Comments for hand

Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Kommentarer till inlämningsuppgift 1.
Inledning.
Jag har delat in kommentarerna i fyra kategorier: 1) Matematiska fel och
brister, 2) det matematiska språket, 3) språket i allmänhet och 4) LATEX.
Observera att jag inte kommer att återlämna den första versionen som ni
har lämnat in till mig i pappersform. Ni skall istället rätta era lösningar
med utgångspunkt med kommentarerna i detta dokument.
Många av mina kommentarar kan uppfattas som enbart kritiska! Anledning till det är att det tar väldigt lång tid att sammanfatta och skriva alla
kommentarer Därför finns inte alltid ork skriva ner beröm där det har varit
befogat. Jag ber om ursäkt för detta.
En fördel med att lämna kommentarer till inlämningsuppgifterna på det
nya sättet (andra gången jag använder metoden!) är att ny studenter kan
lära av varandras fel istället för bara av sina egna. Ett av det pedagogiska
målen med detta sätt att rätta era lösningar är att aktivera er genom tydligare och mera enhetlig återkoppling. Jag hoppas att ni vill ge metoden en
fair chans!
Bedömning. Tufft, men inte ovanligt: Inga godkända! Vissa har en del att
rätta andra bara småsaker.
1. Matematiska fel och brister.
• Många, men inte alla, glömmer att påpeka att deras lösning, t.ex.
x = ( n + 1)/2 och y = ( n − 1)/2, är en heltalslösning. Hur ser man det i
fallet ovan?
• Beteckningen ( x, y) ∈ N0 är inte bra. Korrekt är x ∈ N0 , y ∈ N0 eller
x, y ∈ N0 (som är en kortform av föregående skrivsättet) eller ( x, y) ∈
N20 (som vi inte riktigt har berört).
• Många väljer att formulera ett lemma där dom säger att ekvationen
x2 − y2 = n alltid har en heltalslösning då n är ett primtal. Påståendet
är sant även om man bara kräver att n är udda. Det senare behövs
faktiskt ofta i bevisets andra del. Det är därför mera ekonomisk att
formulera och bevisa det allmännare resultatet först och sen tillämpa
det på båda de ställen där det behövs.
• Man behöver (verkligen) inte redovisa alla stegen, och referera till
gausselimination, när man löser enkla ekvationssystem (två ekvationer, två obekanta). De flesta kan göra det i huvudet om de vill!
8 december 2014
Matematisk kommunikation för Π
Niels Chr. Overgaard
• Vi arbetar i denna uppgift bara med icke-negativa tal och positiva
primtal. Därför behöver man bara referera till positiva delare när
man t.ex. definierar primtal och sammansatta tal. Man behöver med
andra ord inte ta med minustecknet när man skriver “talet p kallas
ett primtal om det endast kan delas med ±1 eller med ± p.”
• Ibland finns det helt obegripliga formuleringar. Här är ett exempel:
n ⇐⇒ p ⇐⇒ 1 p ⇐⇒ ab.
Det är inte det enda exemplet! Ett sätt att undvika obegripligheter
(i text, i formler eller i text med formler) är att läsa meningen högt
för sig själv. Kan man inte göra det eller kan man inte förstå vad som
sägs, då får man överväga om något skall ändras.
• Många använder kontrapositiva bevis och har därför nytta av att formulera två utsagor A och B. Då kan man nämligen skriva upp att påståendet A ⇒ B är ekvivalent med påståendet not(B) ⇒ not( A ), vilket
är tydligt och bra. När ni blir mera vana kan ni formulera kontrapositivbevis utan att förklara i detalj för läsaren hur det går till. Man formulerar och bevisar helt enkelt bara det kontrapositiva påståendet ...
den vana läsaren kommer att hänga med. Observera att införandet
av A och B kanske inte ens behövs i dagsläget när man använder ett
motsägelsebevis, vilket vissa gör.
• Det finns kvar en massa onödiga parenteser som, tycker jag, försvårar
läsningen. Här är ett typiskt exempel där parenteserna inte ger någor
alls:
½
½
( x + y) = n
x+ y= n
fast det är bättre med
.
( x − y) = 1
x− y=1
Parenteserna hänger troligtvis med från konjugatuttrycket ( x + y)( x −
y) = n. Det finns flera liknande exempel.
• Detta är kanske lite mera subjektivt. Jag är inte övertygad om fördelen med att skriva faktorerna i n = ab som a = 2 p + 1 och b = 2 q + 1
för att ange att det rör sig om udda tal. Priset är införandet av flera
nya variabler ( p och q). Själv tror jag att det är lika enkelt att bara
säga att a och b är udda tal.
2. Det matematiska språket.
• Använd inte fetstil i formler utom i speciella fall (vektorer, talmängder,...)
8 december 2014
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
• När man ska formulera en sats eller ett lemma, skriv då antagandet
först (Om...) och konklusionen sen (så är...). Mönstret kan brytas, men
inte gärna utan anledning eller medveten intention.
• Punkt eller komma även efter formler om grammatiken kräver så.
Inleda aldrig en mening med en matematisk symbol eller ett variabelnamn.
• Det finns ett antal formuleringar som antingen är felaktiga eller så
ovanliga att texten blir svårläst. Jag ger några exempel här.:
Ekvationen är endast definierad då...
ger anledning till frågan “vad menas med att en ekvation är definierad?” och man undrar om ordet definiera används på det vanliga
matematiska sättet.
...lösningskombinationen (
b+a b−a
,
) ...
2
2
Vad är en lösningskombination (ett substantiv!). Bättre är “lösningen
( b+2 a , b−2 a )”, slätt och rätt.
Vi kan därför finna ett lemma.
Bättre är “vi har lemmat” eller “vi vill bevisa lemmat”. Slutligen tar
jag exemplet
Ekvationen är unik
Vad menas här? Kanske att lösningen till ekvationen är entydig? I så
fall är den senare formuleringen tydligare. Det finns gott om sådana
ovanliga och oklara formuleringar. Läs högt för dig själv innan du
ställer dig tilfreds med en formulering!
• Man behöver inte inleda beviset för t.ex. Lemma 1 genom att skriva “för att bevisa lemma 1...” i det fall då beviset följer direkt efter
formuleringen av lemmat. Ibland kan rubriker så som “Bevis” vara
tvetydiga eftersom man inte vet om det är beviset för satsen eller för
det lemmat som nyss formulerades. Just i denna inlämningsuppgift
kan man undvika detta genom att ha färre avsnitt och därför färre
rubriker.
• Ibland följs rubriken “Lemma” av ett resonerande stycke där man
inte enkelt kan se vad som är antagandet (Om...) och vad som är
slutsatsen (sä är...).
8 december 2014
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
• I en kort text som denna, där det som oftast bara finns en definition,
en sats, ett lemma och ett bevis (dock i flera steg) behöver man inte
numrera dessa. Man kan ju referera genom att beskriva istället för
genom att ange ett nummer.
• Akta er för onödiga och tröttsamma upprepningar! Utnyttja möjligheten att referera bakåt i texten istället.
3. Språket iövrigt.
• Det är ovanligt att använda personliga pronomen “jag” i matematisk
prosa. Det gängse sättet är att använda “vi” (på det inkluderande sättet “du, läsaren, och jag, författaren”) eller att använda passivform.
• Använd heller kursiverad text för att framhäva ord eller fraser istället för understrykning, som är så fult!
• Ofta delas texten in i onödigt många avsnitt som var och en ges båda rubrik och nummer. Det ger ett splittrat intryck. Det är bättre att
använda styckindelning istället. Speciellt i korta texter som denna
behöver man verkligen inte numreringar av annat än t.ex. ekvationer. Läsaren kan i de flesta fallen hålla all nödvändig information i
huvudet. (Senare, i projektrapporten, blir det en annan sak.)
4. LATEX
• Formler, symboler och variabler skrivna i löpande text ska också skrivas i LATEXformel miljö som t.ex. x = 1 istället för x=1. Använd samma
kommandostruktur som i $x=1$.
• Akta er för (ofrivilliga) textindragningar precis efter formler i fristående läge! Lämna inte mellenrum efter \[...\] eller $$...$$,
beroende på vad man föredrar att använda.
• Använd ⇐⇒ istället för ←→, dvs. \Longleftrightarrow med stort
“L” istället för \longleftrightarrow.
• För att skriva satsen
Sats. Låt n beteckna ett udda heltal som är större än ett. Då har
ekvationen
x2 − y2 = n
(1)
precis en lösning ( x, y), där x, y ∈ N 0 , om och endast om n är ett primtal.
8 december 2014
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
har jag använt följande LATEX-kommandon:
\begin{sats}
Låt $n$ beteckna ett udda heltal som är större än ett.
Då har ekvationen
\begin{equation}\label{ekv}
x^2-y^2 = n
\end{equation}
precis en lösning $(x,y)$, där $x,y\in\boldsymbol{N}_0$,
om och endast om $n$ är ett primtal.
\end{sats}
I preamble läggs det nödvändiga \newtheorem*{sats}{Sats},
som skapar en sats-miljö med titeln “Sats” istället för “Theorem”. En
motsvarande miljö för lemman kan skapas med \newtheorem*{sats}{Lemma}.
Här numreras lemman tillsammans med satserna (även om * efter
\newtheorem gör så att man inte skriver ut satsnummer. Numrering fås genom att ta bort *.)
• En bevismiljö som här
Bevis. Blup, blup, blup,... och beviset är färdigt.
fås genom kommandot
\begin{proof}
Blup, blup, blup,... och beviset är färdigt.
\end{proof}
8 december 2014