L11

M0030M – Lektion 11
Linjär algebra och integralkalkyl
Ove Edlund
2016-11-15
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
1 / 11
Linjärt (o)beroende
En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon av dem kan
beskrivas som en linjärkombination av de andra. Detta formuleras enligt:
Definition: Linjärt beroende
Vektorerna v 1 , v 2 , . . . , v p är linjärt beroende om det existerar värden
x1 , x2 , . . . , xp som inte alla är noll, så att
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
Om det ovanstående inte gäller, dvs
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
endast är uppfyllt om alla x1 , x2 , . . . , xp är noll, säger vi att vektorerna är
linjärt oberoende.
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
2 / 11
Linjärt (o)beroende, forts
Enligt definitionen av matris-vektor-multiplikation kan villkoret
omformuleras enligt
 
x1
i x2 
h
 
v1 v2 . . . vp  .  = 0
.
|
{z
} . 
A
=A
xp
| {z }
=x
dvs ett homogent ekvationssystem A x = 0.
Om endast den triviala lösningen x = 0 existerar är kolonnerna linjärt
oberoende,
annars är de linjärt beroende.
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
3 / 11
Exempel: Linjärt beroende i R3
x3
x1
u
x3
v
w
x2
x1
v
x2
Linearly independent,
w not in Span{u, v}
Linearly dependent,
w in Span{u, v}
Ove Edlund
u
w
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
4 / 11
Linjärt beroende, Satser
Sats
Givet ett antal vektorer v 1 , v 2 , . . . , v p som alla har dimension Rn :
Om antalet vektorer p är större än vektorernas dimension n, (dvs p > n)
så är vektorerna linjärt beroende.
Sats
Givet ett antal vektorer v 1 , v 2 , . . . , v p som alla har dimension Rn :
Om en av dem är nollvektorn, dvs v k = 0 för något k,
så är vektorerna linjärt beroende.
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
5 / 11
Exempel
Avgör om följande vektorer är linjärt beroende, genom att stirra på dem
en stund.

      
1
2
0
1
1.  0 ,  1 ,  1 ,  1 
−1
3
2
1

    
1
2
0





1 , 1 , 0
2.
−1
3
0

 

−3
2
 −6   4 
 

3. 
 3 ,  −2 
−9
6
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
6 / 11
Linjär avbildning T : Rn −→ Rm
T
T(x)
x
Ra
n
ge
Domain
Codomain
definitionsmängd = domain
målmängd
= codomain
värdemängd
= range
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
7 / 11
Exempel
Givet en matris


1 1
A =  1 0
−3 1
så definierar vi en linjär avbildning T : R2

1
T (x) = A x =  1
−3
1. Bestäm bilden av
−1
2
−→ R3 enligt

1 x
0 1
x2
1
med T .


2
2. Bestäm x så att T avbildar x på  1 .
−2
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
8 / 11
Exempel, forts


2
3. Finns det mer än ett x som avbildas på  1 ?
−2
 
1

4. Avgör om 1  ligger in värdemängden för T .
1
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
9 / 11
Exempel: Skjuvning
Den linjära avbildningen T : R2 −→ R2 definierad av
1 3
x1
T (x) =
0 1
x2
beskriver en skjuvning. Skjuvning är ett viktigt begrepp i bl.a. fysik.
x2
x2
T
2
2
x1
2
2
8
x1
4
3
2
1
0
-1
0
2
Ove Edlund
4
6
8
10
M0030M – Lektion 11
12
2016-11-15
10 / 11
Definition: Linjär avbildning
En avbildning T är linjär om
1. T (u + v) = T (u) + T (v) för alla u, v i definitionsmängden för T .
2. T (c u) = c (T (u)) för alla u och skalärer c.
Definitionen leder till följande egenskaper:
T (0) = 0
T (c u + d v) = c T (u) + d T (v)
T (c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp )
= c1 T (v1 ) + c2 T (v2 ) + · · · + cp T (vp )
Ove Edlund
M0030M – Lektion 11
2016-11-15
11 / 11