Diskret matematik ht 05
Hemuppgifter 5
Motivera alla svar. Ange vilka ni samarbetat med. Spara uppgifterna (med mina kommentarer) när ni får tillbaka dem och ta med dem till muntan.
Uppvärmning
(i) Bestäm alla lösningar till x2 + 2x + 7 = 0 i Z11 .
(ii) Hur många lösningar finns det i Z12 till x2 + x + 6 = 0?
(iii) Vilken är sista siffran i 793 ?
(iv) (a) Visa med hjälp av binomialsatsen att (a + b)p ≡ ap + bp (mod p) om p är ett
primtal. Du får inte använda Fermats sats, utan endast binomialutvecklingen
av (a + b)p .
(b) Visa att varje primtal p ≥ 3 delar 2p−1 − 1.
(v) Låt p vara ett primtal större än 3. Visa att p2 − 1 är delbart med 24.
(vi) Visa att n är delbart med 3 om och endast om siffersumman är det. Visa samma sak
för 9.
(vii) Talen 1, 2, . . . , 20 står på tavlan. Två spelare turas om att stryka ett tal, tills bara
två finns kvar. Om summan av dessa två tal är delbar med 3 vinner den som gjorde
det sista draget. Vem vinner och hur?
Lämnas in senast tisdagen den 4 oktober.
1. Betrakta följande spel: Två personer har 20 stickor och skall turas om att avlägsna
ett antal av dessa. I varje drag kan man avlägsna en, två eller tre stickor. Den som
tar den sista stickan vinner. Om två oändligt skickliga spelare spelar, vem vinner,
och hur ska den personen göra? Ge också en strategi för detta spel när man har n
stickor och får avlägsna minst en och högst k stickor i varje drag.
Hur bör man spela om den som tar sista stickan förlorar?
2. (a) Visa att om x = x−1 i Z∗p , där p är ett primtal, då är x2 − 1 ≡p 0 och att det i
sin tur medför att endast 1 och p − 1 är sina egna inverser i Z∗p .
(b) Låt p vara ett primtal. Visa, genom att betrakta produkten av alla element i
Z∗p , att (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Ledning: Z∗p är en grupp.
3. Visa att en ring är kommutativ (med avseende på multiplikation) om och endast om
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 för alla a och b i ringen.
4. (a) Låt p och q vara primtal större än 3. Visa att p2 − q 2 är delbart med 24.
(b) Det kromatiska polynomet från det tredje hemtalet var n(n − 1)(n − 2)2 (n2 −
2n + 2). Visa att det är delbart med 30 för alla ickenegativa heltal n.
5. Matrisen An av storlek n × n med elementen aij = 1/(i + j − 1) är svår att invertera
numeriskt, eftersom dess konditionstal är stort. Man kan däremot visa att dess invers
består av heltal.
Invertera matrisen A2 genom att först invertera den modulo 5 och 7 (matrisen blir
då en heltalsmatris) och sedan, med kinesiska restsatsen, beräkna inversen modulo
35. Pröva er sedan fram till lämpliga representanter i ekvivalensklasserna modulo 35
för att få inversen i Z.
Bonusproblem (inget samarbete)
6. (a) Visa att varje positivt heltal n delar något tal som (i decimalsystemet) skrivs
enbart med ettor och nollor. Exempel: 65 delar 10010. Tips: Titta på rester vid
division (av vad?) med n.
(b) Låt n vara ett positivt heltal som varken delas av 2 eller 5. Visa att n delar
något tal som skrivs enbart med ettor. Exempel: 273 delar 111111.
7. Låt s > 1 vara ett heltal. Beskriv varför likheten
X 1
=
ns
n≥1
Y
p prime
1
1 − p−s
gäller. Tips: Hur kan talen i högerledet flyttas upp i täljaren?
Ytterligare övningar
1. Vad blir resten om man delar 2371 med 31?
2. Givet ett naturligt tal n, avlägsna sista siffran och subtrahera den två gånger från det
som är kvar. Fortsätt tills resultatet är mindre än 10. Exempel: 1603 → 160 − 2 · 3 =
154 → 15 − 2 · 4 = 7. Visa att resultatet är delbart med 7 om och endast om n är
det.
3. Lös följande ekvationssystem i Z7 . Finns det en lösning i Z5 eller i Z8 ?
x + 4y = −1,
3x + 2y =
1.
4. Låt p vara ett primtal. Vi har i en tidigare uppgift visat att (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Visa nu detta istället genom att använda det faktum att varje primtal har en primitiv
rot r. Således kan (p − 1)! skrivas som en produkt av potenser av r.
En primitiv rot till talet n är ett tal r så att det för varje k ∈ Z∗n gäller att k = ri
för något heltal i (r är alltså en generator för gruppen).
5. (a) Låt p vara ett primtal. För vilka element a ∈ Zp finns det x, y ∈ Zp så att
x2 + y 2 = a? Med andra ord, för vilka a kan man lösa ekvationen x2 + y 2 = a?
Ledning: Vilka (hur många) av talen i Zp är kvadrater?
(b) Visa (med exempel) att svaret blir ett annat om p inte är ett primtal.
6. Ett tvåpersonsspel med ett antal tändstickor går till så att spelarna i varje drag får
avlägsna k stickor, där k är ett godtyckligt (positivt) kvadratfritt heltal (ett tal som
inte delas av en kvadrat p2 ). Den som tar den sista stickan vinner. Ge en strategi för
att vinna spelet. Det bör i synnerhet framgå av strategin för vilka n den som börjar
vinner.
2
Detta problem har
anknytning till
Riemannhypotesen,
som säger något om
fördelningen av
nollställen till denna
funktion. Det är
förmodligen det
viktigaste olösta
problemet inom
matematiken idag.
7. Två spelare turas om att placera löpare på ett schackbräde så att ingen löpare kan
ta en annan. Den som placerar den sista löparen vinner. Vem vinner och hur? Till
vilka n × k-bräden kan strategin här generaliseras?
8. För vilka n uppfyller Zn att det för varje a ∈ Zn så att a 6≡ 0 finns ett b ∈ Zn så att
ab ≡ 1 (mod n)? Ledning: För vilka n finns x 6≡ y ∈ Zn så att ax ≡ ay för något
a 6≡ 0? Betrakta sedan {ax | x ∈ Zn }.
9. Talet 1234 (till exempel) står på tavlan. Ett drag består i att subtrahera någon av
talets nollskilda siffror från talet (och skriva det nya talet på tavlan). Två spelare
turas om, och den vinner som får fram talet 0. Vem vinner och hur?
10. Låt P (x) = ax2 + bx + c vara ett andragradspolynom (så a 6= 0). Vilka villkor måste
ställas på a, b, c och p för att garantera att P (x) är irreducibelt i Zp [x], där p är ett
primtal?
Ledning: Irreducibilitet av andragradspolynom är relaterad till nollställen. Om P
har nollställen kan ni en formel för att ta fram dem.
11. Visa att kommutativiteten av addition i en ring följer av de andra axiomen för en
ring (vilket visar att additionens kommutativitet är överflödigt som axiom).
3
