Linjär Algebra, Föreläsning 5 - MAI

Linjär Algebra, Föreläsning 5
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Matrisnotation för linjära ekvationssystem
För ekvationssystemet





a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2




am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm ,
..
.
inför man av platsbesparande skäl systemets totalmatris

a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2

A= .
..
..
..
..
 ..
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
Tomas Sjödin



.

Linjär Algebra, Föreläsning 5
Radoperationer
Radoperation 1: Byta plats på två rader,
Radoperation 2: Multiplicera en rad med en konstant c 6= 0,
Radoperation 3: Addera en konstant multipel av en rad till en
annan rad.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Radekvivalenta matriser
Två matriser A, B som ovan kallas radekvivalenta, skrivet A ∼ B ,
om den ena kan fås från den andra via ett ändligt antal elementära
radoperationer.
(Notera att alla radoperationer är reversibla, så kan vi ta oss från
den ena till den andra på detta sätt kan vi göra det åt andra hållet
också. För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi också
säga att det är lätt att visa att ∼ utgör en sådan).
Strategin för att lösa ett sådant system är att skapa en så kallad
trappstegsmatris av vänstersidan via elementära radoperationer:
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Trappstegsform
Denition
Ett element aij i vänstersidan av ovanstående matris A kallas ett
pivotelement om aij 6= 0 och aµν = 0 för alla µ ≥ i, ν ≤ j med
(µ, ν) 6= (i, j).
Om alla rader vars vänstersida ej är identiskt noll står över alla de
rader där dessa är identiskt noll, samt att alla rader vars
vänstersidor är nollskilda har ett pivotelement, då säger vi att
systemmatrisen är på trappstegsform.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Exempel på trappstegsform
Så t.ex. är följande system på trappstegsform:
1 2 3 2
 0 1 2 3 ,
0 0 0 0


medan följande inte är det:
1 2 3 2
 0 1 2 3 .
0 1 0 0


Poängen är att det första systemet är enkelt att skriva ner
lösningarna till.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Exempel 1
Exempel 1: Lös ekvationssystemet

 3x1 − x2 + 4x3 = 1
2x1 + 4x2 + 6x3 = 4

−2x1 + 3x2 − x3 = 1.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Matriser
Denition
Om vi för varje par ij med 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ k har fått tal aij ∈ R
då kallar vi

a11 a12 . . . a1k
 a21 a22 . . . a2k 


= .
.. . .
.. 
 ..
. . 
.
ar 1 ar 2 . . . ark

A = (aij )r ×k
för en r × k−matris över R.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
En r × k−matris har r rader och k kolumner.
En matris som bara har en rad, (a11 a12 · · · a1k ), kallas en
radmatris, och en matris som bara har en kolumn,


a11
 a21 


 ..  ,
 . 
ar 1
kallas en kolumnmatris.
En r × r −matris kallas kvadratisk.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Denition
(aij )r ×k = (bij )r ×k om och endast om aij = bij för alla ij ,
(aij )r ×k + (bij )r ×k = (aij + bij )r ×k ,
λ(aij )r ×k = (λaij )r ×k ,
(aij )r ×m · (bij )m×k = (cij )r ×k , där
cij = ai 1 b1j + ai 2 b2j + . . . + aim bmj .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Denitionen av matrismultiplikation förtjänar att titta lite närmare
på. Det är svårt att än så länge motivera denna närmare, mer än
att säga att vi med denna får en så kallad associativ multiplikation:
A(BC ) = (AB)C . När vi sedan börjar studera linjära avbildningar
kommer vi se varför detta är rätt denition.
Det är dock värt att notera följande. För en radmatris gånger en
kolumnmatris gäller:
a1 a2 · · ·
 
b1


b2 
an  .  = (a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ).
 .. 
bn
Detta är en 1 × 1−matris, och normalt identierar vi dessa med
reella tal. D.v.s. det är precis samma sak som skalärprodukten
(a1 , a2 , . . . , an ) • (b1 , b2 , . . . , bn ) i Rn .
Talet cij ovan är helt enkelt ovanstående multiplikation mellan rad i
från matrisen (aij )r ×m med kolumn j från matrisen (bij )m×k .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Vi inför även beteckningarna:
Nollmatris:




0 = 0r ×k = 
0
0
..
.
0 ...
0 ...
.. . .
.
.
0 0 ...
0
0
..
.
0



,

−A = −1A
Enhetsmatris (r × r ):



I = Ir = 

1
0
..
.
0 ...
1 ...
.. . .
.
.
0 0 ...
Tomas Sjödin
0
0
..
.
1



.

Linjär Algebra, Föreläsning 5
Sats
Nedan är A, B, C matriser så att operationerna är väldenierade
och λ, µ ∈ R.
• A + B = B + A, • (A + B) + C = A + (B + C ),
• A + 0 = A, • A + (−A) =: A − A = 0,
• 1A = A, • λ(µA) = (λµ)A,
• (λ + µ)A = λA + µA, • λ(A + B) = λA + λB ,
• (AB)C = A(BC ), • (λA)B = λ(AB),
• A(B + C ) = AB + AC , • (B + C )A = BA + CA,
• A0 = 0, 0A = 0, • AI = A, IA = A.
OBS! AB 6= BA normalt även om bägge sidor är väldenierade.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Denition
Låt A = (aij )r ×k . Då denierar vi transponatet At till A att vara
k × r −matrisen given av At = (aijt )k×r där aijt = aji (1 ≤ i ≤ k ,
1 ≤ j ≤ r ). (D.v.s. At fås från A genom att byta plats på rader och
kolumner).
Om At = A sägs A vara symmetrisk.
Sats
(A + B)t = At + B t ,
(λA)t = λ(At ),
(At )t = A,
(AB)t = B t At .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Matriser och ekvationssystem
Ett linjärt ekvationssystem





a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2




am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm ,
..
.
är ekvivalent med följande matrisekvation:
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5



a11 a12 . . . a1n
x1
 a21 a22 . . . a2n   x2 



 ..
..
..   ..  =
.
.
 .
.
.
.  . 
am1 am2 . . . amn
xn




  

a12
a1n
b1
a11
 a22 
 a2n   b2 
 a21 




  

x1  .  + x2  .  + . . . + xn  .  =  .  .
 .. 
 .. 
 ..   .. 
am2
amn
bm
am1
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Denition
En n × n−matris A sägs vara inverterbar om det nns en
n × n−matris A−1 , kallad A : s invers, sådan att
AA−1 = A−1 A = In .
För att hitta inversen till A (om den nns) ställer man upp
systemmatrisen (A|In ) och gör radoperationer tills man fått ett
radekvivalent system (In |B) och då är B = A−1 (det går alltså att
göra sådana radoperationer om och endast om A har en invers).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Sats
Låt A vara en n × n−matris. Då är följande ekvivalent:
(a) A−1 existerar,
(b) AX = B har entydig lösning X för varje n × 1−matris B ,
(c) AX = 0 har endast den triviala lösningen X = 0.
Sats
(A−1 )−1 = A,
(At )−1 = (A−1 )t ,
(AB)−1 = B −1 A−1 ,
(Ak )−1 = (A−1 )k =: A−k .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Exempel 2
Exempel 2: Hitta A−1 om
2 3
A=
,
4 5
samt lös
2x1 + 3x2 = 1
4x1 + 5x2 = 0.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 5
Exempel 3
Exempel 3: Hitta A−1 om
1 0 3

A = 0 1 0 .
0 0 1

Tomas Sjödin

Linjär Algebra, Föreläsning 5
Exempel 4
Exempel 4: Lös matrisekvationen
At X + BX = C
där
1 0
A=
,
−1 1
2 1
B=
,
1 0
Tomas Sjödin
1 0
C=
.
1 1
Linjär Algebra, Föreläsning 5