Mekanik III, 1FA103

Mekanik III, 1FA103
1 juni 2015
Lisa Freyhult 471 3297
Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in.
Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda samband. Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen.
Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook
Råde-Westergren: Mathematics Handbook
Miniräknare
Egenskrivet formelblad, max en A4-sida
Svensk-engelsk ordlista
Lycka till!
1. Ge korta svar på följande frågor
(a) Ett tennisracket kastas upp i luften med en rotation kring en principalaxel.
Kring vilken/vilka principalaxlar ska rotationen ske för att det ska vara så
enkelt som möjligt att fånga racketen igen?
(b) Vilka storheter bevaras om 1) Lagrangianen är invariant under translationer 2)
Lagrangianen är invariant under rotationer?
(c) I figuren visas två möjliga banor för ett objekt i en gravitationspotential. Vilken
bana motsvarar rörelse med en större total energi? Ge en kort motivering till
svaret.
Figur 1: Två möjliga banor för ett objekt i en central potential.
(d) En deutron består av en proton och en neutron. Deutronens massa är 1876
MeV/c2 , protonens massa 938 MeV/c2 och neutronens massa 940 MeV/c2 . Ge
en förklaring till varför massan hos deutronen skiljer sig från den sammanlagda
massan hos dess beståndsdelar.
(e) Svänghjul kan användas för energilagring. Ge argument för vad som är mest
lämpligt för att lagra energi i ett fordon, ett tungt och långsamt svänghjul eller
ett lätt och snabbt.
(5 p)
2. I filmen Apornas planet reser besättningen på ett rymdskepp från jorden 1972 och
kraschar sedan på jorden år 3978 efter en resa på ungefär 20 månader. I filmen från
1968 är förklaringen till att besättningen hamnar så långt in i framtiden att de har
rest snabbare än ljuset genom ett maskhål.
Föreslå en alternativ förklaring, kompatibel med Speciell relativitetsteori och kausalitet, till att besättningen hamnar i framtiden och uppskatta rymdskeppets fart
(eller faktorn = p 1 2 2 , där v är farten).
1 v /c
Var tydlig med vilka antaganden och approximationer du använder.
Notera att motiveringen är en viktig del av detta problem. Din förklaring bör inkludera en diskussion om samtidighet i olika referenssystem.
(5 p)
Figur 2: Slutscenen från Apornas planet
3. Ett gyroskop för demonstrationer i klassrummet är konstruerat enligt figur. Skivan i
B har massa M , radie R och roterar med en vinkelhastighet ! kring symmetriaxeln.
I A är en massa m < M fastsatt. Stången mellan A och B kan rotera kring 0 i ett
plan och den vertikala axel som stången är fäst vid kan vridas kring sin egen axel.
(a) I ett experiment observeras att symmetriaxeln genom skivan är horisontell.
Beräkna då systemets precessionshastighet och ange i vilken riktning systemet
precesserar.
(b) Beskriv kvalitativt vad som händer om gyroskopet släpps från en vinkel ✓0 .
Systemet släpps från vila, bortsett från att skivan roterar med vinkelhastigheten
!.
(5 p)
Figur 3: Ett gyroskop för demonstrationer i klassrummet.
4. Två pendlar är fästa på en ställning med massa M som glider friktionsfritt på ett
horisontellt underlag enligt figur. Varje pendel består av en massa, m, och ett lätt
snöre med längd l. Betrakta små svängningar hos systemet.
(a) Finn pendlarnas egenfrekvenser.
(b) Systemet släpps från vila med ✓(0) = ✓0 och (0) = 0, där ✓0 är en liten vinkel.
Finn utslagsvinklarna som en funktion av tiden.
(5 p)
Figur 4: Kopplade pendlar.
5. En rymdfarkost med massa m = 300 000 kg befinner sig i en elliptisk bana kring
jorden. Farkostens minsta avstånd till jorden i ellipsbanan är r1 = 8000 km och
avstånd från mitten av ellipsen till B är b = 13 900 km.
Man behöver ändra farkostens bana till en cirkulär bana med en radie r1 och väljer
att göra det genom att ändra hastighet i punkt A. Dessvärre fungerar inte farkostens motorer riktigt som de ska och man får igång motorerna lite sent, inte förrän
farkosten passerar punkt B i figuren.
(a) Hur stor är den planerade hastighetsändringen i A?
(b) Den hastighetsändring som hade planerats i A görs istället i B. Vad blir energin
i den nya banan och vilken typ av bana kommer farkosten att följa?
(c) Skissa den effektiva potentialen under olika delar av förloppet samt markera
energin för de olika banorna.
(5 p)
Figur 5: En rymdfarkost i elliptisk bana kring jorden.
6. Lämna in ditt formelblad. Helt korrekt formelblad ger poäng.
(1 p)
Tentamen 1FA103 Mekanik III, 2014-06-02 08:00-13:00
Lisa Freyhult, Ulf Lindström
Hjälpmedel: Physics Handbook, Mathematics Handbook, Formelsamling, Miniräknare.
Studenter som läst äldre kurs, Mekanik MN2 eller Analytisk mekanik,
skall även lösa uppgift 1 a) utan att använda Lagrangeformalism.
1. Under en föreläsning i mekanik görs ett enkelt experiment med hjälp av
kopp, penna, gem och snöre enligt figur. Föreläsaren håller i penna och
gem och släpper sedan gemet, i den position som figuren visar. Koppen
har massan M , gemet massan m och snörets massa kan försummas.
!
!!
Figur 1: Experiment med kopp och gem. Koppen och gemet är förbundna med
ett snöre som löper över pennan. I den position som figuren visar släpps gemet.
(a) Utgå från Lagrangianen för systemet för att visa att gemets rörelse,
om friktion mellan penna och snöre försummas, kan beskrivas enligt
ekvationerna
(M + m)r̈ = mrθ̇2 − g(M + m sin θ)
rθ̈ + 2ṙθ̇ = −g cos θ.
Ekvationerna kan lösas numeriskt och resultatet ses i figuren.
Figur 2: Gemets bana i rummet under ett tidsinterval efter att gemet släppts.
(b) Förklara vad som händer i experimentet (inga beräkningar behövs).
Hur förändras gemets rotationshastighet under rörelsen? Vad kan
man tänka sig händer om man har friktion mellan penna och snöre?
(5p)
2. Bestäm egenfrekvenserna och ange lösningen till rörelseekvationerna för
två pendlar av längd L förbundna med en fjäder enligt figur. Pendlarna
har massorna m1 och m2 , fjäderkonstanten är k och avståndet mellan
upphängningspunkterna lika med fjäderns vilolängd `0 . Vinklarna φ1 och
φ2 antas vara små under hela rörelsen.
(5p)
3. En avhuggen kon sitter fast i en mycket lätt pinne fästad i punkten 0
enligt figur. Den avhuggna homogena konen har densitet ρ, radie R, höjd
h och rullar utan att glida på ett plant underlag. Pinnen bildar vinkeln
α med underlaget. Vinkelhastigheten i ett visst ögonblick är ω. Beräkna
rörelsemängdsmomentet med avseende på 0.
(5p)
4. Betrakta jorden som en stel kropp med huvudtröghetsmoment I1 , I2 och
I3 . Den är symmetisk kring z-axeln, dvs I1 = I2 . Beräkna vinkelfrekvensen
ω̄ med hjälp av Eulers ekvationer och visa att dess belopp är konstant.
(4p)
5. En stav med längden L0 rör sig med hastigheten v längs horisontalriktningen. Staven bildar vinkeln θ0 med horisontalaxeln i ett koordinatsystem
som rör sig med staven. Bestäm stavens längd som den mäts av en stationär observatör samt den vinkel θ som den bildar med horisontalaxeln i
observatörens kooordinatsystem.
(4p)
Lycka till!