c Mikael Forsberg 2 februari 2009
1
Introduktion till Gausselimination ::
How to Solve Linear Equations
Vi ska utveckla en systematisk metod som kan användas för att lösa i princip alla linjära ekvationssystem.
Vi ska studera följande exempel
x+y+z
2x + 3y + z
−x + y + 2z
= 1
= 1
= 2
(1)
(2)
(3)
Startpunkt :: En naturlig lösningsstrategi
En naturlig strategi för att lösa systemet är att ur ekvation (1) lösa ut x så att x = −y − z + 1.
Detta kan vi sedan sätta in ekvation (2) och (3). Med lite uppsnyggning så har vi fått
x+y+z
y−z
2y + 3z
= 1
= −1
= 3
(4)
(5)
(6)
Från ekvation (5) kan vi nu lösa ut y = z − 1 som kan användas för att eliminera y från ekvation
(6). Vårt resultat blir då
x+y+z
y−z
5z
= 1
= −1
= 5
(7)
(8)
(9)
Från ekvation (9) löser vi nu ut att z = 1 och sedan kan vi få fram att y = z − 1 = 1 − 1 = 0, t.ex.
från ekvation (8). Slutligen har vi från (7) att x = −y − z + 1 = 0 − 1 + 1 = 0 och vi har fått fram
lösningen
x = 0, y = 0, och z = 1.
Verifiera gärna själva att detta verkligen är en lösning genom att direkt sätta in det i vårt ekvationssystem.
Förfining av strategin
Varje steg som involverar att vi löser ut en variabel ur en ekvation och sedan sätter in i nästkommande
ekvation visar sig vara ekvivalent med att man multiplicerar aktuell rad med ett visst tal och sedan
adderar resultatet till nästkommande ekvation. (Man adderar alltså hela ekvationer till en annan
ekvation.)
När man övat på att lösa ekvationssystem så börjar man inse att det inte är variabelnamnen (x,
y och z) som avgör vilka operationer som man måste göra för att lösa systemet. Det är snarare
koeffecienterna framför variablerna som används. I linjär algebra så representerar man ekvationssystem med matriser. I det följande så skriver vi upp matriserna till varje ekvationssystem och
vi påpekar att vi senare kommer att kalla matriserna för ett ekvationssystem och då underförstår
man att man till matrisen kan skriva upp ett ekvationssystem på vanligt sätt. I det sista avsnittet
c Mikael Forsberg 2 februari 2009
2
nedan så kommer vi utföra eliminationen direkt på matriserna
de metoder som vi kommer att föredra i denna kurs.
x+y+z = 1
1
2
2x + 3y + z = 1
−x + y + 2z = 2
−1
så att ni redan nu kan sätta er in i
1 1
3 1
1 2
1
1
2
(10)
Om vi börjar från början från (10) så kan vi eliminera x ur rad 2 genom att multiplicera rad 1
med −2 och addera resultatet till rad 2. Vi eliminerar enkelt x ur rad 3 genoma att addera rad 1
till rad 3. Gör vi dessa operationer så får vi
x+y+z = 1
1 1 1 1
0 1 −1 −1
y − z = −1
(11)
2y + 3z = 3
0 2 3 3
Nu vill vi använda den andra ekvationen (rad 2) för att eliminera y i rad 3. Detta gör vi genom att
multiplicera andra raden med −2 och sedan addera resultatet till tredje ekvationen. Detta leder
till följande.
x+y+z = 1
1 1 1 1
0 1 −1 −1
y − z = −1
(12)
5z = 5
0 0 5 5
Nu har vi nått lika långt som i metoden som vi startade med och då fortsatte vi med att lösa ut
variablerna. Detta kan nu göras precis på samma sätt som förut men låt oss nu formalisera detta
genom att fortsätta med våra ekvationsadditioner.
Vi fortsätter nu med att multiplicera den tredje ekvationen
1
x+y+z = 1
0
y − z = −1
0
z = 1
med 1/5, vilket leder till
1 1 1
1 −1 −1
0 1 1
(13)
ur vilket vi naturligtvis kan läsa att z = 1. Använd nu den tredje ekvationen för att eliminera z i
den första och andra raden. Addera rad 3 till rad 2 och multiplicera rad 3 med −1 och addera till
rad 1. Då får vi
1 1 0 0
x+y = 0
0 1 0 0
y =0
(14)
0 0 1 1
z = 1
Slutligen kan vi använda den andra ekvationen för att eliminera y i rad 1 och då kommer vi fram
till
x = 0
1 0 0 0
0 1 0 0
y =0
(15)
z = 1
0 0 1 1
som är vår lösning!
Detta fungerar naturligtvis bra men genom att arbeta med matriserna så kan vi göra denna eliminationsmetodik mer koncis och mer effektiv för praktiska räkningar. I nästa sektion så visar vi
hur våra operationer kan bokföras på ett både snabbt och tydligt sätt!
c Mikael Forsberg 2 februari 2009
3
Vår slutgiltiga metod ::
Här visar vi hur man kan notera eliminationsoperationerna som operationer på matriserna. Det är
viktigt att komma ihåg att varje matris i varje steg svarar mot ett ekvationssystem så man kan
alltid, i vilket steg som helst, stanna upp och ta fram ekvationssystemet.
−2
1
1
1
1 1 1
0
2
3 1 1 ←
−+
0
−1 1 2 2
←−−−−− +
1
1 1
1
←−−−− +
0 1 − 1 − 1 ←
−+
1
−1
1
0 0
1
1
1
2
1
−1
−2
3
←
−+
1 0 0
←
−+
−1
1 0 0
0 1 1
1
−1
3
1
0
0
1
1 1
1
0 1 − 1 − 1
5
| ← ·1/5
0 0
5
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
Ur den sista matrisen läser vi ut att lösningen som tidigare blir x = 0, y = 0 och z = 1.
Det här är en praktisk och systematisk metod som lämpar sig väl för räkning med papper och
penna. Notera och förstå vad de olika pilarna står för och försök ta för vana att själv alltid göra
sådana markeringar som anger vilka operationer som utförs.1
Terminologi ::
I ovanstående matrisräkningar så kallar man de tre första stegen för Gausselimination. Ni ser
att fram till och med multiplikationen av tredje rad med en femtedel så går radoperationerna
uppifrån och ned. Slutresultatet blir en triangulär matris (nollor nedanför diagonalen). När vi sedan
använder en nedre rad för att eliminera en rad ovanför så kallas man detta för återsubstitution.
Gausselimination åtföljt av återsubstitution kallar man ofta för Gauss-Jordan substitution.
Slutkommentar ::
Som ni kommer att se när ni räknar själva så kan ekvationssystemen antingen ha unik lösning (som
i ovanstående fall), ha oändligt många lösningar eller så kan systemet sakna lösningar. Gausseliminationen fungerar alltid och efter denna (m.h.a den resulterande triangulära matrisen) så kan
man avgöra om systemet har lösningar eller inte och om lösningen är unik eller att det finns
många lösningar. Gauss-Jordan eliminationen fungerar bara om vi har unik lösning. (det är alltså
återsubstitutionen som blir svår...) Det här kommer vi att studera noggrant så att ni lär er klara
av vilken situation som helst.
Övning 1. Skriv upp ekvationssystemet som
2 1
3 2
1 1
svarar mot följande matris
1 1
1 − 1
1 2
och lös ekvationssystemet.
Hint :: I detta fall blir räkningarna enklare om man startar med ett radbyte markerat enligt
2 1 1 1
←
−
1 1 1 2
3 2 1 − 1
3 2 1 − 1
1 1 1 2
←
−
2 1 1 1
Se till att ni förstår vad radbytet svarar mot i ekvationssystemet.
Svar :: x = −1, y = −1 och z = 4.
1 När jag själv räknar för hand så har jag funnit det praktiskt att göra operationsmarkeringarna på vänster sida
av matrisen men för typsättning av räkningarna så har jag inte hittat någon metod som gör notationen på vänster
sida utan har fått nöja mig med att operationerna sker på högra sidan av matrisen.
