen med
x 1 3t
ekvationen
y 5t
G1.4
Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan linjen
x 2 3t
x – 2y = 1 och linjen
y 1 t
Bestäm även en riktningsvektor till var och en av linjerna.
V1.5
Linjen L är vinkelrät mot linjen y = –2x – 3 samt går genom
punkten (2, 3). Bestäm ekvationen för denna linje.
Analytisk geometri - 5
Modell ▪ Rita linjära funktionsgrafer
Exempel 1
Rita graferna till de linjära funktionerna:
a) y = 2x + 1 b) y = 3x + 2 c) y = –3x – 2 d) y = –7 e) x = 6
Lösning
Den bästa metoden för att rita
grafer till funktioner är
tabellmetoden. Vi gör en tabell
för de första tre funktionerna.
x
0
2x + 1 1
3x + 2 2
–3x–2 –2
1
3
5
–5
2
5
8
–8
3
7
11
–11
I d) har y alltid värdet 7. Detta innebär att grafen är en horisontell linje
genom punkten (0, 7).
I e) har x alltid värdet 6. Detta innebär att grafen är en vertikal linje
genom punkten (6, 0).
G1.6
Genom vilken punkt på y-axeln passerar grafen till den linjära
funktionen a) y = 5x – 5 b) y = 7 – 6x c) 5x + 2y – 6 = 0?
G1.7
Vilken av följande linjära funktioners grafer är brantast?
(a) y = 3x – 6 (b) y = 4x + 9 (c) y = x +13 (d) y = -5x
Analytisk geometri - 6
G1.8
a)
b)
c)
G1.9
a)
b)
Bestäm riktningskoefficienten för en linje genom punkterna
(4, 5) och (5, 2)
(4, 3) och (7, 3)
(–1, 5) och (–3, –1)
Ligger följande tre punkter på en rät linje?
(1, 3), (2, 5) och (3,7)
(0, 5), (4, –5) och (–4, 14)
G1.10 Rita följande räta linjer utan värdetabell
a)
b)
3x
+4
2
5x
−4
y=
4
y=
c)
d)
2x
3
− 3x
−3
y=
2
y=
Fundera över detta.
• En rät linje skär x-axeln i punkten (a, 0) och y-axeln
i punkten (0, b). Visa att den räta linjens ekvation
kan skrivas x + y = 1 .
a
• Tecken för k
och m
k > 0 och m > 0
k > 0 och m < 0
k > 0 och m = 0
k < 0 och m > 0
k < 0 och m < 0
k < 0 och m = 0
k = 0 och m < 0
k = 0 och m > 0
b
Vilka kvadranter passerar funktionsgrafen
y=kx+m igenom?
Svar i detta fall: I, II, IV
Analytisk geometri - 7
Modell ▪ Räta linjer på den allmänna formen
ax + by + c = 0
Vi har sett att lodräta linjer inte kan skrivas i k-form: y = kx + m.
Om vi istället använder den allmänna formen ax + by + c = 0 så rymmer
denna form alla räta linjer.
c
• Om t ex b = 0, så får vi den lodräta linjen ax + c = 0 eller x = – .
a
• Om t ex a = 0, så får vi den horisontella linjen by + c = 0 eller
c
y=– .
b
• Om varken a eller b = 0, så får vi genom att dividera alla termerna b:
ax
c
ax c
+ y + = 0 eller y = − − som är k-formen y = kx + m.
b
b
b b
Exempel
Skriv ekvationen 3x – 5y + 12 = 0 i k-form.
Lösning
Genom att lösa ut variabeln y ur ekvationen så kan vi skriva ekvationen i
k-form: y = kx + m.
3x + 12 = 5y
Û
5y = 3x + 12
Û
y = 0,6x + 2,4 Û
3x – 5y + 12 = 0 betyder alltså en rät linje med lutningen 0,6 och
som skär y-axeln i punkten (0, 2,4).
G1.11 Rita, med hjälp av värdetabell, graferna till följande linjära
funktioner och bestäm linjernas riktningskoefficient.
a) y = 1,2x – 4
d) 10y – 8x – 30 = 0
b) 2y = 7x + 3
e) 6y + 18 = 0
c) 5y = 9x – 6
f) 2x – 12 = 0
G1.12 Vilken eller vilka av punkterna (a) – (d) ligger på den räta
linjen 2x – 3y + 7 = 0?
(a) (0, -2) (b) (1, 3)
(c) (–1, 4)
Analytisk geometri - 8
(d) (4, 5)
Modell ▪ Bestäm linjära funktioner utifrån graf eller
matematisk text
Om en linjär funktion sökes så kan du direkt göra följande ansats:
Funktionen skrivs y = kx + m.
1.
1.1
1.2
1.3
2.
Bestämning av funktionens k-värde
Antingen står k-värdet i texten
eller också beräknas k-värdet med hjälp av två par värden som hör
y − y1
samman. Då använder vi formeln k= 2
x 2 − x1
eller om sambandet ges av en graf kan k-värdet beräknas utifrån
två punkter på grafen. Ovanstående formel används.
Bestämning av funktionens m-värde. Vi tar två sammanhörande
värden (x 1 y1 ) och sätter in dessa i sambandet y = kx + m. Vi får
då y1 = k⋅x 1 + m. Detta ger m-värdet.
Exempel
För att få tillträde till ett gym måste man köpa ett kort till motionshallen
och sedan dessutom en entréavgift för varje besök. Pedro besökte motionshallen 9 gånger och fick för detta betala 235 kr. Eva fick för 15 besök
betala 325 kr. Skriv kostnaden y kr som en linjär funktion av x entréavgifter.
Analytisk geometri - 9
Lösning
Summan som Pedro och Eva betalar gäller tydligen för både entréavgifter och kort. Texten kan vidare tolkas som att 9 besök kostar 235 kr och
15 besök kostar 325 kr. Vi känner alltså till två värdepar till funktionen
y = kx + m nämligen (9, 235) och (15, 325).
y − y1
325 235
Eftersom k = 2
får vi k =
= 15 (kr/besök).
15 9
x 2 − x1
Om vi sätter in talparet (9, 235) (det går lika bra med (15, 325)) och k =
15 i antagandet: y = kx + m, får vi ekvationen:
235 = 15⋅9 + m, vilket medför m = 100.
Kostnaden y kr som funktion av x entréavgifter är y =15x + 100.
G1.13 Bestäm ekvationen för en rät linje genom angiven punkt och
a)
b)
c)
med given riktningskoefficient i följande fall
k = 3 och (1, -4)
d)
k = 1 och (0, 7)
k = –2 och (–1, 2)
e)
k = 0 och (2, -4)
k = ½ och (3, –4)
f)
k = 2/3 och (–1/2, 5/2)
G1.14 Bestäm en ekvation för en rät linje genom två punkter i
a)
b)
c)
följande fall
(6, 3) och (7, 0)
(1, 3) och (3, 5)
(6, –2) och (4, –2)
d)
e)
f)
(2, 3) och (4, 6)
(–2, 0) och (–2, 8)
(2, 1) och (–1, 3)
G1.15 Vid produktion av en vara är den fasta kostnaden 200 kr och
den rörliga kostnaden 3 kr/kg. Uttryck den totala kostnaden
som en funktion av antalet kg producerad vara.
G1.16 Bestäm de linjära funktioner f(x) = kx + m för vilka
a)
b)
c)
f(–3) = 2 och f(1) = –2
f(1) = 0 och f(3) = 2
f(2) = 1 och f(5) = 2
G1.17 För en linjär funktion är f(6) = 3,1 och f(7) = 3,9.
Bestäm f(6,4).
Analytisk geometri - 10
G1.18 Bestäm skärningspunkten med x-axeln för var och en av följande
a)
b)
c)
räta linjer.
y = 3x
y = 2x + 3
y = 2x – 2
d)
e)
y=x–3
y+x=2
G1.19 Bestäm de linjära funktioner vars grafer är åskådliggjorda nedan.
G1.20 Sambandet mellan framställningskostnaderna y kr och vikten
x kg av en vara är 4x – 5y + 200 = 0. Ange den fasta kostnaden
och den rörliga kostnaden per kg.
G1.21 Efterfrågan y st/vecka på en viss vara kan beskrivas som en linjär
funktion av priset x kr/st. Man vet att y = 7000 då x = 4,50 och
att y sjunker med 1000 då x ökas med 1,00. Ange y som en
funktion av x.
V1.22
Ett företag planerar att tillverka en ny artikel. En marknadsundersökning visar att företaget kan sälja 130 000 artiklar per
år om priset sätts till 6 kr/st, men endast 70 000 st per år om
priset är 10 kr/st. Om man antar att antalet sålda artiklar är en
linjär funktion av priset, hur stor blir då försäljningen vid ett
pris av 7,50 kr/st?
V1.23 Produktionskostnaden vid tillverkningen x kg av en vara är en
linjär funktion av x. Den fasta kostnaden är 120 kr och produktionskostnaden för 500 kg är 220 kr. Teckna genomsnittskostnaden G(x), dvs produktionskostnaden per kg, som en funktion
av x, och rita grafen med hjälpmedel i intervallet 0 < x ≤ 600.
Analytisk geometri - 11
V1.24 Rita in en fyrhörning ABCD i ett koordinatsystem så att hörnens
koordinater blir heltal. Beräkna därefter koordinaterna för varje
sidas mittpunkt E, F, G och H. Visa att EFGH är en parallellogram.
V1.25 Rita en triangel ABC i ett koordinatsystem så att hörnens
koordinater blir heltal. Ta reda på koordinaterna för sidorna
AB och AC:s mittpunkter D och E. Visa att DE är parallell
med BC.
V1.26 Bestäm ekvationen för den räta linje som är vinkelrät mot
linjen y = 2x – 5 och som passerar punkten (3, 4).
V1.27 Två trianglar är placerade i ett rätvinkligt koordinatsystem.
Den ena triangelns hörnkoordinater är (0, 0), (6, 6) och (8, –2)
och den andras är (9, 0), (12, 3) och (13, –1). Är trianglarna
kongruenta och/eller likformiga?
V1.28 En rät linje går genom punkten (2, –1) och är parallell med
linjen y = 3x + 8. Bestäm ekvationen för denna linje.
Fundera över detta.
Varför blir en ruta över vid omflyttning av färgerna?
Analytisk geometri - 12
2 Grafisk och algebraisk lösning av
ekvationssystem
Teori ▪ Ekvationssystem
Uppgift
Jadwiga som
äger en liten
väskaffär hade
köpt hem två
sorters
ryggsäckar.
De kostade
150 kr/st
respektive
230 kr/st.
Hur många av vardera slaget hade hon köpt om hon hade totalt 50 st
till en totalkostnad på 9900 kr?
Lösningsstrategi
• Uppgifter som innehåller obekanta tal kräver tydliga antaganden om
det obekanta som t ex: Antag att Jadwiga köpt hem x st ryggsäckar
som kostade 150 kr/st samt y ryggsäckar som kostade 230 kr/st.
• Nästa steg är att upptäcka relationer (ekvationer) mellan de obekanta
talen x och y samt de (fyra) bekanta talen.
Talen som anger mängd enbart ger: x + y = 50.
De tal som anger priser enbart ger: 150x + 230y = 9900.
• Hur löser man nu dessa ekvationer? Var för sig är de ej lösbara.
Ekvationen x + y = 50 kan skrivas om till y = 50 – x. Vi har hittat
ekvationen för en rät linje. En sådan ekvation har oändligt många
lösningar. Om x = 5 så är y = 45, om x = 10 så är y = 40 osv. Denna
ekvation talar alltså inte om hur många väskor av vardera slaget som
köpts in. Vi kan resonera på liknande sätt för 150x + 230y = 9900.
Om vi däremot sätter samman ekvationerna till ett ekvationssystem
Analytisk geometri - 13
x + y = 50
150 x + 230 y = 9900
så vet vi att var och en av ekvationerna i systemet kan åskådliggöras med
en graf i form av en rät linje.
Skärningspunkten mellan linjerna har en x-koordinat och en y-koordinat
vars värden satisfierar bägge ekvationerna och som därmed är ekvationssystemets lösning. Denna är därmed även lösningen på vårt praktiska
problem.
Den senast beskrivna metoden kallas grafisk lösning av ekvationssystem.
Vi såg ovan att y = 50 – x. Om detta uttryck får ersätta (=substituera) y
i den andra ekvationen, så har vi löst ekvationssystemet algebraiskt med
substitutionsmetoden.
•
Kontrollera lösningen genom att sätta in värdena i den ursprungliga
ekvationerna.
Förklara ditt svar med en fullständig mening. Ange enheter.
•
Modell ▪ Grafisk lösning av ekvationssystem
Exempel
x + y = 50
150x + 230y = 9900
Lösning
Om vi löser ut y som obekant ur de två ekvationerna så får vi
9900 150 x
y = 50 – x och y =
230
Vi gör en värdetabell för de bägge formlerna med x-värdena 0 och 50.
x
y (= 50 – x)
0 50
50 0
y (=
43,0
10,4
9900 150 x
)
230
Analytisk geometri - 14
Grafen ger skärningspunkten (20, 30)
Kontroll av lösning:
Första ekvationen i
ekvationssystemet
Andra ekvationen i
ekvationssystemet
Vänstra ledet (VL)
20 + 30
HL
VL = HL
50 Ja
150·20 + 230·30
9900 Ja
Jadwiga köpte 20 billigare och 30 dyrare ryggsäckar.
G2.1
a)
b)
Lös följande ekvationssystem grafiskt genom att ställa upp
värdetabeller och ta reda på om lösningen är exakt eller
approximativ.
y = 3x – 5
c)
y = 0,7x + 4,2
y = 10 – 2x
y = 2,4x + 7,6
y = 5x – 7
y = 3 – 2x
d)
y = 6,6 – 5,3x
y = 7x – 18
Analytisk geometri - 15
V2.2
a)
b)
V2.3
a)
b)
c)
Lös följande ekvationssystem grafiskt.
x+y–1=0
2x – y – 11 = 0
2x + 7y – 3 = 0
x – 3y + 5 = 0
Hitta på ett eget ekvationssystem med linjära ekvationer där
den ena räta linjen är dubbelt så brant som den andra
den ena linjen lutar åt höger och den andra åt vänster
den ena linjen är lodrät.
Modell ▪ Substitutionsmetod för ekvationssystem
Exempel
Lös ekvationssystemet
x + y = 50
150x + 230y = 9900
Lösning
Välj en variabel som verkar lätt att lösa ut. Eftersom koefficienterna för
x och y i den första ekvationen är 1 så väljer vi att lösa ut y ur denna
ekvation och får:
y = 50 – x …(F)
Om vi ersätter y i den andra ekvationen med 50 – x får vi:
150x + 230(50 – x) = 9900
150x + 11500 – 230x = 9900
11500 –9900 = 80x
1600 = 80x
x = 20.
Detta värde på x i formeln (F) ger y = 30 .
Analytisk geometri - 16
G2.4
a)
b)
c)
G2.5
a)
b)
c)
d)
Lös följande ekvationssystem exakt.
y = 3x –8
y = 5x – 12
y = 2x + 7
y = 5x – 2
y = 6 – 3x
y = 2x + 11
Lös ekvationssystemen exakt med substitutionsmetoden.
3x – 2y = 5
7x – 10y = 1
5x + y = 7
e)
x – 3y +7 = 0
3y – 4x = 2
2x + 2y – 3 = 0
2x + 3y = 8
f)
6x + 6y –7 = 0
4x + y = -4
x – 4y +1 = 0
4x – 3y = 1
g)
3x – 4y – 4 = 0
6x – 5y = 0
7x – 5y – 23 = 0
G2.6
Formeln C = a + b·F anger sambandet mellan grader Fahrenheit, F, och grader Celsius, C. Bestäm den linjära funktionen
om 0°C = 32°F och 100°C = 212°F.
G2.7
En medicinflaska innehåller 2000 mg och skall användas till två
doseringar var för två personer. Den ene patientens dos är 600
mg större än en den andres. Hur stora är de två personernas
doser?
G2.8
Ett mobiltelefonföretag har ett kontantkort utan bindningstid.
Kortet kan laddas med en viss mängd samtalstid. Under dagtid
är samtalstaxan 0,60 kr/minut. Kontantkorten har ingen fast
månadsavgift. Samma företag har även ett abonnemang där man
debiterar kunden 0,53 kr per minut under dagtid, men där tillkommer en månadsavgift på 70 kr. Efter hur många minuters
samtalstid under dagtid en månad är kontantkortet olönsamt?
G2.9
En rektangel har omkretsen 64 cm och arean 231 cm2. Beräkna
längden av sidorna i rektangeln.
V2.10 Bestäm talen a och b så att (2, -1) är en lösning till ekvationssystemet y = ax2 + bx – 5
y = bx2 + ax
Analytisk geometri - 17
V2.11
En utombordsmotor använder ett bränsle som till 15 delar skall
vara bensin och till en del olja. Hur mycket bensin måste tillföras en bränsleblandning som innehåller 75% bensin för att få
8,0 liter bränsle som duger till motorn?
V2.12 En färja kan frakta antingen 10 bilar eller 6 truckar.
Den får av säkerhetsskäl
inte frakta bilar och truckar
samtidigt. Färjan kör 5
fullastade turer över en
flod. Totalt fraktades på
detta sätt över 42 bilar och
truckar. Hur många bilar
fraktades över på dessa 5
turer?
V2.13 En handlare har två sorters kaffe, den ena till 13 kr 50 öre och den
andra till 10 kr 50 öre per kg. Han vill av dessa göra en blandning,
som väger 50 kg och som kan säljas för 11,30 kr/kg. Hur mycket
skall han för detta ändamål ta av vardera sorten? (vt 1907)
V2.14 Åsa och Torbjörn arbetar på en sommarkoloni. Barnen på
kolonin serveras mellanmjölk (fetthalt 1,5 %) till måltiderna.
En dag får de en felaktig leverans som bara innehåller lättmjölk
(fetthalt 0,5 %) och standardmjölk (fetthalt 3 %). De beslutar
sig därför att blanda dessa båda sorter. Åsa skriver följande på
en lapp: a liter lättmjölk och b liter standardmjölk
a + b = 10
(1)
0,005a + 0,03b = 0,015 ⋅10
(2)
a) Förklara vad ekvation (1) beskriver.
b) Förklara vad ekvation (2) beskriver.
c) Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda? (NpB ht 98)
V2.15 Antag att utbudet och efterfrågan av en artikel vid priset 3 kr/st
är 30000 respektive 100000 st och vid priset 6 kr/st är 90000
respektive 50000 st. Antag vidare att utbudet och efterfrågan är
linjära funktioner av priset. Vid vilket pris är utbudet och
efterfrågan lika stora?
Analytisk geometri - 18
V2.16 Tallboda IF, som vann division 5 i Östergötland hösten 2000,
spelade 22 matcher, varav de förlorade 4. Hur många matcher
vann Tallboda IF och hur många spelade de oavgjort om de
fick sammanlagt 48 poäng? Ett lag får 3 poäng för varje vinst
och 1 poäng vid oavgjort.
V2.17 A boat took 2 h to travel a certain distance upstream against a
3km/h current. Returning downstream with the same current, the
boat travelled an additional 2 km in 1 h 20 min. What was the
boat's speed? How far did the boat go upstream?
V2.18 Av två hjul, vilkas kuggar griper in i varandra, gör det ena 9
varv då det andra gör 4. Då det första gjort 16 varv fattas det 5
kuggar för att det andra skall ha gjort 7. Beräkna antalet kuggar
på de två hjulen.
Analytisk geometri-19 Additionsmetoden
Analytisk geometri - 19
Analytisk geometri-20 System med linjära olikheter
Analytisk geometri - 20
3 Ekvationssystem med tre obekanta
(endast 2c)
Modell ▪ Ekvationssystem med tre obekanta
Vi har tidigare representerat ekvationer med två obekanta variabler som
räta linjer. Ekvationssystemet av två sådana ekvationer kan betyda skärningen av dessa två linjer, dvs en punkt. Det finns ytterligare två möjligheter, vilka?
En ekvation med tre variabler betyder ett plan i den tredimensionella
rymden. Detta innebär att ekvationssystemet mellan två sådana ekvationer
kan betyda skärningen av dess två linjer, dvs en rät linje. (Figuren till
höger nedan.) Det finns ytterligare två möjligheter, vilka?
Vidare slutsatser, ekvationssystemet mellan tre sådana ekvationer kan
betyda skärningen av dessa tre plan, dvs en punkt. (Figuren till höger
ovan.) Det finns ytterligare två möjligheter, vilka?
I detta modellavsnitt skall vi bara intressera oss hur man löser ekvationssystem med tre obekanta, även om diskussionen ovan säger något om
den geometriska tolkningen.
Bästa metoden att lösa ekvationssystem med tre obekanta är att använda
additionsmetoden tre gånger.
Analytisk geometri - 21
Exempel 1 och lösning
Lös ekvationssystemet
x y 3z 8
2 x 3 y z 1
3 x 6 y z 9
Använd nu additionsmetoden för ekvationerna två och två.
x y 3z 8
2 x 3 y z 1
3 x y 2 z 9
7 x 5 y 11
5 x 10 y 5
1
2 -3
1
2
1
9 x 27 vilket ger x 3
vilket ger (insatt i röd ekvation) y 2 vilket ger (insatt i blå ekvation) z 1
Exempel 2 och lösning
Lös ekvationssystemet
x y 3z 8
2 x 2 y 6 z 1
3 x 6 y z 9
Använd nu additionsmetoden för ekvationerna två och två.
x y 3 z 8
2 x 2 y 6 z 1
3 x y 2 z 9
1
-2
2
-1
0 x 0 y 0 z 16 Eftersom 0 16 finns ingen lösning.
Detta betyder två parallella plan
5x 10 y 5 Detta är en rät linje y 0,5 x 0,5. Det betyder
att de två planen skär varandra längs den räta linjen.
Analytisk geometri - 22
x y 3z 12
G3.1 Lös ekvationssystemet 2 x 3 y z 1
3 x 6 y 2 z 9
x y 3z 0
G3.2 Lös ekvationssystemet 7 x y 14 z 1
3 x 6 y 12 z 0
x 5 y z 12
G3.3 Lös ekvationssystemet 2 x 2 y z 1
3 x 6 y 2 z 9
G3.4
3x 3 y z 1
Lös ekvationssystemet
3 x y 2 z 2
x 2 y 3z 3
G3.5
x y z 13
0
3 4 2 2
x y z
Lös ekvationssystemet 4 0
2 3 4
x y z 5
0
4 2 3 2
G3.6
Åke har ärvt 500 000 kr och placerade dessa pengar i tre olika
banker, TorSpar, FrejaSpar och OdinSpar. Efter ett år fick han
en ränta på sina tre placeringar. TorSpar betalade 6,0%,
FrejaSpar 5,0% och OdinSpar 4,5%. Den totala räntan för de
tre placeringarna var 32500. Åke placerade 100000 kr mer i
FrejaSpar än i OdinSpar. Vilka belopp satte Åke in på de olika
bankerna?
G3.7
Vilken är den cirkel som går genom punkterna (1, 1),
(2, -4) och (5, 5) om cirkelns ekvation kan skrivas
x2 + y2 + Ax + By + C = 0?
Analytisk geometri - 23
G3.8
Det såldes 500 biljetter till musikkonsert. Biljetterna till vuxna
såldes för 200 kr styck. Barnbiljetter kostade bara 100 kr/st. De
mest gynnade var seniorerna som betalade 75 kr/st. Det såldes
dubbelt så många vuxenbiljetter som barnbiljetter. Hur många
biljetter av varje slag såldes? (Inget svar ges!)
G3.9
Strömstyrkorna i ett elektriskt system ges av ett linjärt ekvationssystem
där I1, I 2 och I 3 är strömstyrkorna mätta i ampere. Beräkna dessa.
I1 2 I 2 I 3 0, 425
3 I1 I 2 2I 3 2,225
5I1 I 2 2 I 3 3,775
V3.10 Bestäm koefficienterna till följande obalanserade kemiska
a)
b)
formler:
C 2 H8 N 2 + N 2O4 ¬ N 2 + CO2 + H2O
C 2 H5OH +O2 ¬ CO2 +H2O
Analytisk geometri - 24
4 Egenskaper hos cirkeln och parabeln
Teori ▪ Cirkel och parabel. Hypotesen om B 2 – 4AC
(endast kurs 2c)
Om en cirkel har sin medelpunkt i punkten (a, b)
[i figuren (-1, 3)] och dess
radie är r [i figuren = 2] så
gäller: ”kvadraten på avståndet
från alla punkter (x, y) på
periferin är lika med radien i
kvadrat”. Cirkelns ekvation:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 [i figuren
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 4 eller
förenklat med kvadreringsregeln
x2 +2x + y2 – 6y + 6 = 0]
[Analytisk geometri-25 Definitionsmängd och värdemängd till
cirkel]
Om vi utvecklar cirkelns ekvation får vi enligt kvadreringsregeln:
x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2by + b 2 = r 2 ⇒ x 2 + Dx + y 2 + Ey + F = 0
Man kan fundera över vilka kurvor som vi får av det generella andragradsuttrycket genom att komplettera uttrycket med de termer och
koefficienter som fattas dvs A, Bxy, C:
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =
0
En sak är klar, uttrycket är en ekvation för cirklar om A = C och B = 0
Vi ställer upp hypotesen om B2 – 4AC som vi inte bevisar.
•
•
Om B2 – 4AC > 0 är kurvan en hyperbel (som vi återkommer till i
kurs 3) som ekvationen x2 – y2 = 4
Om B2 – 4AC = 0 är kurvan en parabel y = x2
Analytisk geometri - 25
Om B2 – 4AC < 0 är kurvan en ellips med specialfallet cirkel när
A = C som x2 +2x + y2 – 6y + 6 = 0 i figuren ovan.
Om du vill se fler exempel på hypotesen om B2 – 4AC, använd
[Analytisk geometri-26 Den allmänna andragradsekvationen]
•
Om du vill studera ellipsens egenskaper, använd GeoGebraapplikationen:
[Analytisk geometri-26 Konstruktion av en ellips]
Alla punkter på parabeln har samma avstånd till en styrlinje med
ekvationen y = –p och punkten (0, p).
Detta innebär y – (–p) = [(x – 0)2 + (y – p)2 ]1/2 som förenklas till:
(y + p)2 = [(x – 0)2 + (y – p)2 ] (med kvadrering)
y2 + 2py + p2 = x2 + y2 – 2py + p2 ] (med utveckling av kvadrater)
4py = x2 (Vi kan skymta det bekanta y = x2 i uttrycket.)
(Vilket värde har B2 – 4AC? Stämmer det med vår hypotes?)
[Analytisk geometri-26 Parabel – Vertex – Styrlinje]
[Analytisk geometri-26 Fontän – Parabel]
Analytisk geometri - 26
G4.1 Vilken radie och medelpunkt har cirkeln x2+ y2+ 14x – 6y +45 = 0?
G4.2 Endast halvcirkeln y = 9 − x 2 är en funktion. Varför är inte
hela cirkeln en funktion? Bestäm definitionsmängd och
värdemängd till halvcirkeln.
G4.3 Bestäm definitionsmängd och värdemängd till halvcirkeln
y = 2 + 16 − ( x − 1) 2 .
G4.4 Bestäm skärningspunkterna mellan kordan x = 3 och cirkeln
x2 + y2 + 4x – 6y = 16.
G4.5 Vilka nollställen har cirkeln x2 + y2 – 4x – 8y + 3 = 0?
G4.6 Om p = 1/4 så får vi parabeln y = x2 med vertex i punkten (0, 0).
I vilken punkt ligger vertex till parabeln (y – 2) = (x – 3)2?
G4.7 I vilken punkt ligger vertex till parabeln y = x2 – 6x + 10?
G4.8 Cirklarna x2 + y2 + 20x – 6y = –105 och x2 + y2 + 10x – 6y = –25
tangerar varandra. På vilket avstånd från varandra befinner sig
deras centra?
G4.9 Vilken cirkel går genom punkterna (2, 0) och (4, 0) samt
tangerar y-axeln?
V4.10 Finn en algebraisk metod för att visa att den räta linjen
y = –x – 2 är tangent till cirkeln x2 + y2 + 16x – 4y + 60 = 0?
V4.11 Beskriv vad figuren nedan visar, inga bevis behövs.
Analytisk geometri - 27
Modell ▪ Värdemängd och vertex samt nollställen
till parabeln med hjälp av symmmetrilinje
Exempel
Bestäm värdemängden till funktionen y = 2x2 - 4x – 3 samt dess
nollställen.
Lösning:
Vi utnyttjar en egenskap hos andragradsfunktioner som vi inte bevisar
här. Dessa funktioner har grafer som är symmetriska kring en lodrät
linje. Detta innebär att den har oändligt många parvisa x-värden med
samma y-värde. Undantaget är antingen det minsta eller det största
värdet till funktionen.
Vi kan alltid skriva om en andragradsfunktion enligt följande modell:
y = x(2x – 4) – 3 (Vi bryter ut x ur de två termer som innehåller x)
Vi ser att för x = 0 och (2x – 4) = 0, dvs x = 2, är y = -3. Vi har alltså
hittat ett par x-värden med samma y-värde, nämligen paret x 1 = 0 och
x 2 = 2. Eftersom alla y-värden finns i par, så måste det största eller minsta
värdet befinna sig mittemellan x 1 = 0 och x 2 = 2 nämligen x =1.
Vi undersöker symmetrin kring x = 1 med hjälp av en värdetabell.
x –2 –1 0 1 2 3 4
y 13 3 –3 –5 –3 3 13
Grafen till funktionen y = 2x2 – 4x – 3 ger värdemängden y ≥ –5 (och
vertex i punkten (1, –5) ty man kan få hur stora y-värden som helst
genom att välja x-värden på allt längre avstånd från symmetrilinjen
x = 1.
Analytisk geometri - 28
Att bestämma nollställena till en funktion är detsamma
som att finna lösningarna till
ekvationen f(x) = 0.
2x2 – 4x – 3 = 0
x2 - 2x - 1,5 = 0
x =1 ± 1 + 1,5
x = 1 ± 1,58
x 1 = 2,58
x 2 = -0,58
Andragradsfunktionens värdemängd är y ≥ -5 och funktionens
nollställen är x 1 = 2,58 och x 2 = -0,58
G4.12 Bestäm värdemängden till följande andragradsfunktioner.
a)
y = 3x 2 + 6 x − 7
f)
y = − x 2 − x − 11
b)
y = −2 x 2 + 4 x + 2
g)
y = (x – 5)(x – 9)
c)
y = x − 2x + 3
h)
y = (x + 2)(x – 6)
d)
y = x − 30 x − 17
i)
y = –(x – 2)(x – 8)
e)
y = x − x2
2
2
Analytisk geometri - 29
Facit
x 2 t
1.2 y – 3 = 2(x – 2); y = 2x – 1;
y 3 2t
1.3 Riktningsvektor = (-3, 5) och en normalvektor = (-5, -3)
x 2 3t
1.4 Ekvationssystemet mellan x – 2y = 1 och
y 1 t
x 2 3 1
Ger (2 + 3t) – 2(1 + t) = 1 vilket ger t = 1 vilket ger
y 1 1
Alltså blir skärningspunkten (5, 2)
Om vi sätter x = t i ekvationen x – 2y = 1 får vi t – 2y = 1 vilket ger
x t
y 0,5 0,5t
Alltså blir riktingsvektorerna för de två linjerna (1, 0,5) samt (3, 1)
1.5 k för linjen L är 0,5. Alltså blir linjens ekvation med enpunktsformen
y – 3 = 0,5(x – 2) eller y = 0,5x – 2
1.6 a) (0, –5) b) (0, 7) c) (0, 3)
1.7 (d)
1.8
a)
5−2
= −3
4 −5
b) 0
c) 3
1.9
Om k-värdet för linjen genom den första och andra punkten har samma värde som kvärdet genom den andra och tredje punkten, så ligger punkterna på samma linje.
7 5
53
a) k =
1 . Punkterna ligger ej på samma linje.
2 och k =
2 1
3 1
5 5
5
14 (5)
19
b) k =
och k=
. Punkterna ligger ej på samma
4 0
2
4 4
8
linje.
1.10
Analytisk geometri - 30
1.11
a) y = 1,2x – 4. Alltså är k = 1,2.
b) y = (7x + 3)/2. Alltså är k = 7/2.
c) y = (9x – 6)/5. Alltså är k = 9/5.
d) y = (8x + 30)/10. Alltså är k = 0,8.
e) y = 0x – 3. Alltså är k = 0.
f) x = 3 för alla y. Alltså saknas k-värde.
1.12
a) 2⋅0 – 3⋅(-2) + 7 = 13
b) 2⋅1-3⋅3 + 7 = 0
c) 2⋅(-1) - 3⋅4 + 7 = -7
d) 2⋅4 -3⋅5 + 7 = 0
Alltså ligger punkterna b) och d) på linjen.
1.13
a) Antag att y = kx + m vilket ger –4 = –3⋅1 + m,
m = -7. Alltså är y = –3x + 21 .
b) Antag att y = kx + m vilket ger 2 = -2⋅(-1) + m,
m = 0. Alltså är y = -2x.
c) Antag att y = kx + m vilket ger –4 = (1/2)⋅3 + m
m = -5,5 Alltså är y = x/2 – 5,5.
d) Antag att y = kx + m vilket ger 7 = 1⋅0 + m,
m = 7. Alltså är y = x + 7 .
e) y = -4
f) Antag att y = kx + m vilket ger 5/2 = (2/3)⋅(-1/2) + m,
m = 17/6. Alltså är y = 2 x/3 + 17/6.
1.14
0−3
= −3 . Antag att y = kx + m vilket ger 3 = (-3)⋅6 + m
7−6
som ger m = 21. Alltså är y = -3x + 21 .
5−3
b) k =
= 1 , vilket ger y = x + 2 .
3 −1
−2 + 2
c) k =
= 0 , vilket ger y = -2.
4−6
6−3
= 1,5 vilket ger y = 1,5x.
d) k =
4−2
8−0
e) k =
= 8/0. Det finns inget k-värde. Den räta linjen är x = -2 .
−2 + 2
3 −1
f) k =
= −2 / 3 , vilket ger y = -2x/3 + 7/3 .
−1 − 2
a)
k=
1.15 y = 3x + 200
Analytisk geometri - 31
1.16
2 2
1 , vilket ger y = -x – 1 .
1 (3)
2 0
b) k =
1 , vilket ger y = x –1.
3 1
2 1 1
c) k =
, vilket ger y =x/3 + 1/3 .
52 3
3,9 3,1
1.17 k =
0,8 vilket ger f(x) = 0,8x – 1,7 .
76
Alltså är f(6,4) = 0,8⋅6,4 – 1,7 = 3,42.
a)
k=
1.18
a) Om y = 0 så är x = 0.
b) Om y = 0 så är x = -3/2.
c) (1, 0)
d) (3, 0)
e) (2, 0)
1.19
a) k = -1 och P:(0, -6), vilket ger y = -x – 6 .
b) k = -2/6 och P:(0, 4), vilket ger y = -x/3 + 4 .
c) k = 3/2 och P:(0, 3), vilket ger y = 3x/2 + 3 .
d) k = 5/3 och P:(0, -2), vilket ger y = 5x/3 – 2 .
e) y = 5
1.20
Sambandet kan skrivas: y = 0,8x + 40.
Alltså är den rörliga kostnaden 0,8 kr/kg och den fasta kostnaden 40 kr .
1.21
Värdeparen (4,50; 7000) och (5,50; 6000) definierar den linjära funktionen.
6000 7000
k=
1000 . Antag att y = kx + m.
5,5 4,5
Alltså är 7000 = -1000⋅4,5 + m vilket ger m = 11500.
Den linjära funktionen är y = -1000x + 11500.
1.22
Värdeparen (6, 130000) och (10, 70000) definierar den linjära funktionen.
Alltså är f(x) = -15000x + 220000.
Alltså är f(7,50) = 107500.
Försäljningen blir 107500 stycken.
Analytisk geometri - 32
1.23
Antag att totalkostnaden är T(x) = kx + 120.
Alltså är 220 = 500k + 120 vilket ger k = 0,2.
Detta ger en genomsnittskostnad G(x) enligt formeln:
G(x) = (0,2x + 120)/x.
G(x) = 0,2 + 120/x
1.24
EFGH är en parallellogram, om k-värdena för EF och GH är lika.
Samma sak skall gälla för EH och FG.
1.25
Visa att k-värdena för EF och HG är lika. Likaså för EH och FG
1.26
Den mot y = 2x – 5 vinkelräta linjen har k-värdet –1/2.
Antag att dess ekvation är y =-x/2 + m.
Alltså är 4 = 3·(-1/2) + m vilket ger m = 11/2.
Normalens ekvation är y = -x/2 + 11/2.
1.27
Trianglarna är likformiga. Detta kan du visa, (just i detta fall men inte alltid, varför?)
genom att visa att sidorna parvis har samma k-värden.
1.28
Den räta linjens ekvation är y = 3x + m eftersom den är parallell med linjen y = 3x + 8
som har k = 3. Alltså gäller: -1 = 3⋅2 + m vilket medför m = -7.
Linjens ekvation är y = 3x – 7.
2.1a)
x
3x - 5
10 – 2x
0
5
3
-5
10
4
10
0
4
Analytisk geometri - 33
Vi ritar de två linjerna med de två första punktparen.
De räta linjerna tycks skära varandra i punkterna (3, 4).
Vi sätter in x-värdet 3 i tabellen och kollar om y-värdena blir 4.
Det stämmer. Lösningen (3, 4) är en exakt lösning.
2.1b) (1,4; 0,1) är en grafisk men ej exakt lösning.
2.1c)
(-2, 2,8) är en grafisk och exakt lösning.
2.1d)
(2, -4) är en grafisk och exakt lösning.
2.2
a) Värdetabell och inprickning av talparen i ett koordinatsystem ger lösningen(4, -3).
Analytisk geometri - 34
b) Värdetabell och inprickning av talparen
i ett koordinatsystem ger lösningen (-2, 1).
2.4
a) Substitution ger 3x – 8 = 5x – 12 som medför
x = 2 och y = -2.
b) Substitution ger 2x + 7 = 5x – 2 som medför
x = 3 och y = 13.
c) Vi får 6 – 3x = 2x + 11 som medför
x = -1 och y = 9 .
2.5
a) Den första ekvationen i systemet ger y = 3x/2 – 5/2.
som insatt i den andra ekvation medför 7x – 10(3x/2 –5/2) = 1
som förenklas till 7x –15x + 25 = 1 som ger x = 3 och y = 2 .
b) Den första ekvationen i systemet ger y = 7 – 5x.
som insatt i den andra ekvation medför 3(7 – 5x) – 4x = 2
som förenklas till 21 – 15x – 4x = 2 som ger x = 1 och y = 2 .
c) Den andra ekvationen i systemet ger y = -4 – 4x.
som insatt i den första ekvation medför 2x + 3(-4 – 4x) = 8
som förenklas till 2x – 12 – 12x = 8 som ger x = -2 och y = 4 .
d) Den andra ekvationen i systemet ger y = 1,2x.
som insatt i den första ekvation medför 4x – 3,6x = 1
som förenklas till 4x –3,6x = 1 som ger x = 2,5 och y = 3 .
e)
Den första ekvationen i systemet ger x = 3y – 7.
som insatt i den andra ekvation medför 2(3y – 7) + 2y – 3 = 0
som förenklas till 8y – 17 = 0 som ger y = 17/8 och y = -5/8
f)
Den andra ekvationen i systemet ger x = 4y – 1.
som insatt i den första ekvation medför 6(4y – 1) + 6y – 7 = 0
som förenklas till 30y – 13 = 0 som ger y = 13/30 och y = 11/15 .
g)
Den andra ekvationen i systemet ger y = 1,4x – 4,6.
som insatt i den första ekvation medför 3x – 4(1,4x – 4,6) – 4 = 0
som förenklas till 3x –5,6x + 18,4 - 4 = 0 som ger x = 72/13 och y = 41/13 .
Analytisk geometri - 35
2.6
Eftersom sambandet är C = a + bF får vi ekvationssystemet
0 = a + 32b
100 = a + 212b.
Alltså är a = –32b som insatt i den andra ekvation ger ekvationssystemet
100 = -32b + 212b
180b = 100
b = 100/180 = 5/9 vilket medför a = -32⋅5/9 = -160/9.
160 x 5
Sambandet mellan C och F är C =
.
9
9
2.7
Antag att de två doserna är x mg och y mg.
Alltså får vi ekvationssystemet
2x + 2y = 2000
x = y + 600.
Om den andra ekvationens x-värde sätts in i den första ekvationen får vi
2(y + 600) + 2y = 2000.
4y = 800
y = 200 Patienterna får doserna 200 och 800 mg.
2. 8
De båda linjära funktionerna för kontantkorten är
y = 0,6x
y = 0,53x + 50.
För det antal minuters samtal då abonnemang är likvärdigt med telefonkort gäller:
0,6x = 0,53x + 70.
0,07x = 70
x = 1000 Efter 100 0 minuters samtal är kontantkortet det sämre alternativet.
2.9
Antag att triangelns sidor är x och y cm.
2x + 2y = 64 och xy = 231
Detta ekvationssystem medför y = 32 – x
som insatt i den andra ekvationen ger x(32 – x) = 231.
32x – x2 = 231
x2 – 32x + 231 = 0
x = 16 ± 256 − 231 = 16 ± 5
x 1 = 21 eller x 2 = 11.
För x 1 = 21 får vi y 1 = 11 och för x 2 = 11 får vi y 2 = 21.
De två lösningarna ger alltså ”samma” rektanglar.
Rektangelns sidor är 21 och 11 cm.
Analytisk geometri - 36
2.10
Om (2, -1) är en lösning så skall detta talpar satisfiera ekvationssystemet
-1 = 4a + 2b – 5
-1 = 4b + 2a.
⇔
4a + 2b = 4
a = -2b – 1/2
⇔
4(-2b – 1/2) + 2b = 4
a = -2b – 1/2
⇔
b = -1 och a = 1,5.
2.11
Antag att bränsleblandningen från början är x liter och att man tillför y liter bensin.
x+y=8
0,75x + y = 15(x+y)/16
⇔
y=8–x
12x/16 + y = 15(x+y)/16
⇔
y=8–x
y = 3x
⇔
8 – x = 3x
y = 3x
⇔
x=2
y=6
Man måste till den ursprungliga bränsleblandningen på 2 liter tillföra 6 liter bensin.
2.12
Antag att den går x turer med bilar och y turer med truckar.
x+y=5
10x + 6y = 42
Den första ekvationen i systemet ger x = 5 – y
som insatt i den andra ekvation ger 10(5 – y) + 6y = 42
som förenklas till 4y – 8 = 0 som ger y = 2 och x = 3.
Färjan kör 3 turer med bilar och 2 turer med truckar.
2.13
Antag att handlaren tar x kg av den dyrare och y kg av den billigare.
x + y = 50
13,5x + 10,5y = 11,3(x + y)
⇔
y = 50 – x
2,2x – 0,8y = 0
Analytisk geometri - 37
Den första ekvationen i systemet ger x = 50 – y
som insatt i den andra ekvation ger 2,2(50 – y) – 0,8y = 0
2
1
som förenklas till 110 – 3y = 0 som ger y = 36 och x = 13 .
3
3
2
1
Han bör ta 36 kg av den billigare sorten och 13 kg av den dyrare.
3
3
2.14
(1) beskriver att man blandat a liter lättmjölk och
b liter standardmjölk till en mängd på 10 liter.
(2) beskriver att mängden fett från lättmjölk och
från standardmjölk tillsammans motsvarar
fetthalten från 10 liter mellanmjölk.
a + b = 10
0,005a + 0,03b = 0,015⋅10
Den första ekvationen i systemet ger a = 10 – b
som insatt i den andra ekvation ger 0,005(10 – b) + 0,03b = 0,15
som förenklas till 0,025b = 0,1 som ger b = 4 och a = 6.
Åsa och Torbjörn skall blanda 6 liter lättmjölk och 4 liter standardmjölk.
2.15 Antag att efterfrågefunktionen och utbudsfunktionen är
E(x) = ax + b och U(x) = cx + d som ger ekvationssystemet:
30000 = 3c + d
100000 = 3a + b
90000 = 6c + d
50000 = 6a + b.
Vi får om vi löser ut d och b ur de fyra ekvationerna och sätter resp. uttryck lika:
30000 – 3c = 90000 – 6c
100000 – 3a = 50000 – 6a.
Alltså är 3c = 60000 vilket medför c = 20000
samt 3a = -50000 vilket medför a = -50000/3 .
Om vi sätter in dessa värden i de två första ekvationerna får vi:
30000 = 60000 + d dvs d = -30000 och
100000 = -50000 + b dvs b = 150000 .
Alltså E(x) = -50000x/3 + 150000 och U(x) = 20000x –30000.
Det pris p som efterfrågas ger ekvationen E(p) = U(p) som ger ekvationen:
-50000p/3 + 150000 = 20000p –30000. ⇔ -5p/3 + 15 = 2p – 3 ⇔
⇔ -5p + 45 = 6p – 9 ⇔ 11p = 54 ⇔ p = 54/11 ≈ 4,90
Vid priset 4,90 kr/st är utbudet lika med efterfrågan.
2.16 Antag att Tallboda IF vann x matcher och förlorade y.
x + y + 4 = 22 och 3x + y = 48. Ekvationssystemet ger x = 15 och y = 3.
Tallboda IF vann 15 matcher och spelade oavgjort i 3.
Analytisk geometri - 38
2.17 Antag att båtens fart är x km/h och att den gick uppströms y km.
y = 2(x – 3)
y + 2 = 4/3( x + 3)
⇔
y = 2x – 6
y = 4x/3 + 2
Alltså är 2x – 6 = 4x/3 + 2 vilket ger 2x/3 = 8 eller x = 12.
Om x = 12 så är y = 18.
Båten gick uppströms 18 km med farten 12 km/h.
2.18 Antag att antalet kuggar är x och y vilket ger ekvationssystemet
9x
y
9 x 4 y
x 20
4
Antalet kuggar är 20 och 45 st
7 9 x y 45
16 x 5 7 y
16 x 5
4
3.1 Använd additionsmetoden för ekvationerna två och två.
x y 3 z 12
2 x 3 y z 1
3 x 6 y 2 z 9
2
1
3
1
5 x 10 z 35
7 x 7
x 1 Insättning i röd ekvation ger: z 3 Insättning i blå ekvation ger: y 2
3.2 Använd additionsmetoden för ekvationerna.
x y 3z 0
7 x y 14 z 1
3 x 6 y 12 z 0
45 x 96 z 6
8 x 17 z 1
6
1
1
1
-8
45
45 (8)x 96 (8)z 6 (8)
8 45 x 17 45z 1 45
3 z 3 vilket ger z 1 vilket ger x 2 vilket ger y 1
Analytisk geometri - 39
3.3 Använd additionsmetoden för ekvationerna.
x 5 y z 12
2 x 2 y z 1
3 x 6 y 2 z 9
3 x 3 y 11
x 10 y 11
1
2 1
-1
1
-3
33 y 44 vilket medför y 4 / 3 vilket medför x 7 / 3 vilket medför z 3
3.4
3.5
x 2
y 2
z 1
x 6
y 6
z 12
3.6 Använd additionsmetoden för ekvationerna två och två.
x y z 600000
0,06 x 0,05 y 0,045z 32500
y z 100000
0,01 y 0,015z 3500
y z 100000
2
-1
-0, 06
1
100
1
2,5z 250000 vilket medför z 100000 vilket medför y 200000 vilket medför x 300000
3.7 Vi sätter in punkternas koordinater i cirkelekvationen:
1 1 A B C 0
A B C 2
1
4 16 2 A 4 B C 0 2 A 4B C 20 -1 -1
25
25
5
A
5
B
C
0
5 A 5B C 50 1
A 5B 18
3
1
3 A 9B 30
24 A 24 vilket medför A 1 vilket medför B 3,8 vilket medför C -6,8
Analytisk geometri - 40
3.9 Strömstyrkorna i ett elektriskt system ges av ett linjärt ekvationssystem
där I1 , I 2 och I 3 är strömstyrkorna mätta i ampere.
I1 2 I 2 I 3 0, 425
3 I1 I 2 2I 3 2,225
5I1 I 2 2 I 3 3,775
5I1 3 I 2 3,075
2 I1 2 I 2 1,55
2
-1
1
1
-2
3
4 I1 1,5
Vilket medför I 1 = 0, 375(A) vilket medför I 2 = 0, 4(A) vilket medför I 3 = 0,75(A)
3.10 a)
Vi inför de fem talen a, b, c, d, e som är de obekanta koefficienterna.
aC2 H8 N 2 + bN 2 O 4 → cN 2 + dCO 2 + eH 2 O Alltså får vi för de olika grundämnena:
C: 2a = d
H: 8a = 2e
N: 2a + 2b = 2c
O: 4b = 2d + e
a = e
4
a = 1
e
b =
b = 2
2
dvs
3e
c = 3 Alltså C2 H8 N 2 +2N 2 O 4 → 3N 2 +2CO 2 +4H 2 O
c =
4
d = 2
e
d =
2
4.1
Om vi kvadratkompletterar x2+ y2+ 14x – 6y +45 = 0 får vi
(x + 7)2 – 49 + (y – 3)2 – 9 + 45 = 0 eller förenklat
(x + 7)2 – 49 + (y – 3)2 – 9 + 45 = 13. Detta innebär att medelpunktens
koordinater är (–7, 3) och radien är
13
4.2
I det inre av definitionsmängden ger x-värdena två y-värden
Definitionsmängden är -3 ≤ x ≤ 3 och värdemängden 0 ≤ y ≤ 3.
4.3
Definitionsmängd -4 ≤ (x – 1) ≤ 4 dvs -3 ≤ x ≤ 5. Värdemängden 2 ≤ y ≤ 6
4.4
Om vi sätter x = 3 i cirkelns ekvation x2 + y2 + 4x – 6y = 16 får vi
9 + y2 + 12 –6y = 16 vilket ger andragradsekvationen y2 – 6y + 5 = 0
med lösningarna 5 och 1. Alltså är skärningspunkterna (3, 5) och (3, 1)
4.5
För nollställena är y = 0. Alltså får vi andragradsekvationen x2 – 4x + 3 = 0 med
lösningarna x 1 = 3 och x 2 = 1.
4.6
(3, 2)
Analytisk geometri - 41
4.7
Kvadratkomplettering ger y – 1 = (x – 3)2. Vertex: (3, 1)
4.8
Cirklarna är (x + 10)2 + (y – 3)2 = 4 och (x + 5)2 + (y – 3)2 = 9. Alltså är
avståndet mellan dess centra 5. Vi kan dessutom förstå att cirklarna tangerar
varandra, varför?
4.9
En sådan cirkel måste ha medelpunkten i (2, 0) och radien 2. Alltså är dess
ekvation (x – 2)2 + y2 = 4.
4.10
Ekvationssystemet
y =− x − 2
bör vid tangering ha en dubbelrot, förklara varför!
2
2
0
x + y + 16 x − 4 y + 60 =
y =− x − 2
y =− x − 2
⇔ 2
2
2
=
+ 60 0
x + 36 0
x + ( − x − 2) + 16 x − 4( − x − 2)
x + 12=
y = 4
y =− x − 2
Alltså en dubbelrot.
x = −6 ⇔
1,2
x1,2 = −6
4.12
a)
b)
c)
d)
e)
y ≥ -10
y≤4
y≥2
y ≥ -242
y ≥ 0,25
f)
g)
h)
i)
y ≤ -11,75
y ≥ -4
y ≥ -16
y≤9
Analytisk geometri - 42
