Komplexa tal - Högskolan i Halmstad

c 2005 Eric Järpe
Högskolan i Halmstad
forts. Kapitel A: Komplexa tal
Andragradsekvationer
√
Obs! i är antingen √12 (1 + i) eller − √12 (1 + i), dvs i = 12 (1 + i)2 .
√
√ √
ab
=
a · b gäller ej om a och b
Obs! Se upp med roten
tal:
regeln
p ur negativa
√ √
är negativa! Dock är a · (−b) = a · −b då a, b är postiva reella tal.
Obs! Olikheter är EJ definierade för komplexa tal eftersom de ej är enkelt ordnade.

Sats
 En andragradsekvation, x2 + px + q = 0, har rötterna
 
q  
p
p 2

x1 = − 2 −
−q

q 2
där x, p, q ∈ C.
2
p
 x = −p +
−
q
2
2
2
Exempel Lös ekvationen (1 + 4i)z 2 + (8 − 19i)z − 13(2 − 5i) = 0.
Börja med att få z 2 som ensam term:
z2 +
8−19i
1+4i
=
=
=
=
(8−19i)(1−4i)
1+16
1
(8
− 32i − 19i
17
1
(−68 − 51i)
17
8 − 19i
3 − 5i
z − 13 ·
=0
1 + 4i
1 + 4i
+ 76i2 )
−4 − 3i
= (3−5i)(1−4i)
1+16
1
= 17
(3 − 12 − 5i + 20i2 )
1
(−17 − 17i)
= 17
= −1 − i
varmed ekvationen är
z 2 − (4 + 3i)z + 13(1 + i) = 0
3−5i
1+4i
Enligt den allmänna lösningsformeln är
r
4 + 3i
4 + 3i 2
z=
±
− 13(1 + i)
2
2
I en vanlig andragradsekvation med reella rötter hade vi nästan varit klara här
men nu har vi komplexa rötter och komplexa koefficienter så då återstår en hel del
arbete. . . Nu ska vi skriva hela rotuttrycket som ett komplext tal, α + βi, så får
vi lösningarna z1 och z2 från 4+3i
± (α + βi). För att se vad α och β ska vara
2
måste vi först ta reda på vilket tal vi ska dra roten ur, dvs vilket komplext tal
)2 − 13(1 + i) är:
( 4+3i
2
1
( 4+3i
)2
2
=
=
1
(16 +
4
7
+ 6i
4
( 4+3i
)2 − 13(1 + i)
2
=
=
=
7
+ 6i − 13
4
7−52
− 7i
4
−45−28i
4
varmed
r
4 + 3i 2
2
dvs
9i2 + 24i)
− 13i
− 13(1 + i) =
r
−45 − 28i
=
4
1
2
√
−45 − 28i
√
−45 − 28i
4 + 3i
z=
±
2
2
√
Låt α + βi = −45 − 28i och kvadrera båda led. Då får vi att α 2 − β 2 + 2αβi =
−45 − 28i, dvs ekvationssystemet
2
α − β 2 = −45 (1)
αβ = −14 (2)
så insättning i (1) ger α2 − (− 14
)2 = −45. Låt γ = α2 (obs!
(2) ger att β = − 14
α
α
2
γ ∈ R+ ). Då är γ − 14γ + 45 = 0 och γ 2 + 45γ − 196 = 0 dvs
γ =
=
=
=
r 45
45 2
+ 196
− ±
2
r 2
45
2025 + 784
− ±
2
4
√
2809
45
− ±
2
2
−45 ± 53
2
dvs γ1 = 4 och γ2 = −49. Emellertid vet vi att γ ∈ R+ så endast γ1 är intressant
√
(= giltig lösning). Därmed får vi att α = γ = 2 ⇒ β = − 14
= −7 så
2
√
−45 − 28i = 2 − 7i
och slutligen z =
4+3i
2
±
2−7i
2
dvs
z1 =
z2 =
4+2
2
4−2
2
+
+
3−7
i
2
3+7
i
2
= 3 − 2i
= 1 + 5i
2
Polär form
Istället för att skriva z ∈ C som a + bi (där a = Re z och b = Im z) kan man skriva
z som r(cos θ + i sin θ) där r cos θ = Re z = a och ir sin θ = iIm z = ib, r = |z| och
2
θ = arg z. På samma sätt som (a, b) är rektangulära koordinater i det komplexa
talplanet kallas (r, θ) polära koordinater eftersom de på ett annat sätt entydigt
bestämmer z’s position.
Omvandling mellan rektangulär och polär form sker enligt reglerna
rekt.√→ polär
r= a2 + b2
cos θ = a/r
sin θ = b/r
polär → rekt.
a = r cos θ
b = r sin θ
√
√
Exempel Skriv talet z = − 2 − 2 i på polär form.
q √
√
Till att börja med är r =
(− 2)2 + (− 2)2 = 2.
För att bestämma θ = arg z, rita en enhetscirkel i komplexa talplanet!
För
att
( θ ska gälla
√
2
cos θ = − 2 = − √12
sin θ = −
√
2
2
= − √12
Om man bara ser till den första ekvationen får man (minst) 2 lösningar: θ = 3π/4
och θ = 5π/4 (men även 3π/4+2πn eller 5π/4+2πn där n är ett godtyckligt heltal).
Den andra ekvationen ger att θ = 5π/4 eller θ = 7π/4 (men även 5π/4 + 2πn eller
7π/4 + 2πn där n är ett godtyckligt heltal).
Därmed är θ = 5π den lösning som stämmer i båda fallen (dvs θ = 5π + 2πn där n
är ett godtyckligt heltal är alla giltiga lösningar).
Alltså är z = r(cos θ + i sin θ) = 2(cos 5π
+ i sin 5π
)
4
4
3π
3π
(men även t.ex. z = 2(cos(− 4 ) + i sin(− 4 )) är ett korrekt svar, eftersom
5π
+ 2π · (−1) = − 3π
).
4
4
2
Kom ihåg:
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
Exempel Skriv talet z = 5 cos
sin θ
0
1/2
√
1/
√ 2
3/2
1
10001π 3
cos θ
√0
3/2
√
1/ 2
1/2
0
+ i sin
10001π 3
på rektangulär form.
Vi har att
a = 5 cos( 10001π
) = 5 cos( 10001π
+2πn) = 5 cos( 10001π−6π·1666
) = 5 cos 4π
= 5 · (− 12 ) = − 52 ,
3
3
3
3
och b = 5 sin( 10001π
) = 5 sin 4π
=−
3
3
Alltså är z = − 52 −
√
3
2
√
3
.
2
i.
2
3
de Moivres formel
Den polära formen z = r(cos θ +i sin θ) kan även skrivas z = eθ i (med samma r = |z|
och θ = arg z). För en utförlig definition av exponentialfunktionen och förklaring till
varför z = eθ i , läs s. 169. (Formen z = eθ i kallas ibland exponentiell form men detta
är lite missledande: det finns bara två former − rektangulär och polär. Denna form
är bara en variant av polär form eftersom den bestäms av de polära koordinaterna
r och θ.)
Att vi kan skriva z på detta vis gör att vi enklare kan beräkna z k för mycket stora
heltal k. Vi har nämligen att om likheten r(cos θ +i sin θ) = reθ i ska stämma för alla
(reella) r och θ, så måste z k = r k eθk i vara detsamma som z k = (r(cos θ + i sin θ))k .
Eftersom z k är ett komplext tal, låt oss kalla det w, där w = s(cos ψ +i sin ψ) = seψ i
så måste s = r k (för |w| = |z k |) och ψ = θk + 2πn (för arg w = arg z k ). Därmed är
z = r k (cos θk + i sin θk)
vilket kallas de Moivres formel. Det är denna som gör det lättare att beräkna z k .
Exempel Beräkna 16(1 + i)8 .
√
√
Vi ser att 16 = 24 = ( 2)8 och vill nu skriva z = 2(1 + i) på polär form för att
lättare kunna beräkna z 8 m.h.a. de Moivres formel.
√
√
√
I ett tidigare exempel hade vi w =√− 2 − 2 i = − 2(1 + i).
Men z 8 = (−1)8 · z 8 = (−z)8 = (− 2(1 + i))8 = w 8 så låt oss använda w istället.
+ i sin 5π
). Enligt de Moivres formel är då
Skrivet på polär form är w = 2(cos 5π
4
4
5π
5π
8
8
4
w = 2 (cos( 4 · 8) + i sin( 4 · 8)) = 4 (cos(10π) + i sin(10π)) = 162 (1 + 0) = 196
och eftersom z 8 = w 8 är z 8 = 196.
2
Binomiska ekvationer

Ekvationen z n = w där z, w ∈ C har n rötter: z0 , z1 , . . . , zn−1 som beräknas enligt
 zk = |w|1/k (cos θk + i sin θk ) där θk = 1 (arg w + 2πk) och k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
Rötterna kallas n:te rötter. Om w = 1 kallas rötterna enhetsrötter.
√
Exempel Beräkna 6 −64.
√
För att skriva z = 6 −64 = (−64)1/6 på rektangulär form, upphöj båda led till 6:
z 6 = −64 och använd formeln ovan.
|z 6 | = | − 64| = 64 = 82 = (23 )2 = 26 så |z 6 |1/6 = 2.
Eftersom cos θ = −64
= −1 och sin θ = 0
64
så blir θ = arg z = π + 2πn där n ∈ Z t.ex. θ = π.
(Detta inses med en enhetscirkel i komplexa talplanet. . .)
Därmed är θk = 61 (π + 2πk) där k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Sjätte-rötterna är då
4

√
√

z0 = 2(cos π6 + i sin π6 ) = 2( 23 + 12 i) = 3 + i





z1 = 2(cos 3π
+ i sin 3π
) = 2i

6
6


5π
5π
 z2 = 2(cos + i sin ) = −√3 + i
6
6
√
7π
7π

z
=
2(cos
+
i
sin
) = − 3−i
3

6
6




z4 = 2(cos 9π
+ i sin 9π
) = −2i

6
6


 z5 = 2(cos 11π + i sin 11π ) = √3 − i
6
6
Im z
6
t
2i
t−√3 + i
t √3 + i
Re z
√
t− 3 − i
t √3 − i
t
−2i
2
5