L12

M0030M – Lektion 12
Linjär algebra och integralkalkyl
Ove Edlund
2016-11-15
Ove Edlund
M0030M – Lektion 12
2016-11-15
1/6
Sats: Linjär avbildnings-matris
Låt T : Rn −→ Rm vara en linjär avbildning. Då existerar en unik matris A
så att
T (x) = A x, för alla x ∈ Rn .
Matrisen A har dimension m × n, och kolonn k ges av T (êk ), där êk är
kolonn k i enhetsmatrisen I n . Dvs
h
i
A = T (ê1 ) T (ê2 ) . . . T (ên )
Ove Edlund
M0030M – Lektion 12
2016-11-15
2/6
Exempel
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen T : R2 −→ R2 som utför
rotation runt origo med vinkeln ϕ.
x2
(0, 1)
(— sin ϕ, cos ϕ)
ϕ
(cos ϕ, sin ϕ)
ϕ
(1, 0)
x1
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5
Ove Edlund
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
M0030M – Lektion 12
2.5
3
3.5
2016-11-15
3/6
Exempel
Låt den linjära avbildningen T : R3 −→ R3 ges av
T (u) = ê1 × u.
Bestäm avbildningsmatrisen och bilden av en godtycklig vektor.
Exempel
Låt T : R2 −→ R2 vara den avbildning som utför ortogonal
projektion på linjen
x − 2 y = 0.
Bestäm avbildningsmatrisen.
Ove Edlund
M0030M – Lektion 12
2016-11-15
4/6
Definition
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm är
på (onto) om värdemängden är hela Rm . Dvs om varje y ∈ Rm ges av
y = T (x) för något x ∈ Rn .
ett-till-ett (one-to-one) om varje y i avbildningen y = T (x) endast ges av
ett x ∈ Rn .
(Dvs T (u) = T (v ) ⇒ u = v .)
Ove Edlund
M0030M – Lektion 12
2016-11-15
5/6
Sats: ett-till-ett-avbildningar
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm är ett-till-ett om och endast om
T (x) = 0 bara har den triviala lösningen x = 0.
(Dvs om och endast om kolonnerna i avbildningsmatrisen är linjärt
oberoende).
Det innebär också att A är ett-till-ett om och endast om A har en
pivåposition i varje kolonn.
Sats: på-avbildningar
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm med avbildningsmatris A är på
om och endast om det linjära höljet till kolonnerna i A är lika med Rm .
Det innebär också att A är på om och endast om A har en pivåposition på
varje rad.
Ove Edlund
M0030M – Lektion 12
2016-11-15
6/6