Galileo
(1564-1642)
En tydlig bild av relativ rörelse var utvecklad: *
Detta kallas nu den “ Galileiska
transformationen” där man kan utföra
experiment med identiska utfall om man står
stilla eller är i konstant rörelse.
1
2
1
2
0m
5m
20m
Genom att tänka på rörelsen som sammansatt
av en komponent neråt som utsätts för konstant
acceleration och en rörelse åt sidan som är en
konstant, får Galileo en parabolisk rörelse
för en kropp som både faller och rör sig åt
sidan.
45m
80m
0s
0m
3
1s
20m
2s
40m
3s
60m
4s
80m
4
3
4
5
6
5
Newton 1643-1727
•
•
•
•
6
Newton i Woolsthorpe
Lite biografi om Newton
Härleding av planeternas
rörelse
Översikt av “Principia”
Diskussion av mekanikens
grundlagar
7
8
Isac Newton
1642 när Galileo dog
• Föddes
• Hans far, som var analfabet, dog innan Isac
föddes
fick en präst till styvfar
• Han
Han
• hade ett dåligt förhållande med familjen.
Han hotade att “bränna ner huset”
• Från 1653 togs han ur skolan för att sköta
gården, då skolan inte gick något vidare.
farbror fick in honom i skolan igen 1660
• Hans
Han
erkände
synder :”mer intresserad av
•
pengar, lärdom och nöje än Gud”
• Började på Trinity College 1661
Trinity ville han bli jurist
•• Vid
Till slut blev han mer intresserad av
naturfilosofi och läste Aristoteles, Platon,
•
•
•
Descartes
Han blev sedan intresserad av Copernicus
och Kepler, Galileo
Intresserade sig för matematik 1663 när
han upptäckte att han inte behärskade
geometri, vilket behövdes för att förstå
astrologi. Då läste han Euklides.
Blev till slut magister i april 1665
9
10
11
12
• Pesten tvingade skolan att stänga sommaren
1665 varvid Newton flyttade hem
• Under två år (23-25 års ålder) utvecklade han
•
•
•
där diffrentialkalkylen (fluxions) samtidigt med
Leibnitz och rörelselagarna som sedan
definierade kroppars rörelser på jorden och
planeternas rörelser i rymden.
Han återvände till Trinity och fick stipendium
Utvecklade senare ljusets sammansättning i
färger
Blev “fellow” efter att ha donerat ett reflektorteleskop till Trinity
• Opticks som kom ut 1671 undersökte
fenomenet refraktion
• Newton beskrivs som äregirig men också
någon som undvek konflikter. Han
utkämpade en fejd med Hooke “if I have
seen further, it’s because I have stood on
the shoulders of giants.” (Hooke var väldigt
kort)
13
14
Newton var en mångsysslare
Alkemi, religion, vissa idéer som han helst
höll i hemliga.
Vi återgår nu till huvudämnet, vilket är
innehållet i Principia
15
16
1665 - Newton åker hem och förbereder
vad som kom att bli en total omställing
av den naturfilosofiska världsbilden
•
•
•
Det finns ev. sanning i historien om Newton och äpplet
..
Medan Newton reflekterade
över livet föll ett äpple och enligt
historien inspirerade det honom till
argumentet illustrerad på följande
sida vilket, enligt min mening, är ett
av de tre mest eleganta fysikaliska
argumenten överhuvudtaget.
Skapade teorin för
fluxioner (De Methodis
Serierum et Fluxionium,
1671)
Tänkte igenom Principia
Funderade igenom vitt
ljus som sammansatta
färger
Väl borta från universitet kunde han vara kreativ.
17
18
Vid ett möte 1684 diskuterade Christoffer Wren
och Edmund Halley möjligheten att
gravitationskraften var omvänt proportionell mot
kvadraten på radien från gravitationscentrum.
Hooke påstod att han kunde bevisa det, men kunde
till slut inte prestera något bevis.
Han beskriver sina idéer mycket senare (1680) i A
treatise of the system of the world.
En projektil som skjuts med
högre och högre fart har
banorna D,E,F, ... till den
blir tillräckligt snabb för att
kretsa runt jorden (30.000
km/t)
De vände sig till Newton som sade att han hade
bevisat detta några år tidigare och framförde ett
bevis en kort tid därpå. Han gick också steget
längre och visade att det skulle bli ellipser enligt
Keplers teori. Det var en för tiden mycket
avancerad beräkning. Halley förmådde Newton att
skriva ihop beviset
19
20
Newton protesterade, men 18 månader
senare hade han skrivit ihop Principia och bevisat
dessa slutsatser.
Royal Society hade inte pengar att publicera
pga budgeten för “History of Fishes.” Så Halley
betalade publikationen själv 1687.
Beviset accepterades i England men inte på
kontinenten.
1687
21
Efter Principia blev Newon tjänsteman, kändis och
därefter hade han inte några fler vetenskapliga
framgångar.
22
Newtons Principia:
härledning av planeternas
rörelser och dess
konsekvenser för astromin
23
24
Vi följer en kropp som följer en cirkulär bana
under ett kort tidsintervall:
Stjärnor och äpplen som faller
v
vt
En projektil som skjuts med
högre och högre fart har
banorna D,E,F, ... till det blir
tillräckligt fort för att kretsa
runt jorden (30.000 km/t)
!
at
R
!
vt
at
=
R
v
Detta kan göras kvantitativt.
Dessa två uttryck löses enkelt till
a=
v2
R
25
26
Newtons observation att accelerationen är
Genom att stoppa in det kända a=10 m 2/s och
R=6370 km blir det v = 30.000 km/t för att
åstadkomma omloppsbana vid jordens yta.
a=
v2
R
tillsammans med hans observation att
månens rotation motsvarar en acceleration
proportionell mot månens avstånd i kvadrat
ger utan större svårighet Keplers lag.
Med kunskap om avståndet till månen, och månens
omloppstid visste han månens hastighet och
därigenom visste han också att “a” motsvarande
månens acceleration var cirka g/3600. Eftersom
avståndet till månen var på 60 ggr jordens radius
visade han att kraften var proportionell till 1/R2
27
28
Detta gav Keplers rörelselagar:
2
v /R = K/R
2
v2 R = K
(2πR/T )2 R = K
Det svåra, som Newton ägnade många
månader åt och som också presenterades
i Principia var att planeternas banor
faktiskt blev ellipser. För att räkna
ut detta fick han skapa ny matematik.
Newtons gravitationslag
2
Multiplicera båda led med R
v = (2πR/T )
Newton “förenade” rörelser i himlen
och på jorden och visade att samma rörelseekvationer beskrev de båda.
R3 /T 2 = K/(4π)2
Denna beräkning är förhållandevis enkel.
29
30
Intressant notering: ... Galileo såg Neptunus men
hade fullt upp med annat!
Avvikelser från perfekta ellipser hos planeterna
användes sedan för att hitta nya planeter:
Uranus upptäcktes 1781 av Herschel med teleskop
• Neptunus blev nästan upptäckt av Galileo*
men sedan identifierad genom avvikelser
från Uranus bana.
• Avvikelser hos Neptunus ledde till slut till
Neptunus råkade vara i Galileos kikare
när han studerade Jupiter. Han noterade
en “stjärna” som rörde sig men följde
aldrig upp denna observation.
upptäckten av Pluto 1930.
*Nästa OH bild
31
32
Newtons ekvationer ger en fullständig
förklaring till väsentligen alla uppmätta
astronmiska rörelser från 1670-talet till
1882 när Newcombe mätte avvikelser från
perfekta ellipser hos Merkurius.
Bilden ovan är väldigt överdriven
Avvikelsen är endast 1/1000 grad per
hundra år! Och en konsekvens av
Einsteins allmänna relativitetsteori.
33
34
DEFINITION I
The quantity of matter is the measure of the same, arising from its density
and bulk conjointly.
Newtons Principia:
rörelselagar
Principia är uppenbarligen inspirerad av
Euklides med definitioner och logiska
resonemang.
Först definierar Newton massa, och är noggrann att
peka ut att den verkar sammanfalla med vikt
35
THUS AIR of a double density, in a double space, is quadruple in quantity;
in a triple space, sextuple in quantity. The same thing is to be understood of
snow, and fine dust or powders, that are condensed by compression or
liquefaction, and of all bodies that are by any causes whatever differently
condensed. I have no regard in this place to a medium, if any such there is,
that freely pervades the interstices between the parts of bodies. It is this
quantity that I mean hereafter everywhere under the name of body or mass.
And the same is known by the weight of each body, for it is proportional to
the weight, as I have found by experiments on pendulums, very accurately
made, which shall be shown hereafter.
36
DEFINITION II
Därefter definierar Newton impulse som
produkten av massan och hastigheten p = mv
The quantity of motion is the measure of the same, arising from the
velocity and quantity of matter conjointly.
The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and
therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion
is double; with twice the velocity, it is quadruple.
37
38
DEFINITION III
Sedan definieras tröghet dvs “inertia” och Newton
redovisar att den motsvarar massa
The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting, by which every
body, as much as in it lies, continues in its present state, whether it be of rest, or
of moving uniformly forwards in a right line.
This force is always proportional to the body whose force it is and differs nothing from the inactivity
of the mass, but in our manner of conceiving it. A body, from the inert nature of matter, is not without
difficulty put out of its state of rest or motion. Upon which account, this vis insita may, by a most
significant name, be called inertia (vis inertiae) or force of inactivity. But a body only exerts this force
when another force, impressed upon it, endeavours to change its condition; and the exercise of this
force may be considered as both resistance and impulse; it is resistance so far as the body for
maintaining its present state, opposes the force impressed; it is impulse so far as the body, by not
easily giving way to the impressed force of another endeavours to change the state of that other.
Resistance is usually ascribed to bodies at rest, and impulse to those in motion; but motion and rest,
as commonly conceived, are only relatively distinguished; nor are those bodies always truly at rest,
which commonly are taken so
39
40
Sedan följer definitionen av en kraft som någonting
som ändrar en kropps bana från rät.
DEFINITION IV
An impressed force is an action exerted upon a body, in order to change
its state, either of rest, or of uniform motion in a right line.
This force consists in the action only, and remains no longer in the body when the action is
over. For a body maintains every new state it acquires by its inertia only. But impressed
forces are of different origins, as from percussion, from pressure, from centripetal force.
41
42
43
44
Sedan följer en noggrann formulering
av centrifugalkraft, dvs kraft som
påverkar en kropp i riktning lodrätt mot
rörelsen
v
F
IV. Absolute motion is the translation of a body from one
absolute place into another; and relative motion, the
translation from one relative place into another. Thus in a
ship under sail, the relative place of a body is that part of
the ship which the body possesses; or that part of its cavity
which the body fills, and which therefore moves together
with the ship: and relative rest is the continuance of the
body in the same part of the ship, or of its cavity. But real,
absolute rest, is the continuance of the body in the same
part of that immovable space, in which the ship itself, its
cavity, and all that it contains, is moved.
Sedan följer en mycket noggrann diskussion
av vad som nu kallas inertialsystem (ett
“laboratorium” som står absolut still eller är i
konstant rörelse) och absolut tid och rum.
Notera att exemplet om relativ och absolut
rörelse tycks vara hämtat från Oresme
45
Wherefore if the earth is really at rest, the body, which
relatively rests in the ship, will ... move with the same
velocity which the ship has on the earth. But if the earth
also moves, the ... motion of the body will arise, partly
from the true motion of the earth, in immovable space;
partly from the relative motion of the ship on the earth;
and if the body moves also relatively in the ship; its true
motion will arise, partly from the true motion of the earth,
in immovable space, and partly from the relative motions
as well of the ship on the earth, as of the body in the ship;
and from these relative motions will arise the relative
motion of the body on the earth. ...
46
Sedan följer en diskussion om tid och absoluta
tidsmätningar: en tes som står sig 220 år fram till
Einsteins relativitetsteori.
47
48
Absolute time, in astronomy, is distinguished from
relative, by the equation or correlation of the vulgar
time. For the natural days are truly unequal, though
they are commonly considered as equal and used for a
measure of time; astronomers correct this inequality
for their more accurate deducing of the celestial
motions.
Dessa diskussioner definierar vad som
kallas en Galileisk tranformation, dvs
man kan förflytta sig i tid eller med
konstant hastighet utan att någon
mätbar förändring av någonting lokalt
uppstår. Dessa naturlagar var en
fullständig beskrivning av alla kända
naturfenomen i 200 år.
All motions may be accelerated and retarded, but the
true, or equable, progress of absolute time is liable to
no change. perseverance of the existence of things
remains the same, whether the motions are swift or
slow, or none at all. ...
Sedan följer de tre ”Newtonska rörelselagarna:”
49
50
Newtons rörelselagar:
I Varje kropp i ett inertialsystem förblir i sitt tillstånd
av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den inte
påverkas av någon kraft.
I Varje kropp i ett inertialsystem förblir i sitt tillstånd
av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den inte
påverkas av någon kraft.
II Accelerationen a hos en kropp är proportionell mot
den totala sammanlagda kraft F som verkar på
kroppen, och inverterad proportionell mot trögheten
(”massan”) m. dv.s F = ma.
Exempel 1: Hockeypuck
III Varje kropp som påverkar en annan kropp med en
kraft F påverkas i sin tur av den andra kroppen med
en lika stor men motriktad kraft !F .
Exempel 2: När man rycker en toalettpappersrulle
51
52
53
54
Svar enligt Newton ... lägg ihop alla krafter
med pilar!
II Accelerationen a hos en kropp är proportionell mot
den totala sammanlagda kraft F som verkar på
kroppen, och inverterad proportionell mot massan m.
dvs F = ma.
100
200
100
100
50 50
100
Vilket block utsätts för den största påfrestningen?
100 = 50 + 50
55
100
200 = 100 + 100
56
50 = 10+ 10 + 10 + 10 + 10 = kraft på fästet
• III Varje kropp som påverkar en annan kropp med en
kraft F påverkas i sin tur av den andra kroppen med
en lika stor men motriktad kraft !F .
Ett mera komplicerat exempel ...
räkna bara antal snören så får
man utväxlingen i ett block
Exempel 1:
Exempel 2: alla molekylerna i din kropp!
Summan av alla små bidrag +F och -F blir noll, annars
skulle vi inte hålla ihop!
10 + 10 + 10 + 10 = 40 = kraft i nedre blocket
57
58
Två tidvatten per dag bekräftar
Newtons teori
Ballong som flyger eller en jet-motor
fullmåne
nymåne
månen
SOLEN
månen
jorden/vattnet
kvartsmåne
59
60
Nu kommer man till det mest abstrakta och
viktiga ... skillnaden mellan tröghet och
vikt
61
Trögheten M motsvarar 1000 g i alla dessa fall:
Newton diskuterar skillnaden mellan
vikt och tröghet (massa) ...
Fg = Mg g
Gravitationskraften är
proportionell mot vikten
F = Ma
Kraften för att åstadkomma given
acceleration är proportionell mot
trögheten
62
Tom
Om vi förflyttar oss är massan alltid
densamma men vikten ändrar sig.
vikt Mg =
ekvatorn
1000 g
Kiruna
1003 g
månen
150g
Vikten är dock olika
63
64
(1) Kan du kasta en kula snabbare på månen
än på jorden?
Vi analyserar Galileos “Pisa-experiment” (som
antagligen är en skröna) som visar den principiella
skillnaden mellan tröghet och vikt ...
(2) Kan du kasta kulan längre på månen?
svar: (1) nej (2) ja
65
F = Mg g
Gravitationskraften är
proportionell mot vikten
F = Ma
Kraften för att åstadkomma given
acceleration är proportionell mot
trögheten
Fg
66
Mg g = M a
Om inte gravitationsmassan och trögheten
var identiska skulle olika kroppar accelereras
olika fort i vårt gravitionsfält!
För en kropp som faller blir
Mg g = M a
67
68
Detta är en mycket viktig fråga. Om inte
gravitationsmassan och tröghetsmassan visar sig
vara exakt densamma måste man överge Einsteins
relativitetsteori. Därför har detta förhållande mätts
med mycket stor precision:
Senaste mätningarna (1999) visar
Härledning av den universella
gravitationslagen och Cavendish
(1798) mätning av jordens massa
Mg
= 1 ± 10−13
M
69
70
Newtons formulering
Newtons observation att accelerationen är
.. all matter attracts all other matter
Att väga
jorden
with a force proportional
to the
product of their masses and inversely
proportional to the square
ofmthe
F1 =
1g
distance between them.
v2
a=
R
tillsammans med hans observation att
månens rotation motsvarar en acceleration
proportionell mot månens avstånd i kvadrat
ger utan större svårighet Keplers lag.
F2 = m2 g
Modern formulering
71
F1 = −F2
m1 m2
F =K
R2
72
Låt oss väga
ta två godtyckliga
kroppar och undersöka
Att
jorden
kraften på vardera. Enligt Newton, är kraften på en
Cavendish experiment, 1798
Att väga
jorden
kropp pga
gravitationen proportionell mot massan
Att väga
F1 ∝ mjorden
1
F1 = m1 g
F1 = m1 g
F 2 ∝ m2
Text
R
F2 = m2 g F2 = m2 g
F1 = m1 g
F2 = m2 g
F1 = −F2 F1
F1 = −F2
m1 m2
F =FK= K m2 1 m2
RFR2=
Krafterna
måsta vara lika
= −F
2
enligt 3:e lagen och
momvänt
1 m2 proportionellt mot
K
R2 enligt Kepler och
mätningar
Att väga jorden
73
74
F1 = m1 g
Att väga jorden
Att väga jorden
F2 = m2 g
Att väga jorden
F1 = −F2
m1 m2
F =K
R2
F1 = m1 g
1 = m
1g
Genom attFmäta
kraften
F med sådan
apparat, och
1 =Fm
1 g m2 g
F2 kännedom
= m2 g Fom
2 =
och R var det bara att räkna ut K
F1 = −F2 F2 =Fm
2 g −F2
1 =
m1 m2
m1 m2
F =K
F1 F= =
−F
K2
R2
R2
m1 m2
F =K
R2som är
Nu tillämpar vi det på en kropp
på jorden
. – p.1/1
. – p.1/1
Nu tillämpar vi detta på en kropp vid jordens
yta.
m1 = kroppens massa
m2 = jordens massa (okänd)
. – p.1/1
K = gravitations-konstant, mätt av Cavendish
R = jordens radie, vilken var känd.
F = kroppens vikt ( g m1 )
. – p.1/1
Vi kan därigenom räkna ut jordens massa!
75
76
. – p.1/1
. – p.1/1
Sammanfattning: 1700
Detta experiment gjordes av Cavendish,
som fick
K = 6.63 × 10
−11
Man hade en fullständigt korrekt och kvantitativ
bild av det som var känt av de mekaniska
grundlagarna som sedan höll i 200 år. Utvecklingen i
matematiken fortsatte i en rasande takt och man
hade en grundsten för en vidare utveckling av den
klassiska fysiken. Man hade till slut, efter 2000 år,
lagt den gamla grekiska naturfilosofin bakom sig.
3 2
m s /kg
och därigenom
Me = 6.6 × 1021 ton
77
78
Newtons snilleblixt var en enkel grundidé, som
utvecklades fullständigt
med logiska och
matematiska
resonemang och som
testades med ytterligare
experiment.
79
80
81
82
83
84
