Malmö högskola
Fakulteten för lärande och
Samhälle
Individ och samhälle
Magister
15 hp
Elevperspektiv på laborativt material, en
studie om hur laborativt material används i
årskurs 6
Students perspective on laboratory material, a study about laboratory materials
used in sixth grade
Ruzica
Pajic
Magisterkurs i utbildningsvetenskap, 45 hp
Examinator: Eva Riesbeck
2013-02-25
Handledare: Tamsin Meaney
Innehållsförteckning
Students perspective on laboratory material, a study about laboratory materials used in sixth
grade ......................................................................................................................................1
Förord ....................................................................................................................................1
Sammanfattning .....................................................................................................................2
1. Inledning ............................................................................................................................4
1.1 Den vanligaste vägen i Sverige när man lär sig matematik .............................................5
1.2 Den svenska traditionella användningen av läroboken ...................................................6
1.3 Hur kan laborativt material förbättra matematikresultaten i skolan? ...............................7
1.4 Ett samarbete mellan lärare och elever kan innebära större engagemang hos eleverna ...8
1.5 Laborativmatematik ur elevperspektiv ......................................................................... 10
1.6 Syfte och forskningsfrågor .......................................................................................... 13
2. Tidigare forskning ............................................................................................................ 14
2.1 Definition av laborativt material ..................................................................................... 14
2.2 Är laborativt material i sig själv användbar? ................................................................ 18
2.3 Teoretiska grunder för användning av laborativt material för lärandet ......................... 19
2.4 Lärarens roll ............................................................................................................... 23
2.5 Grupparbete till laborativt matematik ..........................................................................26
2.6 Sammanfattning av litteraturgenomgången .................................................................. 27
3. Metod ............................................................................................................................... 28
3.1 Metodval ..................................................................................................................... 28
3.1.1 Observation .............................................................................................................. 28
3.1.2 Intervju ................................................................................................................. 29
3.2 Urval .............................................................................................................................. 32
3.3. Genomförande............................................................................................................ 33
3.3.1. Genomförande av intervjuerna ............................................................................. 33
3.4 Analys och databearbetning ......................................................................................... 34
3.5 Forskningsetiska överväganden ................................................................................... 36
4. Resultat analys och diskussion .......................................................................................... 37
4.1 Hur påverkar laborativt material matematikundervisningen ......................................... 37
4.1.1 Observationen ....................................................................................................... 37
4.1.4 Konkretisering ..................................................................................................... 40
4.1.5 Diskussion ............................................................................................................ 43
4.2 Hur påverkar lärarnas instruktioner inlärningen av laborativ matematik? ..................... 43
4.2.1 Observation ..........................................................................................................43
4.2.2 Diskussion ............................................................................................................ 44
4.3 Hur lär man sig matematik på bästa sätt? .................................................................... 44
4.3.1 Observation ..........................................................................................................45
4.3.2 Grupparbete ..........................................................................................................45
4.3.4 Variation............................................................................................................... 47
4.3.5 Diskussion ............................................................................................................ 48
5. Sammanfattning ................................................................................................................ 50
6. Förslag på fortsatt forskning ............................................................................................. 52
Referenser ............................................................................................................................ 53
Bilaga 1 ................................................................................................................................ 57
Bilaga 2 ................................................................................................................................ 58
Förord
Jag vill här uttrycka ett stort tack till alla som har hjälpt mig under min uppsatsperiod, utan er
hade jag inte kommit så här långt.
Jag vill börja med att tacka min handledare Tamsin Meaney som har varit helt fantastisk och
hjälpt mig under hela skrivperioden. Tack för tålamodet och för ditt stora hjärta. Ditt stora
engagemang motiverade mig att skriva vidare. Ytterligare ett stort tack för alla diskussioner
och kommentarer.
Särskilt stort tack till alla elever som har deltagit i undersökningen. Ni inspirerar mig dagligen
och ger mig den största motivationen att fortsätta utvecklas som lärare. Stort tack till alla
kollegor och skolkamrater genom de fantastiska diskussioner och kommentarer ni har delat
med er av.
Jag vill slutligen tacka min familj, min make Marko och vänner för stöd och förståelse, utan
er hade jag aldrig kunnat skriva en magisteruppsats.
Malmö 10 februari 2013
1
Sammanfattning
En studie om det laborativa materialet i bråkundervisningen utifrån elevernas perspektiv
Författare: Ruzica Pajic
Syftet med denna studie är att uppnå en djupare förståelse om det laborativa materialets
betydelse i skolans matematik. I detta magisterarbete har det undersökts hur barns perspektiv
påverkas i årskurs 6 utifrån hur laborativt material används i matematikundervisningen. I
tidigare forskning redovisas barns lärande och hur den skildras utifrån kognitiva,
kulturhistoriska och sociokulturella perspektiv. Bland dessa perspektiv presenteras och
jämförs teoretikerna; Vygotsky och Bruner med varandra. Dessa teoretiker har valts, eftersom
de presenterar grunderna för användning av laborativt material i skolan. I denna studie
används laborativt material i undervisningssyfte, det laborativa materialet som eleverna får
använda är, bråkstavar. Laborativt material har definierats utifrån artefakter som i enlighet
med Wartofsky (1979) kan delas upp i tre olika kategorier; primär, sekundär och tertiär. Jag
har valt att utgå ifrån artefakter när jag har tolkat och dragit slutsatser utifrån teori och
forskning.
Under observationerna i klassrummet såg man hur barns perspektiv påverkades beroende på
hur de använde det laborativa materialet. Eleverna kunde använda materialet i tre olika
kategorier. Detta kom tydligare fram i intervjuerna som hölls i fokusgrupper. I resultaten
framgick det att de flesta barn använde den sekundära artefakten, det fanns några elever som
använde sig av både den tertiära och den primära artefakten. Barnen tog fram läraren som en
viktig faktor om hurvida de lär sig och detta kom fram tydligt i observationer och intervjuer.
Det är lärarens instruktioner och vägledningar som påverkar barnens perspektiv och det har
stor inverkan på hur barnen lär sig bråk. Hur påverkar användningen av laborativt material
barnens perspektiv och vilken inverkan har det på hur de lär sig?
I resultaten visade sig elevernas perspektiv utifrån de tre olika kategorierna. Eleverna som
använde sig av den sekundära och tertiära artefakten upplevde laborativt material positivt och
lärorikt. Eleverna beskrev i sina intervjuer att de kunde vara aktiva, arbeta i grupp, ha en
variation och få större förståelse för bråk. De elever som använde sig av den primära
2
artefakten förstod inte hur de skulle använda laborativt material i undervisningen.
Svårigheterna som eleverna upplevde när de skulle använda laborativt material berodde
framförallt på lärarinstruktionerna. Eleverna förstod inte hur de skulle använda materialet och
det var inte tillräckligt konkret och tydligt för dem. Vissa elever trodde att det är lärarna som
sitter inne med svaren. Vid observationen kunde det uttydas i att vissa elever hade svårigheter
med förståelsen av uppgiften då de inte deltog aktivt. Övervägande i studien upplevde
eleverna när de utgick ifrån den sekundära och tertiära artefakten att bråkuppgifterna blev mer
konkreta med hjälp av stavarna, vilket ledde till verklighetsanknytning som också ledde till en
ökad kommunikation mellan elever.
Nyckelord:
artefakt,
elevernas
attityd,
konkret
matematikundervisning.
3
material,
laborativ
matematik,
1. Inledning
Jag väljer att fördjupa mig i laborativt material. Motivet av valet är att jag har femårs
erfarenhet av att använda mig av laborativt material i min matematikundervisning. Under mitt
andra verksamma år som lärare började jag göra mitt eget material i matematikundervisningen
och använda mig av laborativ matematik. Läroboken fanns kvar, men den styrde inte längre
min matematikundervisning. Mina elever inspirerar mig dagligen, och därför har jag valt att
göra en undersökning utifrån elevernas tankar och åsikter i årskurs sex på en mångkulturell
skola. Det finns ett behov att undersöka elevperspektiv då forskningen ofta är baserad på
lärarperspektiv. Det är i studier av barns kultur som barns perspektiv tydligt lyfts fram för att
fånga vad barnen uttrycker och skapar (Halldén, 2003). När man talar om barns perspektiv
menar Arnér & Tellgren att det handlar om att se saker och ting ur barns synvinkel, det vill
säga med barns ögon (Arnér & Tellgren, 2006).
Som lärare är det viktigt att skaffa sig en insikt i hur elever föredrar att arbeta. Genom detta
kan man öka motivationen hos eleverna och därmed öka förutsättningarna att nå målen i
kursplanen för matematik (Skolverket, 2011). Många elever har påpekat att de har svårigheter
med att förstå bråkuppgifter. Jag blev därför intresserad av att undersöka elevers perspektiv på
användningen
av
laborativt
material
när
de
skulle
lösa
bråkuppgifter
under
matematiklektionen. Jag ville undersöka detta eftersom den gemensamma svenska
undervisningsmetoden att använda läroböcker tyder inte bara på dåliga resultat utan även att
barnen är uttråkade under matematiklektionen. Därför ville jag undersöka vidare om
införande av laborativ material påverkar elevers attityder till matematik.
Min egen erfarenhet har fått mig att inse, att om mina matematiklektioner ska bli mer
intressanta och lärorika så är elevernas perspektiv viktiga att ta fram.Vad de anser är bra när
de använder laborativt material är bl.a att ha regelbundna utvärderingar med elever om sättet
hur det laborativa materialet används i undervisningen och om det har påverkat deras
förståelse. Det finns kanske elever som inte har förstått hur man använder materialet. Hur gör
man med de elever som inte har förstått? Det sätt som lärarna presenterar det laborativa
materialet kan kanske påverka elevernas uppfattningar beroende på hur eleverna berättar hur
de tycker att de lär sig när de använder det laborativa materialet. Det finns ett behov att förstå
elev perspektiv. Elever har insikter och synpunkter, vilka övriga aktörer i skolsystemet inte
har. Ganska ofta, skiljer sig deras perspektiv väsentligt från den vuxnas profession. Elev
perspektiv kan exempelvis innehålla en logik som skiljer sig från det traditionella, didaktiska
perspektivet (Lange, 2009). I kommande del av kapitlet diskuterar jag hur matematiken
4
vanligtvis lärs ut i Sverige och de frågor som har identifierats ur detta tillvägagångssätt. Sedan
går jag över till att diskutera varför användningen av laborativt material kan övervinna några
av de problem som identifierats med undervisning utifrån läroboken. Slutligen beskriver jag
syfte och frågeställningar för min studie.
1.1 Den vanligaste vägen i Sverige när man lär sig matematik
Enskild räkning i läroboken är den dominerade arbetsformen inom matematik enligt
undersökningar som Skolverket gjort (Skolverket 2003; Skolverket 2005; Skolverket 2008).
Liknande resultat har visats tidigare (Runesson 1989; 1992; 1995) där det framgår att mer än
80 % av eleverna i årskurs två, fem och nio ägnar sig åt ”tyst räkning” varje lektion. I många
år har tyst räkning i läroboken använts som ensidig arbetsmetod som har lett till enformighet
och till att många elever tar avstånd från ämnet matematik. Elever sitter och räknar ibland
oreflekterande, de löser de enskilda matematikuppgifterna men har inte förstått vad de
egentligen gör eller varför och när de ska använda sig av det de gör. Eleverna som möter
misslyckanden i matematiken förlorar motivation och lust att lära. Matematik behöver ha
någonting med livet utanför skolan att göra. Då skulle det definitivt vara lättare att förstå hur
man kan använda den hävdar en del elever (Skolverket, 2003).
Skolverket (2003) hade gjort en granskning där det har visat sig att läroboken i matematiken
har en central roll. Några forskare i matematiken som Skolverket (2003) har använt för att
styrka rapporten anser att om matematikboken alltför tidigt övertar elevernas informella
lösningsstrategier går eleverna miste om möten med matematikens idéer. Eleverna kan
utveckla en positiv syn för matematiken om de får chans att upptäcka matematiken innan de
utsätts för skolmatematiken.
Enligt Skolverket (2011) har de svenska resultaten i matematik försämrats. 19,3 % av
eleverna i årskurs nio fick inte godkänt på nationella provet i matematik vårterminen 2011.
Det är den högsta andelen sedan mätperiodens start vårterminen 2003 då motsvarande siffra
var 9,2 % (Skolverket, 2011). Flera undersökningar visar att svenska elevers resultat i
matematik har försvagats. Internationella jämförelser visar också att svenska elever har
mindre undervisningstid i matematik än genomsnittet bland EU- och OECD-länder
(Skolverket, 2012).
”Lärare behöver ett djup i sina ämneskunskaper, t.ex. i matematik, som gör att de kan
associera fritt över hela ämnesfältet, en kompetens som gör dem friare i förhållande till
läromedlet” (Skolverket, 2003, sid. 58). Rapporten eftersöker just en minskning av
5
”lärobokens närmast totala dominans i undervisningen till förmån för olika läromedel och
undervisningsmateriel” (Skolverket, 2003, sid. 56), men också en mera varierad
matematikundervisning med högre grad av konkretisering. Man skriver att varierad
matematikundervisning kan bestå av samtal kring matematik som syftar till att utveckla
begreppsförståelse och lösningsstrategier, ämnesövergripande samarbete och laborativa
metoder (Skolverket, 2003). Under ett seminarium för lärarutbildare i matematik, LUMA 98
tog lärarutbildare upp erfarenheter av skolbesök samt diskussioner med studenter, som lyfte
fram att situationen i Sverige mer liknar den i USA än i Japan. Oro finns för bristande
lärarresurser i skolan och den starka styrningen av tradition och läroböcker som har lett fram
till dagens situation.
Japanskt reformarbete satsar stort på att utveckla allt bättre matematiklektioner, medan man i
USA satsar på indirekta åtgärder som t.ex. införandet av lärarlegitimation istället för att
koncentrera sig på den konkreta undervisningens innehåll och form (Johansson &
Emanuelsson, 1999). Laborativ matematikundervisning har skrivits fram i såväl statliga
kursplaner (Japanese Ministry of Education, 1998) som i kommersiella undervisningsplaner
(Ball, 1992). De kommersiella undervisningsplanerna har ofta tillhörande läromedel och
exempelvis i olika delstater i USA erbjuds ibland laborativa material till försäljning med
direkt anknytning till undervisningsplanens innehåll. I länder med statliga kursplaner får
lärare liknande erbjudanden om materiallådor från kommuner eller företag. Den nya svenska
kursplanen i matematik för åk 3 är ett exempel där konkret material uppmärksammas
(Skolverket,
2009b).
Enligt
Skolverket
(2010)
ska
lärarutbildningen
förändras,
lärarlegitimation ska införas och staten ska göra stora ekonomiska satsningar på
lärarfortbildning, rektorsutbildning och utvecklingsstöd för förbättrad undervisning.
1.2 Den svenska traditionella användningen av läroboken
I Sverige fortsätter missnöjet att växa bland eleverna på grund av att den övervägande delen
av matematikundervisningen är baserad på läroboken. Johansson (2006) skriver att de mest
eftersatta delarna i matematikundervisningen verkar medföra involvera enbart uträkningar
sida efter sida i matematikboken. ”Det är så många sidor”, uttrycker Beata, en student i
hennes forskning (Ibid. s 39). Hon klagar för sin lärare, och uttrycker sin frustration över
uppgifterna i boken, som hon tycker är monotona och tråkiga. Författaren beskriver Beata
som en elev som söker mening och som vill göra roliga saker.
6
Matematikämnet i Sverige är ett ämne som får sin form och sitt innehåll av de läroböcker som
används. Läroböckerna styr inte bara vad som behandlas i matematikundervisningen, utan
också hur de olika matematikområdena behandlas (Johansson, 2006). Johansson påpekar att
undervisningen i matematik i högre grad än något annat ämne styrs av läroböckerna.
Johansson (2006) har i sin avhandling granskat lärobokens roll i klassrummet och dess
överensstämmelse med läroplan och kursplan. Johansson (2006) påpekar att det finns vissa
risker med att lita fullt ut på en lärobok. En läroboks innehåll kan begränsa elevernas
inlärning då endast ett spår inom matematiken presenteras. Bryant, Bryant, Kethley, Kim,
Pool och Seo (2008) och Steenbrugge, Valcke och Desoete (2010) anser att
läroboksundervisning inte täcker alla viktiga funktioner för effektiv undervisning i
grundskolan. Enligt Lgr 11 (Skolverket, 2011a) ska en lärares undervisning vara varierad
både när det gäller innehåll och arbetsformer för att utveckla en bred kunskapsbas. Skolverket
(2003) visar att läroboken och dess användning i undervisningen har varit ett bekymmer under
en lång tid. Redan skolans kommitté från 1946 hävdade att utbildningen var beroende av
läroboken till en oacceptabelt hög grad (Johansson, 2006). Även Ahlström (1996) anför att
matematikundervisningen
inte
får
styras
av
matematikboken.
Skovsmose (2005)
uppmärksammar att runt om i världen finns det många olika klassrum där lektionernas
utformande kan skilja sig åt väldigt mycket. Detta menar Skovsmose (2005) är när
matematikinlärning är organiserad så att ibland arbetar eleverna i grupp, ibland samlar de
data och ibland undervisar lärarna. Skovsmose anser däremot att skolmatematikens tradition
är dominerad av användningen av läroböcker, som görs sida efter sida. Andra typer av
material används endast som komplement. Textboken är det centrala och de flesta lektioner är
strukturerade mer eller mindre på samma sätt.
1.3 Hur kan laborativt material förbättra matematikresultaten i skolan?
Det finns ett behov att använda laborativ material som alternativ till läroboken. Rystedt och
Tryggs (2010) menar att det som avgör om användandet av laborationer leder till förbättrat
resultat är lärarens engagemang. De lyfter även fram att fler sinnen används i laborativ
matematikundervisning jämfört med arbete i lärobok och det finns en stark koppling mellan
det konkreta och abstrakta. Enligt Uttal, Scudder och De Loache (1997) är det stora intresset
för olika material i matematik framförallt beroende av den konkreta karaktär som olika
material har, men även det som gör dem särskilt lämpliga för småbarn och unga elever i
skolan.
7
Användning av olika material kan inte ersätta undervisningen. För att kunna använda olika
material med framgång måste lärarna länka instuktioner utifrån barns föreställningar om vad
olika material representerar. Laborativa material bör väljas och användas försiktigt för annars
kan det leda till att det inte sker något lärande. Laborativa material kan skapa förvirring och
missnöje om eleverna inte förstår hur de ska använda det. ”För att förstå och se glädjen med
den abstrakta matematiken behövs konkreta och praktiska tillämpningar. Att få in mer av
praktisk tillämpning i matematikundervisningen efterlyses både på grundskolan och på olika
program på gymnasieskolan, även på naturvetenskapsprogrammet (NV)” (Skolverket 2003, s.
30). Skolverket (2003) påpekar att det är viktigt att eleverna inte bara förstår hur de ska
genomföra en laboration utan även att studiernas syfte och mål presenteras för dem.
Riesbeck (2008) pekar på behovet av att läraren styr undervisningen mot avsedda mål. I
hennes studier av elever som arbetar med undersökande arbetssätt och konkretiserande
material inom matematik framkommer det att klippandet, färgläggandet eller mätandet i sig
inte utgör någon garanti för att aktiviteterna styrs in mot prövandet av matematiska perspektiv
och resonemang. Läraren roll måste vara att introducera och ge sammanhang åt termer och
begrepp om eleverna ska tillägna sig det avsedda matematiska innehållet. Eleverna tar inte det
steget själva. Att se och göra är ingen garanti för att förstå. Ett undersökande arbetssätt leder
inte automatiskt till ökad insikt hos eleverna. För att elever ska få möjlighet att känna lust för
lärandet är det viktigt att förankra undervisningen utifrån elevernas erfarenheter och
uppfattningar av sammanhang utanför skolan. Om vilkoren för lärandet ska bli optimala och
om
enskild
utveckling
ska
ske
behöver
utbildningen
innehålla
begripliga
undervisningssituationer (Skolverket, 2003).
1.4 Ett samarbete mellan lärare och elever kan innebära större engagemang hos
eleverna
Planerat elevsamarbete är relativt ovanligt likaså gemensamma samtal mellan lärare och
elever kring matematiska problem och tänkbara lösningsstrategier eller laborationer. Det är en
undervisningsform som innehåller få inslag av variation vad gäller såväl innehåll som
arbetssätt. I grundskolans senare år är elevernas omdömen om skolan och undervisningen att
man för ensidigt använder läroboken. Detta leder till enformighet, vilket resulterar i att
eleverna tar avstånd från ämnet (Skolverket, 2003).
Läraren hinner oftast inte diskutera grundläggande principer eller hjälpa eleverna att själv
reflektera över dem under så kort tid som en lektion och då återstår det för eleven att kopiera
8
lärobokens eller lärarens sätt att lösa uppgiften. Diskussionen blir därmed inte matematiskt
meningsfull för eleven. (Skolverket, 2003, s. 21).
Rapporten Lusten att lära (Skolverket, 2003) lyfter fram att lärandet utifrån en
konstruktivistisk teori för eleven innebär ett engagemang och aktivt deltagande. Kunskap är
något som växer och utvecklas i möten mellan den som lär och den som undervisar.
(Kullberg, 2002). Metakognitiv teori är när yngre elever lär sig genom att först göra, sedan
veta, och sist förstå. Att känna lust för lärandet innebär för många att både med kropp och själ
tar del i undervisningen. Som lärare ska man ha förståelse gentemot barns konkreta
handlingar och glädjen som de upplever när de klarar av uppgiften. Metakognition handlar om
att bli medveten om sitt eget och andras lärande samtidigt som man förstår vad man har lärt
sig och varför (Pramling-Samuelsson 1983).
Ball berättar att studier också har visat att lärare har brister när det gäller kunnande om hur
matematiska idéer kan uttryckas med olika representationer. Representationer innebär en
konkretisering av abstrakta matematiska begrepp samtidigt som de representerar verkliga
objekt. Fokus måste riktas mot hur och i vilket syfte läraren utnyttjar material i
undervisningen. Ball menar att sammanhanget i vilket laborativt material eller bilder används,
är lika viktigt som materialen i sig. Många lärare är kompetenta när det gäller procedurer i
matematik, men de saknar egna erfarenheter av att arbeta laborativt. De tycker att det är svårt
att välja mellan olika material och metoder (Ball, 1992).
När eleverna får möjlighet att arbeta med ett konkret laborativt problem som sedan utvidgas
och fördjupas vidare genom att man försöker finna en abstrakt lösning, utvecklas deras
problemlösningsförmåga, både laborativt och formellt (Berggren & Lindroth, 1997).
Berggren och Lindroth (2004) delar upp den laborativa matematiken på följande sätt:
kommunikation/grupparbete
laborativt/ laborativt material
diskussion/dokumentation
reflektion/hemuppgifter
Berggren och Lindroth (2004) förklarar hur den laborativa matematiken hjälper elever att
tillägna sig kunskap genom kommunikation, laboration, diskussion och reflektion. Under
kommunikationsfasen sker samtal i par eller i grupp. Samtalet kan handla om förståelse av
problemet och olika lösningsstrategier. Under den laborativa fasen används laborativt material
9
för att testa olika strategier. Strategierna dokumenteras i text, bild eller matematiskt
symboliskt. I diskussionsfasen används dokumentationen för presentation av olika strategier
t.ex. genom att eleverna lyssnar på varandras redovisningar och samtalar om dessa.
Reflektionen kan göras i form av en hemuppgift där eleverna får jämföra hur de först löste
problemet och motivera om de tyckte att något annat lösningsförslag eventuellt var bättre
(Berggren & Lindroth, 2004).
1.5 Laborativmatematik ur elevperspektiv
Lange (2009) undersökte inlärningssvårigheter i matematik från barnens synvinkel. En
intervju med en grupp på tio till elva år gamla elever analyserades, där deras känslor beskrevs
kring deras upplevelser, vad de ansåg var mening med lärande eller icke lärande av skolans
matematik. Analysen görs i tre process nivåer (Kvale, 1984), för att analysera intervjuerna
utifrån elevens perspektiv. Lärarna finner
att elever i svårigheter i matematik kan vara
reflekterande kring de normer och förväntningar som utspelas i skolans matematik.
Sammanfattningsvis lyfter elever fram sina känslor och åsikter kring , vad lärarna berättar för
dem att de lär sig, hur det är att lära sig matematik, och varför de ska lära sig matematik.
Elever visar stor förståelse och goda tankar när de får dela med sig av sina erfarenheter om
matematikundervisningen. Deras berättelser bildar meningsfull uppsättning av data, vilket ger
intressanta inblickar i matematikens utbildning som man tidigare inte har sett. Förenta
Nationerna Konventionen om barnets rättigheter (1989) kräver att barns talan kommer fram
och att deras historier förstärker behovet av matematiken (Lange, 2009). Barn är viktiga
aktörer i sin egen utbildning. Deras röster kan påverka läraren till unika perspektiv i
matematik lärandet (Hawera & Taylor, 2010; O’Shea, 2009). Rukavina m.fl. (2012) gjorde en
undersökning bland skolbarn i åldrarna 10 till 14 år som deltog i naturvetenskapliga och
matematiska verkstäder. Den handlade om elevernas intresse och motivation. Efter att
workshopen hade avslutats hade 70 seminarier hållits i grundskolor i Rijeka, Kroatien, med
1240 deltagande elever i åldern 10 till 14 år. Verkstäderna var utformade för att uppmuntra ett
aktivt engagemang i skolarbetet och för att eleverna skulle få en djupare syn på meningsfullt
lärandet i ett vardagsrelaterat problem. Resultatet av undersökningen om elevers attityder till
naturvetenskap och matematik efter workshopen visade att eleverna hade en positiv attityd
till naturvetenskap och matematik. 47% av studenterna uppger att de "gillar mest" experiment
(34%) eller praktiskt arbete (13%) och 16% av dem som "allt" i verkstaden inklusive
experiment och laborationer Rukavina m.fl.,2012).
10
Hawera & Taylor (2010) gjorde en studie om hur eleverna såg på utrustning och dess
användning i matematikundervisning (tabell 3). Med utrustning menade författarna t.ex.
pärlor och miniräknare. I studien upptäckte man att 60 av 61 barn trodde på att användning av
utrustning skulle kunna hjälpa människorna att lära sig matematik. Men mer än hälften sa att
de inte använder det själva (Tabell 4). Den största anledningen till att barn inte använde
laborativt material i matematik inlärning var deras uppfattning att de inte behövde eller vill ha
det. Vissa ansåg att användningen av utrustning skulle uppmuntra en onödig tillit till
materialet när de blir äldre, medan andra ansåg att det är en nödvändighet att visualisera eller
bli ett abstrakt tänkare så snart som möjligt för att främja deras matematiska tänkande. Andra
barn ansåg att användningen av utrustning var tidskrävande och därför en ineffektivt
matematikinlärning.
Table 3. Children’s responses to using equipment (Hawera & Taylor, (2010).
Elevernas svar kring användning av verktyg
Use equipment
Använder verktyg
Don’t know
Vet ej
Use equipment sometimes
använder verktyg ibland
16
9
Don’t use equipment
Använder inte verktyg
1
35
Table 4. Reasons for not using equipment. (Howera & Taylor (2010)
Anledningen varför man inte använder verktyg
Didn’t need any
Behövde inte någon
Didn’t want any
Ville inte ha någon
19
Were not offered any
Blev inte erbjuden någon
12
4
O’Shea (2009) har forskat om elevers perspektiv på laborativ matematik. Hon betonar att det
är eleverna som har svaren om hur man kan finna ett effektivt och lustfyllt arbetssätt inom
matematiken. O’Shea (2009) undersöker ur ett elevperspektiv vad eleverna vill ha för
matematikundervisning.
Eleverna
får
skriftligt
berätta
hur
den
ideala
matematikundervisningen ser ut, vad de vill göra på lektionen, vilka frågor och problem de
gillar att lösa etc. Resultaten visar att eleverna vill arbeta tillsammans och spela olika
”mattespel”. De vill även ha en varierad undervisning och vara utanför klassrummet. Eleverna
11
föreslår att vara utomhus och att få arbeta med en kompis/kompisar. Ett annat resultat visade
också att läraren ska undervisa så eleverna förstår (ibid). Detta kopplas även till
utomhusmatematik och det som Molander (2010) nämner, att undervisningen blir mer
lustfylld utomhus. Att ha matematiken ute kan hjälpa eleverna att förstå ett matematiskt
begrepp på ett tydligare sätt när det genomförs praktiskt. Eleverna vill även arbeta i par eller i
grupp, vilket medför att eleverna tränar på samarbete som uppmanar till kommunikation,
fantasi och tidigare erfarenheter, som fortsättningsvis leder till en djupare förståelse för
matematiken, hävdar Molander (ibid).
12
1.6 Syfte och forskningsfrågor
Syftet med denna studie är att undersöka elevers perspektiv i årskurs 6 gällande hur de
använder laborativt material i matematikundervisningen. Vid undersökningen har det
fokuserats på att se hur barnens perspektiv påverkas beroende på hur de använder det
laborativa materialet. Utifrån detta har syftet även varit att ansluta till definitionen av
artefakter utifrån (Wartofsky, 1979) tre olika kategorier; primära, sekundära och tertiära.
Det stora intresset är att få veta vad eleverna tyckte om det laborativa materialet som de fick
arbeta med under min studie. Det är viktigt att ha med elevperspektivet när eleverna använder
laborativt material, eftersom eleverna inte alltid är medvetna om användningens tillgångar. I
min studie undersöks barns olika tolkningar, hur det kan påverka användningen av det
laborativa materialet.
Forskningsfrågor är:
Hur är elevers perspektiv i årskurs 6 gällande hur de använder laborativt material i
bråkundervisningen?
Hur kan lärarna påverka elevernas uppfattnigar om laborativt material med hjälp av tre olika
kategorier?
13
2. Tidigare forskning
I denna del kommer jag att redovisa resultaten från litteraturen utifrån mina
problemformuleringar. Inledningsvis beskriver jag vad laborativt material är utifrån artefakter
och vilken innebörd de har i ett laborativt arbetssätt. Begreppet artefakt används som redskap,
fysiska artefakter som uttryck för den laborativa verksamheten i skolan. Därefter redogör jag
för olika teoretiska utgångspunkter kring lärarrollen och
laborativ matematik utifrån
elevernas perspektiv. Det som har varit viktigt för att kunna
föra diskussioner och
argumentation kring laborativt material är att skapa en tydlig nivåmodell av artefakter. Med
hjälp av modellen har jag kunnat tolka innebörden av laborativt material samt argumentera
och diskutera skillnader och likheter mellan dem.
2.1 Definition av laborativt material
Szendrei (1996), Löwing (2004) och Wartofsky (1979) definierar laborativt material utifrån
artefakter. Det som skiljer dem åt är att de har olika definitioner på artefakter. En forskare
som ägnat stor uppmärksamhet åt konkretisering, och på ett djupare plan har studerat
användningen av laborativa material, är Szendrei (1996). Szendrei (1996) delar upp laborativt
material i två materialgrupper, vardagliga föremål och pedagogiska material. Vardagliga
föremål kopplas till vardagen, som vid t.ex. matlagning, men även till naturen där bönor,
kastanjer och snäckskal etc. användes som stöd i undervisningen. Den andra huvudgruppen är
pedagogiska material, t.ex. multibaskuber, som är särskilt framställda av lärare för elever för
att klarlägga specifika matematiska grundsatser där vardagliga föremål inte är tillräckliga.
Med hjälp av pedagogiska material kan man synliggöra bl.a. elevers missuppfattningar som
uppstått under matematikundervisningen (Szendei, 1996).
Säljö (2005) lyfter fram att de mentala verktygen i form av talspråk, ljud, gester har hos
människan utvecklats till alltmer sofistikerade kommunikationssystem. Jämsides har olika
former av fysiska verktyg uppfunnits, allt ifrån enkla redskap till avancerad modern teknologi.
Till dessa hör också skriftspråk och andra semiotiska representationsformer som innebär
externaliseringar av kunskaper. Säljö menar dock att ”uppdelningen mellan mentala och
fysiska verktyg inte [är] särskilt lyckad. Det är bättre att utgå ifrån att kulturella redskap har
både fysiska och intellektuella sidor” (ibid., s. 28).
De fysiska verktygen kan också benämnas artefakter, det vill säga av människan tillverkade
föremål. Wartofsky (1979) beskriver artefakternas roll i människans utveckling såsom:
14
The crucial character of the human artifact is that its production, its use, and the
attainment of skill in these, can be transmitted, and thus preserved within a social
group, and through time, from one generation to the next. (s. 201)
…what constitutes a distinctively human form of action is the creation and use of artifacts, as
tools, in the production of the means of existence and in the reproduction of the species (s.
202)Han skiljer mellan tre typer (eller nivåer) av artefakter. Primära artefakter är de som
direkt används i produktionen. Bland dem finns redskap som knivar, sågar eller spadar, men
också mer avancerade verktyg som datorer, symaskin, bilar eller flygplan, verktyg som
används i en social praktik. De sekundära artefakterna kan vara en manual till symaskinen,
ett kvitto på hammaren, något som ger anvisningar om hur något ska användas eller värderas.
De innehåller beskrivningar och instruktioner om hur man använder de primära artefakterna,
och de styr vårt sätt att agera och förstå. Exempel på sådana artefakter är instruktionsblad,
tidningar, böcker, hemsidor på Internet etc. Speciellt viktiga är de sekundära artefakterna i
undervisningen: Pedagogiska verksamheter (i vid mening) är uppbyggda kring sekundära
artefakter och syftet med dem är att stötta lärande och förståelse, och oftast inte att direkt
producera varor och tjänster. (Säljö, 2005, s. 98)
De tertiära artefakterna, slutligen, handlar om hur man kan framställa, förstå och analysera
världen. De utgör en förlängning av de sekundära artefakterna. Teorier och vetenskapliga
resonemang av olika slag såsom modeller, estetiska objekt och virtuella världar på datorn är
exempel på sådana artefakter. De har alla kopplingar till den fysiska omvärlden, men de
ingriper inte direkt eller indirekt i den som de primära respektive de sekundära artefakterna
gör. Ur lärande- och kunskapsbildningssynpunkt är de grundläggande, och de blir också
alltmer centrala ju längre fram i människans kulturella utveckling man kommer.
Tertiära artefakter är också sådana som erbjuder sätt att se på världen. Hur människor
föreställer sig det som inte finns här och nu diskuteras av Wartofsky (1979) i termer av ”offline” (bl.a. s. 204), vilket inbegriper planering, övning och reflektion. Off-line-handlingar är
förknippade med tertiära artefakter (s. 209). Medan primära artefaker är redskap som vi
använder direkt på konkreta företeelser och sekundära artefakter är representationer av
konkreta företeelser och redskap, är de tertiära artefakterna representationer av något ickeexisterande. De är kopplade till den existerande världen dels genom att de är grundade i
erfarenheter av hur världen fungerar, dels genom att de kan bidra till att förändra reella
15
fenomen; vi fantiserar och planerar utifrån givna förutsättningar och kan i nästa steg
förverkliga delar av fantasierna och planerna:
the construction of alternative imaginative perceptual modes, freed from the direct
representations of ongoing forms of action, and relativeley autonomous in this sense,
feeds back into actual praxis, as a representation of possibilities which go beyond
present actulities (Wartofsky 1979, p. 209)
Om en elev har en hammare och en spik framför sig kan vi utgå från den primära artefakten.
Eleven kan använda dem, men vet inte hur det fungerar. Eleven kan använda en hammare för
att sätta en spik i trä, men om eleven inte vet att det är en hävstång som ger extra kraft, då har
den inte förstått hur hammaren fungerar.
Den primära artefakten kan vara när eleverna får arbeta med bråkstavar. Materialet finns till
hands och eleverna kan använda dem, men vet inte hur det fungerar. Eleverna kan ta fram en
fjärde del men har inte begripit att fyra fjärdedelar blir en hel så då kan de få svårt att jämföra
med andra bråkstavar samt förstå hur en bråkstav som är en fjärdedel ska hjälpa till med att
lösa den matematiska uppgiften om bråk. Eleverna får begrepp och symboler men har inte
förstått vad dessa innebär och hur de kan användas. Vardagliga föremål som stenar kan man
till en början använda som föremål utan pedagogiskt syfte, men om det finns ett syfte att
uttnytja föremålet i ett pedagogiskt sammanhang kan det uppfylla alla tre kategorierna.
Pedagogiska föremål som bråkstavar har ett pedagogiskt syfte och det är särskilt framställt för
att göra det konkret för eleverna i lärandet. Bråkstavar kan finnas på ett bord i klassrummet
och om eleverna inte har fått tydliga instuktioner av läraren hur det ska användas så tappar
materialet syfte och värde. Innebörden av den primära artefakten är när föremålet är stastiskt
och enbart kan användas som tecken och symboler.
Den sekundära är när läraren håller fokus på vad det är eleverna ska utveckla under en lektion.
Sekundära artefakter kan ge människor mer information om hur något ska göras, som en
vanlig algoritm kan hjälpa barn att få rätt svar på additions beräkningar. Men de hjälper inte
barnen att förstå varför de kan få rätt svar när de beräknar på det sättet. Det är bara en regel
som ska följas. Så en lärobok som inte hjälper eleverna att förstå varför det de gör ger dem
rätt svar är en sekundär artefakt.Den sekundära artefakten är även läroboken i
matematikundervisnignen. Utifrån läroboken lär sig eleverna att få mer information om hur
uppgifter bör lösas med hjälp av olika regler. Man undersöker, för en dialog och kan lösa
16
matematiska problem med hjälp av regler. Den sekundära artefakter hjälper inte eleverna att
förstå varför de kommer fram till rätt svar.
Tertiär artefakt är verktyg som hjälper eleverna att bygga upp ny kunskap. Det hjälper
eleverna förstå varför något fungerar väl samt hur det fungerar. Detta gör man genom att
hjälpa eleverna reflektera över sitt lärande och det de kan. Det stödjer deras reflektion och
kommunikationsförmåga. När eleverna lär sig matematik är det inte bara att se och översätta
information utan även att veta hur man förmedlar kunskap (Wartofsky, 1979). Den tertiära
artefakten är när eleverna skriver och reflekterar över sina kunskaper och ifrågasätter varför
resultaten ser ut på ett visst sätt och hur har man kom fram till dem. Processen är viktig för att
eleverna ska kunna se hur de själva kan välja en matematisk modell de tycker är mest lämplig.
Lika viktigt är det att eleverna är aktiva och genom diskussioner samarbetar med hjälp av
språk och artefakter (ibid).
Ur lärandesynpunkt är de sekundära och tertiära artefakterna centrala genom att de
bygger på och utvecklar olika slags representationella system. De medierar information
om, och perspektiv på, omvärlden genom inskriptioner i form av texter, diagram,
bilder, tabeller och andra liknande kulturella redskap som bidrar till att strukturera vad
vi ser, hör och upplever (Säljö, 2005, s. 100).
17
2.2 Är laborativt material i sig själv användbar?
Framgången för att använda laborativa material kan också bero på det matematiska tema som
eleverna försöker lära sig. Till exempel har bråk identifierats som ett område som är svårt för
barn att förstå, men de som kan använda laborativt material har lättare att förstå
bråkbegreppet. Szendrei (1996) varnar för lärares övertro på material och skriver: “The same
manipulative can be both a useful tool and a harmful enemy of mathematics learning”
(Szendrei 1996, s. 424). Enligt Löwing (2004) är det viktigt att lärare inser att materialet
endast är en artefakt, ett redskap. Det väsentliga är att läraren presenterar och utnyttjar
materialet på rätt sätt. Uttal, Scudder och DeLoache (1997) påpekar att laborativt material ska
hjälpa elever med att uppfatta laborativt material som symboler.
The idea that young children learn best through interacting with concrete objects has
sparked much interest in the use of mathematics manipulatives which are concrete
objects that are designed specifically to help children learn mathematics. Whether
termed manipulatives, concrete materials, or concrete objects, physical materials are
widely touted as crucial to the improvement of mathematics learning (Ball 1992, p.
16).
Som lärare finns det många saker att tänka på i undervisningen om bråk. Engström (1997)
skriver att laborativt material i sig inte har någon mening, utan det är på vilket sätt det
används och presenteras för eleven som avgör hur han/hon tolkar det. Szendrei anser att det
inte är enkelt att planera en process som går från att elever arbetar med laborativa material till
att de får insikt i ett abstrakt matematiskt innehåll. Även om lärare har lämpliga strategier för
laborativ matematikundervisning, påverkas den av deras egna uppfattningar om hur elever lär
(Szendrei, 1996). Moyer (2001) utförde en studie hur lärare använde laborativt material i sin
undervisning för elever i mellanstadiet. Resultatet som baserades på intervjuer och
observationer, visade att lärarna uppfattade matematiken som rolig ”fun math” och riktig
matematik ”real math”. Lärarna använde sig av termen ”rolig matte” när de berättade om
elevernas arbete med laborativt material efter alldaglig undervisning och ”riktig matte”
associerades till när lärarna undervisade om ett matematikinnehåll där eleverna använde sig
av ”penna och papper”. Författaren slår fast att det är oklart om lärare gör anknytningar till
eller företräder matematiska idéer på ett meningsfullt sätt när de använder laborativt material.
Anledningen till detta var att lärarna tyckte att laborativt material kunde vara ett kul avbrott
men inte var nödvändigt för elevernas lärande. Elever som bara arbetar med laborativt
material i ”roliga” aktiviteter har sannolikt svårare att upptäcka meningsfull matematik med
18
hjälp av dem. Studien fastslår att själva användandet av laborativt material är positivt därför
att elever och lärare tycker att det är roligt (Ibid).
En konkret manipulativ metod kan vara intressant för små barn men det är inte tillräckligt för
att fördjupa sina kunskaper i matematik eller koncept. För att lära sig matematik med hjälp av
olika material, behöver barnen uppfatta och förstå relationerna mellan olika material och
andra former av matematiska uttryck (Gentner & Ratterman, 1991). Laborativt material
används inte enbart vid laborationer eller för konkretisering. En hel del material kan användas
vid färdighetsträning, t.ex. olika spel, winnetkakort och digitala program. När det gäller att
använda material för färdighetsträning är det speciellt viktigt att läraren förvissar sig om att
eleven färdighetstränar rätt tankeform, rätt strategi. I annat fall är risken att eleven övar upp en
färdighet som är felaktig och som inte leder till det tänkta kunnandet (Skolverket, 2011).
Uttal, Scudder och DeLoache (ibid) utförde en metaanalys av litteratur om laborativt material
där de påpekar att elever behöver få hjälp med att uppfatta laborativt material som symboler. I
samband med detta kan det uppstå missförstånd om eleverna använder attraktiva föremål från
sin vardag. De kan bli emotionellt intresserade i föremål från vardagsmiljön och att detta
hindrar dem från att uppfatta den matematiska idén. T.ex om eleven får jobba med att räkna
ihop antal bilar, då kan han glömma bort syftet med summeringen. Därför är material som
enbart används i matematiken bäst lämpat. Sammanfattningsvis har pedagogerna dragit en
slutsats i att olika material är användbara eftersom de är konkreta och barn behöver därför inte
resonera abstrakt eller symboliskt. Antagandet är gjort utifrån erfarenheten med att använda
särskilda föremål som t.ex. sedlar, mynt som hjälper barnen att upptäcka abstrakta principer
(Uttal, Scudder & De Loache, 1997).
2.3 Teoretiska grunder för användning av laborativt material för lärandet
Laborativt material och barns lärande skildras bl.a. utifrån kognitiva, kulturhistoriska och
sociokulturella perspektiv. Bland dessa perspektiv presenteras i det följande teoretiker som
Vygotsky och Bruner. Därefter jämförs de med varandra. Valet av dess teoretiker beror
framförallt på att de presenterar grunderna för användning av laborativt material i skolan. De
har även bidragit med teorier till konstruktivismen. Dessa teoretiker ser lärandet som en aktiv
process där erfarenhet skapas. Vidare behandlas det praktiska klassrummet och lärarens roll i
lärandet.
Tanken att barn lär sig bäst genom konkreta föremål härstammar från teorier av Bruner
(1966), Vygotsky (1995) och Säljö (2000). Vygotsky (1986) och Bruner (1966) lyfter fram
19
betydelsen av konkret handling i samband med problemlösning för utveckling av abstrakt
tänkande. När man sammanför det konkreta och det abstrakta, sker en utveckling i lärandet
och det blir även mer lustfyllt för eleverna. Vygotsky (1986) förklarar detta på ett konkret
sätt: barn lär sig först att hantera t.ex. ord och tecken externt, men så småningom kommer
denna process att övergå till en intern. När en extern process övergår till en intern sker en
”internalisering” i Vygotskys termer. Ett exempel på detta kan hämtas ur elevers tidiga
matematikundervisning. De lär sig först att räkna på fingrarna eller med hjälp av andra
externa symboler. Så småningom kommer denna process att övergå till en intern, där samma
process sker, men med signaler lokaliserade inom oss.
Jerome Bruner (1966) är av en annan åsikt och menar att det finns tre representationsnivåer.
Den handlingsbaserade är den första nivån och begreppen här existerar bara så länge eleverna
kan relatera dem till verkligheten. Den andra nivån är den bildmässiga, som kan jämföras med
Heddens (1986) semikonkreta där verkliga händelser kan representeras av bilder av olika slag.
Den semi-abstrakta kan även den ingå till viss del. Den tredje och mest avancerade
representationsnivån är den symboliska och den bygger på att eleven har erfarenheter av de
andra nivåerna. Här sker all matematik med symboler och de handlingsbaserade och
bildmässiga representationerna behövs inte. Bruner (1966) menar att en elev som redan har en
bra förståelse för symboler kan hoppa över de första två nivåerna men i sådana fall finns det
en risk att eleverna inte har några bild- eller handlingsbaserade representationer som kan
rädda upp eventuella svårigheter. All verksamhet, inklusive de mentala processerna att tänka
och resonera, förmedlas av verktyg och tecken. Kunskap utvecklas genom de kulturella
verktyg som finns i samhället (Vygotskij, 1978). Användningen av olika artefakter påverkar
vilket språk som används. Vygotskij (1986) uttryckte att tanken och språket är ett parallellt
projekt. I detta perspektiv utvecklas kunskap i samspel mellan människor och mellan
människor och verktyg (Vygotskij, 1978). Något som även Bruner (1966) beskriver utifrån
det sociokulturella perspektivet där barns lärande beskrivs relationellt i förhållande till en viss
kontext eller situation. Barnet har språket och vill lära och skapa mening. Genom
kommunikation och görande skapar barnet sin förståelse för omvärlden och utvecklar sitt
medvetande.
Vygotskij (1995) betonar det viktiga i att barnet självt är aktivt och får experimentera och
utforska när det ska lära sig något. Vygotskijs teori betonar också det kognitiva där, begrepp
(språk), tänkande och barnets aktivitet är i fokus. Hans teori är dessutom en samspelsteori.
Vygotskij såg i sina studier att barnet är socialt redan från början och samspelar med sin
20
omgivning som gäller, både den fysiska rumsliga miljön och andra människor
(Vygotskij,1995). Vygotskijs teorier utgår från ett sociokulturellt perspektiv, vilket innebär att
kunskap uppnås genom vårt språk och genom samspelet med vår omgivning och våra
medmänniskor. Grunden till egen kunskap och eget tänkande är det sociala samspelet (ibid).
Det sociokulturella perspektivet på lärande är influerat bland annat av Vygotsky. Ett
sociohistoriskt perspektiv är enligt Säljö (2000), att lärandet i grunden handlar om vad
individer och kollektiv tar med sig från sociala situationer. Säljö (2000) beskriver och
förklarar att handlingar (t.ex. lek) och lärande sker i specifika sociala praktiker och miljöer
och med hjälp av olika redskap. Barn tar i samspel till sig olika sätt att tänka, tala och utföra
fysiska handlingar som de blir delaktiga i.
Kunskap och lärande utifrån ett sociokulturellt perspektiv är viktigt. Det finns ett samband
mellan hur pedagogerna ser på lärandet och hur rummet är utformat. Kulturen i ett
sociokulturellt perspektiv är en uppsättning av kunskaper, erfarenheter, värderingar och idéer
som människor får genom att samspela med sin omgivning. De kulturella artefakterna och
människans livsvillkor och hur hon handskas med dessa påverkar hennes sociokulturella
utveckling.
Materiella artefakter är konkreta dvs. vi kan ta på dem och använda dem med variation (Säljö,
2000). Enligt Säljö kan materiella artefakter vara t.ex. en miniräknare eller ett instrument.
Materiella artefakter är utifrån min definition den primära artefakten, icke materiella
artefakter är den sekundära och tertiära är där man måste utveckla sitt tänkande med hjälp av
laborativt material för att kunna förstå hur man har kommit fram till svaret och varför,
samtidigt som man kan reflektera och hitta nya vägar och lösningar för att kunna utveckla sitt
matematiska språk. Icke materiella artefakter är först och främst språket. Den kulturella
evolutionen är skapad av människor och i våra artefakter speglas också vår intellektuella
kunskap (ibid). Klassrumskommunikation kan vara ett effektivt instrument för en lärare.
Läraren kan väcka barns intresse för matematik. Detta kan även kopplas till Säljö (2000) och
sociokulturellt perspektiv när man utgår från en lärande miljö. Det finns ett samband mellan
hur pedagogerna ser på lärandet och hur rummet är utformat.
Bruners (1966) centrala idé var att människan har en grundläggande vilja att lära sig, vilket
även Vygotsky var anhängare av. Bruner (1996) lyfter fram att skolan inte bara bör utgöras av
olika ämnen och discipliner, den bör framförallt vara en levande del av kulturen.
21
Bruner (1966) lyfter fram att barnens tänkande under grundskoletiden fokuserar på konkreta
egenskaper som aktivt kan manipuleras. Han påpekade särskilt betydelsen av att använda
konkreta föremål i undervisningen. Bruner betonar att användande av många olika konkreta
föremål kan bidra till att barnen flyttar fokus utanför de perceptuella egenskaperna hos de
enskilda föremålen. Med Bruners ord kallas detta tillvägagångssätt "empty the concept of
specific sensory properties" and allow the student” “ to grasp its abstract properties” ( Bruner
1966, s. 65). Bruner ansåg att inom all undervisning borde målet vara att lektionsinnehållet
upplevs menings- och lustfyllt för eleverna.
Artefakter nämns i olika represenationsnivåer, se beskrivningen ovan om primära, sekundära
och tertiära artefakter (Wartofsky, 1979). Jag kopplar dessa till Jerome Bruners tre
representationsnivåer som också har beskrivits tidigare.
Bruner (1966) skriver själv att representationer är kraftfulla, eftersom de gör det möjligt för
den lärande att knyta samman uttryck som till det yttre tycks vara helt olika och han anser att
detta är särskilt avgörande just i matematik. För en elev som redan har en välutvecklad
symbolisk förståelse skulle det vara möjligt att hoppa över de två första stegen. Men, menar
Bruner, det finns då en risk för att eleven inte har någon bildmässig representation att falla
tillbaka på, om svårigheter uppstår på den symboliska nivån (ibid). Här är det viktigt att
relatera till det Wartofsky (1979) benämner primära och tertiära artefakter. Om man enbart
kan symbolerna då har man utgått från den primära artefakten. Dvs att man aldrig tidigare har
fått pröva laborativt material eller använt bilder för att kunna relatera till verklighetsanknutna
situationer.
Det finns både likheter och skillnader sinsemellan dessa två teoretiker. En gemensam nämnare
som båda har är att ”Barnet skapar sin egen kunskap”. Vygotsky, Bruner betonar aktivitet som
en viktig faktor i lärandeprocessen. Om det ska ske en utveckling bör skolan, elever och
pedagoger vara aktiva. När man är aktiv leder det oftast till kommunikation och samspel
vilket spelar en stor roll i människors liv. Enligt Riesbeck (2011) är aktivitet kopplad till den
tertiära artefakten.
Dessa teoretiker fokuserar hur lärandet går till. Vygotsky betonar språkets betydelse som
även är sammankopplat med tanke, och Bruner betonar den inre viljan. Det som skiljer dem
åt, är att Vygotsky försöker tolka lärandet och Bruner talar om viljan att lära. Min studie är ett
bidrag där laborativt material används för att konkretisera för eleverna utifrån primära,
22
sekundära och tertiära artefakter. Vygotsky, Bruner lyfter fram betydelsen av konkret
handling i samband med problemlösning för utveckling av abstrakt tänkande. När man
sammanför det konkreta och det abstrakta, sker en utveckling i lärande och det blir även mer
lustfyllt för eleverna.
2.4 Lärarens roll
Engagerade lärare kräver fortfarande utbildning i hur man effektivt utnyttjar specifika
matematik material. Litteraturen hänvisar ofta till användning av matematikens olika material
som skapar en bro från det konkreta till det abstrakta (Heddens, 1986).
Lärarens roll är med andra ord avgörande för om materialet leder till en konkretisering eller
inte: ”Indeed it is not easy to plan a process that can realise the journey from concrete
material to abstract mathematical content. The role of the teacher in this work is crucial”
(Szendrei 1996, s. 429).
Rystedt och Tryggs (2010) sammanställning av forskning kring laborativ undervisning visar
att detta arbetssätt i en del fall kan innebära oförändrat eller till och med ett försämrat resultat
jämfört med att använda läroboksbaserad undervisning. Författarna tar upp studier som visar
att 50 % som arbetar laborativt ger ett högre kunnande, medan 10 % som arbetar laborativt
ger ett lägre kunnande, jämfört med icke laborativa arbetssätt. Författarna menar att det som
avgör om användandet av laborationer leder till förbättrat resultat är lärarens engagemang.
Riesbeck (2008) pekar på behovet av att läraren styr undervisningen mot avsedda mål. I
hennes studier av elever som arbetar med undersökande arbetssätt och konkretiserande
material inom matematik framkommer det att klippandet, färgläggandet eller mätandet i sig
inte utgör någon garanti för att aktiviteterna styrs in mot prövandet av matematiska perspektiv
och resonemang. Lärarens roll måste vara att introducera och ge sammanhang åt termer och
begrepp om eleverna ska tillägna sig det avsedda matematiska innehållet. Eleverna tar inte det
steget själva. Att se och göra är ingen garanti för att förstå. Ett undersökande arbetssätt leder
inte automatiskt till ökad insikt hos eleverna.
Löwing (2004) beskriver en laborativ lektion med brister i klargörande av syftet. Eleverna ska
utifrån areaundersökning och med hjälp av radiekvadrater (r2) till en given cirkel lära sig
innebörden av talet pi. Författaren menar, att eftersom alla elever mäter samma radie förstår
de inte att resultatet gäller för alla cirklar. Detta, menar författaren, leder till att laborationen
blir en aktivitet snarare än ett inlärningstillfälle och sysselsättningen är tydligare än
inlärningen. Det framkommer också att trots dessa brister tycker läraren att lektionen går bra.
23
Författaren menar då att det är tydligt att lärarens planering av konkretiseringen är det mest
avgörande för resultatet.
Rystedt och Trygg (2010) bekräftar denna slutsats, och menar att för att uppnå goda resultat i
matematikundervisningen är inte frågan om laborativa material ska användas eller inte den
mest väsentliga. Mycket viktigare, menar de, är istället frågan om hur och i vilket syfte det
laborativa materialet används.
Berggren och Lindroth (2004) lyfter fram att det i en elevaktiv laboration krävs att eleverna är
mentalt och språkligt engagerade. När laborativ matematik är elevaktiv tycker eleverna att det
är roligt att arbeta och blir därför mer motiverade, intresserade och aktiva. Dessutom ger
laborationen rika möjligheter att diskutera och fundera över problem. Enligt Szendrei (1996)
blev demonstrationsverktyg / konkret material i matematikundervisningen ett nödvändigt
hjälpmedel som togs fram för att klara utbildning i allt större grupper. Med hjälp av dessa
demonstrationsverktyg kunde läraren förevisa olika matematiska företeelser. Som exempel på
demonstrationsverktyg som används i skolan idag nämner Szendrei bland annat geobrädan.
Szendrei listar även ett antal risker med användning av konkret material, risker som är vanliga
motargument mot praktiska hjälpmedel:
1. klassrummet blir för livligt
2. eleverna förstör material
3. undervisningen blir inte kostnadseffektiv
4. begreppen som utvecklas med konkreta material
Moyer betonar vikten av kompetensutveckling som hjälper lärare att få en mer grundläggande
förståelse för hur laborativa material kan ses som verktyg i undervisningen. Lärare behöver
reflektera över hur eleverna uttrycker sitt kunnande i matematik och hjälpa dem att utveckla
allt mer förfinad och abstrakt förståelse, menar Moyer. Detta är inte lätt, skriver hon, det är en
utmaning för läraren att
– tolka elevernas uttryck för sitt kunnande i matematik
– uppmärksamma och visa på samband till andra matematiska idéer
– utveckla lämpliga sammanhang för lärande i matematik (Moyer, 2001).
24
När man konkretiserar sin undervisning med hjälp av ett konkret material påpekar även
Löwing (2004) att det är viktigt att lärare inser att materialet endast är en artefakt, ett redskap.
Det väsentliga är att läraren presenterar och utnyttjar materialet på rätt sätt. Lärarens roll är
med andra ord avgörande för om materialet leder till konkretisering eller inte. För att ge
eleverna en god förståelse är det viktigt att läraren vid konkretisering och laborationer gör en
övergång från vardagsspråk till ett mer matematiskt språk. Författaren menar att när läraren
låter elever laborera för att gå från det konkreta till det abstrakta räcker det inte att bara ha
tillgång till transportmedlet, utan läraren måste vara medveten om målet. Löwing påpekar att
lärarens planering av laborationen är helt avgörande för resultatet. I ett historiskt perspektiv
har synen på konkretiserande av matematiken varierat.
Cramer, Post & delMas, (2002) beskriver varför ett stort antal yngre elever har svårigheter
med bråkbegreppet. En orsak som lyfts fram är att många elever bara har ett fåtal konkreta
erfarenheter av bråk och att de sällan får tillfälle att diskutera dem. Författarna påpekar att om
eleverna först fick ägna gott om tid åt de grundläggande begreppen skulle mycket tid som i
senare årskurser läggs på att komma tillrätta med elevers missuppfattningar och svårigheter
med procedurer, kunna minskas. Elevers initiala lärande om bråk undersöktes genom att två
olika arbetssätt jämfördes (ibid). Det ena var mer traditionellt i meningen att papper och
penna användes för beräkningar baserade på standardrutiner. Det andra arbetssättet betonade
aktiviteter med många laborativa läromedel och översättningar mellan och inom olika
representationer som bild, laborativa material, talat språk och symboler.
Intervju data visade skillnader i kvaliten på elevernas tänkande i hur de löste ordning och
uppskattning av arbetsuppgifter som innehöll bråk. Eleverna som kallas RNP närmade sig
sådana uppgifter konceptuellt genom att bygga på sina konstruerade mentala bilder av bråk,
medans studenter som använde den traditionella sättet oftare åberopade standard, rutiner vid
identiska bråkuppgifter som skulle lösas. Dessa resultat överensstämmer med tidigare RNP
arbete med färre antal elever i flera läroexperiment. Sammanfattningsvis kunde man tydligt se
att lärare kunde vara effektiva på grund av den noggranna struktur av material och integrering
av information om elevernas tänkande i varje lektion. I resultaten kunde man även se att
eleverna lärde sig väl eftersom de tillbringade sin tid att interagera bråkidéer på flera olika sätt
och fick längre tid att utveckla en förståelse för betydelsen av symboler. Man investerade i tid
genom att främja elevernas förståelse av rationellt tal. Begrepp visade sig vara en effektiv
metod för att utveckla en kvantitativ bemärkelse för bråk i många fjärde och femte klassrum.
25
Concrete materials in the mathematics classroom do not automatically produceeither a
good or bad effect. A teacher must plan the use of the materials in accordance with
society’s demands, the language of instruction and the philosophy of the school. (ibid,
s. 433)
2.5 Grupparbete till laborativt matematik
Enligt Vygotsky (1987) utvecklas varje elev genom sociala aktivitetsformer. I en
undervisningssituation som baseras på Vygotskys synsätt är grupparbete en viktig del för att
eleven ska utvecklas. (Dienes, 1960), arbetade för att öka elevers förståelse för matematik
baserat på laborativa material. Han konstruerade multibaskuberna, de första algebraiska
materialen samt de logiska blocken. Dessa material och tillhörande instruktioner ligger till
stor del till grund för nutidens användning av laborativa material i matematikundervisningen.
Sedan mitten av förra seklet har Dienes försökt att underlätta skolpraktiken genom fältarbete i
en lång rad länder och han har inspirerat många matematikdidaktiker. Dienes sammanförde
exempelvis grupparbeten med laborativa material långt innan ord som konstruktivism och
jämlikhet blev moderna (Sriraman & Lesh, 2007). Civil (2002) har skapat en
undervisningssituation som kombinerar vardagsmatematik , matematikers matematik och
skolmatematik, detta för att utmana elevers uppfattning kring matematik. Studien som Civil
(2002) gjort visar att eleverna har viljan att lösa eller i alla fall försöka lösa de laborativa
uppgifterna.
Även
Malmer
(2002)
lyfter
fram
vikten
av
samarbete
i
matematikundervisningen. Hon skriver att vi i vardagslivet ofta löser problem tillsammans.
Utifrån den här inriktningen behöver matematikundervisningen i skolan förändras samt
introducera nya arbetsformer. Vidare påtalar Malmer att pararbete eller arbete i smågrupper är
det som utvecklar eleverna mest. På så sätt får eleverna del av fler tankar och idéer genom det
reflekterande samtalet. Samtidigt betonar författaren att samspelet mellan elever inte alltid är
problemfritt då eleverna är olika när det gäller att uttrycka sig muntligt. Lärarens roll i detta är
mycket viktig. Vissa språksvaga elever behöver få stöttning för att få komma till tals annars
kan deras situation bli ännu sämre. Med tanke på detta kan läraren ibland behöva välja
gruppindelning för att ta hänsyn till vissa syften. Även Löwing (2004) tar upp att det kan
finnas nackdelar med att elever arbetar i grupp. Hon skriver att hon har erfarenhet av att lärare
alltför ofta förutsätter att elever klarar av att samarbeta på ett utvecklande sätt. Flera
grupparbeten startas utan att eleverna lärt sig att använda grupparbetets möjligheter. Löwing
beskriver också att hon vid flera tillfällen sett elever som inte blivit delaktiga i grupparbetet
26
och därför inte fått några möjligheter att lära. Hon påtalar därför att det är viktigt att varje
individ i en grupp känner sig ansvariga för hela gruppens deltagare.
2.6 Sammanfattning av litteraturgenomgången
I det här kapitlet har flera teorier och begrepp om laborativ material behandlats. Flera
författare har diskuterat vad deras uppfattningar är. För att få en djupare förståelse om
laborativt material har Szendrei (1996), Löwing (2004) och Wartofsky, 1979 definerat
laborativt material utifrån artefakter. Artefakter i litteraturen defineras utifrån Wartofskys
(1979) tre olika kategorier; primär, sekundär och tertiär. Den primära artefakter kan vara
verktyg som yxor m.m. Den primära artefakten kan vara när eleverna får arbeta med
bråkstavar. Materialet finns till hands och eleverna kan använda dem, men vet inte hur det
fungerar. För att kunna förstå hur man använder artefakter gäller det att förstå miljöer där de
används. Den sekundära artefakten kan även vara läroboken i matematikundervisningen.
Utifrån läroboken lär sig eleverna att få mer information om hur uppgifter bör lösas med hjälp
av olika regler. Man undersöker, för en dialog samt kan lösa matematiska problem med hjälp
av regler. Den sekundära artefakten hjälper inte eleverna att förstå varför de kommer fram till
rätt svar. Tertiär artefakt är verktyg (bråkstavar) som hjälper eleverna att bygga upp ny
kunskap, men det är även när eleverna är aktiva i att reflektera över en uppgift eller material
och då de är produktiva i ett nytt sätt att tänka. Det hjälper eleverna förstå varför något
fungerar
så
väl
och
hur
det
fungerar.
Det
stödjer
deras
reflektion
och
kommunikationsförmåga. Resultaten i litteraturen lyfter fram att laborativt material kan ge
bättre förutsättningar för eleverna att lära matematik beroende på hur man jobbar med de
olika artefaktsnivåer och hur lärarna presenterar materialet. Laborativt material kan vara
användbart för att hjälpa barnen lära sig matematik men det är lärarens roll som är viktig i hur
de presenteras. Det finns också ett behov av att höra vad barnen har att säga om att använda
laborativa material för att verkligen förstå hur det hjälper eleverna till lärandet. Läraren måste
vara klar över syftet med arbetssättet och kunna kommunicera det med eleverna. Baserat på
litteraturen är det lämpligt att inkludera laborativt material i klassrummet och ge det ett liv.
För att eleverna ska utöka matematiska kunskaper behöver eleverna få intresse och motivation
för matematikinlärning.
27
3. Metod
I det här avsnittet redogörs för metoder som har valts att använda och motiveringen till dem.
Här beskrivs även urvalsgruppen och genomförande av insamling av det empiriska materialet.
Forskningsetiska principer tas också upp i det här avsnittet.
Jag ville få kännedom om hur laborativt material i undervisningen uppfattades av eleverna,
om det bidrog till en ökad förståelse samt om eleverna kunde relatera fördelar och nackdelar
jämförelse till matematikboken. Jag anser att det är viktigt att ha med elevperspektiv för
eleverna är inte alltid medvetna om att det sker ett lärande vid t.ex. laborativt material.
3.1 Metodval
För att få svar på frågeställnigarna användes en kvalitativ empirisk undersökning innehållande
både observationer och intervjuer. Datainsamlingen dokumenterades genom videoinspelning
då Trost (2005) lyfter fram att det går att återkomma till observations- eller intervjutillfället
upprepande gånger. Intervjufrågor utformades utifrån observationerna. Valet att spela in
lektionen bidrog till en bättre kvalité av datainsamlingen. Arbetet får en större och mer
betydelsefull mening om man använder sig av flera metoder. Repstad (1999) lyfter fram att
det är bra att kombinera metoder i sin undersökning. Att välja rätt metod eller metoder kan
vara avgörande för att kunna samla in det empiriska material man behöver för att besvara
frågeställningarna. Trost (1997) menar att forskaren skall utgå från sitt syfte och
frågeställningar för att kunna välja rätt metod. Eliasson (2006) hävdar också att metodval
skall rättas efter den problemformulering och de begrepp man har valt att använda sig av i ett
arbete.
Syftet med studien var att få undersöka hur barnens perspektiv är i årskurs 6 gällande hur de
använder laborativt material i bråkundervisningen? Hur påverkar användningen av laborativt
material barnens perspektiv och vilken inverkan har det på hur de lär sig?
För att få svar på den första frågeställningen användes kvalitativ observation, och för att få
svar på den andra frågan användes den kvalitativa intervjun som baserades på observationen.
Observationerna genomfördes först, utifrån observationerna strukturerades intervjufrågor. För
att få en helhet av studien användes både intervjuer och observationer.
3.1.1 Observation
För att besvara frågeställningar användes observation. När eleverna jobbade med laborativt
material valdes observation. Patel och Davidson (2003) anser att observation är väldigt
28
användbar inom ett område där man vill samla information om beteende, verbala yttranden
och relationer mellan individer. Vid observationstillfället spelades vissa delar in av
undervisningen. Intresset var att få en kvalitativ bild av frågeställningarna som skulle hjälpa
studien att uppnå en djupare förståelse för elevernas perspektiv. De tre olika kategorierna,
primär, sekundär och tertiär artefakt var viktiga i min undersökning.
Under observationerna fokuserades de tre olika artefakterna när eleverna arbetade med
laborativt material. Videoinspelningarna utfördes med en iPhone. Videoinspelning gjordes för att
dokumentera och därefter analysera resultaten. Enligt Larsen (2009) är fördelarna med
videoinspelning att få en samling av mycket information som sedan kan studeras för att få en
helhetsbild.
Under observationen deltog även jag i aktiviteten omedvetet för när eleverna skulle
genomföra aktiviteten underlättade det mycket för läraren att det fanns någon som kunde
hjälpa till. När eleverna delades in i grupper så var det problematiskt för en lärare att gå runt
och förklara för alla grupper. Både jag och läraren ville få ut så mycket som möjligt av
studien, jag ville inte vara helt osynlig för jag ansåg att det inte var praktiskt möjligt med
tanke på att dessa elever är mina gamla elever, och för det andra ville jag att eleverna skulle
vara avslappnade under observationerna. Enligt Halvorsen (1992) är nackdelen med
observation som metod att människors beteende vid observationstillfället kan påverkas
eftersom de vet att de är observerade. En annan svaghet som han påpekar med observation är
att man har svårt att vara objektiv i tolkningen av observationer, utan att påverkas av egen
moral och värderingar. Jag kände klassen och hade redan förkunskaper om elevernas
kunskaper vilket gjorde det svårt för mig att förbli objektiv. Min närvaro påverkade elevernas
prestation under lektionen, elevernas lektion kunde ha blivit helt annorlunda om det var någon
annan som observerade, detta kan ha påverkat resultaten.
3.1.2 Intervju
För att få svar på andra frågeställningen valdes kvalitativa intervjuer. Trost (1997), Patel och
Davidsson (2003) menar att kvalitativ studie är bra att använda om man är intresserad av att
veta hur någon tänker och reagerar, upptäcka företeelser och om man söker efter mönster. I
studien genomförs kvalitativa intervjuer i form av fokusgrupper. I fokusgrupper ligger fokus
på ett visst ämne eller område som man fördjupar sig i men även hur gruppen samspelar och
hur deltagarnas svar kan påverka de andras bild av händelsen eller ämnet (Bryman, 2008).
29
Under fokusgruppsintervjuerna gjordes ljudinspelningar i samförstånd med deltagarna. Dessa
genomlyssnades och transkriberades, först var för sig och sedan gemensamt för att få en mer
sammansatt bild av informationen. Att dokumentera intervjuerna genom att anteckna hade
inte varit en lämplig metod då samspelet i gruppen kunde gå förlorad om man bad deltagarna
att avvakta medan fokusgruppledaren antecknade (Bryman, 2008).
Seymour (1992) menar att strukturen för en fokusgrupp inte är låst till ett visst antal individer
i gruppen eller ett visst antal fokusgrupper utan detta beslutas utifrån vad som är lämpligt och
passar studiesyftet bäst. Storleken på fokusgruppen är omdiskuterat. Allt mellan 4-10
deltagare (Bryman 2008: 453, Seymour 1992, 113-114). Anledningen var dels att
fokusgrupper kan ge stora möjligheter till en djup information från de intervjuade med få
informanter genom den diskussionsprocess som sker i interaktionen mellan deltagarna.
Tanken var här att få ta del av elevernas tankar och åsikter kring hur användningen av
laborativt material påverkar barnens perspektiv och vilken inverkan det har på hur de lär sig.
Jag ville även hitta en form för intervju där min eventuellt tidigare relation till informanterna
skulle påverka så lite som möjligt, vilket var svårt då jag kände eleverna sen tidigare.
Viktigt att beakta vid användning av fokusgrupper är de icke-önskvärda gruppeffekter som
enligt Bryman (2008) kan begränsa metoden. Gruppdynamiskt kan det uppstå problem om
någon deltagare inte låter någon annan komma till tals alternativt att någon deltagare är
väldigt tystlåten. Andra gruppeffekter som kan uppstå i fokusgruppsintervjuer är när
deltagarna gemensamt kommer överens om en åsikt, låser sig vid den och slutar tänka kritiskt.
Grupptryck kan göra att alla åsikter inte kommer fram utan trycks undan av majoritetens
uppfattning. Även att mer accepterade och förväntade åsikter uttrycks oftare i
fokusgruppsammanhang än vid individuella intervjuer, då deltagarna inte vill sticka ut från
normen, bör beaktas vid analysering. Att jag var medveten om dessa gruppeffekter innan
genomförandet av intervjuerna medförde att jag var mer uppmärksam och kunde styra
diskussionen om jag upplevde att samtalet gick åt fel håll, att någon tog över diskussionen
eller inte lät alla komma till tals.
Tursunovic (2002) beskriver fokusgrupper som en kontextuell- och icke hierarkisk metod, det
vill säga den skiftar makt från forskaren till deltagarna i fokusgruppen och att deras styrka
utmärks av att de delar gemensamma intressen eller liknande erfarenheter inom ett område.
Tursunovic menar att de gemensamma intressena tillsammans med att deltagarna har en
liknande utbildning är en viktig faktor för en bra diskussionsprocess.
30
Syftet med intervjuerna var också att ge eleverna möjlighet att reflektera över sitt lärande och
om huruvida de lär sig matematik med hjälp av laborativt material. Att de skulle få dela med
sig av sina tankar och erfarenheter samtidigt höra andras tankar och synsätt på frågeställningar
och sättet hur de arbetade med bråk i matematik.
Enligt Tursunovic (2002) är det forskaren som bestämmer vad hon/han vill veta från
deltagarna, gruppen utvecklar en kreativ konversation kring dessa givna forskningsfrågor och
avslutningsvis så summerar forskaren det hon/han lärt sig från deltagarna, detta innebär enligt
Tursunovic att ”fokus är forskarens medan gruppen är deltagarnas”
Intervjufrågorna (bilaga 1) är i huvudsak kopplade till gruppens redovisning och att
grupparbetet är viktigt för att kunna fördela redovisningsarbetet. Enligt Trost (1997) är det
genom en intervju man ser, hör och har möjlighet att läsa mellan raderna.
Jag valde att intervjua elever i årskurs sex på skolan som jag själv hade undervisat i. Fördelen
för mig var att jag var välbekant med miljön och det underlättade stort mina tolkningar och
förståelse av det som berättades. Nackdelen som jag upplevde var att det var svårt att vara
neutral under själva intervjun för jag kände eleverna för bra, det var svårt att inte vara lärare.
Det är lättare att vara neutral när man inte har någon relation till eleverna.
Innan intervjun var jag väldigt fokuserad på att berätta syftet med intervjun och att elevernas
intervjusvar behandlas konfidentiellt. För mig var det viktigt att personerna kände sig trygga i
situationen innan intervjun.
Under intervjun upplevdes frågorna styrda men dock fanns många öppna frågor som användes
under intervjun. Kvale menar att kvalitativa intervjuer varierar i grad av öppenhet och att
frågorna är ”fokuserade”, det vill säga att intervjuaren leder den intervjuade till vissa teman. Vid
öppna intervjuer står specifika teman i fokus men utan att frågornas formulering och ordningsföljd
är bestämd i förväg (Kvale,1997). Forskningsintervjun är inte ett samtal mellan likställda
parter, för att det är forskaren som definierar och kontrollerar situationen ( Kvale, 1997). Valet
var att intervjua med öppna frågor där gruppen fick utveckla en kreativ diskussion kring de givna
frågeställningarna. Ledande frågor användes enbart för att få förtydliganden eller för att leda
diskussionen vidare, framförallt för att leda processen över från ett tema till ett annat. Kvale
(1997) menar att en kvalitativ intervju innebär en inlärningsprocess för både den som intervjuar
och de intervjuade.
31
Intervjuguide gjordes se (se bilaga 1) med ett par frågor som berör olika områden som var av
intresse men även det som har baserats på själva observationerna. Något som Repstad (1999)
även betonar är vikten av förberedelser inför intervjuer. Han menar att om man är väl
förberedd kan man undvika irrelevant prat. Författaren menar även att man måste tänka efter
vilka man intervjuar, vilket betyder att man som forskare måste räkna med att de personer
som intervjuas har viktig och relevant information.
Valet av gruppintervjuer var också genomtänkt där eleverna skulle få igång en diskussion. En
ytterligare faktor som påverkade var att jag kanske skulle få mer information av eleverna om
de satt i grupp och diskuterade öppet. Den andra faktorn var tidsbrist, att jag inte hann
intervjua alla elever.
3.2 Urval
Undersökningen genomfördes på en skola, som ligger i en skånsk kommun. Valet att göra en
studie i årskurs sex påverkades av mina egna erfarenheter som lärare på mellanstadiet.
Klassen bestående av 14 elever delades in i sex laborationsgrupper. Där varje grupp skulle
bestå av två elever. Eleverna kunde diskutera och komma på tillsammans vissa delmoment
som de hade under matematiklektionen. Jag spelade in vissa delmoment under elevernas
pågånde laboration för att stärka mina observationer, framförallt för att kunna gå tillbaka, se
hur eleverna arbetade med uppgifterna, höra elevernas reflektioner kring den laborativa
materialet. På det sättet kunde jag få en mer generaliserad bild av elevernas bild av den
laborativa matematiken i skolan. En av de stora anledningarna varför jag skriver detta arbetet
är också för jag vill skriva utifrån elevernas perspektiv om hur de ser på det laborativa
undervisningssättet.
Barnen, som deltog i undersökningen, är i elva och tolvårsåldern där alla fick vara med i
undersökningen. Jag hade inget krav på deltagarnas ålder, jag valde tillsammans med läraren
att det skulle få vara en årskurs sex. Alla elever som deltog bestod av tio till tolv barn. Två
elever var sjuka vid ett tillfälle. Det var fler pojkar än flickor. Majoriteten av barn som deltog
hade ett annat modersmål än svenska. Läraren introducerade det laborativa materialet som i
detta fall var bråkstavar.
Laborationerna genomfördes gruppvis (2x60 min) 12 elever intervjuades där indelning var i
två grupper (40 min sammanlagt), fyra flickor och åtta pojkar (se bil.1). Jag hade två stora
gruppintervjuer och för att det ska vara kvalitativa intervjuer så krävs ett större mått av
32
intervjuer (Bryman, 2004). Under intervjuerna hade eleverna möjlighet att reflektera över
förgående lektion som var färsk med många tankar och åsikter. Eleverna diskuterade
lektionens höjdpunkt och gruppens samarbete.
Bråkuppgifterna som jag och klassläraren hade förberett till eleverna till laboration
konstruerade vi utifrån elevernas kunskapsnivå. Eleverna fördelades i sex laborationsgrupper
med hänsyn till uppgiftens kunskapsnivå och elevens genus (dvs. inte enbart pojkar eller
flickor i grupperna). När eleverna var färdiga fick de slutligen redovisa i par. Alla elever fick
vara med i intervjun.
3.3. Genomförande
Jag har valt att göra undersökningen med eleverna som jag har undervisat tidigare.
Genomförande i klassen skall utarbetas i grupper med en laboration för att senare få redovisas
och diskuteras. Brevet delade ut till alla elever. I brevet informerades eleverna, läraren och
föräldrar om syftet med undersökningen, och hur undersökningen var tänkt att genomföras. I
brevet fick eleverna och läraren veta att de skulle vara anonyma. Skriftligt påskrivet av
föräldrarna krävdes en vecka efter inlämningen av brevet att det var ok att deras barn fick vara
med i studien. Läraren svarade på plats och var villig att ställa upp på intervju. Utifrån deras
och mina möjligheter bestämde vi tid och dag för intervjuerna och observationen.
3.3.1. Genomförande av intervjuerna
Det är viktigt att ha en god miljö . Miljön ska vara ostörd och de intervjuade ska känna sig
trygga i miljön där de blir intervjuade. Alla mina intervjuer ägde inte rum på samma plats.
Eleverna valde ett grupprum där oftast specialpedagogen sitter, och läraren valde ett
grupprum som tillhör egentligen ett arbetslagsrum. Vi blev inte störda och det upplevdes som
en väldigt lugn och trygg miljö att genomföra en intervju.
I brevet informeras användningen av Iphone som redskap för att spela in intervjuerna. Innan
intervjun påbörjades frågades eleverna och läraren igen om de fortfarande samtyckte till att
samtalet spelades in. När samtycket godkändes påbörjades intervjun. Fördelen med inspelning
var att det fanns möjlighet att lyssna om och om igen på det empiriska materialet. Och det gav
möjlighet till att kunna göra en transkription av intervjuerna, som underlättade analysen.
Samtidigt kunde röstlägen fångas, som också kunde avslöja mycket om personernas tankar
och åsikter. Trost (1997) anser att fördelen med användning av bandspelaren är att man har
möjlighet att koncentrera sig på frågorna och svaren istället för att anteckna. Han anser att
nackdelen med bandspelaren är att man inte kan fånga detaljer som t.ex. gester och mimik.
33
Medvetenhet fanns där om inspelningsmetoden som kunde påverka eleverna och lärarna
negativt, eftersom många skulle kunna känna obehag när samtalet spelades in. Intervjufrågor
kunde också skapa obehag hos lärarna, de skulle eventuellt kunna känna någon sorts stress
inför frågorna, eftersom de inte visste vilka frågor som skulle ställas. Det märktes att både
elever och lärarna kände lite obehag i början av intervjun, men sedan slappnade de av och
intervjun upplevdes väldigt naturlig.
3.4 Analys och databearbetning
Efter transkriberingen av intervjuer, observationer och videoinspelning samlades all data in
och analyserade utifrån frågeställningarna. För att identifiera mönster, samband och
gemensamma drag valde jag att använda mig av en innehållsanalys (Larsen, 2009). För att få
snabbare överblick av informationen användes en matris där all data fördes in från
transkriberingarna. Alla information som låg utanför frågeställningen togs bort. Utifrån
matriserna kategoriserades data för att lättare kunna upptäcka likheter och samband. Till sist
drogs slutsatser mot tidigare forskning och teorier. Uppfattningen under observationerna
påverkades av personliga bakgrunder, t.ex kön, ålder, utbildning och yrke (Larsen, 2009).
Bakgrund som matematiklärare har påverkat tolkning av resultat i denna studie.
Forsknigsfråga 1:
För att kunna undersöka hur elevernas användning av laborativt material i bråkundervisning
påverkade barns perspektiv, observerades deras grupparbete. Eleverna observerades i hur de
använde laborativt material utifrån den primära, sekundära och tertiära artefakten. Jag kunde
se att det fanns en grupp av elever som använde bråkstaven utifrån den primära arteftakten, då
de tog fram materialet men visste inte riktigt hur det skulle användas och varför det var viktigt
att förstå när man adderade olika nämnare . Eleverna talade tydligt om för läraren att de inte
förstod hur de skulle använda materialet. Läraren fick gå igenom igen med gruppen om de
olika delarna i en hel. Det fanns en annan grupp som jobbade utifrån den sekundära
artefakten, de var duktiga på regler och de började med att först räkna ut uppgifterna genom
att förlänga bråken så att de fick samma nämnare. De kunde även göra om bråken till procent,
men när de använde bråkstaven hjälpte det inte att förstå varför de kom fram till rätt svar,
fortfarande kunde de inte reflektera över sitt eget lärande. Gruppen hade svårt att
kommunicera och ge vardagliga exempel av uppgiften samt att läraren fick ofta påpeka vikten
av att hela gruppen skulle vara aktiva inte enbart vissa. Det fanns en grupp där den tertiära
artefakten hjälpte vissa elever att bygga upp ny kunskap och jag kunde se hur eleverna
34
kommunicerade och var aktiva i att reflektera över en uppgift och hur de var produktiva i ett
nytt sätt att tänka.
Uppmärksamheten fanns på lärarrollen och hur läraren introducerade det laborativa
materialets möjligheter för eleverna. Hur läraren gav feedback till elever, förde diskussioner
och hur kommunikationen var mellan läraren och eleverna. Läraren observerades utifrån de
uppgifter som hade delats ut, om uppgifterna gav eleverna möjligheter att experimentera och
utveckla olika strategier när de fick använda laborativt material. Det var viktigt och se om
eleverna kunde utvecklas.
Forskningsfråga 2:
För att kunna undersöka hur användningen av laborativt material har påverkat barnens
perspektiv av laborativt material och vilken inverkan det har haft på hur de lär sig, har alla
elever deltagit i intervjun. Fokusgrupper genomfördes för att att det skulle ge stora
möjligheter till en djup information från de intervjuade, samt att det skulle ske genom en
diskussionsprocess i interaktion mellan deltagarna.Under intervjuerna skulle eleverna berätta
om deras syn på laborativt material och vilka olika sätt fann de att det fanns med att använda
materialet. I analysen av elevintervjuerna samlades data in utifrån hur eleverna uttryckte sig
om hur laborativt material påverkade deras användning och vilken inverkan lärarna hade på
hur de lär sig att använda materialet. Den analyserade datan utgick från de intervjufrågor som
jag hade ställt till grupperna. Frågorna sorterades och utgick ifrån rubriker som handlade om
laborativ material och barns perspektiv utifrån den primära, sekundära och tertiära artefakten.
Analysen visade att de flesta eleverna använde sig av den primära och sekundära artefakten.
De använde bråkstavarna genom den primära för de hade bråkstavarna framför sig, använder
dem men förstod inte hur de fungerade riktigt och vad man gör med dem. Det fanns tre elever
som använde materialet utifrån den tertiära. De kunde reflektera över sitt lärande och visa för
en kamrat hur han/hon tänkte. Eleverna var positiva till att använda laborativt material, det
var roligt och lärorikt. Om man kunde bråkdelarna sedan innan underlättade det mycket för
många elever, det blev mycket enklare för de eleverna att lägga fram bråkdelarna. För många
elever blev det skönt att kunna sätta svaret framför sig istället för att bara ha det i huvudet,
eleverna berättade även att när man får göra något själv och får använda konkret material
förstår man mer. Eleverna kunde lösa uppgiften med hjälp av materialet men framförallt
utifrån den primära och sekundära. Det fanns bara tre elever i klassen som kunde använda den
35
tertiära artefakten. Eleverna poängterade att det var viktigt att läraren var tydlig och att man
kunde förstå vad man ska göra.
3.5 Forskningsetiska överväganden
All forskning skall uppfylla fyra individskyddskrav, och dessa är informationskravet,
samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002). När
det gäller informationskravet blev alla deltagarna i min undersökning informerade i god tid.
Jag skrev ett brev (se bilaga 2) i vilket jag informerade dem om undersökningens syfte och på
vilket sätt de skulle bli involverade i undersökningen. De fick också veta att deras deltagande
är frivilligt, och att de har rätt att själva bestämma om de skulle delta eller inte samt att de kan
avstå från deltagande när de vill. Detta överensstämde med samtyckeskravet. I brevet fick de
veta om hur det insamlade materialet av studien kommer att användas, alltså i ett
examensarbete och inte i något annat syfte, och detta överstämmer med nyttjandekravet.
Konfidentialitetskravet uppfylldes genom att i brevet nämna att deltagarna skulle förbli
anonyma, och att inga namn och personliga uppgifter ska nämnas i examensarbetet. Namnen i
arbetet ska vara fingerade (Vetenskapsrådet, 2002).
36
4. Resultat analys och diskussion
I resultaten presenteras olika avsnitt som svarar på forskningsfrågor. För att kunna besvara
frågor har relevanta rubriker valts ut som först presenterar de olika avsnitten genom
observationer, därefter har intervjuer använts. De olika avsnitten presenteras först genom
beskrivningar av observationerna från lektionen där jag visar bilder och elevernas arbete med
det laborativa materialet, samt de aspekter eleverna framförde under lektionen. Resultaten
kommer att presenteras som beskrivningar och tolkningar utifrån vad jag har observerat. Efter
observationernas resultat kommer elevernas intervjuer att redovisas utifrån deras åsikter kring
hur det laborativa materialet påverkar deras matematikinlärning, men även vilka för- och
nackdelar de såg med att använda den laborativa matematiken.
Resultaten av intervjuerna
kommer att varvas med inslag av citat från intervjuerna för att stärka mina tolkningar. I varje
diskussion visas även den problemformulering som jag svarar på. Anknytningen till
forskning, litteraturstudier till varje citat där sambanden diskuteras mellan dem. Resultat,
analys och diskussion presenteras under samma kapitel.
4.1 Hur påverkar laborativt material matematikundervisningen
Observationerna gjorde jag under två lektioner, 2x60 minuter. Tiden var en begränsande
faktor eftersom alla elever inte löste alla uppgifter. Vi hann däremot diskutera olika lösningar
som eleverna hade kommit fram till. De flesta elever hade lätt att komma igång med sina
bråkstavar, det laborativa materialet påverkade eleverna positivt. Eleverna ville lära sig, de
ville förstå hur man kan lösa bråkuppgifterna med hjälp av bråkstavar. Under observationen
upplevde jag att det inte var självklart att alla elever förstod att en halv var större än en
fjärdedel. Många elever upplevde en ahakänsla när de jobbade med det laborativa materialet.
4.1.1 Observationen
Utifrån observationen av ett lektionspass kunde man se att laborativt material konkretiserade
matematikmomentet bråk för flera elever utifrån primär, sekundär och tertiär artefakt. Enligt
bild 4.1 och bild 4.2 kan vi tydligare se hur eleverna jobbade med laborativt material och hur
bråkuppgifterna konkretiserades för eleverna med hjälp av bråkstavar. Eleverna satt och
arbetade med bråkuppgifter och tog hjälp av ett bråkmaterial som i detta fall var bråkstavar
för att ta ut olika bråkdelar och få en visuell förståelse för vad en halv och en fjärdedel blir
tillsammans.
37
Figur 1: Elevernas bråkuppgifter
I Figur 1 kan vi se vilka bråkuppgifter eleverna fick jobba med under denna lektion. Med
hjälp av bråkstavar kunde eleverna förstå att en halv är lika mycket som fyra åttondelar och
att en fjärdedel är lika mycket som två åttondelar. Detta kopplar jag även till den sekundära
och tertiära artefakten, då vissa elever kunde få en förståelse med hjälp av materialet medan
det fanns några elever som använde sig av matematiska regler först, innan de använda sig av
laborativt material. Tillsammans blev uträkningen sex åttondelar. De fick fram svaret och det
fanns några elever som kunde reflektera över vad det är de har gjort, och hur det har hjälpt
dem att förstå varför de fick det svaret och gett dem ett nytt sätt att tänka. Eleverna har
upplevt ett nytt sätt att se på uppgiften när de fick jobba med det laborativa materialet. Det har
hjälpt dem att bygga upp ny kunskap.
Eleverna kunde diskutera om lärningsprocessen och hur de har löst uppgifterna med hjälp av
bråkstavar. I diskussionerna har eleverna talat om för varandra hur mycket som saknas för att
det ska bildas en hel. Här kopplar jag till tertiär artefakt, då de kunde reflektera och dra
slutsats. Även om vissa elever visade för läraren att de kunde reglerna om hur man förlängde
och förkortade bråk, så är det inte självklart att de har förstått hur mycket sex åttondelar av en
pizza är. Då har eleverna utgått enbart utifrån den sekundära artefakten, man har en pizza
framför sig men man har inte förstått att man kan dela den i åtta delar.
Under pågånde laboration ritade läraren en halv och en fjärdedel på tavlan. Läraren relaterade
till pizza och eftersom eleverna har lättare att se hur det kommer att gestalta sig. De vet att ju
fler man är som skall dela på en pizza, desto mindre bitar blir det till var och en. Hur bråktal
introduceras och behandlas kommer framförallt från läraren. Fokuset under lektionen har varit
att förstå innebörden av begreppet bråktal och i vilka situationer det är aktuellt att använda sig
av bråktalsräkning. Konkretisera det abstrakta för eleverna är att upplysa om att ta hjälp av
38
bråkstavar ifall de upplever uppgifterna att jämföra storleken på bråktal som svår. ”Avsikten
med uppslaget är att eleverna ska få arbeta konkret med bråks storlek och därigenom få en
god taluppfattning av bråk” Vad jag kunde se under observationen var också att de naturliga
talen påverkade barnens föreställningar om de rationella talen. Det var några barn i början av
lektionen som trodde att
1
1
1 1
var större än eftersom 4 är större än 3. När de adderade +
4
3
2 4
2
6
. När de tog fram bråkstavar insåg dem att svaret blev istället.
6
8
fick dem det till
Figur 2: Eleverna använder bråkstavar när de ska reflektera över hur de har löst uppgiften
I Figur 2 kan vi se hur eleverna börjar reflektera över hur de har löst två hela och tre
fjärdedelar i parantes. Eleven i en grupp börjar att berätta för läraren att han började med att
tänka på en del av en hel. Eleven började först att rita upp bilder på pizzor . Bråktalet 2 hela
pizzor
3
3
betyder här att den tredje pizzan har delats i fyra delar och bråktalet
representerar
4
4
3 av dessa delar (se Figur 3).
Figur 3: Pizzor
Sedan började eleven att använda sig av bråkstavar för att jämföra den vardagliga pizzan med
materialet han jobbade med för att bekräfta om han hade gjort rätt. Slutligen multiplicerade
39
han två med fyra och addderade det med tre och det blev elva fjärdedelar. Jag kopplar detta
även till den tertiära artefakten, eleven kan lösa uppgiften med hjälp av bråkstavar och kan
koppla det till sin vardag och även diskutera processen med sin kamrat hur man gått till väga
för att lösa uppgiften.
Läraren frågar eleven om han kan berätta hur han har löst bråkuppgiften och om han kan
förklara varför han multiplicerar tvåan och fyran i parantesen. Först tittar eleven på läraren
och svarar att han inte kan förklara, han visar först bara pizzabilden, läraren ber eleven att han
tittar på talet igen och tänker på varför det blev elva fjärdedelar? Eleven tittar på uppgiften
igen och svarar;” jag multiplicerade två med fyra”. Läraren frågade eleven igen vad åtta
innebär? Eleven svarade; ”om man inte hade adderat med tre skulle det bli åtta fjärdedelar.
Två hela innehåller åtta fjärdedelar och därför multiplicerar man två med fyra”. Eleven har
gått från den primära artefakten, till att lösa uppgiften, dvs den sekundära artefakten till att
reflektera och diskutera på djupet hur han har gått till väga när han har löst uppgiften. Det
innebär att han har kommit till den tertiära artefakten. Han har använt sina tidigare kunskaper
och erhållit nya kunskaper.
Det är av stor vikt att eleverna får prata och diskutera bråkbegreppet och lösningsstrategier
med läraren under matematiklektioner när man använder laborativt material. Eleven berättar
att allt har fallit på plats idag. Användningen av stavar har hjälpt eleven att bekräfta och se
tydligt delarna i bråk samtidigt som det har hjälpt den att sätta ord på bråkbegreppen och hur
man ska göra vid bråkuträkningen med olika nämnare och täljare. Oerhört viktigt är att
eleverna får sätta ord på sina tankar. Läraren har stor betydelse i diskussioner, och kan hjälpa
och leda eleverna till att tänka ett steg vidare. Ibland behöver eleverna bara en liten push.
4.1.4 Konkretisering
Båda grupperna som intervjuades höll med om att en laborativ undervisning konkretiserar
undervisningen. Sex elever i grupp A var eniga om att de kunde lösa uppgifterna med hjälp av
bråkstavar som de fick använda. Många elever svarade liknande, det som skilde dem åt var
framför allt att vissa elever pratar om att de förstår mer med hjälp av material, medan andra
talar om att de lär sig mer med hjälp av material. Eleverna kunde med hjälp av bråkstavar få
en större förståelse hur en fjärdedel blev två åttondelar, samt få ett större självförtroende när
de jobbar med den abstrakta matematiken. Det laborativa materialet användes utifrån den
primära artefakten, för eleverna kunde se konkret med hjälp av bråkstavar. De kunde se
konkret att en fjärdedel blev två åttondelar, men kunde dock forfarande inte räkna ut det med
40
matematiska lösningstrategier. Bråk är mycket symboler och kan oftast vara mycket abstrakt
för eleverna. Uttal, Scudder och DeLoache (1997) påpekar att laborativt material ska hjälpa
elever med att uppfatta laborativt material som symboler. Ball (1992), som jag citerar i
inledningen, lyfter fram att barn lär sig bäst genom att integrera laborativt material i
matematikundervisningen för de är konkreta och speciellt när barn ska lära sig matematik.
Sammy: ”Det som var bra med lektionen igår är att folk kanske inte lär sig direkt
av tavlan. När man gör det med egna händer så förstår man
mer”.
Mattias: ”När du förklarade en uppgift igår med hjälp av stavarna och idag när
den andra läraren förklarade så förstod jag mycket bättre”.
När eleverna fick vara aktiva med egna händer, som i detta fall när eleverna fick jobba med
bråkstavar, så fick de vara aktiva, söka förståelse med hjälp av bråkstavar för att se hur
bråkdelar hänger ihop för att kunna få en förståelse så småningom.
Att känna lust för lärande innebär för många att både kropp och själ tar del i undervisningen
(Skolverket, 2003). När man söker förståelse med hjälp av laborativt material får man reda på
hur vissa delar hänger ihop för att slutligen själv kunna förstå vad man har lärt sig. Detta är
något som Sammy, Mattias och Skolverket (2003) ser gemensamt på. Detta svarar även på
mina forskningsfrågor, att det laborativa materialet påverkar matematikinlärningen och att
Sammy såg detta som en fördel för allting är inte tydligt bara för att det visas på tavlan. Jag
kopplar här även den sekundära artefakten, för Sammy kunde vara aktiv och genomföra
uppgiften med förståelse. Kunna reflektera över lärandet kopplas till den tertiära artefkaten.
Mia och Daniella gillar också att lära med bråkstavar.
Mia och Daniella berättar: ”Man lär sig mer med laborativt material för man gör
det själv, det är svårare att ha det i huvudet. Man kan sätta svaret
framför sig inte bara ha det i huvudet, det är mycket lättare att
ha det framför sig som t.ex. stavarna”.
Mia och Daniella finner att det är svårt att göra bråkuträkningar med hjälp av inre bilder, de
tycker att det är en fördel att använda bråkstavar, för det hjälper dem att lösa uppgifterna. Men
Szendrei (1996) varnade för att laborativt material inte alltid kan lösa elevernas problem, utan
kan skapa andra problem. Om eleverna blir alltför beroende av konkret material, så kan de ha
41
lärt sig hur man gör matematik, men kan också ha lärt sig att de inte kan göra matematik utan
material. Detta laborativa material används som stöd till uträkningen, men frågan är vad som
händer med dessa elever om de inte har materialet till lektionen? Jag tycker att Szedrei (1996)
visar tydlig hur det kan gå för elever som Mia, att det kan var så att materialet kan vara
användbart i vissa moment. Det är roligt att se när eleverna upplever under lektionen att de
äntligen kan, men frågan är om de har förstått? Och kan de använda de kunskaperna i ett
annat sammanhang?
Under intervjun berättade Mia även att de fick lära sig multiplikationstabellen med hjälp av
digitala program, där det fanns olika mattespel där man kunde öva på multiplikationstabellen
samtidigt som man tävlade med sina klasskamrater. Skolverket (2003) lyfter också fram att
laborativt material kan vara mer än bara konkreta material, som de digitala material Mia
hänvisade till. I Mias fall är det tävlingen i de olika spelen som hon tycker är lustfylld. Därför
värdesätter eleverna det laborativa materialet, inte bara för att de kan hjälpa barnen att lära sig
och förstå matematik, utan också för att barnen tycker om att använda dem. Som Skolverket
(2003) angav i sin rapport, menar de att eleverna lär sig mer om de gillar att göra matematik.
Mia: ”Det blir roligare med lekmatte för alla gillar tävlingar”.
Mia tycker att det blir roligare med lekmatte för hon associerar leken till tävlingen.
Förmodligen har Mia tidigare erfarenheterer av att läraren använder sig av olika tävlingar när
de har lekmatte. Moyer slår fast att det är oklart om lärare gör anslutningar till eller företräder
matematiska idéer på ett meningsfullt sätt när de använder laborativt material. Anledningen
till detta var att lärarna tyckte att laborativa material kunde användas till ett kul avbrott, men
inte var nödvändiga för elevernas lärande. Elever som bara arbetar med laborativt material i
”roliga” aktiviteter har sannolikt svårare att upptäcka meningsfull matematik med hjälp av
dem (Moyer, 2001). Jag kopplar detta till den primära, sekundära och tertiära artefakten för
det laborativa materialet kan vara alla tre, beroende på hur man använder materialet i olika
sammanhang. Utifrån Moyers studie där eleverna jobbar med laborativt material enbart som
ett kul avbrott och där lärarna ansåg att det inte behöver ske något lärande, kan för många
elever utgöra en risk att de stannar vid den primära artefakten. Det vill säga att materialet
används enbart utifrån ett sammanhang där läraren behandlar materialet som ett roligt
föremål, då kan materialet bara vara en primär artefakt. Eleverna har då ingen möjlighet att
utveckla sitt lärande genom laborativt material.
42
4.1.5 Diskussion
I denna diskussion lyfter jag fram min första problemformulering: Hur är elevers perspektiv i
årskurs 6 gällande hur de använder laborativt material i bråkundervisningen? Jag knyter an
min problemformulering till diskussionen där de intervjuade eleverna svarar hur de uppfattar
att laborativt material påverkade deras matematikinlärning. Vissa elever anser att deras
förståelse ökar när de använder laborativt material och att det blir mer konkret för dem samt
att deras intresse ökar för matematiken när de får göra något praktiskt. Sex elever i grupp A
var eniga om att de kunde lösa uppgifterna med hjälp av bråkstavar som de fick använda. Två
elever svarade att det var en lättnad att använda material, för de behövde inte ha allting i
huvudet. Szendrei (1996) skriver att det finns både för- och nackdelar med att använda
laborativt material. Det laborativa materialet kan också vara elevernas fiende när eleverna
känner att de bara kan lösa uppgiften med hjälp av materialet.
Några elever lyfter fram att förståelsen och lärandet växer när de får vara aktiva, t.ex. när de
får arbeta med händerna, och när de kan röra vid något. Målet med att konkretisera är att
hjälpa eleverna i detta arbete med att utveckla tankeformer (Engström, 2007).
4.2 Hur påverkar lärarnas instruktioner inlärningen av laborativ matematik?
4.2.1 Observation
Under min observation i klassen och intervjuerna med eleverna kunde jag se att läraren hade
en inverkan på elevernas engagemang i matematiken. I elevernas intervjuer kommer det
tydligt fram att lärarnas instruktioner påverkar deras matematiska inlärning. Eleverna har
fortfarande inte blivit självständiga vilket gör att de ser läraren som den viktigaste punkten i
deras lärande.
I intervjun berättade Grey om svårigheterna han hade att förstå instruktionerna i boken och att
han hellre vill ha tydligare lärarinstuktioner.
”Grey anser att det är mycket bättre med laborativt material, man förstår mer när
man gör så istället för att göra det i boken. Man förstår ändå inte
instruktionerna i boken”.
Eleven har svårigheter med att räkna självständigt i boken, förstår inte mattebegreppen vilket
kan vara anledningen till att eleven inte kan förstå instuktioner i boken, har svårt att förstå när
läraren har genomgång eller när läraren förklarar. En annan anledning kan vara att eleven inte
är ansvarig för sitt eget lärande och överför problemet på läroboken eller läraren. Läroboken
43
är inte den enda problematiken för eleverna som ska lära sig matematik. Jarberg et al , (2002)
nämner också att lärarens kompetens borde utökas, att förändra lärarnas sätt hur de lär ut är
inte det enklaste.
Under den laborativa lektionen illustrerade läraren laborativt material som eleverna skulle
använda för att lösa en bråkuppgift. Läraren illustrerade tydligt, vilket gjorde att Mia kunde
utföra uppgiften, som hon sjäv också påpekade. Szendrei (1996) betonar också att det
laborativa materialet i sig enbart är en artefakt. Det är läraren, som genom sitt sätt att
presentera och utnyttja materialet, ger det liv. Lärarens roll är med andra ord avgörande för
om materialet leder till en konkretisering eller inte.
Alan: ”Du visar oss ett sätt med hjälp av stavarna, sen visar du andra sättet på
tavlan. Jag tycker det är bra”.
Under laborationen fick eleverna jobba i grupp med stavarna, Alan uttryckte att han tyckte att
det fungerade bra under den laborativa matematiken och anledningen till det är att läraren
visade olika sätt hur man kunde lösa en bråkuppgift för honom. Han ser detta utifrån den
sekundära artefakt, för han fick vara aktiv i lärandet, samt att läraren förklarade på två olika
sätt där han först fick lära sig att jobba utifrån stavarna och sedan genom att rita och skriva det
som läraren visade på tavlan utifrån en pizzamodell.
4.2.2 Diskussion
Min andra forskningsfråga; Hur kan lärarna påverka elevernas uppfattnigar om laborativt
material med hjälp av tre olika kategorier?
De flesta elever är positiva till lärarens instruktioner och tycker att det laborativa materialet är
roligt att jobba med om läraren visar det på olika sätt. Lärarens roll är med andra ord
avgörande för om materialet leder till en konkretisering eller inte. Detta är något som eleverna
även lyfter fram genom sina citat. Barnen i intervjuerna hade mycket att säga om hur man
använder laborativt material och det skulle vara värdefullt för lärare att använda liknande
information i planeringen hur man kan integrera laborativt material till lärande.
4.3 Hur lär man sig matematik på bästa sätt?
Under intervjun fick eleverna berätta hur de tyckte att de lär sig matematik på bästa sättet.
Intervjuerna var avslappnade och det var lätt att sätta igång diskussionen bland eleverna. De
flesta elever hade inga problem att uttala sig om vad de tyckte. Det var många elever som
44
tyckte att de lär sig bäst när de får arbeta i grupp och när man har en variation i
undervisningen.
4.3.1 Observation
Under observationerna har jag kunnat se att eleverna arbetar med laborativt material i grupp.
Grupperna bestod av två elever. Eleverna var aktiva i grupparbetet, men det är väldigt
individuellt hur mycket man gör i en grupp. Vissa elever tar för sig medan andra frågar
kamraten om förklaringen. Det jag har kunnat se i observationen är att när elever inte gör så
mycket frågar kamraten den berörda eleven om han eller hon kan göra något. Jag har även sett
elever som dominerar i gruppen och har svårt att lyssna på andra i gruppen. Men överlag så
lyssnar eleverna på varandra och har en positiv inställning. Enligt Vygotskij (1995) sker
lärande med hjälp av kommunikation och deltagande i en social aktivitet. Jag kunde ta del av
kommunikationen mellan eleverna från mitt observationstillfälle, där detta var ett naturligt
inslag i undervisningen. (Dienes, 1960), arbetade för att öka elevers förståelse för matematik
baserat på laborativa material. Han konstruerade multibaskuberna, de första algebraiska
materialen samt de logiska blocken. Dessa material och tillhörande instruktioner ligger till
stor del till grund för nutidens användning av laborativa material i matematikundervisningen.
Dienes sammanförde exempelvis grupparbeten med laborativa material långt innan ord som
konstruktivism och jämlikhet blev moderna (Sriraman & Lesh, 2007). Löwing (2004) tar upp
att det kan finnas nackdelar med att elever arbetar i grupp. Hon skriver att hon har erfarenhet
av att lärare alltför ofta förutsätter att elever klarar av att samarbeta på ett utvecklande sätt.
Flera grupparbeten startas utan att eleverna lärt sig att använda grupparbetets möjligheter.
Löwing beskriver också att hon vid flera tillfällen sett elever som inte blivit delaktiga i
grupparbetet och därför inte fått några möjligheter att lära.
Det matematiska språket kunde jag uppmärksamma från observationerna som jag hade sett,
samt att eleverna nämner i intervjun hur de kan fråga varandra när de jobbar i grupp. Både
intervjuer och observationer visar på att eleverna försökte lösa bråkuppgifterna genom att
diskutera med sina kamrater i gruppen.
4.3.2 Grupparbete
Här presenteras elevernas upplevelser och tankar när de arbetar i grupp. Grupparbete ger en
möjlighet för eleverna att samarbeta, föra en diskussion kring det laborativa materialet och
själva bråkuppgiften som de jobbar med. I kommunikationen får eleverna använda sig av
matematiska begrepp.
45
Sammy lyfter fram: ”Jag tycker mer om att jobba i grupp när vi har t.ex.
problemlösning, bråk. Då kan den andra förklara”.
Bergren och Lindroth (2004) förklarar också att den laborativa matematiken hjälper våra
elever att tillägna sig kunskap genom kommunikation, laboration, diskussion och reflektion.
Sammy upplever det mer givande för hans lärande när han får diskutera en problemlösning
hur han har kommit fram till ett visst svar. När man jobbar i grupp har man inte samma press
att lösa uppgiften, om man inte skulle förstå så kanske kamraten kan förklara. Detta stödjer
även Bergren och Lindroth (2004).
Alan: ”När jag tittade så satt en grupp bredvid mig, där en elev bara räknade och
de andra satt och tittade, det verkade inte som om de andra
hängde med”.
Moyer (2001) påpekade att det inte betyder att alla lär sig bara för de arbetar med laborativt
material. Det kan vara precis som Sammy säger att det finns de som inte förstår något av
uppgiften och låter bara en person räkna, medan de andra sitter och tittar på och inte får något
ut av lektionen.
Camilla: ”Det var bra att vi skulle förklara det så att ni kunde se hur vi kommer
fram till svaret”.
Det är bra när eleverna får jobba i grupp och experimentera, det ger eleverna möjlighet till att
öva på att förklara för varandra samtidigt som det sker en reflektion. Detta kopplar jag tillbaka
till tertiär artefakt vilket inte stödjer det laborativa materialet utan det stödjer barnens arbete i
par och deras reflektion. Eleverna får reflektera över hela inlärningsprocessen för att kunna
förklara för varandra. Vygotskij (1995) betonar det viktiga i att barnet självt är aktivt och får
experimentera och utforska när det ska lära sig något. Enligt Bruner (1966) har barnet språket,
vill lära och skapa mening. Genom kommunikation och görandet skapar barnet sin förståelse
för sin omvärld och utvecklar sitt medvetande.
Åsa: ”Vi fick jobba med bråklappar och det var ju spel. Det var mycket roligare
sätt att lära sig bråk, det var inget man tänkte på man bara lärde
sig”.
Åsa upplever att det ska vara lustfyllt när hon får lära sig bråk. Spel är något som väcker
intresse hos barnen, man ser oftast hur elevernas engagemang plötsligt växer så fort dem hör
46
ordet spel. Åsas punkt visar att barn kan ha roligt och inse att de lär sig matematik. Däremot
kräver det att barnen engagerar sig i reflektion för att kunna se denna koppling och detta kan
inte ske om inte läraren uppmuntrar till detta.
4.3.4 Variation
Här lyfts olika perspektiv som är lustfyllt lärande för eleverna. Eleverna berättar när de
upplever att de lär sig på bästa sätt.
Alla elever i grupp B berättade ”vi lär oss bäst när vi har roligt och när alla är med”. Eleverna
har gett oss bilden av att de tycker det är viktigt att alla i gruppen är delaktiga i gruppens
arbete, samtidigt som de kan vara aktiva och göra något lustfyllt. Eleverna lägger fram en
tydlig artefakt som är sekundär, för alla elever deltar aktivt när de ska lära sig. Bergren och
Lindroth (2004) nämner också att när eleverna är aktiva i lärandet tycker de oftast att det är
roligt, och det leder till motivation hos eleverna. Detta kan även kopplas till den sekundära
artefakten, när eleverna är motiverade ökar deras intresse för ämnet. När eleverna får
genomföra laborativt grupparbete leder det även till diskussion och reflektion. Diskussion kan
kopplas till sekundär och reflektion kan kopplas till tertiär artefakt. Detta påstånde stödjer
även Bruner (1966). Han ansåg att inom all undervisning borde målet vara att
lektionsinnehållet upplevs menings- och lustfyllt för eleverna.
En naturlig dialog till diskurs, där eleverna lär sig att ifrågasätta, argumentera, förklara,
motivera och generalisera, kan uppnås genom de modeller som tillhandahålls av lärare och
andra i samverkan med olika artefakter (Riesbeck, 2008). Riesbeck är tydlig i sin kommentar
om artefakter därmed kopplar jag dem till den tertiära artefakten.
Åsa tycker att hon lär sig bäst när hon och hennes kamrater får göra olika saker, inte bara
matteproblem eller bara laborativt utan blandat, för då ”fattar man lite mer och mer på varje
sak”. Även Camilla påpekade liknande saker. ”Jag tycker mattebok, tavlan, laborativt, och allt
möjligt och så sådana däran när man går till varje lyktstolpe.
Enligt Lgr 11 (Skolverket, 2011a) ska en lärares undervisning vara varierad både när det
gäller innehåll och arbetsformer för att utveckla en bred kunskapsbas. En elev i årskurs sex
säger följande:
”Vi vill vara aktiva, det blir mer roligare när det blir som t.ex. en tävling. Alla
vill komma först. Jag tycker att man lär sig bäst matematiken när man får
matematikboken som läxa så man kan ta den hem och räkna. Jag tycker i
47
skolan ska man jobba laborativt och på tavlan och typ så som vi gjorde med
dig, när vi hade många tävlingar. Matematiktävlingar och tipsrunda och
sudoku”.
Berggren och Lindroth (2004) anser att det är viktigt att låta elevernas kreativitet bli en
tillgång. För att kunna arbeta med laborativa uppgifter måste man som lärare ha kunskap om
det matematiska innehållet i laborationen dessutom måste man ha ett mål med uppgiften.
4.3.5 Diskussion
Hur kan lärarna påverka elevernas uppfattnigar om laborativt material med hjälp av tre olika
kategorier?
Vilka för- och nackdelar ser eleverna med att använda det laborativa materialet i
undervisningen?
Det är viktigt att få elevernas tankar hur de lär sig matematik på bästa sätt. I detta kapitel
kommer det tydligt fram att de flesta elever är positivt inställda och tycker om när de får
arbeta varierande, med grupparbete, där både samarbetet, kommunikationen och reflektionen
kommer fram. Detta kopplas till den primära sekundära och tertiära artefakten. När eleverna
får arbeta variabelt med laborativt material finns det en möjlighet för en elev som har befunnit
sig i den primära artefakten att komma till den tertiära artefakten med hjälp av tydliga
instruktioner av läraren. Det är det alla lärare strävar efter att få eleverna att förstå varför man
har kommit fram till just den lösningen, kunna koppla till vardagsrelaterade situationer.
Kunna reflektera över sitt eget lärande, upptäcka ett nytt sätt att se på saker och uppleva nya
kunskaper. Artefakter kan vara allt från läroboken, spel, sudoku, tavlan och tävlingar.
En nackdel som kom fram när eleverna jobbade i grupp var att det fanns elever som inte var
aktiva, de lät en kamrat göra alla uppgifter. Detta innebar att det inte blev kommunikation och
uppgiften tappade sitt syfte.
Lärarens roll lyftes fram, hur viktig den är när eleverna ska lära sig bråk med hjälp av
bråkstavar och hur den primära, sekundära och tertiära artefakten är sammankopplade till hur
läraren ser på materialet. Om läraren ser materialet enbart som ett roligt föremål utan att det
kan medföra ett syfte i barns lärande, då kan eleverna enbart komma till den primära
artefakten. Man kan se materialet men inte rikigt veta hur man kan lära sig att räkna och föra
en dialog om uppgiften. Däremot om man har en lärare som är insatt i materialet, som ser
materialet som en tillgång till lärande, och där materialet kan hjälpa eleven att utveckla sitt
48
tänkande genom att experimentera med hjälp av materialet, föra ett samtal, diskutera, då har
läraren använt sekundär artefakt utifrån föremålet. Om eleverna med hjälp av materialet kan
reflektera över sin lärandeprocess, allt från att kunna berätta och beskriva räknestrategier och
genom sina kunskaper skapa en ny kunskap, då har eleven använt den tertiära artefakten. Det
kommer tydligt fram i resultaten att läraren har en avgörande roll om det sker ett lärande eller
inte.
49
5. Sammanfattning
Målet med denna studie har varit att ta reda hur elevers perspektiv är i årskurs 6 gällande hur
de använder laborativt material i bråkundervisningen och hur användningen av laborativt
material har påverkat deras perspektiv och vilken inverkan har det på hur de lär sig?
Anledningen att jag valde att fokusera på detta är framförallt min egen bakgrund som lärare
och det intressanta med det laborativa arbetssättet. Många gånger gör jag utvärderingar, men
detta kändes som ett otroligt tillfälle att passa på och höra mina elevers tankar vad de
upplevde och kände när de jobbade med det laborativa materialet. Urvalsgruppen till min
undersökning var en passande grupp då eleverna var vana att jobba laborativt och inte endast
med läroboken.
Tillförlitligheten i min studie är inte av den starka sidan och detta beror på att det enbart var
tolv stycken elever som deltog i min studie, detta gäller även för reliabiliteten i
undersökningen som inte heller går att generalisera. Nu i efterhand anser jag att jag skulle ha
gjort annorlunda, den nyfikna sidan av mig skulle gärna vilja se samma studie men med fler
elever. Det hade varit intressant om det hade blivit liknande resultat. Något som jag kan
generalisera är framförallt resultatet som framkommer och överensstämmer till stor del av det
som står i litteratur och tidigare forskning.
Det som visar sig tydligt i intervjuerna är framförallt lärarens förmåga att förklara och skapa
intressanta lektioner. Jag sammankopplar intervjuerna även utifrån den primära, sekundära
och tertiära artefakten. De flesta elever är positivt inställda till laborativt material när läraren
kan förklara, då utgår läraren ifrån den sekundära artefakten. Det fanns elever i
undersökningen som inte förstod hur de skulle använde materialet, och de kunde inte uppleva
att det var meningsfullt. De kom enbart till den primära artefakten, de kunde använda
bråkstavar men visste inte hur materialet fungerade. Elever som kunde lösa uppgiften med
hjälp av bråkregler som man kunde se i figur 4 använde sig av den sekundära artefakten. Den
sekundära artefakter hjälper inte eleverna att förstå varför de kommer fram till rätt svar. Dock
kunde man se i figur 4, 5, och 6 elever som använde sig av den tertiära artefakten. De kunde
reflektera över uppgiften hur de kom fram till svaret. Eleverna kunde förklara varför och vad
bråkstavar används till och hur de fungerar. Nya kunskaper implenterades och ett nytt sätt att
tänka trädde fram bland eleverna.
Många elever lyfter fram i intervjuerna att de föredrar att jobba laborativt, varierande och i
grupp. Eleverna tycker att de lär sig bäst när alla har roligt och när alla är med. Utifrån den
50
relevanta litteratur och tidigare forskning är det bra att arbeta med laborativt material under
matematiklektionen.
Min undersökning och forskning har visat att eleverna erhåller bättre förståelse för
matematiken när de får vara aktiva, jobba med konkret material utifrån kommunikation och
reflektion. Med hjälp av materialet kan man även föra samman situationer, bilder, tecken,
symboler, mattebegrepp och det matematiska språket. Det konkreta materialet är ett bra
hjälpmedel som för många elever vidare i sitt lärande. Den viktigaste upptäcken för lärandet
är när läraren upptäcker att eleven enbart befinner sig i den primära zonen, att man har en
kännedom om det och kan hjälpa eleven att gå vidare till den sekundära och tertiära
artefakten.
Enligt Schwartz och Taylor (2005) ska det ske en reflektion över laborativ matematik
eftersom inte allt laborativt material leder till meningsfullt lärande. Väldigt tydligt kan man se
det om det laborativa materialet enbart används utifrån den primära artefakten. I denna studie
har jag upplevt att en del elever i årskurs sex har reflekterat över hur de har lärt sig bråk med
hjälp av bråkstavar, vilket innebär att det har skett en reflektion då eleverna har använt sig av
den tertiära artefakten. Det har varit otroligt lärorikt och givande för mig som lärare att ta del
av mina elevers tankar och åsikter om hur det laborativa materialet påverkar deras
matematikinlärning.
51
6. Förslag på fortsatt forskning
Ett intressant område som jag skulle vilja undersöka vidare är om elever lär sig mer när de får
arbeta i en matematikverkstad där områdena är uppdelade i olika sektioner som experiment,
grupparbete, praktiskt arbete och en blandad sektion, och då göra en jämförelse med den
traditionella läroboksundervisningen.
52
Referenser
Ahlström, Ronny (1996). Matematik- ett kommunikationsämne. Mölndal: Institutionen för
ämnesdidaktik, Göteborgs Universitet.
Arnér, Elisabeth & Tellgren, Britt (2006). Barns syn på vuxna – Att komma nära
Barns perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Ball, Deborah (1992). Magical Hopes: Manipulatives and the Reform of Mathematics
Education. American Educator, 16(2), s.14-18.
Berggren, Per & Lindroth, Maria (2004). Positiv matematik: lustfyllt lärande för alla. Solna:
Ekelund.
Bruner, Jerome, Oliver, Rose. & Greenfield, Patricia (1966). Studies in cognitive growth. New
York: Wiley.
Bruner, Jerome (1968). Toward a theory of instruction. New York: W.W. Norton & Co.
Bryant, Brian, Bryant, Diane, Kethley, Caroline, Kim, Sun Pool, Cathy & Seo, You-Jin
(2008). Preventing Mathematics Difficulties in The Primary Grades: The Critical Features of
Instruction in Textbooks as Part of the Equation. Learning Disability Quarterly, 31(1), s. 2135.
Civil, Marta (2002). Everyday Mathematics, Mathematicians Mathematics, and School
Mathematics; Can we bring them togheter. In M. Brenner and J. Moschkovich (Eds.),
Everyday and academic mathematics in the classroom. Journal of Research in Mathematics
Education Monograph #11 (pp. 40-62). Reston, VA: NCTM.
Cramer, Kathleen, Post, Thomas & delMas, Robert (2002). Initial Fraction Learning By
Fourth- And Fifth-Grade Students: A Comparison Of The Effects Of Using Commercial
Curricula With The Effects Of Using The Rational Number Project Curriculum. Journal for
Research in Mathematics Education, 33(2), s. 111-114.
Dienes, Zoltan (1960). Building up mathematics. London: Hutchinson Educational.
Engström, Arne (1998). Matematik och reflektion – en introduktion till konstruktivismen
inom matematikdidaktiken. Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne, Engvall, Margareta & Samulesson, Joakim. (2007). Att leda den tidiga
matematikundervisningen. Linköping: Linköpings universitet.
Gentner, Dedre & Rattennan, Mary Jo (red.) (1991). Perspectives on thought and language.
London: Cambridge. University Press.
Halldén, Gunilla (2003). Barnperspektiv som ideologiskt eller metodologiskt begrepp.
Pedagogisk forskning i Sverige 8.1/2 :12
Heddens, James (1986). Bridging the gap between the concrete and the abstract. The
Arithmetic Teacher, 33(6), 14–17
53
Hawera, Ngarewa. & Taylor, Merilyn (2010). Maori Students’ Views on Equipment. I:
Findings from the New Zealand Numeracy Development Projects 2009. Wellington: Ministry
of Education. S. 88–99.
Johansson, Bengt & Emanuelsson, Göran (1999). Lektioner I USA och Japan. Nämnaren
26(3), s. 46-47
Johansson, Monika (2006). Teaching mathematics with textbooks. A classroom and curricular
perspective. Luleå: Luleå tekniska Universitet. Matematiska institutionen, Doktorsavhandling.
Kullberg, Birgitta (2002). Lust att lära – granskning med etnografisk ansats. Skolverket.
Kvale, Steinar (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.
Lange, Troels (2009). Difficulties, Meaning and Marginalisation in Mathematics Learning
as Seen Through Children’s Eyes. Denmark: Department of Education, Learning and
Philosophy Aalborg University. Dok
Larsen, Ann Kristin (2009). Metod helt enkelt. En introduktion till samhällsvetenskaplig
metod. Malmö: Gleerups.
Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av
kommunikationen lärare – elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Göteborg:
Göteborg Studies in Educational Sciences. Doktorsavhandling.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
Molander, Kajsa, Hedberg, Per, Bucht, Mia., Wejdmark, Mats & Lättman-Masch, Robert
(2010). Att lära in matematik ute. 6:e uppl. Falun: Naturskoleföreningen.
Moyer, Patricia (2001). Are We Having Fun Yet? How Teachers Use Manipulatives to Teach
Mathematics. Educational Studies in Mathematics 47(2), s. 175–197.
O'Shea, Helen (2009). The Ideal Mathematics Class for Grades 5 and 6: What Do the
Students Think? Australian Primary Mathematics Classroom, 14(2), s. 18-23.
Patel, Runa & Davidson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder - Att planera, genomföra
och rapportera en undersökning (3:e uppl.). Lund: Studentlitteratur.
Pramling-Samuelsson, Ingrid (1983). The child’s conception of learning. Göteborg: Göteborg
Universitet. Doktorsavhandling.
Repstad, Pål (1999). Närhet och distans. Kvalitativa metoder i samhällsvetenskap. 3 uppl.
Lund: Studentlitteratur.
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik: matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen. Linköping: Linköpings Universitet.
Riesbeck, Eva (2011). Lärande i matematik genom redskap. I: Bertil, Bergius, Göran,
Emauelsson, Lillemor, Emanuelsson & Ronnie, Ryding (Eds.) Matematik – ett grundämne.
Nämnaren Tema 8. Göteborg: NCM, Göteborgs Universitet.
54
Runesson, Ulla (1999). Variationens pedagogik. Skilda sätt att behandla ett matematiskt
innehåll. (Göteborg Studies in Educational Sciences, 129). Göteborg: Acta Universitatis
Gothoburgensis.
Rukavina, Sanja, Zuvic-Butorac, Marta, Ledic, Jasminka. Milotic, Branka & Jurdana-Sepic,
Rajka (2012). Developing positive attitude towards science and mathematics through
motivational classroom experiences, Science Education International 23(1), s. 6-19.
Rystedt, Eva & Trygg, Lena (2010). Laborativ matematikundervisning – vad vet vi?
Göteborg: NCM
Seymour, Daniel (1992) . Marknadsundersökningar med kvalitativa metoder. IHM
Förlag AB.
Schwartz, Daniel, & Taylor, Martin (2005). Physically distributed learning: Adapting and
reinterpreting physical environments in the development of fraction concepts. Cognition
Science, 29(4), s. 587–625.
Skolverket (2003). Lusten att
kvalitetsgranskningar 2001 - 2002.
lära
-
med
fokus
på
matematik.
Nationella
Hämtad 2012-09-25 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=1148
Skolverket (2005). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003.
Hämtad 2012-10-20 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=1387
Skolverket (2008). TIMSS 2007 - Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik
och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv.
Hämtad 2012-11-12 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2127
Skolverket (2008). Kursplan med kommentarer till mål som eleverna lägst ska ha uppnått
islutet av det tredje skolåret – konferensupplaga oktober 2008.
Hämtad 2012-11-05 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2142
Skolverket (2010). Utmaningar för skolan. Den nya skollagen och de nya reformerna.
Hämtad 2012-10-15 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2395
Skolverket (2011). Var femte klarade inte provet i matematik.
Hämtad 2013-01-06 från
http://www.skolverket.se/statistik-ochanalys/2.1862/2.4290/2.4442/var-femte-klarade-inteprovet-i-matematik-1.161967
Skolverket (2011a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Hämtad 2013-01-07 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2575
Skolverket (2012). Utökad undervisningstid i matematik.
Hämtad 2013-01-12 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2884
Skovsmose, Ole (2005). Travelling through education: Uncertainty, mathematics,
responsibility. Rotterdam: Sense Publishers.
Sriraman, Bharath & Lesh, Richard (2007). A conversation with Zoltan P. Dienes.
Mathematical Thinking and Learning, 9(1), 59–75.Szendrei, Julianna (1996). Concrete
Materials in the Classroom. In Alan. J. Bishop, Ken.Clements, Christine. Keitel, Jeremy.
55
Kilpatrick, & Colette. Laborade (eds.), International Handbook of Mathematics Education
(pp. 411–434). Dordrecht: Kluwer.
Szendrei, Julianna. (1996). Concrete materials in the classroom International handbook of
mathematics education. Dordrecht: Kluwer.
Säljö, Roger (2000). Lärande i praktiken. Stockholm: Prisma.
Trost, Jan (1997). Kvalitativa intervjuer (2:a uppl.). Lund: Studentlitteratur.
Tursunovic, Mirzet (2002). Fokusgruppsintervjuer i teori och praktik. Sociologisk forskning
No 1 s.62-89
Utbildningsdepartimentet (2011). Läroplan för
fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
grundskolan,
förskoleklassen
och
Uttal, Dawid, Scudder, Kathyrn & DeLoache, Judy (1997). Manipulatives as symbols: A new
perspective on the use of concrete objects to teach mathematics. Journal of Applied
Developmental Psychology, 18, 37–54.
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk–samhällsvetenskaplig
forskning. Utgiven av Vetenskapsrådet.
Vygoskij, Lev (1995). Fantasi och kreativitet i barndomen. Göteborg: Daidalos.
Vygotsky, Lev (1978). Mind in society. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Vygotsky, Lev (1986). Thought and language. Cambridge, MA: The MIT Press.
56
Bilaga 1
Intervju med elevgrupper om laborativ matematik
1.Hur arbetar ni på lektionerna vanligtvis?
2.Hur är en bra lärare i matematik?
3.Berätta för mig vad som hände med gårdagens lektion.
4.Vad var bra med lektionen?
5.Varför tror ni det var bra?
6. I gårdagens lektion fick ni använda laborativt material, tror ni att detta hjälpte er att lära
matematik?
7.Varför tror ni det?
8.Vad fungerade bra under labbmatte? Vad fick ni lära er?
9.Kunde ni lösa matematikuppgifter med hjälp av material som ni fick av mig?
10.Hur fungerade grupparbetet? Hann ni reflektera över om svaren var rimliga?
11.Vad tyckte ni var svårt med gårdagens uppgift? Hur tog ni tag i problemet? Gick det att
lösa?
12.Har ni haft mycket laborativ matematik tidigare?
13.Hur skulle ni vilja arbeta på lektionerna om ni fick bestämma?
14.Vem frågade ni igår om ni inte förstod instruktionerna?
15.Hur gör ni för att veta vad ni kan eller inte kan i matematiken?
16.Hur tycker ni att ni lär er matematik på bästa sätt?
57
Bilaga 2
Hej!
Jag heter Ruzica Pajic och arbetar som matematiklärare på Högaholmsskolan i Malmö
kommun. Jag håller på att skriva ett magisterexamen på Lärarutbildningen Malmö. Det
handlar om elever lär sig matematik när de arbetar laborativt. Syftet med denna studie är att
belysa elevers arbete med laborativ matematik och deras tankar kring arbetssättet kan
innebära för deras lärande.För att kunna genomföra denna studie behöver jag föräldrarnas
samtycke för att kunna fotografera, intervjua och spela in vissa moment av en lektion.
Elevernas medverkan i mitt magisterexamen är helt frivillig. Vårt samtal kommer jag att
spela in på dator/Iphone om ni inte misstycker. Intervjun kommer bara jag att lyssna på,
och då endast i samband med detta arbete. I den slutgiltiga uppsatsen kommer eleverna
att vara anonyma.
Jag är mycket tacksam för elevernas engagemang och deras syn på lärandet. Jag hoppas att
undersökningen kan hjälpa oss till att hitta olika sätt för att kunna stödja dessa elever i deras
fortsatta matematiska utveckling.
Om ni undrar över något eller vill veta mera så går det bra att kontakta mig på mob:
0735951332
Tack på förhand!
Med vänliga hälsningar
Ruzica Pajic
Ringa in det alternativet ni har valt!
Ringa in det alternativet ni har valt!
Mitt barn får vara med undersökningen:
Ja
Underskrift föräldrar:
58
Nej
