Strandad mellan måne och jord

Strandad mellan måne och jord
Uppgift:
I en svensk science fiction tidning från 40-talet lyckas två svenska bröder konstruera ett
rymdskepp som kan repellera jordens magnetfält och därigenom falla uppåt.
På sin resa till månen krånglar dock skeppet och de blir strandsatta och fastnar i den punkt
mellan jorden och månen där gravitationskrafterna från jorden respektive månen är lika starka
men motriktade. Turligt nog kommer Allan Kämpe till deras räddning!
Beräkna hur långt från jorden denna punkt är belägen.
(Erforderliga data hämtas från formelsamling.)
ms
mm
mj
x
r-x
Lösningsförslag:
Förslaget består av två olika alternativ.
1. Punktens läge beräknas.
2. Bonuslösning. Hänsyn tas till att skeppet roterar runt jorden med samma hastighet som
månen vilket ger att skeppet fastnar i en annan punkt.
Vi börjar med att införa lite beteckningar som är gemensamma för båda lösningsalternativen.
Anta att avståndet mellan jordens mitt och skeppets mitt är x, se fig. ovan.
(Den sträcka vi söker kommer då att vara x – jordens radie om vi ska räkna avståndet från
jordytan).
Sträckan mellan skeppets mitt och månens centrum kan då betecknas r – x där r är avståndet
centrum till centrum mellan måne och jord. (hittar vi i tabellsamling, r = 3,844108 m)
Vi inför också beteckningarna:
mm = månens massa = 7,351022 kg, mj = jordens massa = 5,9741024 kg, ms = skeppets massa
Alternativ 1
I den sökta punkten är gravitationskraften mellan måne och raket samt mellan jord och raket
lika stora varför vi kan teckna följande ekvation:
m j  ms
mm  m s


(r  x) 2
x2
I denna ekvation kan vi omedelbart förkorta bort gravitationskonstanten, , samt skeppets
massa, ms.

(vilket verkar logiskt! var den strandar bör väl inte ha att göra med hur tung den är?)
Den nya ekvationen blir då:
mj
mm
 2
2
(r  x)
x
Den enda obekanta här ovan är x varför detta är en (lite krånglig?!) andragradsekvation.
Väljer här att lösa ekvationen inledningsvis algebraiskt men naturligtvis kan man sätta in
siffror och lösa numeriskt direkt om man undviker att avrunda på vägen.
(Algebra är vackert! Läs noga och långsamt!!)
Omskrivning av ekvation ovan ger:
mm  x 2  m j  (r  x) 2  mm  x 2  m j  (r 2  2rx  x 2 )  mm  x 2  m j  r 2  m j  2rx  m j  x 2
samlar vi nu x2 får vi :
m j  x 2  mm  x 2  m j  2rx  m j  r 2  0  (m j  mm )  x 2  2m j rx  m j  r 2  0
division för att få ett x2 och kunna angripa med formeln för andragradsekvationer ger:
2m j r
mj r2
2
x 
x
0
( m j  mm )
( m j  mm )
Här kan det vara lämpligt att sätta in siffror varefter vi får:
x2- 7,7838108 x + 1,49601017 = 0
(KOM IHÅG: Värdesiffror!! Avrunda inte för mycket!)
vilket med valfri metod ger 2 st rötter, x1 = 4,324108 m och x2 = 3,460108 m
Två svar, vilket är rätt?
Tittar vi efter så ser vi att att det första svaret inte är det vi letar då det är större än avståndet
mellan himlakropparna. Om vi nu från det andra svaret drar bort jordens radie (≈637 mil) så
får vi avståndet från jordens yta till skeppet vilket blir vårt svar 3,40108 m
(det första svaret ger den punkt bortom månen där krafterna är lika. Där verkar de dock i
samma riktning och motverkar inte varandra!)
Uppgiften löses med en ganska vanlig arbetsgång där det första problemet blir att inse vad
det är för samband som gäller i den eftersökta punkten. Därefter teckna en korrekt ekvation,
lösa den och tolka svaret.
Den riktigt algebratränade kan vänta med insättning av siffror och fortsätta enligt:
2
2
 mj r 
mj r2
mj r
m j r 2  ( m j  mm ) m j  r 2


x




 (m  m ) 
(m j  mm )
(m j  mm )
( m j  mm )
( m j  mm ) 2
m 
 j
mj r


( m j  mm )
mj r
(m j  mm )
m
x1 
j
m j r 2  ( m j r 2  mm m j  r 2 )
2
mj r


2
( m j  mm ) 2
mm m j  r 2
(m j  mm ) 2

 mm m j r
( m j  mm )
x2 

mj r
(m j  mm )
m
j

mm m j  r
(m j  mm )

 mm m j r
( m j  mm )
Insättning av siffror ger återigen samma svar!!
Alternativ 2
I detta lösningsalternativ tar vi hänsyn till att skeppet roterar runt jorden med samma hastighet
som månen. (Vi försummar dock den rotation som samtidigt sker runt solen)
Detta innebär att summan av gravitationskrafterna är vår centripetalkraft, dvs
gravitationskraften från jorden minus gravitationskraften från månen är centripetalkraften!
mv 2 m  4   2  r ms  4   2  x


r
T2
T2
där T är omloppstiden för månen vilket vi kan finna i tabell = 27,32 dygn
Centripetalkraften kan beräknas enligt: FC 
Detta ger ekvationen:

m j  ms
x2
mm  m s m s  4   2  x


(r  x) 2
T2
återigen kan skeppets massa förkortas bort så att
mm
4  2  x
Detta är en knepig ekvation som enklast löses grafiskt efter

x2
(r  x) 2
T2
insättning av numeriska värden.

mj

3,9847  1014
4,9024  1012

 7,0855  10 12 x
x2
(3,844  10 8  x) 2
Om vi t.ex. ritar upp vänsterled som en första funktion och högerled som en andra och sedan
undersöker var dessa skär varandra så finner vi det x-värde vi söker.
En stunds knåpande ger t.ex. en lämplig inställning på räknarens fönster där vi låter x vara
mellan 0 och 4∙108 och y vara mellan 0 och 0,005.
Skärningspunktens x-värde blir 3,26026∙108 m.
Drar vi på samma sätt som i lösningsförslag 1 bort jordens radie får vi svaret 3,20108 m
Detta svar skiljer sig bara 6 procent från alternativ 1!
Det är ganska vanligt förekommande att förenklingar/approximationer ger
tillfredsställande resultat. Här syns också tydligt att den matematiska modellen snabbt
blir mycket svårare i alternativ 2 där hänsyn tas till fler faktorer!