Beräkningar- olika sätt att hantera vår komplexa omvärld
Torsdagen den 10 maj, D 211, plan 2, hus Balder, Allégatan 1, Högskolan i Borås
Program
08:45 – 09:15
Registrering och kaffe
09:15 – 09.45 Matematiksatsningar vid Högskolan i Borås
Gunilla E Magnusson, bitr prefekt, Institutionen för pedagogik, RUC, Högskolan i Borås
09:45 – 10:35 Differentialekvationer som matematiska modeller av fysikaliska fenomen
Gunilla Kreiss, professor, Numerisk analys, Uppsala universitet
10:35 – 10:50
Frågor och bensträckare
10:50 – 11:40 Effektiva beräkningar och exponentiell tillväxt
Johan Håstad, professor, Centrum för industriell och tillämpad matematik, Kungliga Tekniska
högskolan
11:40 – 11:50
Frågor
11:50 – 12:50
Lunch
12:50 – 13:35 Evidens i praktiken – vad innebär det egentligen att undervisningen ska vila på
vetenskap och beprövad erfarenhet?
Per Kornhall, undervisningsråd, Skolverket
13:35 – 13:50
Frågor och bensträckare
13:50 – 14:40 Är euklidisk geometri den enda möjliga geometriska strukturen för universum?
Ulf Persson, professor, Matematik, Chalmers tekniska högskola
14:40 – 14:50
Frågor
14:50 – 15:20
Kaffe
15:20 – 16:10 Slump och struktur – två sidor av samma mynt
Klas Markström, docent, Matematik och matematisk statistik, Umeå universitet
16:10 – 16:20
Frågor
16:20 (17.00)
Avslutning
Inspirationsdagar för gymnasielärare – tema 3
Beräkningar – olika sätt att hantera vår komplexa omvärld
Beräkningar har alltid varit en – väsentligen – del av matematiken. När man börjar skolan är det
nästan ingen skillnad, man lär sig helt enkelt räkna på matematiklektionerna. Gångna tiders
matematiker ägnade sig mycket åt handräkningar och t ex Gauss gjorde långa tabeller över primtal, ur
vilka han korrekt gissade andelen primtal bland stora tal.
Samtidigt som mycket matematik högre upp i skolan inte innehåller så mycket beräkningar, har
beräkningar blivit av allt större samhällsintresse. Vi omges av datorer och avancerade beräkningar är
grunden för allt från väderprognoser och planering av flygplansrutter till filmindustrin. Föredragen
belyser olika aspekter av beräkningar.
Gunilla Kreiss visar hur man med differentialekvationer kan beskriva olika fysikaliska fenomen och hur
man löser dessa ekvationer med numeriska metoder.
Att datorer är snabba vet alla, men att prova alla möjligheter kan ändå vara ogenomförbart för vissa
problem och man måste försöka vara smart. Huruvida det alltid är möjligt diskuteras av Johan Håstad.
Ulf Persson och Klas Markström diskuterar andra aspekter av beräkningar. Det finns andra geometrier
än den vi är vana vid. Ulf Persson beskriver andra, icke-euklidiska geometrier och konsekvenserna av
dessa. Att slump och ordning – stick i stäv med vår intuition – är sammanvävda beskrivs av Klas
Markström.
Differentialekvationer som matematiska modeller av fysikaliska fenomen
Gunilla Kreiss, professor, Numerisk analys, Uppsala universitet
http://www.it.uu.se/katalog/gkreiss
Differentialekvationer dyker upp i modeller av alla möjliga företeelser såsom planetrörelser,
populationsutveckling och klimatutveckling med mera. De enklaste differentialekvationerna har lösning
på sluten form, men i (nästan) alla intressanta fall är man hänvisad till numerisk lösning. I denna
föreläsning visas många exempel, och numeriska lösningsmetoder diskuteras. Likaså diskuteras
några centrala begrepp och deras betydelse: konvergens, konvergensordning och stabilitet.
Effektiva beräkningar och exponentiell tillväxt
Johan Håstad, professor, Centrum för industriell och tillämpad matematik, Kungliga Tekniska
högskolan http://www.nada.kth.se/~johanh/
Ett sätt att faktorisera heltal är att provdividera med små primtal. Att faktorisera ett tal med 20
decimala siffror på detta sätt kan man göra på någon sekund på en vanlig dator. Ett 50-siffrigt tal
skulle kräva år på en superdator, medan ett 100-siffrigt tal inte kan faktoriseras på alla världens
datorer innan solen slocknar med denna metod. Det finns dock mycket effektivare metoder och heltal
med upp till 200 siffror har faktoriserats.
1(2)
Många andra beräkningsproblem delar den egenskapen – att det finns ett uppenbart sätt att lösa
dem genom att prova en mängd möjligheter. För stora instanser blir dock antalet möjligheter alltför
många, även för snabba datorer.
För vissa problem kan man hitta bättre angreppssätt, som gör väldigt stora instanser lösbara, men
det är långt ifrån alltid fallet. Vi kommer att ge exempel på detta och översiktligt diskutera teorin
bakom.
Är euklidisk geometri den enda möjliga geometriska strukturen för universum?
Ulf Persson, professor, Matematik, Chalmers tekniska högskola
http://www.chalmers.se/math/SV/organisation/matematik/personal-pa-matematik/larare-ochforskare/persson-ulf
Är den euklidiska geometrin den enda möjliga geometri som beskriver det fysikaliska rummet? Gäller
det så kallade parallellaxiomet - att genom en punkt utanför en linje kan man endast finna en linje
parallell med den givna? Matematiker försökte förgäves bevisa detta tills de i början av 1800-talet
insåg att detta var omöjligt. Man kan beskriva andra geometrier med smått bisarra konsekvenser.
Slump och struktur – två sidor av samma mynt
Klas Markström, docent, Matematik och matematisk statistik, Umeå universitet
http://abel.math.umu.se/~klasm/
När vi ser oss om i världen, hittar vi å ena sidan ytterst ordnade beteenden och objekt, som
formationsflygande flyttfåglar eller närapå perfekta kristaller, och å andra sidan till synes helt kaotiska
förlopp, som bruset från ett vattenfall eller en tärnings studsande innan den landar.
De senaste hundra åren har matematiker upptäckt att slump och ordning är mycket mer
sammanvävda än vad man intuitivt kan tro. Det går att använda välordnade strukturer för att komma
runt problem som slumpen ställer till, och i vissa helt slumpfria problem kan rätt använd slump rädda
oss från att behöva utföra beräkningar, som inte ens de största datorer någonsin kommer att klara.
Än mer förvånande är upptäckten att fullständig oordning är omöjlig, vilket upptäcktes av logikern
och filosofen Frank Ramsey, likaså den senare upptäckten att även de mest strukturerade objekt har
en kärna av slump, om de bara är nog stora.
2(2)
