Vektoraddition
u+v =
u1
v
+ 1
u2
v2
=
u1 + v 1
u2 + v 2
u1
v1
u1 + v 1
u + v = u2 + v 2 = u2 + v 2
u3
v3
u3 + v 3
Definition
Basvektorer i två dimensioner:
u1
u2
=
α u1
α u2
I två dimensioner
|u| =
I tre dimensioner
|u| =
1
êx = 0
0
Längden av en vektor
êy =
0
1
Basvektorer i tre dimensioner:
u1
α u1
α u = α u2 = α u 2
u3
α u3
1
0
êx =
Multiplikation med skalär
αu = α
Skalärprodukt
Enhetsvektorer
(Adams: êx = i
0
êy = 1
0
êy = j
u•v =
0
êz = 0
1
êz = k)
u1
v
• 1
u2
v2
= u1 v 1 + u2 v 2
u1
v1
u • v = u2 • v 2 = u1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3
u3
v3
Egenskaper
u•v =v•u
Enhetsvektor i riktningen v:
êv =
u • (v + w) = u • v + u • w
α(u • v) = (α u) • v = u • (α v)
1
v
|v|
u • u = |u|2
2
u2
1 + u2
2
2
u2
1 + u2 + u3
Egenskaper hos vektorprodukten
Sats 1: vinkel mellan vektorer
Om θ är vinkeln mellan vektorerna u och
v gäller att
u • v = |u||v| cos θ .
Speciellt gäller att
u•v =0
om och endast om u och v är ortogonala
(dvs vinkelräta).
Om u, v, w ∈ R3 och α ∈ R så gäller
Definition: Vektorprodukt
Om u och v tillhör R3 (dvs är tredimensionella vektorer) så är vektorprodukten u × v
den vektor i R3 som uppfyller tre villkor:
1)
u × v är ortogonal mot både u och v
2)
|u × v| = |u||v| sin θ,
1. u × u = 0
2. u × v = −v × u
3. (u + v) × w = u × w + v × w
där θ är vinkeln mellan u och v
Ortogonal projektion
3)
u, v och u × v bildar en högerorienterad
vektortrippel
Skalärprojektionen s av u på v ges av:
s=
u•v
.
|v|
Vektorprojektionen uv av u på v ges av:
uv =
u•v
u•v
v .
êv =
|v|
|v|2
4. u × (v + w) = u × v + u × w
5. α(u × v) = (αu) × v = u × (αv)
Sats 2: Beräkning av vektorprodukt
u1
v1
u2 v 3 − u3 v 2
u2 × v2 = −(u1v3 − u3v1)
u3
v3
6. u • (u × v) = 0 och v • (u × v) = 0
u1 v 2 − u2 v 1
OBS! OBS! OBS!
I allmänhet gäller att
u × (v × w) = (u × v) × w
Längden av vektorprojektionen är |uv | = |s|.
Planets ekvation
Determinanter
a b = ad − bc
c d
a b c d e f = aei + bf g + cdh − af h − bdi − ceg
g h i a b c e f d f d e − b
+ c
d e f = a h i g i g h
g h i Vektorprodukt som determinant
i
j k u × v = u1 u 2 u 3 v1 v2 v3 u
u
u
u u u = i 2 3 − j 1 3 + k 1 2
v2 v3 v1 v3 v1 v2 Trippelprodukt
Trippelprodukten mellan u, v, w ∈ R3 ges av
Givet en ortsvektor som pekar på en punkt i
planet:
x0
r 0 = y0
z0
och en normalvektor till planet:
u • (v × w).
Den beskriver bl.a. volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna (sånär
som på tecknet (±)). Om u, v och w ligger i
samma plan är följdaktligen trippelprodukten
noll.
Trippelprodukten kan också beräknas med en
determinant enligt
u
1 u 2 u3 u • (v × w) = v1 v2 v3 w 1 w 2 w 3
A
n = B
C
så beskrivs planet av alla ortsvektorer
x
r = y
z
som uppfyller
n • (r − r0) = 0.
Om vi utvecklar skalärprodukten erhålls
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Detta går alltid att skriva på formen
A x + B y + C z = D.
Linjens ekvation i tre dimensioner
Ekvationssystem med två linjer
Ekvationssystem med tre plan
Givet en ortsvektor som pekar på en punkt
på linjen:
x0
r 0 = y0
z0
har antingen
en gemensam punkt:
• en gemensam punkt,
• ingen gemensam punkt (ej lösbart), eller
• oändligt många gemensamma punkter.
x2
och en vektor som pekar i linjens rikning:
a
v =b
c
så beskrivs linjen av ortsvektorerna
x 1 — 2x 2 = —1
x1
—x1 + 3x2 = 3
x
r = y
z
oändligt många gemensamma punkter:
x2
som erhålls för alla −∞ < t < ∞ i ekvationen
r = r0 + t v.
x1 — 2x2 = —1
Uttrycket kan också skrivas
x1
—x1 + 2x2 = 3
x = x0 + a t
ingen gemensam punkt (ej lösbart):
.
y = y0 + b t
z = z0 + c t
x2
P.g.a. parametern t, kallas det ovanstående
för parameterform. Adams är förtjust i normalform där man eliminerar t:
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
(t =)
a
b
c
x1 — 2x2 = —1
x1
—x1 + 2x2 = 1
Exempel: elementära radoperationer
Matriser
Elementära radoperationer
Exempel:
Det linjära ekvationssystemet
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x + 5x + 9x = −9
1
2
3
har koefficientmatris
1. Addera till en rad en multipel av en annan
rad.
3. Multiplicera alla element i en rad med en
konstant skilld från noll.
Två utökade matriser är radekvivalenta om
den ena kan omvandlas till den andra via elementära radoperationer.
Matriser delas in i rader och kolonner.
Elementet −8 ovan befinner sig på rad 2 och
kolonn 3.
1 −2
1
0
1 −2
1 0
∼ 0
4 ∼ 0
1 −4
1 −4 4
0 −3 13 −9
0
0
1 3
1 −2 1 0
1 −2 0 −3
∼ 0
1 0 16 ∼ 0
1 0 16
3
0
0 1 3
0
0 1
Definition: Radekvivalens
1 −2
1
0
2 −8
8
0
−4
5
9 −9
1 −2
1
0
1 −2
1
0
8 ∼ 0
8
0
2 −8
2 −8
−4
5
9 −9
0 −3 13 −9
2. Byt plats på två rader.
1 −2
1
0
2 −8
−4
5
9
och utökad matris
Om två utökade matriser till två linjära
ekvationssystem är radekvivalenta,
så har de samma uppsättning lösningar.
1 0 0 29
∼ 0 1 0 16
0 0 1 3
Den sista utökade matrisen motsvarar systemet
= 29
x1
x2 = 16
x3 = 3
Trappstegsform
Det första elementet som är skillt från
noll i en rad kallas ledande element, eller
pivåelement.
Trappstegsform
Den utökade matrisen
0 −3 −6
4
9
3
1
3 −1
5 −9 −7
−1 −2 −1
−2 −3
0
1
4
kan omvandlas till en radekvivalent matris på
trappstegsform:
1
0
0
0
4
2
0
0
5 −9 −7
4 −6 −6
0 −5
0
0
0
0
Man kan också gå vidare till reducerad
trappstegsform:
1 0 −3
2
0
0 0
0
0 1
0 0
0 −19
0 −3
0
1
0
0
1. Rader som innehåller icke-nollor är
ovanför rader som endast innehåller nollor.
2. Det ledande elementet i en rad ligger till
höger om det ledande elementet i raden
ovanför.
Reducerad trappstegsform
följande villkor tillkommer. . .
4. De ledande elementen har värde 1.
5. Det ledande elementet är det enda elementet som är skillt från noll i sin kolonn.
Exempel:
3. Elementen som ligger under det ledande
elementet i samma kolonn är alla noll.
Exempel:
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0
0 ∗
0 0 0 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗
∗
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 ∗ ∗
0 0 0 0 ∗
0 0 0 0 0
∗ ∗
0 0 0
∗
∗
∗
∗
0
∗
∗
∗
∗
0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
0 1 ∗ 0 0 0 ∗
∗
∗
∗
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
∗
∗
∗
∗
0
∗
∗
∗
∗
0
0
0
0
0
1
∗
∗
∗
∗
∗
Sats 1
Varje matris är radekvivalent med endast
en reducerad trappstegsmatris.
Variabler som tillhör trappstegsmatrisens ledande element/pivåelement kallas
bundna. Övriga variabler kallas fria.
Vi finner lösningen genom att införa
parametrar för de fria variablerna, och
lösa ut de bundna variablerna med
bakåtsubstitution, dvs vi börjar med
sista ekvationen och går sedan uppåt.
Trappstegsformen ger följande information
Linjära höljet
Vektorekvationer
x1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x n a n = b
som talar om vilka linjärkombinationer av
a1, a2, . . . , an som ger vektorn b, har samma lösningar som ekvationssystemet vars
utökade matris är
1. Om alla variabler är bundna är lösningen
entydig.
2. Om någon variabel är fri, finns oändligt
många lösningar.
3. Om någon ekvation är en falsk utsaga
(ex. 0 = 5), så existerar ingen lösning.
Definition
Vektorekvationen
a1 a2 . . . an b .
Om v 1, v 2, . . . , v p alla tillhör Rn, så
benämns
mängden
av
alla
linjärkombinationer av v 1, v 2, . . . , v p för det
linjära höljet av vektorerna v 1, v 2, . . . , v p
med beteckning
Span{v 1, v 2, . . . , v p}.
Dvs det linjära höljet är alla vektorer som kan
skrivas på formen
Speciellt gäller att b endast kan bildas av
linjärkombinationen om ekvationssystemet är
lösbart.
c1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + c p v p .
Observera att 0 alltid ingår i det linjära
höljet.
Matris-vektor-multiplikation
Om A är en m × n-matris (dvs m rader och
n kolonner), med kolonner a1, a2, . . . , an, dvs
A=
a1 a2 . . . an
Låt A vara en m × n-matris. Då är de
följande påståendena ekvivalenta, dvs om
ett är sant så är alla sanna
Ax = b
x1
x
2
x = ..
.
har samma lösningar som vektorekvationen
xn
så definierar vi produkten Ax enligt:
a1 a2 . . . an
Sats 4: Existens av lösning
Sats 3:
Matrisekvationen
och x ∈ Rn är vektorn
x1
x2
Ax =
...
xn
= x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n
Matrisekvationen Ax = b
x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b
och därmed också samma lösningar som
det linjära ekvationssystem som har
utökad matris
a1 a2 . . . an b
1. Ekvationen Ax = b har lösning för alla
högerled b ∈ Rm
2. Det linjära höljet av kolonnerna i A är
lika med mängen av alla vektorer av
den dimensionen,
dvs om A = [ a1 a2 . . . an ] så är
Span{a1, a2, . . . , an} = Rm
3. A har en pivåposition på varje rad.
dvs som en linjärkombination av kolonnerna
i A med elementen i x som vikter.
Homogena ekvationssystem
Ett linjärt ekvationssystem är homogent om
högerledet endast består av nollor, dvs
A x = 0.
Sats 5: Räkneregler för Ax
Om A är en m × n-matris, u, v ∈ Rn och
c ∈ R, då gäller
1. A(u + v) = Au + Av
2. A(c u) = c(Au)
Inhomogena ekvationssystem
Exempel:
2 −4 −3
x1
0
4 −6 −5 x2 = 0
x3
−2
0
1
0
vilket är samma som
2x1 − 4x2 − 3x3 = 0
4x − 6x2 − 5x3 = 0
+ x3 = 0
1
−2x
1
Homogena ekvationssystem har alltid den
triviala lösningen x = 0.
Icke-triviala lösningar existerar om och
endast om det finns fria variabler.
Sats 6: Lösningsmängd
Om A x = b är ett lösbart ekvationssystem, och xp är en lösning,
så ges alla lösningar av x = xp + xh, där
xh är alla lösningar till det homogena ekvationssystemet A x = 0.
Linjärt (o)beroende
En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon av dem kan beskrivas som en
linjärkombination av de andra.
Detta formuleras enligt:
Sats 8:
Linjärt (o)beroende, forts
Givet ett antal vektorer v 1, v 2, . . . , v p som
alla har dimension Rn:
Enligt definitionen av matris-vektor-multiplikation kan villkoret omformuleras enligt
Om antalet vektorer p är större än vektorernas dimension n, (dvs p > n)
Vetorerna v 1, v 2, . . . , v p är linjärt beroende om det existerar värden x1, x2, . . . , xp
som inte alla är noll, så att
x
1
x2
v 1 v 2 . . . v p .. = 0
.
xp
=A
=x
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
dvs ett homogent ekvationssystem A x = 0.
Definition: Linjärt beroende
så är vektorerna linjärt beroende.
Sats 9:
Om endast den triviala lösningen x = 0 existerar är kolonnerna linjärt oberoende,
Om det ovanstående inte gäller, dvs
annars är de linjärt beroende.
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
Givet ett antal vektorer v 1, v 2, . . . , v p som
alla har dimension Rn:
Om en av dem är nollvektorn, dvs v k = 0
för något k,
så är vektorerna linjärt beroende.
endast är uppfyllt om alla x1, x2, . . . , xp är
noll, säger vi att vektorerna är linjärt oberoende.
Definition: Linjär avbildning
En avbildning T är linjär om
Sats 10: Linjär avbildnings-matris
1. T (u + v) = T (u) + T (v) för alla u, v i
definitionsmängden för T .
2. T (c u) = c (T (u))
skalärer c.
för
alla
u
och
Låt T : Rn −→ Rm vara en linjär avbildning. Då existerar en unik matris A så
att
T (x) = A x,
Definitionen leder till följande egenskaper:
T (0) = 0
för alla
x ∈ Rn .
Matrisen A har dimension m × n, och kolonn k ges av T (êk ), där êk är kolonn k i
enhetsmatrisen In. Dvs
T (c u + d v) = c T (u) + d T (v)
A = T (ê1) T (ê2) . . . T (ên)
T (c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp)
Definition
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm är
surjektiv (onto) om värdemängden är hela
Rm. Dvs om varje y ∈ Rm ges av y = T (x)
för något x ∈ Rn.
injektiv (one-to-one) om varje y i avbildningen y = T (x) endast ges av ett x ∈ Rn.
(Dvs T (u) = T (v) ⇒ u = v.)
= c1 T (v1) + c2 T (v2) + · · · + cp T (vp)
Matrisaddition
Matriser
Sats 11: Injektiva avbildningar
Den linjära avbildningen T : Rn −→
Rm är
injektiv om och endast om T (x) = 0 bara
har den triviala lösningen x = 0.
(Dvs om och endast om kolonnerna i avbildningsmatrisen är linjärt oberoende).
Sats 12: Surjektiva avbildningar
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm
med avbildningsmatris A är surjektiv om
och endast om det linjära höljet till kolonnerna i A är lika med Rm.
Sats 4 ger då att A är surjektiv om och endast om A har en pivåposition på varje rad.
Matriser delas in i rader och kolonner. En
m × n-matris (m rader och n kolonner) med
obestämda element skrivs
a12 · · · a1j · · · a1n
a22 · · · a2j · · · a2n
...
...
...
.
ai2 · · · aij · · · ain
...
...
...
am1 am2 · · · amj · · · amn
Elementet på rad i och kolonn j benämns aij .
Diagonalelementen a11, a22, a33, . . . bildar
matrisens huvuddiagonal:
a11
a21
.
..
A=
a
i1
..
.
a11
A = a21
a31
Matriser
med
lika många rader
och
lika många kolonner adderas elementvis.
Dvs om C = A + B, så bildas alla element i
C av cij = aij + bij . Ex:
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a14
a24
.
a34
En matris som endast består av nollor kallas
nollmatris och skrivs 0.
a11
a
21
a31
a41
a11
a
= 21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
b11
b
a23
+ 21
a33 b31
a43
b41
+ b11
+ b21
+ b31
+ b41
a12 + b12
a22 + b22
a32 + b32
a42 + b42
b12
b22
b32
b42
b13
b23
b33
b43
a13 + b13
a23 + b23
a33 + b33
a43 + b43
Multiplikation med skalär
Om B = k A, så bildas alla element i B av
bij = k aij . Ex:
a11 a12 a13
k a11 k a12 k a13
k a21 a22 a23 = k a21 k a22 k a23
a31 a32 a33
k a31 k a32 k a33
Egenskaper
Om matriserna A, B och C har samma storlek, och r och s är skalärer, så gäller följande
samband
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
Matrismultiplikation
Matrismultiplikation, smart genväg
Om A är en m × n-matris och B är en n × pmatris, så definierar vi produkten mellan A
och B som en matris C med storlek m × p
enligt
Om C = AB så kan vi beräkna elementet
i C på rad i och kolonn j genom att ta
skalärprodukten mellan rad i i A och kolonn j i B. dvs
C = AB = A b1 b2 . . . bp
3. A + 0 = A
= Ab1 Ab2 . . . Abp
4. r(A + B) = rA + rB
5. (r + s)A = rA + sA
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj
=
n
k=1
där b1, b2, . . . , bp är kolonnerna i B.
aik bkj
6. r(sA) = (rs)A
Transponat
Egenskaper
Om A är en m × n matris, och B och C har
”lämpliga storlekar”, så gäller följande samband
Givet en m × n-matris A så definierar vi
transponatet till A som den n × m-matris
AT man får genom att byta plats på rader
och kolonner.
Egenskaper
Om A och B är matriser av ”lämpliga storlekar”, så gäller följande samband
1.
1. A(BC) = (AB)C
Exempelvis om
2. A(B + C) = AB + AC
1 2 3 4
A = 5 6 7 8
9 10 11 12
3. (B + C)A = BA + CA
4. r(AB) = (rA)B = A(rB) där r är en skalär
så ges transponatet av
5. ImA = A = AIn
1 5
9
AT
T
=A
2. (A + B)T = AT + B T
3. (r A)T = r AT
där r är en skalär
4. (AB)T = B T AT
2 6 10
AT =
3 7 11
OBS!!! I allmänhet gäller att AB = BA.
Egenskap 4. kan generaliseras till, exempelvis
(ABCDE)T = E T DT C T B T AT
4 8 12
Sats 5: Linjära ekvationssystem
Matrisinvers
Vi betraktar här endast kvadratiska matriser, dvs matriser med lika många rader som
kolonner.
Om A är en n × n-matris och det existerar en
annan n × n-matris C som uppfyller att
AC = I
och
CA = I
så säger vi att A är inverterbar och har invers C.
Inversen till A betecknas vanligen A−1 och
uppfyller alltså
AA−1 = I
och
A−1A = I
Matrisen A−1 är entydigt bestämd eftersom
det endast finns en invers till varje inverterbar
matris.
Om A är en inverterbar n × n-matris, så
har det linjära ekvationsystemet Ax = b
entydig lösning för alla b ∈ Rn, och
lösningen ges av
x = A−1b
Sats 7:
Sats 6:
a. Om A är inverterbar, så är A−1 inverterbar och
A−1
−1
=A
b. Om A och B är inverterbara n × nmatriser, så är AB inverterbar och
(AB)−1 = B −1A−1
c. Om A är inverterbar, så är också AT
inverterbar och
AT
−1
= A−1
T
En
n × n-matris
A
är
inverterbar
om och endast om A är radekvivalent
med In.
För inverterbara matriser gäller att varje
sekvens av elementära radoperationer
som reducerar A till In, också avbildar In
på A−1.
(−1)1+j a1j det(A1j )
n
där Aij är den matris som erhålls om rad i och kolonn j tas bort från
A.
Om A är en n × n-matris som ej är inverterbar säger vi att A är singulär.
j=1
j. Det finns en matris C så att CA = In.
k. Det finns en matris D så att AD = In.
l. AT är inverterbar.
=
g. Ax = b har lösning för varje b.
h. Kolonnerna i A spänner upp Rn.
i. Avbildningen x → Ax är surjektiv.
Definition: determinant
d. Den homogena ekvationen Ax = 0 har
endast den triviala lösningen x = 0.
e. Kolonnerna i A är linjärt oberoende.
f. Avbildningen x → Ax är injektiv.
det(A) = a11 det(A11) − a12 det(A12) + · · · + (−1)1+n a1n det(A1n)
a. A är inverterbar.
b. A är radekvivalent med In.
c. A har n pivåpositioner.
Determinanten till en n × n-matris, då n ≥ 2, är en viktad summa av
determinanter till n st. (n − 1) × (n − 1)-matriser enligt formeln
Låt A vara en n × n-matris. Då är de
följande påståendena ekvivalenta, dvs om
ett är sant så är alla sanna.
Determinanten till en 1 × 1-matris är matrisens skalära värde (ex.
det[5] = 5).
Sats 8: Inverterbarhet
Utveckling efter rad och kolonn
Låt
Cij = (−1)i+j det(Aij )
beteckna kofaktorn för rad i och kolonn j
till matrisen A. Då gäller enligt definitionen
av determinant
det(A) = a11 C11 + a12 C12 + · · · + a1n C1n.
Detta är utvecklingen efter rad 1. Man kan
dock utveckla efter en godtycklig rad eller
kolonn
Sats 1
Utveckling efter rad i:
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin
Utveckling efter kolonn j:
det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj
Sats: Inverterbarhet
Sats 2
Om A är en triangulär matris, så är
det(A) produkten av elementen på diagonalen av A.
Sats 4
En kvadratisk matris A är inverterbar,
om och endast om det(A) = 0.
Sats 3: Radoperationer
Låt A vara en kvadratisk matris.
a. Om matrisen B bildas genom att ta
en multipel av en rad i A och lägga
till en annan, så gäller
Sats 5
Om A en kvadratisk matris så gäller
det(AT ) = det(A)
det(B) = det(A).
b. Om B bildas genom att byta plats på
två rader i A, så gäller
det(B) = −det(A).
c. Om B bildas genom multiplicera en
rad i A med k, så gäller
Sats 6
Om A och B är n × n-matriser så gäller
det(A B) = det(A) det(B)
det(B) = k det(A).
Låt A vara en n × n-matris. Då är de
följande påståendena ekvivalenta, dvs om
ett är sant så är alla sanna.
a. A är inverterbar.
b. A är radekvivalent med In.
c. A har n pivåpositioner.
d. Den homogena ekvationen Ax = 0 har
endast den triviala lösningen x = 0.
e. Kolonnerna i A är linjärt oberoende.
f. Avbildningen x → Ax är injektiv.
g. Ax = b har lösning för varje b.
h. Kolonnerna i A spänner upp Rn.
i. Avbildningen x → Ax är surjektiv.
j. Det finns en matris C så att CA = In.
k. Det finns en matris D så att AD = In.
l. AT är inverterbar.
t. det(A) = 0.
Om A är en n × n-matris som ej är inverterbar säger vi att A är singulär.
Kofaktorn Cij ges av
Låt Ai(b) beteckna den matris man får om
man byter ut kolonn i i A mot vektorn b,
dvs
Sats 9
Om A är en 2 × 2-matris så är |det(A)|
arean av parallellogrammet som spänns
upp av kolonnerna i A.
Om A är en 3 × 3-matris så är |det(A)|
volymen av parallellepipeden som spänns
upp av kolonnerna i A.
Ai(b) = [ a1 a2 . . . b . . . an]
↑
pos. i
Sats 7: Cramers regel
Om A är en inverterbar n × n-matris, och
b ∈ Rn, så ges elementen i lösningen x till
A x = b av
xi =
det Ai(b)
det A
Cij = (−1)i+j det(Aij )
där Aij är den matris man får om man tar
bort rad i och kolonn j ur A.
Den adjungerade matrisen till A ges av
C11 C21 · · ·
C
C22 · · ·
adj A = ..12
...
.
Cn1
Cn2
...
C1n C2n · · · Cnn
Observera att rad och kolonnindex har ”bytt
plats”.
Sats 8:
Om A är en inverterbar n × n-matris. Då
är
1
A−1 =
adj A
det A
{volymen av T (S)} = |det(A)| · {volymen av S}
Låt istället T : R3 −→ R3 vara den linjära avbildning som
alstras av 3 × 3-matrisen A. Om S är en parallellepiped
i R3, så är
{arean av T (S)} = |det(A)| · {arean av S}
Låt T : R2 −→ R2 vara den linjära avbildning som alstras
av 2 × 2-matrisen A. Om S är ett parallellogram i R2,
så är
Sats 10
Ett generellt område approximerat med ”parallellogram”:
0
0
R’
0
Linjär avbildning av approximerat område:
T
0
T(R’)
Slutsats: Sats 10 gäller för generella begränsade områden.
