Linjär Algebra, Föreläsning 5 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Matrisnotation för linjära ekvationssystem För ekvationssystemet a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm , .. . inför man av platsbesparande skäl systemets totalmatris a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 A= . .. .. .. .. .. . . . . am1 am2 . . . amn bm Tomas Sjödin . Linjär Algebra, Föreläsning 5 Radoperationer Radoperation 1: Byta plats på två rader, Radoperation 2: Multiplicera en rad med en konstant c 6= 0, Radoperation 3: Addera en konstant multipel av en rad till en annan rad. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Radekvivalenta matriser Två matriser A, B som ovan kallas radekvivalenta, skrivet A ∼ B , om den ena kan fås från den andra via ett ändligt antal elementära radoperationer. (Notera att alla radoperationer är reversibla, så kan vi ta oss från den ena till den andra på detta sätt kan vi göra det åt andra hållet också. För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi också säga att det är lätt att visa att ∼ utgör en sådan). Strategin för att lösa ett sådant system är att skapa en så kallad trappstegsmatris av vänstersidan via elementära radoperationer: Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Trappstegsform Denition Ett element aij i vänstersidan av ovanstående matris A kallas ett pivotelement om aij 6= 0 och aµν = 0 för alla µ ≥ i, ν ≤ j med (µ, ν) 6= (i, j). Om alla rader vars vänstersida ej är identiskt noll står över alla de rader där dessa är identiskt noll, samt att alla rader vars vänstersidor är nollskilda har ett pivotelement, då säger vi att systemmatrisen är på trappstegsform. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Exempel på trappstegsform Så t.ex. är följande system på trappstegsform: 1 2 3 2 0 1 2 3 , 0 0 0 0 medan följande inte är det: 1 2 3 2 0 1 2 3 . 0 1 0 0 Poängen är att det första systemet är enkelt att skriva ner lösningarna till. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Exempel 1 Exempel 1: Lös ekvationssystemet 3x1 − x2 + 4x3 = 1 2x1 + 4x2 + 6x3 = 4 −2x1 + 3x2 − x3 = 1. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Matriser Denition Om vi för varje par ij med 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ k har fått tal aij ∈ R då kallar vi a11 a12 . . . a1k a21 a22 . . . a2k = . .. . . .. .. . . . ar 1 ar 2 . . . ark A = (aij )r ×k för en r × k−matris över R. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 En r × k−matris har r rader och k kolumner. En matris som bara har en rad, (a11 a12 · · · a1k ), kallas en radmatris, och en matris som bara har en kolumn, a11 a21 .. , . ar 1 kallas en kolumnmatris. En r × r −matris kallas kvadratisk. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Denition (aij )r ×k = (bij )r ×k om och endast om aij = bij för alla ij , (aij )r ×k + (bij )r ×k = (aij + bij )r ×k , λ(aij )r ×k = (λaij )r ×k , (aij )r ×m · (bij )m×k = (cij )r ×k , där cij = ai 1 b1j + ai 2 b2j + . . . + aim bmj . Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Denitionen av matrismultiplikation förtjänar att titta lite närmare på. Det är svårt att än så länge motivera denna närmare, mer än att säga att vi med denna får en så kallad associativ multiplikation: A(BC ) = (AB)C . När vi sedan börjar studera linjära avbildningar kommer vi se varför detta är rätt denition. Det är dock värt att notera följande. För en radmatris gånger en kolumnmatris gäller: a1 a2 · · · b1 b2 an . = (a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ). .. bn Detta är en 1 × 1−matris, och normalt identierar vi dessa med reella tal. D.v.s. det är precis samma sak som skalärprodukten (a1 , a2 , . . . , an ) • (b1 , b2 , . . . , bn ) i Rn . Talet cij ovan är helt enkelt ovanstående multiplikation mellan rad i från matrisen (aij )r ×m med kolumn j från matrisen (bij )m×k . Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Vi inför även beteckningarna: Nollmatris: 0 = 0r ×k = 0 0 .. . 0 ... 0 ... .. . . . . 0 0 ... 0 0 .. . 0 , −A = −1A Enhetsmatris (r × r ): I = Ir = 1 0 .. . 0 ... 1 ... .. . . . . 0 0 ... Tomas Sjödin 0 0 .. . 1 . Linjär Algebra, Föreläsning 5 Sats Nedan är A, B, C matriser så att operationerna är väldenierade och λ, µ ∈ R. • A + B = B + A, • (A + B) + C = A + (B + C ), • A + 0 = A, • A + (−A) =: A − A = 0, • 1A = A, • λ(µA) = (λµ)A, • (λ + µ)A = λA + µA, • λ(A + B) = λA + λB , • (AB)C = A(BC ), • (λA)B = λ(AB), • A(B + C ) = AB + AC , • (B + C )A = BA + CA, • A0 = 0, 0A = 0, • AI = A, IA = A. OBS! AB 6= BA normalt även om bägge sidor är väldenierade. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Denition Låt A = (aij )r ×k . Då denierar vi transponatet At till A att vara k × r −matrisen given av At = (aijt )k×r där aijt = aji (1 ≤ i ≤ k , 1 ≤ j ≤ r ). (D.v.s. At fås från A genom att byta plats på rader och kolumner). Om At = A sägs A vara symmetrisk. Sats (A + B)t = At + B t , (λA)t = λ(At ), (At )t = A, (AB)t = B t At . Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Matriser och ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm , .. . är ekvivalent med följande matrisekvation: Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 a11 a12 . . . a1n x1 a21 a22 . . . a2n x2 .. .. .. .. = . . . . . . . am1 am2 . . . amn xn a12 a1n b1 a11 a22 a2n b2 a21 x1 . + x2 . + . . . + xn . = . . .. .. .. .. am2 amn bm am1 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Denition En n × n−matris A sägs vara inverterbar om det nns en n × n−matris A−1 , kallad A : s invers, sådan att AA−1 = A−1 A = In . För att hitta inversen till A (om den nns) ställer man upp systemmatrisen (A|In ) och gör radoperationer tills man fått ett radekvivalent system (In |B) och då är B = A−1 (det går alltså att göra sådana radoperationer om och endast om A har en invers). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Sats Låt A vara en n × n−matris. Då är följande ekvivalent: (a) A−1 existerar, (b) AX = B har entydig lösning X för varje n × 1−matris B , (c) AX = 0 har endast den triviala lösningen X = 0. Sats (A−1 )−1 = A, (At )−1 = (A−1 )t , (AB)−1 = B −1 A−1 , (Ak )−1 = (A−1 )k =: A−k . Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Exempel 2 Exempel 2: Hitta A−1 om 2 3 A= , 4 5 samt lös 2x1 + 3x2 = 1 4x1 + 5x2 = 0. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Exempel 3 Exempel 3: Hitta A−1 om 1 0 3 A = 0 1 0 . 0 0 1 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 5 Exempel 4 Exempel 4: Lös matrisekvationen At X + BX = C där 1 0 A= , −1 1 2 1 B= , 1 0 Tomas Sjödin 1 0 C= . 1 1 Linjär Algebra, Föreläsning 5