L22

M0029M – Differentialkalkyl – Lektion 22 & 23
Ove Edlund
2016-09-28
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
1/8
Exponentialfunktioner
Exponentialfunktioner
Exponentialfunktioner uttrycks
f (x) = ax
där a > 0 är konstant och x ∈ R varierar.
Definitionsmängd: Df = R
Värdemängd: Rf = (0, ∞)
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
2/8
Exempel
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
3/8
Definition av ax då a > 0
x – heltal (x = n)
a0 = 1
an = a| · a ·{za · · · a},
n = 1, 2, 3, . . . (n ∈ Z+ )
n st
a−n
1
= n
a
x – rationellt tal (x = m/n)
√
am/n = n am , n ∈ Z+ m ∈ Z
√
där q = n p är invers till p = q n då p, q ≥ 0.
x – reellt tal
????????????
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
4/8
Räkneregler för ax
Låt a, b, x och y vara reella tal, och a > 0 och b > 0. Då gäller
i) a0 = 1
ii) ax+y = ax ay
iii) a−x =
1
ax
iv) ax−y =
ax
ay
y
v) (ax ) = ax·y
vi) (a · b)x = ax b x
a x
ax
vii)
= x
b
b
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
5/8
Logaritm
Definition av logaritm
Logaritmfunktionen med bas a, då a > 0 och a 6= 1 definieras som
inversfunktionen till ax :
y = loga x
⇔ x = ay
Definitionsmängd: Df = (0, ∞)
Värdemängd: Rf = R
Av detta följer att
loga (ax ) = x
aloga x = x
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
6/8
Exempel
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
7/8
Räkneregler för loga x
i) loga 1 = 0
ii) loga (x · y ) = loga x + loga y
1
= − loga x
x
x
iv) loga = loga x − loga y
y
iii) loga
v) loga (x y ) = y loga x
vi) logb x =
loga x
loga b
Ove Edlund
M0029M, Lektion 22 & 23
2016-09-28
8/8