Malmö högskola
Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
10 poäng
Språket i matematiken – ett verktyg
att räkna med
– en kvalitativ intervjustudie om språkets betydelse för begreppsförståelsen
Language in Mathematics – a Tool to Count On
- A Qualitative Interview Study about the Significance of Language for Concept
Understanding
Eva Bothén
Cecilia Jönsson
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, 60p
Handledare: Karl-Åke Kronqvist
2007-01-18
Examinator: Elsa Foisack
Malmö högskola
Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning
Höstterminen 2006
Ab s t r a ct
Bothén, Eva. & Jönsson, Cecilia. (2006). Språket i matematiken – ett verktyg att räkna
med. (Language in Mathematics – a Tool To Count On.). Skolutveckling och ledarskap,
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, Lärarutbildningen, Malmö högskola.
Syftet med vår studie var att ta reda på hur pedagoger tillvaratar barns informella
kunskaper och hur de konkret arbetar för att utveckla barns begreppsuppfattning i
matematik med hjälp av språket. Vi avsåg även att undersöka förutsättningarna för en
sådan undervisning. Vi ville se till både individ-, grupp- och organisationsnivå.
Ytterligare en specialpedagogisk frågeställning som vi avsåg att undersöka var hur barn
i behov av särskilt stöd gynnas av detta arbetssätt. Vi genomförde tio kvalitativa
forskningsintervjuer, som var delvis strukturerade, med pedagoger som arbetar med
språket på ett medvetet sätt i sin matematikundervisning. Pedagogerna valdes ut efter
ett riktat urval. Svaren sammanställdes och en analys av svaren gjordes. Resultatet
visade att pedagogerna använde sig av laborativa övningar i stor utsträckning i sin
undervisning och att samtalen kännetecknades av öppna frågor. För att möjliggöra en
undervisning som har språket som verktyg behövs ett medvetet ställningstagande från
pedagogens sida, utbildning i matematik, ledningens och kollegors stöd samt tid till
planering och reflektion. Alla elever gynnas av en sådan undervisning eftersom den kan
individualiseras så att den passar alla.
Nyckelord: specialundervisning, specialpedagog, matematiska begrepp, samtal, språk,
informell, formell, matematik, Vygotskij
The aim of this paper was to study how educationalists use the children’s informal
knowledge of mathematics, and how they work in order to develop the children’s
understanding of concepts using the language as a means. We also intended to
investigate the requirements for such teaching. We wanted to look into education
regarding individual, group and organizational level. An additional issue, that we
wanted to study, was weather children in need of special education benefited from such
teaching. We carried out ten qualitative interviews, which were partly structured, with
educationalists who used language in order to achieve understanding of mathematical
concepts. The educationalists were chosen by a directed selection. The answers were
put together and analysed. The result showed that the educationalists used concrete
material to a wide extent in their work and that the questions they used were openended. To enable a teaching where the language is used as a means for learning, the
educationalist needs to make a deliberate decision how to work. Education in
mathematics, the support of the management and other colleagues and the time to
prepare and reflect are also needed. All children benefit from such education since this
way of teaching enables the educationalist to individualize.
Keywords: special education, special needs educator, mathematical concepts,
conversation, language, informal, formal, mathematics, Vygotsky
Eva Bothén
Cecilia Jönsson
Handledare: Karl-Åke Kronqvist
Smidts gata 22
Råkvägen 7
Examinator: Elsa Foisack
235 37 Vellinge
237 36 Bjärred
F ör or d
Vi vill tacka alla pedagoger som deltagit i våra intervjuer och på så vis delgett oss sina
erfarenheter och tankar. Utan ert fantastiska engagemang och intresse hade detta
examensarbete inte kunnat skrivas. Till vår handledare Karl-Åke Kronqvist, som vi haft
många intressanta samtal med, vill vi också rikta ett stort tack. Slutligen vill vi tacka våra
familjer och då särskilt Lars och Henrik som med sin förståelse och stöttning hjälpt oss i detta
arbete.
Uppdelning av arbetet är gjort enligt följande: Eva Bothén: Aktuella utredningar 5.1 och
Litteratur 6.1. Cecilia Jönsson: Aktuella utredningar 5.2 och Litteratur 6.2. Övrig text är
skriven gemensamt.
Eva Bothén och Cecilia Jönsson
januari 2007
Innehållsförteckning
1
BAKGRUND............................................................................................................................................... 9
2
INLEDNING ..............................................................................................................................................11
3
4
2.1
STUDIENS BEGRÄNSNING ....................................................................................................................12
2.2
DEFINITION AV BEGREPP .....................................................................................................................12
SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ..................................................................................................15
3.1
SYFTE .................................................................................................................................................15
3.2
FRÅGESTÄLLNINGAR ..........................................................................................................................15
STYRDOKUMENT...................................................................................................................................17
4.1
5
6
7
AKTUELLA UTREDNINGAR OM MATEMATIK .............................................................................19
5.1
NATIONELLA UTREDNINGEN 2003 ......................................................................................................19
5.2
PISA...................................................................................................................................................20
5.3
TIMSS................................................................................................................................................21
LITTERATUR...........................................................................................................................................23
6.1
FORMELL SKOLMATEMATIK/SYMBOLER .............................................................................................23
6.2
SPRÅK OCH KOMMUNIKATION ............................................................................................................26
6.3
BARN I BEHOV AV SÄRSKILT STÖD ......................................................................................................30
TEORI ........................................................................................................................................................33
7.1
8
9
VAD SÄGER LÄROPLANERNA? ............................................................................................................17
VYGOTSKIJS SOCIOKULTURELLA TEORI ..............................................................................................33
METOD ......................................................................................................................................................39
8.1
METODVAL .........................................................................................................................................39
8.2
UNDERSÖKNINGSGRUPP......................................................................................................................39
8.3
GENOMFÖRANDE ................................................................................................................................40
8.4
DATABEARBETNING............................................................................................................................40
8.5
TILLFÖRLITLIGHET .............................................................................................................................41
8.6
ETISKA ASPEKTER ...............................................................................................................................42
RESULTAT................................................................................................................................................45
9.1
INFORMANTERNAS BAKGRUND ...........................................................................................................45
9.2
HUR ARBETAR PEDAGOGER FÖR ATT UTVECKLA BARNS BEGREPPSFÖRSTÅELSE I MATEMATIK MED
HJÄLP AV SPRÅKET?............................................................................................................................45
9.3
HUR TAS BARNENS INFORMELLA KUNSKAPER TILLVARA? ..................................................................48
9.4
VILKA FÖRUTSÄTTNINGAR BEHÖVER UPPFYLLAS FÖR ATT GENOMFÖRA EN SÅDAN UNDERVISNING PÅ
INDIVID-, GRUPP- OCH ORGANISATIONSNIVÅ?.....................................................................................48
9.4.1
Målmedvetet arbete .......................................................................................................................49
9.4.2
Utbildning .....................................................................................................................................49
9.4.3
Tid .................................................................................................................................................49
9.4.4
Materiel .........................................................................................................................................50
9.4.5
Budget ...........................................................................................................................................50
9.4.6
Grupper .........................................................................................................................................50
9.4.7
Lokaler ..........................................................................................................................................50
9.4.8
Föräldrar.......................................................................................................................................51
9.4.9
Kollegor.........................................................................................................................................51
9.4.10
Skolledning ...............................................................................................................................51
9.4.11
Kommunala direktiv .................................................................................................................51
9.5
HUR GYNNAS BARN I BEHOV AV SÄRSKILT STÖD AV ETT SÅDANT ARBETSSÄTT? ................................52
9.5.1
Vilka barn gynnas av detta arbetssätt? .........................................................................................52
9.5.2
På vilket sätt gynnas de? ...............................................................................................................52
9.6
ARBETAR PEDAGOGERNA MEDVETET EFTER NÅGON PEDAGOGISK TEORI?..........................................53
10
ANALYS.....................................................................................................................................................55
11
DISKUSSION ............................................................................................................................................59
12
FORTSATT FORSKNING ......................................................................................................................71
REFERENSER....................................................................................................................................................73
BILAGA 1
BILAGA 2
BILAGA 3
1
Bakgrund
Matematik är ett ämne som intresserat oss båda sedan vi var barn. Samtidigt var det ett
ämne som innebar att vi fick anstränga oss lite extra för att förstå. Det var både roligt
och ibland svårt. För oss båda kändes svenskämnet lättare, vilket fick till följd att vi
valde den inriktningen framför den matematiska på gymnasiet och senare då vi gick
våra lärarutbildningar. Trots dessa val har intresset för matematik och viljan att lära mer
funnits kvar hela tiden. Under de år som vi båda arbetat som grundskollärare har vi
märkt att fler och fler barn får svårt att klara målen för matematik i årskurs fem. Alltför
många barn, tonåringar och vuxna har otillräckliga kunskaper i matematik och detta
misstänker vi beror på att de inte har förstått den grundläggande matematiken. En
anledning till detta kan vara att deras matematikundervisning alltför tidigt har handlat
om formell matematik. Detta kan få till följd att de räknar med formler och symboler
utan att egentligen förstå vad de gör.
Att de svenska barnens kunskaper blivit sämre styrks även av undersökningar, både
nationella och internationella gjorda 2003 (se kap.5). Vi upplever att förskolebarn, i
vissa fall, lättare kan lösa ett problem än barn som gått i grundskolan ett par år. Ger du
ett förskolebarn ett antal karameller att dela upp till en grupp barn så klarar även små
barn ofta av det. Presenteras samma problem för ett skolbarn upplever många att det är
svårt. Vi menar att det kan bero på att barnen tänker för mycket i siffror och symboler.
Det blir viktigt att det som görs på matematiklektionerna blir rätt, det är en jakt på det
enda rätta svaret. Undersökningarna visar också att undervisningen i huvudsak byggs
upp på eget, tyst arbete i matematikboken. Matematiska samtal är i många fall sällsynta.
Vi upplever att många barn tycker att matematiken är intressant i början. Detta intresse
har en tendens att försvinna för många barn allt eftersom åren går. Barnen ser inte heller
meningen med matematiken, de ser inte att det är något som de har användning för när
de blir äldre. Vi har funderat mycket på vad detta beror på. Vi menar att något måste
göras för att fler barn ska tillgodogöra sig de kunskaper i matematik som de behöver i
framtiden. Vår uppfattning är att fokus behöver läggas på ett arbetssätt som tar tillvara
på de kunskaper som barnen har då de kommer till skolan. Vi menar att det viktigaste
verktyget för att utveckla förståelsen av matematiska begrepp är språket.
9
I förskolan är många barn vana vid att syssla med matematiska begrepp, grundade på
erfarenheter gjorda i vardagslivet. I läroplanen för förskolan, Lpfö 98 står det att
”förskolan skall sträva efter att varje barn utvecklar sin förmåga att upptäcka och
använda matematik i meningsfulla sammanhang (s.9)” samt att varje barn ”utvecklar sin
förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt sin
förmåga att orientera sig i tid och rum (s.9)”. I förskolan ska barnet även ”utveckla sitt
ord- och begreppsförråd och sin förmåga att leka med ord, sitt intresse för skriftspråk
och för förståelsen av symboler samt deras kommunikativa funktioner” (Skolverket,
2006, s.9).
I Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000 framgår tydligt att skolan bl.a. har
som uppgift att ”ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i
meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya
insikter och lösningar på olika problem” (Skolverket, 2002, s.26). Som vi kan se bygger
styrdokumenten på varandra (se 4.1 samt bilaga 1). Vi menar att det är viktigt att titta på
övergången mellan det informella, erfarenhetsbaserade kunnandet och den formella
symbolbaserade kunskapen. Vi vill ta reda på hur vi på bästa sätt tillvaratar och bygger
vidare på barnens informella sätt att tänka med hjälp av språket. Hur ser en
undervisning ut som i stor grad bygger på barnens erfarenheter? Detta anser vi är viktigt
eftersom tidigare forskning tyder på att ett för tidigt införande av matematiska symboler
har en hämmande effekt på barnets problemlösningsförmåga, intresse samt tilltro till sin
egen förmåga (se kap.6). Vår uppfattning är att barn i behov av särskilt stöd gynnas av
en undervisning som utgår från barnets begrepp och utifrån dem introducerar de
konventionella symbolerna som kommer att behövas senare i livet. Samtidigt är vi
övertygade om att detta är en undervisningsform som gynnar alla barn.
10
2
Inledning
Förra hösten läste vi en kurs som hette ”Språk – utveckling och lärande”. Karl-Åke
Kronqvist (Malmö Högskola, 2006) höll i föreläsningarna om matematik. Han talade då
om hur viktigt det är att ta tillvara barnets informella kunskaper. Med informella
kunskaper menar Kronqvist det som barnet kan i matematik men som han/hon ännu inte
har lärt sig beskriva med hjälp av matematiska symboler och formler. Om formell
matematik, det vill säga formler och symboler, införs i ett för tidigt skede kommer
barnet inte att förstå matematiken. Det är av yttersta vikt att ”skynda långsamt” eftersom
barnet måste begripa vad och varför man gör på olika sätt i matematiken.
När vi tittat på den svenska undervisningen ur ett internationellt perspektiv i TIMSS
2003, Trends in International Mathematics and Science Study (Skolverket, 2004b), visar
det sig att svenska elevers genomsnittliga prestation i matematik har försämrats markant
sedan 1995 då den senaste TIMSS-mätningen gjordes. Enligt denna rapport är den
vanligaste undervisningsformen i den svenska skolan arbete med uppgifter med eller
utan lärares handledning där läroboken är den huvudsakliga grunden för lektionen.
TIMSS befarar att denna undervisningsform är en del av förklaringarna till
försämringen av matematikresultatet. Samtidigt menar studien att uppföljande
undersökningar om vad som händer på lektionerna behövs för att utreda sambandet
(Skolverket, 2004b). Samma år genomfördes en annan stor internationell studie, PISA,
Programme for International Student Assessment (Skolverket, 2004a). Här var Sveriges
medelvärde signifikant över genomsnittet. Men undersökningen visade på samma gång
att de länder som låg före Sverige dragit ifrån samtidigt som andra länder börjar knappa
in på oss. Flera länder uppvisade alltså en positiv utveckling vilket inte Sverige gjorde.
Studien visade också att de svenska eleverna ofta var sämre på de uppgifter som krävde
kritiskt granskande, analys, reflektion samt kommunikation och argumentation
(Skolverket, 2004a).
Vi ser alltså att något måste göras för att förbättra dessa
färdigheter i matematikundervisningen.
Eftersom vi grundar vår uppfattning om barns lärande på Vygotskijs socialkulturella
teorier ser vi språket som ett viktigt redskap som bildar en länk mellan det
erfarenhetsbaserade kända och det formellt okända. Vygotskij menar att språket spelar
11
en central roll i barns lärande. Språket är tänkandets främsta verktyg. Han anser vidare
att all utveckling börjar i det yttre, sociala samspelet innan det övergår till det inre, det
blir internaliserat. Vygotskij menar vidare att det är lärarens uppgift att organisera den
sociala dimensionen av lärandet (Partanen, 2007).
2.1
Studiens begränsning
Vi har valt att undersöka hur språket kan användas i matematikundervisningen för att
utveckla barnens begreppsförståelse. TIMSS-utredningen ansåg det viktigt att ta reda på
hur undervisningen i de svenska klassrummen ser ut. Vi har, istället för att slumpvis
undersöka hur pedagoger arbetar, valt att söka efter goda exempel på hur det skulle
kunna se ut. Vi har tittat på hur pedagogerna använder sig av språket i undervisningen.
Vi har företrädelsevis inriktat oss på barnen i de yngre åldrarna och har intervjuat både
pedagoger från förskola och skola. Framförallt har vi försökt se om barn i behov av
särskilt stöd kan gynnas av en sådan undervisning. I arbetet har vi inte försökt analysera
vilka metoder som är bäst. Inte heller har vi gått in och studerat gruppdynamik eller
gruppsammansättningar vid samtal. För att begränsa studien har vi valt att inte belysa
resultatet ur ett genusperspektiv.
2.2
Definition av begrepp
I denna studie gjordes tio intervjuer med personer med olika pedagogisk bakgrund. Vi
har valt att använda ett gemensamt begrepp för dessa personer och kallar dem därför för
pedagoger. Likaså har vi valt att använda ett gemensamt begrepp för barnen som det
talas om. I vår studie skriver vi barn och avser då både barn som går i förskolan och
elever som går i skolan. Undantag från detta sker endast i direkta citat och när vi skriver
om vad som står i Läroplanen (Lpo94), Grundskolans kursplaner och betygskriterier
2000 (2002) och i de utredningar som undersökt svenska elevers matematikkunskaper.
I studien använder vi oss av uttryck som återkommer i hela arbetet. När vi skriver om
informell matematik menar vi de kunskaper som barnet utvecklar i sin vardag och som
barnet kan använda sig av utan att pedagogen kräver att barnet använder sig av formella
symboler. Kronqvist (2003) menar att arbete med den informella matematiken är ett
medel
för
att
nå
den
formella
matematiken,
vilket
är
målet
för
matematikundervisningen. Vidare hänvisar Kronqvist till Grundskolans kursplaner och
12
betygskriterier 2000 och skriver att: ”för att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs
balans mellan kreativa, problemlösande (informella) aktiviteter och (formell) kunskap
om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer” (Kronqvist, 2003, s.13).
Ett begrepp är något som är språkligt identifierbart. Det har minst en egenskap. Längd
har t.ex. egenskapen att den är endimensionell, till skillnad från area som är
tvådimensionell. Till begreppet längd hör ett antal ord som beskriver begreppet såsom
lång eller kort. Det finns även jämförelseord som beskriver begreppet längd såsom
längre och kortare.
I denna studie skriver vi om ett ”sådant arbetssätt” eller ”detta arbetssätt”. Vi har valt
denna kortare fras när vi menar ett arbetssätt där språket är det främsta verktyget för att
utveckla begreppsförståelse i matematik. Vi har valt att skriva så för att göra texten
lättare att läsa.
13
14
3
Syfte och frågeställningar
3.1
Syfte
Syftet med föreliggande studie är att ta reda på hur pedagoger kan tillvarata barnens
informella kunskaper och konkret arbeta för att utveckla barnens begreppsförståelse i
matematik med hjälp av språket. Vi avser att ta reda på vilka förutsättningarna är för att
genomföra en sådan undervisning. Är detta ett undervisningssätt som gynnar barn i
behov av särskilt stöd och i så fall, på vilket sätt? Dessutom avser vi undersöka om
pedagogerna arbetar medvetet efter någon pedagogisk teori.
3.2
Frågeställningar
Vi ämnar ta reda på hur pedagoger tar tillvara barnens informella kunskaper och hur de
konkret arbetar för att utveckla barnens begreppsförståelse i matematik med hjälp av
språket. Vi avser även att undersöka förutsättningarna för en sådan undervisning. Vi vill
se till både individ-, grupp- och organisationsnivå.
Ytterligare en specialpedagogisk frågeställning som vi avser att undersöka är hur barn i
behov av särskilt stöd gynnas av detta arbetssätt. Skollagen (1985:1100) förskriver att
särskilt stöd skall ges till barn med svårigheter i skolarbetet. I Grundskoleförordningen
(1994:1194) klarläggs att stödundervisning i första hand ska ges inom den klass eller
grupp som barnet tillhör (kap 5, §5). Vi ser en förändring av arbetssättet i matematik
som ett proaktivt arbete. Genom att bygga vidare på barnens informella kunskaper kan
fler barn klara undervisningen i matematik utan särskilda insatser av en specialpedagog.
Dessutom skulle en förändring av arbetssättet innebära att grundskoleförordningens
intentioner följs eftersom barnet kan vara kvar i sin grupp. Samtidigt är vår uppfattning
att detta arbetssätt är det som bäst lämpar sig för alla barn men kanske i synnerhet för
elever i generella- eller specifika inlärningssvårigheter. Därför avser vi att ta reda på om
vår uppfattning överensstämmer med de intervjuade pedagogernas.
Slutligen har vi för avsikt att vi ta reda på om det finns någon medveten strategi bakom
pedagogernas undervisning och hur den i så fall ser ut. Har de någon pedagogisk teori
som de har anammat? Vår tro är att en medveten undervisningsform bottnar i en
15
medveten övertygelse om hur barn lär sig och att den övertygelsen grundar sig på någon
eller några pedagogiska teorier.
För att avgränsa vår studie har vi valt att koncentrera oss på följande frågeställningar:
•
Hur arbetar pedagogerna för att tillvarata och utveckla barns
begreppsförståelse i matematik med hjälp av språket?
•
Vilka förutsättningar behöver uppfyllas för att genomföra en sådan
undervisning på individ-, grupp- och organisationsnivå?
•
Hur gynnas barn i behov av särskilt stöd av ett sådant arbetssätt?
•
Arbetar pedagogerna medvetet efter någon pedagogisk teori?
16
4
Styrdokument
4.1
Vad säger Läroplanerna?
Enligt Läroplan för förskolan, Lpfö 98, ska förskolan lägga grunden för ett livslångt
lärande. Leken är då viktig för barnets utveckling och lärande. I leken och det lustfyllda
lärandets olika former ska fantasi, inlevelse, kommunikation och förmåga till
symboliskt tänkande samt förmågan att samarbeta och lösa problem stimuleras.
Förskolan ska sträva efter att varje barn tillägnar sig och nyanserar innebörden i
begrepp, ser samband och upptäcker nya sätt att förstå sin omvärld på. Arbetet ska
vidare sträva efter att barnet utvecklar sitt ord- och begreppsförråd och sitt intresse för
skriftspråk. Barnet ska även utveckla förståelse för symboler samt deras kommunikativa
funktioner. Förskolan ska också sträva efter att barnet utvecklar sin förmåga att
upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang. Förståelse för
grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt förmågan att
orientera sig i tid och rum ska utvecklas. Det är arbetslagets uppgift att stimulera barnets
nyfikenhet och begynnande förståelse av skriftspråk och matematik. Arbetslaget
ansvarar även för att arbetet i barngruppen genomförs så att barnen upplever att det är
roligt och meningsfullt att lära sig nya saker (Skolverket, 2006). Matematiken under
förskoletiden är till stor del informell (se bilaga 1).
I Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo
94 (2005), står det, precis som i Lpfö 98, att skolan ska sträva efter att ”varje elev
utvecklar nyfikenhet och lust att lära” (s.11). Skolan ansvarar också för att varje elev
efter genomgången skola, ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan
tillämpa det i vardagslivet” (s.12) samt ”behärskar grundläggande begrepp och
sammanhang inom de naturvetenskapliga, tekniska, samhällsvetenskapliga och
humanistiska kunskapsområdena” (s.12). I Grundskolans kursplaner och betygskriterier
2000 (2002) står att eleverna ska ges möjlighet att uppleva tillfredsställelse och glädje
över att förstå och lösa problem. Alla elever ska få möjligheter att kommunicera med
matematikens språk och uttrycksformer. Skolan ska i sin undervisning sträva efter att
eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra
slutsatser och generalisera. Eleverna ska dessutom kunna förklara och argumentera för
17
sitt tänkande både muntligt och skriftligt. Precis som i Lpfö 98 läggs mycket vikt vid
kommunikativa färdigheter. För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en
balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens
begrepp, metoder och uttrycksformer. Kursplanen skriver att detta gäller alla elever,
såväl de som är i behov av särskilt stöd som de som är i behov av särskilda utmaningar.
När eleven går ut femte klass ska han/hon ha förvärvat grundläggande kunskaper i
matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta
problem i sin närmiljö (Skolverket, 2002). Målet med matematiken under skoltiden blir
att kunna använda sig av formella lösningsmetoder (Kronqvist & Malmer, 1993).
Att
utbildningen
i
stort
syftar
till
att
barnen
ska
ha
användning
av
matematikkunskaperna i vardagslivet börjar redan i förskolan och fortsätter genom hela
skolan. Även bedömningens inriktning när eleven uppnått skolår nio avser bl.a. elevens
förmåga att använda och utveckla sitt matematiska kunnande för att tolka och hantera
olika slags uppgifter och situationer som förekommer i skola och samhälle, enligt
kursplanen. En annan viktig förmåga som eleven behöver är att kunna ge uttryck åt sina
tankar muntligt och skriftligt med hjälp av det matematiska symbolspråket och med stöd
av konkret materiel och bilder (Skolverket, 2002).
18
5
Aktuella utredningar om matematik
Vi har tittat på hur det i nuläget ser ut i ämnet matematik både ur ett nationellt och ur ett
internationellt perspektiv. Lever skolan upp till läroplanens beskrivningar? Möter våra
barn en undervisning som tillvaratar deras intresse och tilltro för matematik? Utvecklas
deras förmåga att förstå, föra logiska resonemang och att kritiskt granska? Får de
möjlighet att både muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande?
5.1
Nationella utredningen 2003
Nationella utvärderingen 2003, NU-03 (Skolverket, 2004c), genomfördes i slumpvis
utvalda skolor där ett urval elever ur huvudsakligen skolår 9 deltog. Ett flertal av
grundskolans ämnen utvärderades, bland annat genom prov i matematik, biologi, fysik
och kemi. Kunskapsresultaten för årskurs 9-eleverna bedömdes på grund av ett stort
bortfall som osäkra men pekade på en försämring sedan 1992. Andelen svagpresterande
elever hade ökat samtidigt som andelen högpresterande hade minskat. Det försämrade
utfallet för eleverna i årskurs 5 sedan 1992 var tydligt.
Målen om kommunikation, argumentation och begreppsförståelse var svårmätta. Det
hände sällan att man diskuterade matematik i klassen, vare sig under lärarens ledning
eller elever emellan. Matematikundervisningen tycktes ha reducerats till en rad enskilda
projekt där läraren lotsade eleven genom läroboken. Utredningen visade att läroplanens
och kursplanens ökade betoning på kommunikation inte tycktes ha slagit igenom i
undervisningen. Istället framträdde bilden av en allt mer individualiserad undervisning
där eleverna arbetade avskilt både från läraren och från de övriga studiekamraterna. Den
överlägset vanligaste arbetsformen var att eleverna satt och arbetade var för sig med
lärobokens uppgifter. Enskilt arbete hade blivit vanligare sedan 1992 och de
gemensamma genomgångarna under lärarens ledning hade minskat. Mönstret var
detsamma både i årskurs 5 och 9. I båda årskurserna var det, jämfört med 1992,
vanligare att elever i samma klass arbetade med läromedel med olika svårighetsgrad.
Den lust att lära och betydelse av ämnet som eleverna trots allt gav uttryck för visade på
en stor potential, hos matematiken som skolämne, som inte tagits tillvara.
19
5.2
PISA
2003 genomfördes även en internationell studie, PISA (Programme for International
Student Assessment) (Skolverket, 2004a), kring femtonåringars kunskaper i matematik.
Syftet med PISA var att undersöka i vilken grad olika utbildningssystem bidrar till att
rusta femtonåringar för att möta framtiden. Stor vikt lades vid att kunna sätta in
kunskaper i ett sammanhang, att förstå processer, tolka och reflektera över information
samt förmågan att lösa problem. Meningen med matematikuppgifterna i PISA var att de
skulle handla om situationer som eleverna kunde tänkas möta i såväl arbetsliv, privatliv
som i utbildning. PISA ville undersöka hur pass väl eleverna behärskade matematiken
på en funktionell nivå. Detta innebar en förskjutning i den alltför vanliga uppfattningen
om matematik från att se matematik som en samling begrepp och färdigheter som ska
behärskas, till att förstå matematik som en meningsfull, engagerande, problemlösande
och stimulerande aktivitet.
Ytterligare ett mål med projektet var att få en bättre förståelse för orsaker till och
konsekvenser av skillnader i förmåga. Finns det undervisningsstrategier och sätt att
organisera undervisningen som är mer effektiva än andra när det gäller att uppnå de
önskade utbildningsmålen? Detta kunde också belysas med det internationella
perspektivet. Internationella jämförelser kan peka på ländernas starka och svaga sidor
och därigenom ge vägledning för nationell skolpolitik, läroplansutveckling och
undervisning. PISA har tillkommit för att fylla behovet av internationella jämförelser på
skolans område. Totalt deltog 41 länder i undersökningen, varav 30 OECD-länder.
Resultatet från studien visade att de svenska eleverna hade ett resultat strax över OECDgenomsnittet. Sverige hade varken blivit bättre eller sämre sedan 2000. Under samma
tid hade cirka en tredjedel av länderna förbättrat sig inom något område av PISA.
Slutsatsen som kunde dras var att flera länder uppvisade en positiv utveckling mellan
2000 och 2003, dock inte Sverige. Av studien framkom även att svenska elever var
bättre på uppgifter som var av rutinkaraktär där grundläggande kunskaper skulle
tillämpas, samt uppgifter som innebar att olika områden inom matematiken skulle tolkas
och användas. Däremot var de svenska eleverna ofta sämre på uppgifter som krävde
kritiskt tänkande, analys, reflektion samt kommunikation och argumentation
(Skolverket, 2004a).
20
5.3
TIMSS
Sverige deltog under 2003 även i den jämförande studien TIMSS 2003 (Trends in
International Mathematics and Science Study) (Skolverket, 2004b) som leddes av IEA
(International Association for the Evaluation of Educational Achievement). IEA är en
internationell sammanslutning av forskningsinstitutioner och nationellt ansvariga
skolmyndigheter som med regelbundna intervaller genomför jämförande studier av
länders undervisningssystem. Målsättningen för TIMSS 2003 var att beskriva och
jämföra elevprestationer både nationellt och internationellt samt att redovisa elevernas
erfarenheter av och inställning till matematik och naturvetenskapliga ämnen. De ville
också försöka förklara och förstå trender inom länder och erhålla skillnader i
prestationer mellan länder mot bakgrund av skolans organisation, elevens situation och
attityder. Studien erbjöd dessutom möjligheter till jämförelser med resultaten i TIMSS
1995 eftersom den var utformad för att man skulle kunna undersöka förändringar över
tid. I TIMSS 2003 samlades en mängd bakgrundsinformation in för att ge en bild av
Sveriges läroplan, skolor, undervisning och elever ur ett internationellt perspektiv. För
att få fram mönster och samband som kunde förklara skillnaderna i resultat menade
utredarna att det krävs mer ingående analyser. Studien genomfördes i år 8 i 50 länder
eller regioner över hela världen.
Sveriges resultat i TIMSS 2003 i matematik visade på den största försämring som
uppmätts för något av de 16 länder som deltog i undersökningen både 1995 och 2003. I
rapporten jämfördes Sveriges resultat med samma länder i de båda TIMSSundersökningarna. Att en försämring av resultaten i såväl matematik som NO skett
under de åtta år som förflutit mellan studierna var således väl underbyggt.
Både i matematik och NO var det vanligt att svenska elever arbetade med uppgifter
under lärarens handledning. Både i Sverige och i de andra undersökta länderna var det
vanligt med läroböcker i matematik, men Sverige hörde till de länder där störst andel
hade läroboken som huvudsaklig grund för lektionerna. En mindre del av lektionerna
ägnades åt genomgångar i Sverige än i de andra länderna i genomsnitt. Utredningen
menade att man kunde befara att någon del av förklaringen till försämringen av
matematikresultatet kunde finnas här. Utredningen slog fast att det behövs uppföljande
studier och en fortsatt diskussion av vad som händer på lektionerna. Resultatet av
21
undersökningen tydde på att eleverna i Sverige arbetade i grupp något oftare och
tränade räknefärdigheter mer 1995, jämfört med 2003. Mer än hälften av de svenska
eleverna hävdade att de aldrig arbetade i smågrupper på matematiklektionerna. De
svenska eleverna rapporterade vidare att de inte upplevde att de sysslade så mycket med
att koppla det de lärt sig i matematik till sin vardag. Jämfört med attitydskattningar från
TIMSS 1995 framkom indikationer på att de svenska elevernas attityder till matematik
och NO hade förändrats. Intresset och värdet för ämnet tycktes ha minskat (Skolverket,
2004b).
22
6
Litteratur
Vad har tidigare forskning kommit fram till vad gäller barns informella/formella
kunskaper, begreppsutveckling samt språk och kommunikation? Vad säger tidigare
forskning om barn i behov av särskilt stöd? Vi har valt att dela upp detta kapitel i tre
delar; Formell skolmatematik/symboler, Språk och kommunikation samt Barn i behov
av särskilt stöd.
6.1
Formell skolmatematik/Symboler
På mitten av 1900-talet blev det alltmer vanligt med färdigkonstruerade uppgifter och
läroböcker i matematik. Matematikläraren fungerade mer och mer som en
serviceperson, vars uppgift var att se till att barnen gjorde det som stod i uppgifterna.
Innan dess hade undervisningen inte inneburit arbete i egna böcker. 1981 startade
GUMA-projektet, vilket initierades av Gudrun Malmer. Detta projekt ansågs vara
radikalt för sin tid och var ett första försök att återerövra språkets betydelse i
matematiken, vilket ansågs ha gått förlorat i och med införandet av läroböcker. Malmer
såg förebilder i Anna Kruse, L. Gottfrid Sjöholm och Catherine Stern, vilka alla var
verksamma under 1900-talets första hälft (Kronqvist, personlig kommunikation, 8
december, 2006). I GUMA-projektet utarbetades en teori som utgör en processkedja:
Tanke – Handling – Språk – Symboler.
•
I den första nivån, tanke, utgår pedagogen från barnets erfarenheter, dels de som
barnet gjort före och utanför skolan och dels nya gemensamma erfarenheter. Tankar och
frågor som kan ge upphov till matematiska diskussioner och problemsituationer
tillvaratas.
•
I den andra nivån, handling, utgör föremål i samspel med kreativitet grunden för ett
laborativt arbetssätt. Exempel på detta är när barnens bilder fungerar som ett verktyg för
problemlösning.
•
Det tredje steget, språk, är när barnet får sätta ord och uttryck på sina handlingar
och upptäckter. Det är många barn som tänker högt i detta steg. Med hjälp av det inre
språket byggs begreppsinnehållet upp. Den verbala kommunikationen bekräftar och
berikar samspelet. I detta tredje steg fungerar barnens bilder alltmer som symboler.
23
•
Först i den fjärde och sista nivån uttrycks erfarenheter och begrepp på det
matematiska symbolspråket (Kronqvist, 2003).
Kronqvist och Malmer (1993) menar att det är viktigt att den formella matematiken
beskrivs som ett mål. Arbetet med den informella matematiken är ett medel för att i
framtiden bli säkrare på den formella sidan av matematiken. Genom att börja med den
informella matematiken får fler barn möjligheter att komma till sin rätt och på så vis
utveckla självförtroende och intresse för den formella sidan av ämnet. Till utvecklingen
av den informella matematiken hör att barnet börjar översätta problemsituationer till en
bild eller använder ersättningsföremål för de ursprungliga föremålen. En förenklad
representation av verkligheten görs. Den informella matematiken kan ses som en väg in
i matematiken. Samtidigt är det en väg till matematiken för den som misslyckats
tidigare. Den är dessutom en förebyggande metod för att undvika misslyckanden. Om
större utrymme ges åt en matematik som är muntlig och handlingsinriktad är det
dessutom lättare att på ett tidigt stadium observera om barnet inte förstår det
matematiska sammanhanget, menar författarna.
Även Wistedt (1993) har tittat på barnens informella kunskaper. Hon menar att om
pedagogen använder barnens informella kunskaper i undervisningen och låter barnens
tankar komma till uttryck, så stimuleras barnen att uttrycka och reflektera över sina
matematiska kunskaper.
Ahlberg (1994) har tittat på hur barn i fem- sexårsåldern kan lösa problem i
vardagslivet.
De
använder
då
ofta
ändamålsenliga
informella
strategier.
”Lösningsmetoderna är intuitiva och erfarenhetsbaserade och skiljer sig från den
formella matematik som barnen senare möter i skolan” (s.16). Barnen kan ha många
olika strategier när de löser problem. De använder föremål av olika slag och
”modellerar” problemet med olika saker som finns till hands. De räknar i huvudet eller
med fingrarna. När barn löser problem utan att räkna ger de ofta prov på logiskt
tänkande. De har också en förmåga att se följder av olika handlingar, menar Ahlberg.
Omfattande forskning har gjorts som visar att barn har utvecklat en förmåga att lösa
matematiska problem redan innan de deltagit i någon formell undervisning (Fuson &
Hall, 1983; Gelman & Gallistel, 1983; Ginsburg, 1977 ur Ahlberg, 1994). Men i
övergången från förskola till grundskola sker ett skifte från barnens egna informella
24
metoder, grundade på erfarenheter i vardagslivet, till den formella matematiken i skolan.
Detta brott innebär ett helt nytt sätt att tänka. Barnen manipulerar plötsligt med
symboler som de kanske egentligen inte förstår (Ahlberg, 1994). I boken Reflekterande
samtal för pedagogisk utveckling (2002) skriver Ahlberg att det sätt på vilket lärarna
bemöter detta skifte mellan representationsformer kan vara mycket betydelsefullt för
många barn. Hur ser det ut just i den här övergången? Hur tar de pedagoger som möter
barnet tillvara på dess informella sätt att tänka? Ahlberg menar att frågor som ”Vad vet
ni om detta?”, ”Var har ni mött detta?” skulle kunna medföra att barnens erfarenheter i
större utsträckning bildar plattform för deras matematiska utveckling (2002). Barnets
möte med den formella skolmatematiken är ett kritiskt skede i utvecklingen av det
matematiska kunnandet, skriver Ahlberg (2000). Den skrivna formella skolmatematiken
är olik barnens tidigare sätt att räkna. Barnen kan därför inte utnyttja sina egna strategier
som de använt när de löst problem i vardagslivet. En del barn överger därför vid
skolstarten helt sina informella lösningsstrategier, vilket kan inverka negativt både på
deras förståelse och på deras inställning till ämnet. För att de matematiska symbolerna
ska få en innebörd, måste de kopplas till barnens eget språk. För att det ska ske måste
symbolerna betyda något för barnen. De matematiska symbolerna måste därför införas i
undervisningen med varsamhet. Då kan barnen koppla dem till sitt eget sätt att tänka
vilket gör att möjligheterna att förstå de matematiska begreppen och symbolerna ökar.
När barnen får tillfälle att använda det matematiska symbolspråket i olika sammanhang
bygger de successivt upp sin förståelse för innebörden av matematiska modeller
(Ahlberg, 2000).
Malmer (2002) menar, precis som Ahlberg, att symbolerna förs in alldeles för tidigt i
undervisningen för många barn, och att de då sitter och fyller i tomma luckor utan
förståelse för vad de egentligen gör och för vad symbolerna representerar. Hon har
också funnit att barn i många fall kan lösa logiskt krävande exempel bara de inte har
kravet på sig att kunna redovisa detta formellt – matematiskt. Malmer anser att det
övergripande målet är att barnen skall få möjlighet att erhålla matematiska begrepp,
grundade på förståelse. Detta måste ske innan de övergår till den abstrakta
symbolframställningen. Även Sterner och Lundberg (2002) understryker i sin NCMrapport att det är viktigt att barn uppmuntras att uttrycka sig med olika
representationsformer, både informella och mer formella, i förskolan och i den
inledande undervisningen i skolan. Detta är väsentligt för att de ska bibehålla sin
25
kreativitet och för att de ska utveckla tilltro till sitt eget tänkande så att de vågar ge sig i
kast med matematiska problem som de inte finner formella lösningar på. Sterner och
Lundberg har tittat på hur undervisningen ser ut i den svenska skolan och funnit att den
vanligast förekommande arbetsformen i den svenska matematikundervisningen är
mekanisk färdighetsträning och arbete i läroböcker. Detta bekräftas både i nationella
och internationella undersökningar som NU-03, PISA (2004) och TIMSS (2004) (se
kap.5). I NCM-rapporten (2002:2) menar Sterner och Lundberg att ett sådant arbetssätt
kan leda till att barnen får svårigheter p.g.a. att undervisningen inte förmår möta och
hjälpa dem att utveckla sina informella tankar, idéer och strategier så att det leder till
meningsfull matematisk förståelse.
Solem och Reikerås (2004) menar att det formella språket från början är ett främmande
språk för barnen. Om uppmärksamheten flyttas från ”att ta reda på” till ”att komma ihåg
hur man gör” och ”Vilka tecken ska användas?”, finns det en risk att den kunskap som
barnen redan utvecklat förloras. Solem och Reikerås hävdar att detta kan ske om skolan
alltför tidigt kräver att barnen ska använda uttryckssätt som inte är naturliga för dem.
Johnsen Høines (2000) anser att barnen inte ska förknippa matematiken med formella
matematiska symboler utan med tänkande, språk och handling. Författaren framhåller
betydelsen av att låta barnen arbeta med bildframställning i olika former i den inledande
matematikundervisningen. Om barnen får vara med om att skapa symboler och uppleva
att de berättar något kommer barnen att utveckla värdefulla kunskaper om
symbolfunktionen. Det är dock viktigt att barnen får vara med och bestämma vilka
symboler som ska användas och att de förstår att vi måste ställa vissa krav på
symbolerna för att de skall kunna användas i olika situationer. Detta för att fler än de
själva ska förstå symbolerna.
6.2
Språk och kommunikation
Enligt Ahlberg (1994) är det viktigt att symbolerna kopplas till barnens eget språk för
att det matematiska symbolspråket ska få innebörd för barnen. ”Barnen ska därför
samtala om problem och därigenom upprätta en förbindelse mellan det egna språket och
det formella matematiska symbolspråket” (s.31). Om barnen både talar, lyssnar, ritar
bilder och räknar, ser de problemen i olika perspektiv. Detta kan leda till att förståelsen
26
av problemen förändras eller fördjupas. Ahlberg menar därför att barnen måste få
möjlighet att skapa egna symboler genom att rita bilder när de ska lösa ett problem.
Ahlberg (2001) menar vidare att det är viktigt att läraren talar med barnen och inte till
dem om barnen ska få tillfälle att utveckla sin matematiska förmåga. Ahlberg (1994)
anser att aktiviteterna bör sättas in i ett socialt händelseförlopp om barnen ska kunna
lära sig att räkna och förstå betydelsen av att kunna räkna. Det blir meningsfullt för alla
barn att räkna när de förstår räkningens funktion och att de inte enbart är av den
uppfattningen att man ska räkna för att lära sig eller för att man ska lösa matematiska
problem i skolan. Hon menar vidare att en genomtänkt avvägning mellan kreativa,
problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och
uttrycksformer ger ökade förutsättningar för att barnen ska lära den matematik som de
har behov. Genom att arbeta tematiskt och med problemlösning kan kunskap utvecklas
om de språkliga och kommunikativa aspekterna av matematiken (Ahlberg, 1994:12 &
2001). Att arbeta med problemlösning i smågrupper kan hjälpa barnen att inta ett
reflekterande förhållningssätt till de problem de försöker lösa. När barnen diskuterar i
gruppen behöver de förklara hur de själva tänker och även bedöma kamraternas olika
förslag. De kan då inse att man kan tänka på olika sätt och att man kan lära av varandra.
En fördel med arbete i smågrupper är enligt Ahlberg att barnen vänjer sig vid att det kan
ta tid att lösa problem och att de inte behöver ge upp om de inte genast har en
lösningsmetod. Författaren menar att eftersom barns kommande intresse och
matematiska kunnande till stor del grundläggs vid det första mötet med matematiken är
det nödvändigt att från början lägga stor vikt vid val av innehåll och arbetssätt för att
främja barnens kunskapsutveckling i önskvärd riktning (Ahlberg, 2000).
Emanuelsson skriver i Små barns matematik (Doverborg & Emanuelsson, 2006) att
barnen får en fördjupad förståelse när de erövrar alltfler uttrycksformer och
översättningar mellan representationer. Representationer kan vara skrivna symboler,
talade symboler, bilder etc. (se figur 5:1). Forskning i matematikdidaktik visar att det är
viktigt att innebörden i en representation av ett begrepp, en idé eller ett problem blir
tydlig för barnet. Därför bör övergångar mellan olika representationer lyftas fram och
diskuteras enligt Emanuelsson.
27
Manipulativa
Skrivna
modeller
symboler
Bilder
Omvärlds-
Talade
situationer
symboler
Figur 5:1 Schemat kan ses som ett tankeinstrument. Det visar olika sätt att uttrycka idéer och begrepp i
matematik, i vilka sammanhang vi resonerar och löser problem. Pilarna belyser hur vi ibland går över
från en representation till en annan. Talet sju kan visas med sju klossar, sju leksaksdjur eller med sju
ritade bilar. Det kan sägas som ett tal i räkneramsan och det kan skrivas med symbolen 7 (Doverborg &
Emanuelsson (red), 2006, s.41). Reproducerad med tillstånd.
Malmer (2002) menar att det är pedagogens ansvar att planlägga arbetet så att bästa
möjliga miljö för lärande skapas. Enligt henne innebär detta bl.a. att utrymme ska ges
till reflekterande samtal där utbyte av erfarenheter, tankar och idéer kan ske. Författaren
anser att varje pedagog som undervisar i matematik måste vara medveten om den
betydelse språket har, inte enbart det språk textuppgifterna har, utan även det språk
han/hon själv använder i undervisningen. Hon menar vidare att pedagogen behöver vara
”tvåspråkig” för att ständigt påminna barnen om det matematiska språket. Exempel på
det kan vara att pedagogen säger ”vi ska nu addera termerna – söka summan”. Om man
som pedagog vill se till att barnen får ett väl fungerande ordförråd måste man skapa
inlärningssituationer där ord behövs och blir efterfrågade. Ett undersökande och
laborativt arbetssätt kan vara exempel på tillfällen då barnen får berätta och beskriva
sina upptäckter och iakttagelser (Malmer, 2002).
Även Wistedt (1993) anser att barnen ska få möjlighet att stimulera varandra genom att
uttrycka tankar. Samtidigt är det inte meningen att de ska ta på sig didaktiska uppgifter.
Detta ansvar måste ligga hos pedagogen. Solem och Reikerås (2004) menar även de att
det är den vuxnes ansvar att hitta fram till barnets tänkande och språk, att ge dem
möjlighet att förvalta och vidareutveckla den kompetens som de besitter.
28
Sterner och Lundberg (2002) menar att ett viktigt steg mellan barnens laborerande med
objekt och abstrakt arbete med tal, är ett steg där de får föreställa sig objekten och
utveckla förmåga att kunna skapa inre föreställningar. Genom sin förmåga att göra inre
föreställningar om händelser och fenomen kan barnen, när de t.ex. ska lösa problem,
kommunicera med sig själv via sitt inre tal. Det är därför av yttersta vikt att pedagoger
utvecklar en undervisning som bidrar till att barnen lär sig skapa inre bilder, inre
representationer av tal och händelser i matematik, så att de också kan utveckla formellt
tänkande om matematik.
Löwing och Kilborn (2002) menar att mycket av det abstrakta som ofta hindrar barn
från att förstå matematik är förklarbart och kan uttryckas på ett för barnen klarare språk.
Det är med hjälp av vårt språk som vi tillägnar oss matematik. Vi får information,
bearbetar den, kommunicerar den och konstruerar sedan ny kunskap. Konkretiseringens
syfte måste vara att hjälpa barnen att språkligt uppfatta innebörden i en metod eller en
räkneregel. Konkretiseringen bör alltså vara ett stöd för att bygga upp en ny tankeform.
Detta kan enligt Löwing och Kilborn ske på två sätt. Dels kan man med språkets hjälp
knyta en matematisk operation till en för barnen redan känd vardagshändelse. Dels kan
man om språket inte räcker till demonstrera sammanhanget med hjälp av ett laborativt
materiel och på det sättet hjälpa barnen att bygga upp lämpliga tankeformer. Det som
lätt glöms bort vid konkretisering är att ta det sista viktiga steget – att knyta ihop det
informella språket och tänkandet med det formella språket och tänkandet (Löwing &
Kilborn, 2002). Även Dysthe (1996) menar att ett av syftena med att uttrycka sig
muntligt och skriftligt i matematik är att barnet på så vis organiserar sina tankar. När
barnet sätter ord på sina tankar och idéer, lyfts de upp och blir synliga för reflektion och
eftertanke. På så vis kan en djupare förståelse uppnås. Även Löwing (2006) skriver att
den primära idén med att konkretisera undervisningen är att göra kommunikationen så
bra som möjligt och därmed också inlärningen. Konkretiseringen ska bidra till att ge
förståelse och till att bygga upp ny kunskap utifrån de erfarenheter barnet redan har.
Avsikten med att konkretisera, menar författaren, är att språket ska vara ett stöd för att
med hjälp av ett materiel, erfarenhet eller en metafor belysa ett matematiskt begrepp,
samband eller en räkneoperation.
29
Löwing (2006) såg i sin studie av pedagoger hur viktigt det var att pedagogen gjorde
språket synligt och tolkbart för de barn som han/hon vände sig till. Författaren menar att
detta är en språklig process som bör utgöra en röd tråd i undervisningen från förskolan
till och med gymnasiet. Lösningen på problemet med matematiksvårigheter är enligt
Löwing inte att undvika ett matematiskt språk och använda ett vardagsspråk. Det gäller
istället att successivt utveckla barnens språk och därmed göra det möjligt för barnen att
kommunicera och hantera även mer formell matematik. Bristen på ett adekvat språk kan
vara en bidragande orsak till den kris som råder i dagens matematikundervisning enligt
Löwing.
6.3
Barn i behov av särskilt stöd
Sterner och Lundberg (2002) menar att barn med språksvårigheter måste få lära sig
multisensoriskt om undervisningen ska ha inverkan på deras lärande. Om barn får
använda laborativt materiel enbart i syfte att komma fram till lösningar på t.ex. enkla
additionsuppgifter finns en risk att de inte utvecklar någon djupare förståelse. Det
laborativa materielets funktion är att lyfta fram det matematiska tänkandet och stödja
språkliga förklaringar menar såväl Sterner och Lundberg som Löwing och Kilborn
(2002). Sterner och Lundberg menar att barn med dyslexi alltid bör få möjlighet att
uttrycka sina tankar i talat språk i samband med att de laborerar med åskådligt materiel.
De muntliga framställningarna förstärker sedan förståelsen av de laborativa
undersökningarna. Barnen använder på så sätt flera sinnen för sitt lärande. Barn med
dyslexi behöver tydlig undervisning som bygger på förståelse för symbolers innebörder
och hur de hanteras eftersom detta är en speciellt kritisk punkt i deras lärande i och om
matematik. Miles, refererad av Sterner och Lundberg (2002) betonar matematikens
språkliga karaktär och menar att det inte bara är skriven matematik som kan vålla
problem för dessa barn utan även den muntliga kommunikationen där ett problem tycks
vara att lära nya ord. Just förståelsen för de matematiska symbolernas innebörder och
hur de används är en av stötestenarna för barn i läs- och skrivsvårigheter. Sterner och
Lundberg menar därför att det är nödvändigt att alla pedagoger som undervisar i
matematik lägger stor vikt vid att undervisningen bidrar till att barn utvecklar god
taluppfattning. Pedagogerna ska även arbeta för att öka barnens förståelse för samband
och relationer mellan tal och hur tankar och idéer uttrycks genom matematiska
symboler. Det är nödvändigt att barn i läs- och skrivsvårigheter först får laborera med
30
åskådligt materiel. De måste få kommunicera sina upptäckter. Det viktiga i arbetet med
det konkreta materielet är att det formella språket och tänkandet knyts ihop med det
informella språket och tänkandet. Först då blir det laborativa arbetet ett stöd för barnen
för att utveckla sin förståelse.
Även Ljungblad (2003) såg, i sin studie av barn i behov av särskilt stöd, tydligt hur
viktig kommunikationen i matematikarbetet var för att kunna nå alla barns tankar.
Samspelet och dialogen var helt avgörande för dessa barn. Genom att samtala om bilder
kan en gemenskap byggas upp som blir till gemensamma begrepp och föreställningar.
Hon menar vidare att för barn med specifika matematiksvårigheter är det ett måste att
pedagogen
ser
både
språket
och
matematiken
eftersom
det
finns
många
sammankopplingar.
Lundberg och Sterner (2006a) menar dock att sambandet mellan läs- och
räknesvårigheter ska tolkas med stor försiktighet. Klart är att det finns flera viktiga
gemensamma bakomliggande faktorer som kan ge upphov till både läs- och
räknesvårigheter. Dessa faktorer kan vara låg intelligens, dåligt arbetsminne, gemensam
gen, fonologiskt problem, svårigheter med automatisering, regelrigiditet eller ADHD.
Med regelrigiditet menas här att hos en del barn kan man iaktta en viss stelhet i sättet att
arbeta. Dessa barn håller sig strikt till vissa regler och blir oroliga när reglerna inte är
tillämpliga. Författarna skriver att nyare forskning har visat att det finns gener som leder
till flera olika typer av inlärningssvårigheter samtidigt (Plomin & Kovas, 2005 ur
Lundberg & Sterner 2006a). Dessa generella gener kan ge upphov till att vissa personer
uppvisar svårigheter både i läsning och i matematik. Lundberg och Sterner (2006b)
gjorde en undersökning där 60 barn i skolår 3 prövades med en rad test i läsning och
räkning. Lärarna bedömde barnen i fråga om motivation, uppmärksamhet och kognitiv
utveckling. Ett år senare prövades barnen på nytt, dels med samma instrument som
tidigare, men nu även med ytterligare några test. Lundberg och Sterner kom fram till att
sambandet mellan läsning och räkning är högt. Endast ett fåtal barn visar påtagliga
avvikelser i resultaten på det ena området i förhållande till det andra. Barn som läser bra
räknar också bra. I enstaka fall kunde författarna se hur relativt dålig läsning förenades
med goda prestationer i räkning. De observerade vidare ett högt samband mellan
uppgiftsorientering, läsning och räkning. Att vara uppgiftsorienterad innebär att vara
aktiv, motiverad och koncentrerad, vilket visade sig vara viktiga faktorer för att
31
åstadkomma goda prestationer, särskilt i räkning. Genom att ha följt barnen över ett år
var det möjligt att på statistisk väg bedöma orsaksriktningen.
Malmer (2002) menar att skolans pedagoger har till uppgift att göra tankens verktyg,
dvs. matematiken och modersmålet, mer attraktiva. På så sätt kan pedagogerna upptäcka
hur viktigt sambandet mellan de två kärnämnena är för att utveckla det logiska
tänkandet. Malmer anser att barnen först måste ha begreppen i form av ord kopplade till
erfarenhet innan de kan översätta dem till det kortfattande matematiska symbolspråket.
Detta är viktigt för alla barn, men för dem som har dyslektiska besvär och därmed
svårigheter med symboler är det en nödvändighet. Matematiken kan, för dessa barn,
vara det ämne där de får stimulans till att använda mera kreativa och informella
lösningsvarianter. Därigenom kan de få känna att de kan lyckas.
Johnsen Høines (2000) förvånas över de kunskaper de barn, som hör till förlorarna i
skolmatematiken, faktiskt har. Författaren menar att det oftast inte är barnens
förkunskaper det är fel på, utan det sätt på vilket mötet med den formella matematiken
sker. Detta antagande får hon stöd för hos H.P. Ginsburg och B.S. Allardis (1984), vilka
hon refererar till, som gjort undersökningar där de funnit att även barn som är svaga i
matematik har informella matematikkunskaper. Johnsen Høines skriver vidare att hon
ofta ser en stor skillnad mellan barnens kunskaper och deras färdigheter i
skolmatematiken när hon träffar på barn med svårigheter. Hon menar att ett medvetet
språkbruk från lärarens sida skulle vara till hjälp för många av dem. Pedagogernas
uppgift är att hjälpa barnet att upptäcka system och sammanhang genom erfarenheter.
Detta ska ske genom att använda ett språk som fungerar som språk av första ordningen
för barnet (se 7.1). Pedagogerna måste låta barnet förstå att det är inne i sitt eget huvud
och med egna tankar, som han/hon räknar (Johnsen Høines, 2000).
32
7
Teori
Vår studie avser att utforska hur pedagoger med språket som verktyg, utvecklar barns
begreppsförståelse i matematik. Vi är av den uppfattningen att språk och tänkande har
ett intimt samband. Det är med hjälp av språket som barnet kan få redskap att förstå och
utveckla nya begrepp. Vi är övertygade om att språklig aktivitet och tänkande utvecklas
i en kontext, tillsammans med andra människor. De informella kunskaper barnet har
med sig till skolan är särskilt viktiga att bygga vidare på. Eftersom vi har dessa
uppfattningar har vi funnit Vygotskijs sociokulturella teori särskilt intressant att stödja
vår studie på. Lev Vygotskij (1896-1934) anses vara grundaren av den sovjetiska
psykologin och pedagogiken. Med bakgrund som litteraturforskare säger han att barnets
kognitiva utveckling är beroende av språkbehärskning. Han menar att språket är
tänkandets sociala uttryck (Johnsen Høines, 2000).
7.1
Vygotskijs sociokulturella teori
Aktiviteter som leder till lärande och utveckling har enligt Vygotskij vissa påtagliga
kännetecken. De är exempelvis sociala. Vygotskij menar att inre processer - det som
finns inuti huvudet – har föregåtts av yttre aktivitet tillsammans med andra i specifika
kulturella miljöer. Det är när vi pratar med varandra som vi spar ett råmaterial som
bildar underlag för vårt inre samtal, det vi i dagligt tal kallar tänkande. Utan detta
råmaterial sker det inget inuti huvudet. Allt som så småningom finns i huvudet har
tidigare varit yttre aktiviteter tillsammans med andra. Vygotskij menar att människors
samspel inte bara är en metod som kan stödja lärandet och utvecklingen. Han menar att
samspel är lärande och utveckling. I detta samspel spelar språket en viktig roll. Det är
genom språkliga samspel som barnet får kontakt med och förvärvar det sociala verktyg
vi kallar språk. Det är dessa språkliga verktyg som barnet sedan omformar till
instrument för sitt tänkande (Strandberg, 2006). Samtalet mellan den vuxne och barnet
eller mellan flera barn handlar, i stället för ensidig aktivitet som riktas från den vuxne
till barnet, om ett samarbete där barnet och den vuxne påverkar varandra i ett slags
ömsesidig assistans. Var och en av parterna bidrar utifrån sina egna förutsättningar och
på sina egna premisser (Bråten, 1998). Vygotskij menar att det är viktigt att barnen får
hjälp av mer kompetenta vuxna och/eller barn men att detta inte innebär att barnen
fråntas ansvaret för sitt eget lärande (Øzerk ur Bråten, 1998).
33
Aktiviteter som leder till lärande och utveckling är också medierande. Det innebär att
människans relation till världen sker med hjälp och stöd av exempelvis verktyg, tecken,
språk och andra människor. Med tecken, eller tankeverktyg, avses de symboler,
bokstäver, ord, siffror, begrepp, noter, kartor, ikoner m.m. som människor skapat. De
representerar verkligheten. De innehåller mening och de ges mening. Tecken skapar
aktivitet inuti människors hjärnor. Det är de stödjande verktygen och tecknen som
hjälper oss att lösa problem. Lärande är beroende av att det finns tillgång till verktyg
och tecken som är intressanta, utmanande och relevanta för de områden som ska
utforskas. Vygotskij talar om två typer av verktyg. Dels det som vi i vardagligt tal
menar med verktyg, dvs. saker som vi använder när vi utför handlingar och dels verktyg
som vi använder när vi tänker. Verktygen är oss behjälpliga när vi gör saker, exempelvis
när vi gör en uträkning i matematik med hjälp av en miniräknare. Tecken är oss
behjälpliga när vi tänker, exempelvis när vi försöker förstå matematik. Tecknen kan
inspirera till aktivitet samtidigt som de är hjälpmedel för att strukturera vårt tänkande.
Först kan barnet saker tillsammans med andra och/eller tillsammans med hjälpmedel.
Sedan kan de klara det på egen hand (Strandberg, 2006).
Aktiviteter för lärande är enligt Vygotskij dessutom alltid situerade. Aktiviteterna äger
rum i specifika situationer i kulturella sammanhang, rum och platser. Det är lättare att
lära sig spanska i Spanien än i Danmark och det är lättare att lära sig läsa i en miljö som
innehåller texter än i en som inte gör det (Strandberg, 2006).
Aktiviteterna är kreativa. Människor kan inte bara använda sig av relationer, hjälpmedel
och situationer. Vi kan omforma dem också, vilket vi lär oss särskilt mycket av. Barnet
gör innan det vet att det gör. Genom att göra, skapar barnet det råmaterial som han/hon
sedan kan omforma till vetande. Barnet använder sig av matematik innan det vet vad
matematik är. Vygotskij menar att hatten på barnets huvud ska vara lite större än
huvudet för att passa. ”Det innebär också att det inte ska vara så stort avstånd mellan det
som eleverna kan och det som de får presenterat i undervisningssituationen” (Øzerk ur
Bråten, 1998, s.95).
Avståndet mellan det som barnet kan idag och det som barnet håller på att utveckla
kallar Vygotskij för den proximala utvecklingszonen. Detta är ett centralt begrepp i
34
Vygotskijs lära. Det barnet klarar av idag kallar Vygotskij barnets bas. Det barnet inte
kan idag, är den proximala utvecklingszonen (Partanen, 2007). Den proximala
utvecklingszonen är alltså den närmast belägna förmågan i förhållande till det som
barnet kan själv. Barnet kan prova vad det kan göra tillsammans med andra genom att
göra som den andre. Det upptäcker i praktisk mening vad det kan tillsammans med
andra eller, vad det är på väg att lära sig (Strandberg, 2006). När barnet arbetar i basen
arbetar det med sitt inre språk. När det arbetar i utvecklingszonen sker det i dialog med
någon som kan mer, en pedagog eller kamrat. Barnet överskrider då sin aktuella
förmåga. Det sker genom ett yttre språk (Partanen, 2007).
Den
proximala
Yttre
utvecklingszonen
språk
Basen
Inre språk
Figur 6:1 Figur Partanen, 2006. Reproducerad med tillstånd.
Själva zonen är ett rum, en vidare värld, som skapas genom samarbete. De
vetenskapliga begreppen öppnar upp ett rum eller en zon där barnets vardagliga
informella begrepp kan ta plats. Barnet får en chans att lyfta in sina föreställningar i ett
mer avancerat rum och fortsätta sina aktiviteter där. De vetenskapliga begreppen banar
således väg för de vardagliga informella begreppens utveckling (Strandberg, 2006). Om
barnet arbetar i utvecklingszonen växer så småningom basen. Barnet behöver även
arbeta tyst för att befästa de kunskaper de har. Dagens utvecklingszon är således
morgondagens bas (Partanen, 2007).
Vygotskij såg språket och tänkandet som två separata linjer från början där handlingen
föregår ordet. Det går från konkret till abstrakt. I det viktiga yttre egocentriska språket
föregår ordet förståelsen. Vygotskij menar att koncentration, språkförmåga och logiskt
tänkande utvecklas bättre ju mer egocentriskt språk ett barn har. Detta yttre språk
kommer sedan att utvecklas till ett inre språk. All utveckling börjar i det yttre sociala
35
samspelet innan det övergår till det inre; en internalisering sker (Partanen, 2007). En
internalisering innebär ett införlivande av något yttre med den egna personen
(Strandberg, 2006).
Vygotskij menar att barnens egocentriska tal, när de talar med sig själva, är en viktig
funktion för begreppsutvecklingen. Så småningom minskar det egocentriska talet och
talet går över i inre (tyst) tal. Sedan övergår det till tänkande. När vi ställs inför en svår
uppgift är det många, även vuxna, som börjar att ”tänka högt”. Vi väljer då det språk
som känns lättast att uttrycka våra tankar genom. Målet för oss själva blir att klargöra
våra egna begrepp. I skolan måste barnen få hjälp att klargöra sina egna begrepp. De
måste då få använda ett språk som de har lätt att uttrycka sig genom (Johnsen Høines,
2000).
Vygotskij talar om språk av första och andra ordningen. Exempel på språk av första
ordningen är när barnet är duktig på att läsa. Då fungerar skriftspråket som ett språk av
första ordningen. Barnet behöver inte säga eller höra orden och behöver heller inte tala
tyst inom sig själv. Det behövs inte ett muntligt språk som stöd för att kunna tolka
ordbilden. Ett annat exempel är när barnet behärskar t.ex. engelska så väl att det inte
behöver översätta språket till svenska utan förstår det direkt – det tänker till och med på
engelska. Först då är engelska ett språk av första ordningen för barnet (Johnsen Høines,
2000). Ett språk av andra ordningen är ett språk som inte står i direkt kontakt med
begreppsinnehållet och som därför måste översättas. Denna översättning förutsätter
språk av första ordningen som översättningsled. Detta översättningsled kan betraktas
som en länk mellan det nya språket och barnets begreppsvärld. Exempel på detta är när
ett barn inte har använt sig av siffror i sin vanliga talbehandling. När barnet ser det
skrivna talet 7, får han/hon inte en automatisk bild av antalet. Om någon däremot håller
upp sju fingrar eller säger ”sju”, vilket är ett språk av första ordningen för barnet, blir
detta ett översättningsled som gör att barnet kan förstå det skrivna talet 7 (Johnsen
Høines, 2000).
När barn leker eller håller på med andra aktiviteter använder de sig ofta av rörelser och
gester som uttrycksformer. ”Vygotskij jämför det språket med det muntliga språket när
det gäller begreppsbildning. Han hävdar att teckning är en utveckling av gester och
kallar teckningar för ’stelnade gester’” (Johnsen Høines, 2000, s.99). Barnen kommer så
36
småningom att upptäcka att strecken som ritas har en betydelse, men det är inte
tillräckligt för att upptäcka symbolfunktionen. De kan förstå att tecknet liknar något och
kan därmed skapa associationer till det, men det är mer abstrakt för barnen att se att ett
tecken representerar något annat (Johnsen Høines, 2000).
Vygotskij menar att för att barnet skall kunna lära sig vetenskapliga begrepp är det
viktigt att det på förhand har utvecklat informella begrepp i vardagslivet som det kan
bygga vidare på. Inlärningen av vetenskapliga, formella begrepp kommer sedan att
inverka på de informella begreppen och bidra till ökad systematik, medvetenhet och en
hierarkisk organisation i barnets tänkande. Begrepp måste läras in, begreppsinlärning
gör sedan vidare inlärning möjlig, och begreppen binder samman olika erfarenheter. De
hjälper barnet att systematisera och hålla ordning i det sociala och materiella kaos som
råder runt honom/henne. De
hjälper även barnet att kunna systematisera
uppfattningsförmågan och att utveckla långtidsminnet (Øzerk ur Bråten, 1998).
Vygotskij har utvecklat en modell för barnets väg mot att bilda verkliga begrepp. Det
första steget kallar han för primitiva föreställningar. Den formen av föreställning
grundas på subjektiva, osäkra, vaga och oreflekterade antaganden om tingens samband.
Sedan upptäcker barnet likheter mellan tingen. Denna föreställning är av en konkret och
faktisk art, kanske fortfarande inte abstrakt eller logisk. Denna nivå kallar Vygotskij för
en komplex föreställning av begreppen. Det tredje och sista steget, den avancerade
formen av komplex föreställning, inträffar då barnet får positiv respons på sitt tänkande
genom kommunikation med vuxna och därmed börjar praktisera begrepp innan det är
medvetet om detta. Genom denna yttre påverkan, vilket kan betraktas som en social
konstruktion, bildas barnets begreppstänkande (Bråten, 1998).
Det finns ord och det finns begrepp, men det finns ingen självklar turordning i hur de
ska användas. För en del öppnar ordet en utvecklingszon, för andra betyder ordet
ingenting, för en tredje kan ordet redan vara integrerat i aktiviteten och lämnas därför
utan ytterligare uppmärksamhet. Ord kan skapa en utvecklingszon där barnets aktivitet
får ett nytt svängrum. ”När barnets praktiska aktiviteter möter och tillägnar sig den
symbolvärld som kännetecknar mänskliga miljöer sker en specifik omorganisering i
barnets liv och i barnets hjärna” (Strandberg, 2006, s.113). Vygotskij säger att det
händer något viktigt när praktiska handlingar strålar samman med språk. Det som
37
händer är att språket med dess speciella form och innehåll börjar påverka aktiviteten.
Förmågan att gå mellan aktivitet och tänkande börjar mycket tidigt. Det är själva
sammanstrålningen mellan aktivitet och tänkande som är lärandets hävstång.
Intellektuell utveckling tar kvalitativa språng. När barnets vardagliga, informella och
konkreta kunskaper sammanstrålar med vetenskapliga kunskaper kan det ske ett
kvalitativt språng.
Lärandet kan beskrivas som en tvåstegsmodell. Interaktion är den ena processen för
lärande. Den processen är fysiskt påtaglig – det märks att vi pratar med varandra. I den
andra processen (den intrapsykologiska) flyttar interaktionen in i huvudet och blir till ett
inre samtal med mig själv. Psykologiska processer – tänkande, talande, läsande,
problemlösande, lärande, emotioner och vilja – är inte sprungna ur en inre mental
idévärld, utan kan förstås som aktiviteter. Det är i människors faktiska och praktiska liv
som psykologiska processer har sin grund (Strandberg, 2006).
38
8
Metod
8.1
Metodval
Utifrån vårt syfte har vi valt att göra intervjuer. Anledningen till att vi valde denna
metod var att vi bl.a. ville ta reda på hur pedagoger konkret arbetar med barnens
matematiska begreppsförståelse. Vi ansåg att pedagogerna hade större möjlighet att
berätta mer detaljerat om sitt arbete i intervjuer än om de hade svarat på enkäter. Vi
genomförde därför tio kvalitativa forskningsintervjuer, som var delvis strukturerade,
med
pedagoger
som
arbetar
med
språket
på
ett
medvetet
sätt
i
sin
matematikundervisning. Med en delvis strukturerad intervju menas att intervjuerna ”…
styrs av ett antal frågor eller frågeställningar som ska utforskas, men varken ordalydelse
eller ordningsföljd bestäms i förväg” (Merriam, 1998, s.88). Fördelen med detta är att
den som intervjuar lättare kan svara an på situationen som den utvecklas under intervjun
och att det då är lättare att ta tillvara nya idéer och tankar som uppstår. Informanterna
(se 8.2) valdes ut genom ett ”riktat urval”. Det innebar att vi sökte upp dem efter att ha
fått dem rekommenderade som lämpliga informanter. Vi är medvetna om att ett
självvalt urval inte kan generaliseras på populationen i sin helhet, statistiskt sett. Men
Kavle (1997) skriver att det även kan finnas andra mål för generalisering. Att lokalisera
situationer som vi tror är ideala och exceptionella och studera dem för att se vad som
pågår där kan vara ett sätt. Vår studie går alltså ut på att, istället för att kartlägga det
som redan är eller försöka förutsäga framtiden, att försöka omvandla kulturen, i detta
fall skolkulturen. Vi menar att genom att använda oss av den kvalitativa
forskningsintervjun kan vi försöka ”utveckla en kunskap som kan förändra personer och
omständigheter”
(s.60).
Genom
intervjuerna
vill
vi
även
kunna
förmedla
undersökningspersonernas situation och erfarenheter till andra (Kvale, 1997).
8.2
Undersökningsgrupp
Vår undersökningsgrupp har valts ut genom ett riktat urval. Vi fick kontakt med
informanterna genom rekommendationer från vår handledare (3 st), genom ett
matematikprojekt (2 st) och genom egna kontakter (5 st). Informanterna arbetar i sex
olika kommuner. Upptagningsområdena ser olika ut. I undersökningsgruppen finns
pedagoger som arbetar med barn både från invandrartäta områden och från områden
39
utan några invandrare alls. Områdena har även olika socioekonomisk struktur. De består
antingen av företrädelsevis låg-, mellan- eller höginkomsttagare. Sju av informanterna
har mellan 23 och 32 års erfarenhet. Övriga tre har 5-6 års erfarenhet. Majoriteten av
informanterna är kvinnor. För att försäkra oss om informanternas anonymitet redovisar
vi inte vilka som är kvinnor respektive män. Följande personer deltog i studien:
En barnskötare som arbetar i en förskola i en större stad.
En förskollärare som arbetar i en förskoleklass i en mindre stad.
En förskollärare som arbetar i en F-5-klass i ett mindre samhälle.
En fritidspedagog som arbetar med elever från F-6 i en större stad.
En specialpedagog som arbetar med elever på en F-9-skola i ett mindre samhälle.
En speciallärare som arbetar med elever i år F-5 i en större stad.
En 1-7-lärare som arbetar med elever på en F-6-skola i ett mindre samhälle.
En 1-7-lärare som arbetar med elever år 1-3 i ett mindre samhälle.
En lågstadielärare som arbetar med elever år F-2 i en mindre stad.
En lågstadielärare som arbetar med elever år F-2 i en mindre stad.
8.3
Genomförande
Studien inleddes med en pilotintervju. Avsikten med denna intervju var att se om de
frågor vi valt att ställa gav oss svar på vårt syfte. Detta resulterade i att ett par frågor
ändrades. Informanterna fick sedan frågorna (se bilaga 2) skickade till sig några dagar
innan intervjun. Frågorna konstruerades utifrån våra frågeställningar och syfte. I
samtliga intervjuer var det endast två närvarande, den av oss som intervjuade och
informanten. Tanken var att vi ville få intervjupersonerna att prata så fritt som möjligt
och att vi som intervjuade skulle fylla på med frågor när så behövdes. Under intervjun
använde vi oss därför av en checklista (se bilaga 3). Intervjuerna gjordes i ostörda
lokaler där informanterna kände sig lugna och trygga. Intervjuerna spelades in på band.
8.4
Databearbetning
Det som sades i intervjuerna skrevs ner av den av oss som genomförde den. Vi använde
oss av det som Kvale (1997) kallar meningskoncentrering. Det innebär att de meningar
som uttrycktes formulerades mer koncist, där den väsentliga innebörden omformuleras i
färre ord. Det fanns två anledningar till att vi använde oss av meningskoncentrering.
40
Den ena anledningen var att det gjorde det lättare för oss att läsa när vi skulle analysera
texten och den andra anledningen var att det kan te sig oetiskt mot intervjupersonen att
lämna texten obearbetad (se 8.6). Dokumenten skickades därefter till informanterna och
vi bad dem att kontrollera om texterna stämde överens med vad de sade i intervjuerna.
När vi fått alla dokument godkända påbörjades den efterföljande analysen. Tillsammans
började vi med att jämföra informanternas svar i fråga efter fråga. Därefter såg vi till
helheten i intervjun för att se om det gick att finna några mönster i informanternas svar.
Var det något som informanterna sa upprepade gånger? Sedan gjordes tolkningar av
svaren.
8.5
Tillförlitlighet
Innan intervjuerna genomfördes skickade vi, efter noga överväganden, frågorna till
informanterna (se bilaga 2). På så vis fick de möjlighet att tänka igenom sina svar innan
intervjun. Fördelen med detta var att de då fick en möjlighet att förbereda sig på att t.ex.
ge exempel på hur de arbetar konkret med barnen. Nackdelen var att någon kanske
skulle kunna passa på att förställa verkligheten för att få sin undervisning att komma i
bättre dager. Även om risken för detta fanns menar vi att det i denna studie lämpade sig
bäst att skicka frågorna i förväg. Vi anser att tillförlitligheten ökar i och med detta,
eftersom sannolikheten att vi får svar på det vi ämnar ta reda på blir större.
Under intervjuerna hade vi en checklista (se bilaga 3) där det som vi avsåg att ta reda på
fanns uppskrivet. Syftet med denna checklista var att vi ville ta reda på samma fakta i
samtliga intervjuer, detta för att försäkra oss om att svaren sedan skulle kunna jämföras
med varandra i den kommande analysen. Detta var ytterligare ett sätt att försäkra oss om
att undersökningen skulle bli så korrekt utförd som möjligt, att undersökningen skulle få
så hög validitet som möjligt. Vi var under intervjuerna medvetna om vikten av att vara
lyhörd.
De utskrivna texterna skickades tillbaka till informanterna. Tanken med detta var att de
då skulle få möjlighet att kontrollera att texterna stämde överens med vad de sagt. De
fick tillfälle att stryka eller ändra. På detta vis fick vi bekräftelse på att texterna som
skulle analyseras verkligen stämde med verkligheten.
41
Trost (1997) skriver om fyra komponenter som man ibland särskiljer hos begreppet
reliabilitet, dvs. tillförlitlighet.
1. Kongruens, som rör sig om likhet mellan frågor som avses mäta samma sak;
2. Precision hänger samman med intervjuarens sätt att registrera svar;
3. Objektivitet har att göra med skilda intervjuares sätt att registrera – om de registrerar
samma sak likadant så är objektiviteten hög;
4. Konstans, som tar upp tidsaspekten och förutsätter att fenomenet eller attityden eller
vad det kan vara fråga om inte ändrar sig (s.99).
Punkt fyra, som handlar om konstans, kan inte tolkas definitivt när det gäller kvalitativa
intervjuer. Om samma intervju skulle göras igen om ett antal år, är det inte säkert att vi
skulle få samma svar. Det är människor vi har att göra med och en människa har rätt att
ändra uppfattningar och samtidigt vara tillförlitlig.
Vi är medvetna om att dessa fyra komponenter inte är helt lätt att uppfylla vid en
kvalitativ intervju. Med tanke på att vi var två personer som skulle göra fem intervjuer
var, var det viktigt att ha dessa fyra komponenter i hågkomst. Det är ofrånkomligt att till
viss del vara subjektiv i intervjuer. Vi strävade därför medvetet mot att vara så objektiva
som möjligt. Trost (1997) menar att man vid en kvalitativ intervju inte kan tala om
validitet och reliabilitet i så stor utsträckning. Detta hör mer hemma vid kvantitativa
undersökningar. Vid kvalitativa intervjuer ska man se till så att intervjuerna och
datainsamlingen blir tillförlitlig, trovärdig och adekvat.
8.6
Etiska aspekter
Vi har tagit de etiska frågorna under övervägande under hela studiens gång. När
informanterna kontaktades var vi noga med att informera om syftet med vår studie. De
fick veta hur intervjun och det efterföljande arbetet skulle gå till och att vår studie skulle
vara konfidentiell. När informanterna gett sitt samtycke kunde vi börja.
Ett av syftena med vår studie var att vi skulle finna pedagoger som medvetet arbetar
med att utveckla barns begreppsförståelse i matematik med hjälp av språket. Vi avsåg
att höra dem berätta om hur de konkret arbetar. Eftersom vi inte hade några känsliga
frågor, hamnade vi inte i något etiskt dilemma. Tvärtom upplevdes intervjuerna som
42
positiva, både av dem som intervjuades och vi som intervjuade. Vi fick uppfattningen
att informanterna uppskattade att vi ville höra dem berätta om sitt arbete.
Vi menar att det är viktigt att vara påläst inför en intervju. Dels är det lättare att ställa
relevanta frågor och dels är det lättare att fånga upp de svar man får och vidareutveckla
dem. Samtidigt kan det finnas nackdelar. Det kan vara att vi som intervjuare istället för
att lyssna på informanterna letar efter ”rätta” svar. Detta är viktigt att ha i åtanke. Även
ur etisk synvinkel är detta betydelsefullt. Gullveig och Öyen (1997) menar att en av de
största utmaningarna i all forskning är att se till att inte ens egna uppfattningar och
förväntningar färgar studiens slutsatser.
Valet att använda meningskoncentrering, att ändra från talspråk till skriftspråk, var även
ett etiskt ställningstagande. Trost (1997) anser att det kan vara oetiskt att låta
informanten se sitt talspråk nedskrivet eftersom han/hon kan bli upprörd då texten kan
verka ostrukturerad samtidigt som informanten kan känna att han/hon talar mycket dålig
svenska. Dessutom menar Kvale (1997) att ”genom att ge samtalet en litterär stil blir det
lättare att förmedla meningen i intervjupersonens berättelse till läsaren” (s.152).
43
44
9
Resultat
Vi valt att presentera resultatet med utgångspunkt i våra frågeställningar (se 3.2). För att
underlätta för läsaren har vi valt att dela upp den första frågeställningen i två delar (9.2
och 9.3). Vi börjar med att ge en kort bakgrundsbeskrivning av informanterna. Därefter
gör vi en sammanfattning av vad informanterna svarade på var och en av frågorna.
Observeras bör att vi här har sammanställt vad informanterna svarat i våra intervjuer.
Om exempelvis sex av tio sagt att de upplever att både barnen och de själva tycker att
undervisningen är rolig, behöver det inte betyda att övriga fyra inte tycker det. Det
innebär enbart att det var sex av informanterna som uttryckligen sa det i intervjun.
9.1
Informanternas bakgrund
Samtliga informanter har, utöver grundutbildningen, gått på föreläsningar och/eller
kvälls/helgkurser, vilket oftast har skett på eget initiativ på deras fritid. Sju av tio har
gått ytterligare utbildningar som gett högskolepoäng. En av dessa sju blev beordrad av
sin chef att gå en 5-poängskurs, övriga har gått på eget initiativ.
Fem av informanterna upplevde matematiken som lätt och rolig när de själva var barn
och gick i skolan. En berättade att hon var rädd för matematiken, men att hon inte hade
svårt för det. Två sa att matematik gick ganska lätt men att det inte var favoritämnet.
Två av informanterna tyckte att det var svårt med matematik. På frågan om när intresset
för matematik uppstod svarade tre av informanterna att intresset funnits sedan de var
barn, men att det var i samband med utbildning i matematik som deras gedigna intresse
uppstod. Sju av informanterna berättade att intresset uppstått i vuxen ålder i samband
med deras arbete.
9.2
Hur arbetar pedagoger för att utveckla barns begreppsförståelse i
matematik med hjälp av språket?
Majoriteten av våra informanter hade inte någon lärobok som huvudsaklig grund för sin
undervisning. Två av våra informanter som arbetade med förskolebarn använde sig av
Landet länge sedan av Dagmar Neumans som utgångspunkt för barnens
begreppsförståelse. En informant menade att målet med undervisningen var att barnet
45
skulle förstå begrepp, tal och mängder. I förskolan undvek hon siffror så långt hon
kunde. Undervisningen skulle istället vara konkret.
Malmers ”matematiska begrepp” användes för att diskutera i barngruppen av fyra
informanter. Denna sammanställning av begrepp återfinns i boken Bra matematik för
alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter (2002). Barnen fick exempelvis
skriva meningar där begreppen ingick i ett passande sammanhang. En informant lät
barnen göra matematikordböcker där barnen fick skriva meningar och rita till. När dessa
redovisades fick barnen höra många olika varianter på hur ett begrepp kan användas.
Fem av informanterna berättade att de utgick från ett problem eller en frågeställning i
helklass eller i grupper. Samtalet kring problemet gav nya ord och begrepp. Barnen fick
ofta skriva ned sina reflektioner innan diskussionen. Grupparbetena var samtidigt en
social träning och samarbetsövning menade två informanter.
Musik och sång användes av sex informanter. Sånger användes bl.a. genom att begrepp
bakades in. ”Bä, bä vita lamm” hade två par stövlar i en av våra informanters
undervisning, som barnen kunde gå och hämta, istället för två par strumpor. ”Blinka
lilla stjärna” kunde även bli ”Blinka stora stjärna” för att göra jämförelser mellan
begreppen stor och liten. Sånger användes även som inlärningsmetoder vid exempelvis
inlärning av multiplikationstabellerna. Musiken användes också i kombination med
gymnastik. När musiken stannade uppmuntrades barnen att sätta in exempelvis två
huvuden, tre fötter och en hand i en rockring. På så vis samarbetade barnen menade
informanten. I en annan musiklek fick barnen dansa med eller leta upp sin tiokompis.
Sju informanter berättade att de uppmuntrade barnen till att leka med former och
figurer. Det fanns materiel på hyllorna som barnen kunde leka med och/eller sortera.
Kortlek och tärning användes. Leken kunde även ge pedagogen en bild av vilka av
barnen som förstått olika begrepp menade en pedagog. Färdigproducerade spel
användes också i undervisningen.
Fyra informanter använde sagor som utgångspunkt för inlärningen av begrepp. Exempel
på sagor som nämndes var Guldlock och de tre björnarna och Petter och hans fyra
getter. I exemplet med Guldlock lät informanten barnen rita och dela upp
46
honungsburkar till de tre björnarna. Därefter fick barnen motivera varför de delat upp
burkarna såsom de gjort. Informanten som arbetade med Petter och hans fyra getter lät
bl.a. barnen beskriva bilderna. När barnen i olika åldrar pratade kring samma bild såg
pedagogen hur begreppen blev mer och mer precisa menade hon. Påhittade sagor
användes också för att förklara begrepp.
Fyra informanter berättade att de använde sig av händelser i vardagen för att exempelvis
se efter hur många tänder barnen tappat. Då kunde diagram introduceras på ett tidigt
stadium. Diagrammet födde nya frågor. ”Hur många har vi tappat tillsammans?”
Vardagen bildade till stor del utgångspunkt för de matematiska samtalen också i
matsituationer. Pedagogen pratade med barnen om frukter som skulle delas eller visade
hur tallrikar fick representera antalet barn i gruppen.
Sju av informanterna talade om att barnens vistelse utomhus utnyttjades till matematik.
Barnen fick t.ex. leta pinnar och stenar, sortera dem och jämföra dem. Träd eller
sträckor kunde mätas och uppskattas. Ute kunde barnen se hur matematiken såg ut i
naturen och hur det som människor producerat kunde vara matematik. En trädgård
kunde vara symmetrisk och fönster på en byggnad kunde bilda ett mönster. Utomhus
fanns även utrymmet att leka lekar med matematiskt innehåll som ”sista paret ut”
menade en pedagog.
En informant använde sig av drama och film i utvecklingen av begrepp. Tillsammans
med barnen sattes pjäser upp där barnen fick förklara olika begrepp för varandra och för
pedagogen. En liten figur, ett siffertroll, tog med barnen i drömmarnas värld där han
upptäckte matematiken tillsammans med barnen.
Åtta av informanterna nämnde att de använde sig av bilder på något sätt för att utveckla
begrepp. Bilder av kända konstnärer kunde vara utgångspunkt för diskussioner kring
former, färger och lägen. Barnens egna bilder användes som utgångsläge för
diskussioner eller som stöd till tankarna. I räknesagor fick barnen rita händelser med
matematiskt innehåll som bildade utgångspunkt för vidare diskussioner.
47
9.3
Hur tas barnens informella kunskaper tillvara?
Tre av tio menade att, för att kunna tillvarata barnets informella kunskaper krävdes ett
tillåtande klimat där barnen kunde känna sig trygga. Fyra av tio menade att genom att
använda sig av problem som resulterade i flera korrekta svar, och genom att visa
modeller på hur problem kan lösas, kunde pedagogen visa att det var tillåtet att tänka på
olika sätt. Genom att istället för att säga att barnens tankar var fel, menade en informant
att man kunde säga ”att man också kan göra på detta sätt”. Fem av tio menade att genom
att ta reda på var barnen befann sig och möta deras tankar, kunde barnens kunskaper tas
tillvara. Andra sätt att börja samtala med barnen på kunde vara att utgå från en situation
i vardagen, att utgå från barnens erfarenheter och lyssna på deras frågor eller spontana
tankar, menade sex av tio. Sätt att tillvarata barnens tankar var enligt åtta av tio genom
att fråga på olika sätt. Genom att ställa frågor till barnen synliggjordes det som de redan
kunde. Genom att ställa öppna frågor kunde barnen stärkas eftersom deras svar kunde
tillhöra ett av många korrekta svar. Följdfrågor var viktiga menade tre informanter
eftersom de stimulerade barnens tänkande. Varför-frågor som ”Varför gör vi detta?” var
viktiga för att se användningsområdet för matematiken i vardagen. En informant
menade att varför-frågor som ”Varför blir det som det blir?” visade att matematiken är
logisk, att matematik inte är något som barnen ska lära sig utantill utan istället något
som de ska förstå. Förstår barnen varför, är det lättare att komma ihåg. Två menade att
bilder var ett bra sätt att sätta ord på barnens tankar.
9.4
Vilka förutsättningar behöver uppfyllas för att genomföra en sådan
undervisning på individ-, grupp- och organisationsnivå?
För att kunna se vilka omständigheter som kan påverka pedagogernas arbetssätt
använde vi oss av en checklista. Vi började med en öppen fråga för att se vad
informanternas spontana svar var. Sedan ställde vi följdfrågor för att undersöka deras
uppfattning i några områden som vi ville undersöka.
Spontant svarade fyra av informanterna att det krävdes medvetenhet i det de gjorde.
Man måste veta varför man gör som man gör och vara medveten om vilka mål som styr
undervisningen. Som pedagog måste man tro på det man gör, vilket också smittar av sig
på barnen menade två av informanterna. Två av informanterna förtydligade den röda
tråd som behövs från förskolan och uppåt. Tre av informanterna tog upp betydelsen av
48
trygghet i gruppen och vikten av att känna barnen. Två av informanterna menade att
erfarenhet som pedagog behövs för att lyckas med ett sådant arbetssätt. Utbildning av
personalen togs upp som kriterier av två informanter. Två informanter tryckte på
skolledningens engagemang och pedagogernas egna engagemang. Tre av informanterna
tog upp tiden som en viktig del av arbetet.
Under nedanstående underrubriker har vi kategoriserat de svar som vi fick in, dels
spontant och dels genom följdfrågor från oss. Svaren är inte redovisade i någon särskild
ordning.
9.4.1 Målmedvetet arbete
Samtliga informanter menade att pedagogen måste ta ett aktivt beslut att ändra sin
undervisning. Pedagogen måste ha mål med sin undervisning och själv tro att detta är
det bästa sättet att undervisa för att utveckla barnens matematikkunskaper, menade fem
av infomaneterna.
9.4.2 Utbildning
Åtta av tio informanter ansåg att utbildning var viktig för att kunna arbeta med språket
som verktyg. Detta för att få nya idéer och strategier till konkret matematik och för att
skapa intresse, menade en informant. Kritik framfördes om den nya lärarutbildningen
där nya lärare går ut utan kompetens att undervisa barnen i de tidiga åren i matematik.
En informant menade att detta kunde lösas internt på skolor där kollegor med mer
erfarenhet skulle kunna utbilda sina arbetskamrater. Fortbildning, gärna tillsammans
med kollegor, ansåg tre vara extra viktigt. En informant ansåg att utbildning kunde vara
hämmande.
9.4.3 Tid
Samtliga menade att tidsaspekten av arbetet var betydelsefull. Tid behövs inte bara för
att planera och genomföra undervisningen, tiden behövs även för egen reflektion för att
komma fram till kreativa lösningar. Tid behövs också för att träffa kollegor för
reflekterande samtal.
49
9.4.4 Materiel
Majoriteten av informanterna hade inte gemensamma läroböcker i matematik till
barnen. Istället utgjorde plockmateriel som makaroner och kulor eller materiel som
barnen
hittar
i
naturen,
tillsammans
med
inköpt
konkretionsmateriel
som
Cuisenairestavar, centikuber, Tangram, pengar, kortlekar, klockor etc. en viktig del av
undervisningen. Fyra av tio berättade att de använde stenciler och enstaka exemplar av
läroböcker som inspirationskälla för sin undervisning. Tre informanter menade att de
använde sig av sådant som redan fanns på skolan i sin undervisning. Det kunde vara
materiel för skapande såsom färg, lim, papper och snöre. Det kunde även vara
skönlitteratur eller videokamera för inspelning av dramatiseringar.
9.4.5 Budget
Åtta av tio hade en egen budget i arbetslaget att förfoga över vid inköp av materiel
vilket innebar att de inte behövde argumentera för sina inköp eftersom alla var överens.
En informant menade att ledningen gick med på extra inköp som kunde motiveras med
en övertygande argumentation. En av informanterna menade att hennes undervisning
inte krävde några ytterligare inköp eftersom allt materiel redan fanns på skolan.
9.4.6 Grupper
Sju av tio menade att arbetssättet fungerade i helklass men att mindre grupper var att
föredra vid introduktion av ett nytt område. Sex av tio använde sig av olika grupper i sin
undervisning. Dessa grupper var inte permanenta och kunde sättas ihop utifrån intresse,
ålder eller kunskapsnivå.
9.4.7 Lokaler
Två av tio ansåg att lokalerna var betydelsefulla för undervisningen. Informanterna som
ansåg det menade att det var bra med många smårum för mindre grupper. En av
informanterna sa att man bör ha rymliga, flexibla lokaler där möjlighet till ommöblering
finns. Resterande menade att det inte behövdes några särskilda lokaler. Tre av
informanterna menade trots det att det fanns fördelar med att samla allt materiel i ett
rum, som en matematikverkstad, eftersom det både var praktiskt och tilltalande för
barnen. De poängterade dock att det inte var avgörande för arbetssättet.
50
9.4.8 Föräldrar
Samtliga informanter framhöll vikten av att informera föräldrar om arbetssätt och
metoder. Då upplevde de att de fick föräldrarna med sig i arbetet.
9.4.9 Kollegor
Åtta av informanterna kände att de arbetade med kollegor som hade samma syn på
undervisning som de själva. Det underlättade för arbetet. En informant menade att det är
bra om de som skulle arbeta tillsammans hade gått samma utbildning för att på så vis ha
liknande tankesätt. Om endast en i arbetslaget vill och vet varför detta arbetssätt är bra,
kan man få arbeta i motvind, menade denna informant. En annan informant menade att,
för att samarbetet ska bli bra, behövdes medvetna kollegor som själv brinner för ämnet.
En informant menade att ”arbetslaget bör dra åt samma håll, men behöver inte tänka
lika. För då tänks det inte så mycket på en arbetsplats”.
9.4.10 Skolledning
Sex av tio hade positiva erfarenheter av ledningen på skolan. Tre informanter saknade
en ledning som engagerade sig. En av informanterna berättade om en ledning som
visserligen godkände arbetet men som inte utnyttjade kompetensen till den egna skolan
enligt devisen att ”man inte kan bli profet i sin egen stad”. Trots olika erfarenhet
menade samtliga informanter att ledningens inställning var viktig.
9.4.11 Kommunala direktiv
Tre av tio menade att kommunens beslut inverkade på undervisningen i matematiken
när det gällde hur satsningen på ämnet såg ut i kommunen. En menade att politiker
påverkar i och med att de bestämmer över ekonomin. Mer pengar öppnar möjligheter till
att ha fler pedagoger, vilket i sin tur gör det möjligt att bilda mindre barngrupper.
Rapporter om svenska barns neråtgående resultat hade medfört mer fortbildning i en av
kommunerna. Fyra av tio menade att det inte hade någon betydelse för undervisningen
hur besluten togs i kommunstyrelsen.
51
9.5
Hur gynnas barn i behov av särskilt stöd av ett sådant arbetssätt?
9.5.1 Vilka barn gynnas av detta arbetssätt?
Samtliga informanter menade att alla barn gynnas av ett sådant arbetssätt. En informant
menade att de duktiga barnen gynnades mer av arbete med lärobok. Vid sex intervjuer
framkom tvärtemot att just de duktiga barnen lättare kunde utvecklas på sin nivå. För
övrigt nämndes att barn med matematiksvårigheter, barn med långsam inlärning,
språksvaga svenska barn, barn med läs- och skrivsvårigheter och barn med
koncentrationssvårigheter gynnas av detta arbetssätt. De informanter som hade
erfarenhet av pedagogiskt arbete med barn med annat modersmål menade att även de
gynnas.
9.5.2 På vilket sätt gynnas de?
Sex av tio informanter menade att fördelarna med arbetssättet var att både personal och
barn upplevde att det var roligt. Arbetet upplevdes som stimulerande och engagerande
samtidigt som det var konkret och därmed underlättade för förståelsen. Alla informanter
talade om att de samtalade mycket med barnen och att barnen samtalade mycket med
varandra. Detta fick många positiva följder. Fem av informanterna menade att det
innebar att barnen fick höra samma sak många gånger på olika sätt vilket blev en
naturlig repetition. Tre informanter sa att om barnen fick förklara för andra så kunde det
leda till djupare kunskaper. När barnen samtalade med varandra kunde de sporra
varandra till att hitta olika lösningar och de blev duktiga på att hjälpa klasskamrater utan
att direkt säga svaret, menade en av informanterna. Sex av informanterna sa att det var
lättare att individualisera i och med att man arbetade med olika uppgifter. Ett annat sätt
som barnen gynnades på, som nämndes av enskilda informanter, var att konkret arbete
gjorde det lättare att förstå. Vidare arbetade barnen med många olika uppgifter på sin
egen nivå, vilket gjorde att det inte blev någon tävling/jämförelse mellan barnen. Barnen
fick möjlighet att arbeta i sin egen takt – det fick lov att ta tid. Det fanns inget tak för de
duktiga barnen, de fick lov att gå vidare på en mer avancerad nivå. Vardagssituationer
togs in i undervisningen, vilket gjorde att det blev ett meningsfullt sammanhang, vilket i
sin tur ökade barnens motivation till att lära. Det som skulle läras in presenterades på
olika sätt – både av vuxna och av klasskamrater. Det fanns inga ”rätt och fel” som
hämmade barnen. Barnen visste varför de skulle göra på olika sätt, vilket ledde till
motivation och ökad inlärning. Mycket praktiskt arbete innebar att barnen inte alltid
52
behövde skriva så mycket, vilket gynnade barn med läs- och skrivsvårigheter. Flera
sinnen berördes genom t.ex. musik, bild och drama. När känsla och intellekt arbetar
tillsammans ökar motivationen och därmed inlärningen menade en informant. När
pedagogerna, redan när barnen var små, använde de rätta begreppen i matematiken fick
barnen höra dessa i sitt rätta sammanhang och kom så småningom själva att använda
dem. Fyra av tio sade att arbetet både skapade nyfikenhet och intresse för ämnet.
Ytterligare fördelar som nämndes av enskilda pedagoger var att det var ett medvetet sätt
att arbeta, att det var kreativt, flexibelt och att barnen var delaktiga i undervisningen.
9.6
Arbetar pedagogerna medvetet efter någon pedagogisk teori?
Samtliga informanter hade en teori om hur barn lär sig och var medvetna om på vilket
sätt de ville arbeta med barnen. Fyra av tio sa att de plockade det bästa ur flera olika
teorier. Dock hänvisade informanterna oftast inte till pedagogiska teorier utan till
pedagogiska metoder eller personer såsom Montessori, Waldorf eller Gudrun Malmer.
Fyra av informanterna nämnde Gudrun Malmer som inspirationskälla. En av
informanterna sa att hon trodde att barn lär sig bäst när de känner behov av kunskap. En
sa att hon gick på känn, dvs. att hon kände av på barnen vad som fungerade. En annan
menade att inlärning sker genom en koppling från händerna via hjärtat till hjärnan. Det
fick man genom att först arbeta praktiskt, sedan fick man en känsla för det och till slut
kunde man teoretiskt förstå det. En av informanterna som arbetade Bifrostinspirerat
berättade att det grundläggande i denna filosofi var att man skulle förena känslan och
intellektet och att Bifrostpedagogiken bygger sin filosofi på bl.a. Vygotskij, Gardner
och Matti Bergström. Två andra informanter sa att de utgick från Vygotskijs teori och
två sa att de utgick från den teori som Piaget förespråkade.
53
54
10 Anal ys
I denna analys har vi valt att inte ange källorna i de fall där vi skriver om något som
redan finns refererat i teorikapitlet (7.1).
I sin teori om det sociala samspelet beskriver Vygotskij lärandets olika kännetecken. I
detta samspel kan barnets informella kunskaper tillvaratas. Detta bekräftas av våra
informanter som alla använder sig av samtalet för att utveckla barnens
begreppsförståelse. I undervisningen lämnas barnen inte ensamma med sina
funderingar, utan stöttas både av kamrater och av kompetenta vuxna i samtalet. Barnen
uppmuntras till att berätta om hur det tänker. De uppmuntras även att lyssna på kamrater
och att hjälpa varandra. Vygotskij menar att den grundläggande attityden kring lärande
och utveckling måste bygga på att alla delar med sig. ”Det jag kan delar jag med mig
av, och det jag inte kan ber jag om hjälp med” (Strandberg, 2006, s.62).
I samtalen får barnet verktyg som kan användas för vidare förståelse. En informant
menade att det är pedagogens uppgift att skapa behov av verktyg som underlättar
barnets inlärning. Hon menade att:
det gäller att skapa behov hos dem, att ge dem ett problem att lösa. Då får de behov att lära
sig nya saker. Man måste ställa dem inför något problem, någon knut någonstans. Jag
funderar på vad som är viktigt för dem just nu, det kan t.ex. vara ishockeybilder. Då får man
hitta på något med ishockeybilderna. Man måste se till att de behöver ett verktyg, så att de
frågar efter ett verktyg. Då kan man hjälpa dem och visa dem att det finns ett verktyg för att
lösa det, sen kan de öva på det.
Samtliga informanter berättade att de använder mycket varierande materiel för
konkretion i sin undervisning. De menade att de till och med uppmuntrar barnen till
användning av det. Vygotskij menar att aktiviteter för lärande är situerade. De äger rum
i specifika situationer i kulturella sammanhang, rum och platser. Det borde alltså vara
lättare att lära sig räkna i miljöer där hjälpmedel för räkning finns. Även Strandberg
(2006) menar att barnen ska uppmuntras till användning av verktyg. Då kan de känna att
det som de ännu inte har i huvudet kan de ha i hjälpmedlen. Vi menar att många barn,
speciellt de i behov av särskilt stöd kanske alltid kommer att behöva hjälp av yttre
55
hjälpmedel. En del av vårt uppdrag som specialpedagoger kommer att vara att träna på
det som behöver förstärkas, men det kommer även att vara att kompensera för det som
barnet inte har förmåga att lära in. Barn med läs- och skrivsvårigheter eller dyslexi har
ofta svårigheter att lära multiplikationstabellen. Då blir t.ex. miniräknare ett verktyg för
dem.
Språket är ett av flera medierande, stöttande verktyg som underlättar förståelsen. Våra
informanter använder även bilder och konst som verktyg, vilka kan fungera som
bryggor mellan det nya formella och det som barnet redan behärskar. En informant
berättade:
Vi börjar alltid uttrycka oss i ord, eftersom det är saker som de redan har med sig innan,
redan från förskolan. Det är ingen som berättat för dem när de var små att det finns symboler,
det är min uppgift i skolan, att introducera symbolerna för dem. Jag utgår från vad de säger i
talspråket. Jag använder både talspråk, bildspråk och mattespråk, som jag kallar det. Först
pratar vi om händelsen, sen visar vi det genom en bild. Jag kanske ritar på tavlan eller barnet
ritar. Efteråt pratar vi om att det finns ett språk som heter mattespråket. Mattespråket betyder
samma sak som det vi pratar om men vi skriver det på ett annat sätt. Vi skriver det med
symboler.
Vygotskij menar att språkutveckling är helt beroende av de ord som används. För att
barnen ska kunna utveckla ett rikt språk inuti sina huvuden måste det ha föregåtts av ett
rikt samtal (Strandberg, 2006). Matematikorden tillhör ord med kulturella förtecken
som ges en särskild mening. Ord som mindre, kortare, lägre och färre är exempel på ord
som används i problemlösning och som vid korrekt användning kan underlätta
förståelse. Vygotskij talar om språk av första och andra ordningen (se 7.1). Genom att
använda barnets informella begrepp, och samtidigt ge ord för den matematiska
benämningen, kan pedagogen sträva efter att göra matematikspråket till ett språk av
första ordningen. Barnet säger kanske rundning istället för cirkel. Genom att pedagogen
använder båda uttrycken parallellt kan en översättning ske. Som vi skrev i kapitel 7
menar Vygotskij att ett språk som matematikspråket, som är ett språk av andra
ordningen, kräver ett språk av första ordningen som översättningsled. En informant
uttryckte sig så här:
56
Samtalet ger nya ord. Vi är noggranna med att använda rätt ord, t.ex. fler, färre när vi pratar
med dem. Det går inte att göra saker och ting lättare och lättare, det blir inte mindre och
mindre poliser i Stockholm utan färre och färre. Vi är noga med att använda orden när vi
pratar med barnen, vi vill också ha de svaren tillbaka. Vi försöker medvetandegöra dem och
visa att det är viktigt. Så kommer språket in.
Aktiviteter som leder till lärande är kreativa. Vygotskij menar att vi lär oss särskilt
mycket när vi gör saker. Han anser att det händer något väsentligt när praktiska
handlingar strålar samman med språk. Det som händer är att språket med dess speciella
form och innehåll börjar påverka aktiviteten. Det är därför viktigt att barnen har tillgång
till exempelvis både matematisk aktivitet och matematikens språk. Strandberg (2006)
anser att det är förskolan och skolans uppgift är att hitta en bra rytm och balans mellan
yttre och inre aktiviteter, mellan handlingar och kulturella tecken. När barn leker eller
håller på med andra aktiviteter använder de sig ofta av rörelser och gester som
uttrycksformer. Våra informanter hade alla tydliga inslag av praktiskt arbete, inte bara
språklig aktivitet. Två av informanterna gav exempel på hur de med hjälp av drama
kunde utveckla barnens begrepp genom aktivitet och språk.
Vygotskij menar att avståndet mellan det som barnet kan och det nya som ska läras in,
inte får vara för stort. Genom att utgå från barnens tankar och frågor tog våra
informanter reda på var barnen i gruppen befann sig. Detta är särskilt viktigt för att
undervisningen ska ligga på den nivå där den är snäppet över barnets aktuella
kunskapsnivå. Många av informanterna anpassade sedan även färdighetsarbetet till den
nivå som passade barnet för att optimera inlärningen. När vi tolkar Vygotskij, menar vi
att införandet av symboler på ett för tidigt stadium, då barnet inte har det i basen, kan
innebära att inlärningen sker över huvudet på barnet. En undervisning som inte läggs
upp så att samtal förs, där det yttre språket kan skapa möjligheter för barnet att vara
”huvudet högre”, blir inlärningen över den proximala utvecklingszonen. När barnet
arbetar i utvecklingszonen sker det, enligt Vygotskij, i dialog med någon som kan mer,
en pedagog eller kamrat. Barnet överskrider då sin aktuella förmåga. Vi menar, att om
undervisningen blir för abstrakt för barnet sker ingen inlärning, bara en förvirring och
en känsla av att inte förstå. Tron på den egna förmågan rubbas och barnet kan istället
uppleva en känsla av misslyckande.
57
I diskussionen, leken eller skapandet ger våra informanter barnet möjligheter att bilda
begrepp. Våra informanter berättade att de ofta arbetar med öppna frågor. Dessa frågor
kan ha många möjliga korrekta svar. Genom att höra olika möjliga lösningar på
problem, kan barnet upptäcka likheter mellan sina egna tankar och kamraternas
förklaringar. När en vuxen bekräftar barnets tanke och ger det positivt respons, kan
barnets begreppsförståelse medvetandegöras. Vygotskij menar att barnens egocentriska
tal, när de talar med sig själva, är en viktig funktion för begreppsutvecklingen. När
barnet, i arbetet med de öppna utsagorna, får möjlighet att berätta hur det tänker eller
förklara för en kompis, alltså talar högt om sina tankar, befäst tanken. Det yttre
samspelet får en möjlighet att internaliseras. Våra informanter berättade även att de
utgår från barnens egna frågor. Vygotskij menar att barnets frågande visar på stor
lärandepotential. Barnets frågor säger var hans/hennes tankeprocesser befinner sig
(Strandberg, 2006).
Genom våra intervjuer har vi blivit stärkta i vår syn på lärandet. Vi upplever att vi fått
konkreta exempel på hur Vygotskijs tankar kan användas i ett vardagligt sammanhang, i
undervisningen med barnen.
58
11 Diskussion
Vi anser att vi i denna studie fått svar på våra frågeställningar. Vi har fått konkreta
exempel både på hur barnens informella kunskaper kan tillvaratas och hur ett arbetssätt
där språket är det främsta verktyget för begreppsutveckling kan se ut, vilket redovisades
i resultatdelen (se kap.9). Flertalet av pedagogerna arbetar inte efter någon uttalad
pedagogisk teori, men alla har medvetna tankar om hur de menar att barn lär bäst. I
slutet av detta kapitel sammanfattar vi, vad vi menar behövs för att underlätta en sådan
undervisning på individ-, grupp- och organisationsnivå. På frågan om vilka barn som
gynnas kan vi inte fastslå att barn i svårigheter gynnas mer än andra barn. Utifrån de
svar vi fått, och utifrån vår teoretiska modell, kan vi enbart dra slutsatsen att alla barn
gynnas av ett sådant arbetssätt.
Nationella och internationella undersökningar (se kap.5) slår fast att flera av läroplanens
mål inte infrias. Enligt TIMSS 2003 möter våra elever inte en undervisning som
utvecklar och tillvaratar deras intresse och tilltro till matematik. NU-03 menar att lusten
för ämnet finns, men att den inte tillvaratas. Samma utredning beskriver en
arbetssituation i skolan med enskilt arbete där kontakt sker enbart med läraren. Detta
utvecklar inte barnens förmåga att förstå, föra logiska resonemang och kritiskt granska.
PISA menar att de svenska barnen är sämre på just kritiskt tänkande, analys, reflektion,
kommunikation och argumentation. TIMSS 2003 visar att grupparbete har blivit
ovanligare på bekostnad av enskilt arbete. Detta tyder på att tid för muntlig och skriftlig
argumentation blivit mindre. Vi menar att det är en dyster bild som målas upp av den
svenska matematikundervisningen.
Matematikdelegationen har på uppdrag av Statens offentliga utredningar (SOU) skrivit
ett betänkande, Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens (2004). Där står
följande att läsa:
Att lära sig matematik är ett livslångt projekt som börjar redan med spädbarnets lek och
prövande. Barnet upplever och tar snart till sig former, antal, ordning, samband, symmetrier
och mönster och mycket tidigt uppstår intuitiva föreställningar om många grundläggande
matematiska begrepp. Så småningom kommer barnets och den unga människans informella
språk och föreställningar att möta den matematiska kultur som redan finns etablerad i skola
59
och högskola. Att ta sig an och berika detta möte är en av läraryrkets svåraste och mest
stimulerande uppgifter. Hur ska matematikens formella språk och välordnade teorier kunna
möta och förstärka barnets intuition, nyfikenhet, lust och upptäckarglädje? Mycket talar för
att ungdomar har olika sätt att lära. Vissa lär sig t.ex. bäst med hjälp av bilder och metaforer,
medan andra gärna snabbt tillägnar sig formelspråkets exakthet och finner glädje i det.
Lärare har här en nyckelroll när det gäller att förstå och vidga gränserna för elevernas
matematiska tänkande (SOU 2004:97, ss.87-88).
Matematikdelegationen lyfter frågan om hur pedagogerna tar sig an och berikar barnens
möte med den matematiska kultur som finns etablerad i skolan. Detta är viktigt menar
de. Vi menar att det därför är intressant att redovisa vad det var som fick våra
informanter att ändra på sin matematikundervisning. På frågan om varför våra
informanter arbetade med språket som verktyg för att lära barnen matematik menade
samtliga att de kände att de ville göra sin undervisning bättre. De ville lära sig mer.
Flera sa att de började arbeta på detta sätt för att de hade märkt att många barn inte
förstod matematiken och att de då måste pröva nya arbetssätt. Som skäl till att börja
med detta arbetssätt angav fyra av informanterna att de inte tyckte att det fanns någon
matematikbok som motsvarade vad de önskade. De ville komma ifrån tävlandet bland
barnen, vilket ofta uppstår när läroboken står för huvuddelen av undervisningen. En av
informanterna uppgav att hon började arbeta på detta sätt i och med att hon fick ändrade
arbetsuppgifter. Gemensamt för alla informanter är att de haft någon eller några
anledningar till att de ville ändra sin undervisning i matematik.
Innan intervjuerna hade vi en föreställning om att pedagoger som har ett medvetet mål
med sin undervisning i matematik och använder språket som verktyg för förståelse har
en matematisk bakgrund. Med det menar vi att dessa pedagoger företrädelsevis är
personer med egna positiva upplevelser och framgångar i matematik. Vi mötte istället
personer som uttryckte att de först på senare tid, i vuxen ålder och i samband med sitt
arbete upptäckt glädjen och intresset för matematik. Två informanter menade t.o.m. att
de alltid tyckt matematik varit ett svårt ämne. En informant hade minnen från skoltiden
som bidragit till rädsla och en känsla av okunnighet. Fem av tio uttryckte att de snarare
såg sig som humanister än matematiker. Vi är medvetna om att vår studie är begränsad
både när det gäller tidsperspektiv och antal informanter, men vi ser sannolika
förklaringar till varför man som pedagog valt att via språket ta en genväg in i
60
matematiken. Intresset för språket kan bidra till att pedagogen väljer att utnyttja ett
hjälpmedel som känns tryggt och meningsfullt.
Genom att inte själv känna sig ”fullärd” intar pedagogen ett ödmjukt förhållningssätt.
En av informanterna berättade:
Jag är ingen duktig matematiker, men jag är heller inte ute efter att ha en hög position även
om det är jag som är läraren. De ser att jag blir lika glad som dem. När jag ser att de lär då lär
jag själv. De kan komma med saker som jag inte kan eller tänka tankar som jag inte tänkt.
Jag tror det är väldigt viktigt, jag tror inte att man alltid behöver ämneskunskapen själv. Har
du det kan inte barnet ge dig impulser, man kan inte tänka förbi.
Denna informant ansåg att utbildning kunde vara hämmande. Vi menar att de personliga
begränsningarna i ämnet kan vara värdefulla men vår uppfattning är, liksom åtta av våra
informanter, att utbildning är viktig. Sju av våra tio informanter är mycket erfarna. De
har under årens lopp fått tillfälle att pröva många olika metoder och därigenom kunnat
jämföra olika undervisningsformer och sett vilka som ger bäst resultat. Flera av
informanterna påpekade att det var någon eller några fortbildningar som fått dem att
ändra sitt undervisningssätt, vilket vi menar styrker vår övertygelse om att
utbildning/fortbildning är av stor vikt.
Vi menar att om ämneskunskaperna är bristfälliga eller saknas är det svårare att se var i
utvecklingen barnet befinner sig. Det är då svårare att utveckla de kunskaper som barnet
har. Löwing och Kilborn (2002) menar att för att pedagogen ska kunna följa läroplanens
riktlinjer att ”utgå från varje elevs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande”
och att organisera lärandet så att ”eleven utvecklas efter sina förutsättningar och
samtidigt stimuleras att använda och utveckla hela sin förmåga”, behöver pedagogen
kunskap och kompetens för skapa en undervisning som är individualiserad. Löwing och
Kilborn talar om vikten att diagnostisera förkunskaperna. I de tidigare åldrarna menar vi
att samtalet kan tjäna som en sorts diagnos av var i utvecklingen barnet befinner sig.
Genom samtalet hör barnet dessutom nya, effektivare lösningsmodeller som det kan
göra till sina egna.
61
Samtidigt som ämneskunskaper är väsentliga anser vi att en medveten syn på hur barn
lär är viktig. Innan studien inleddes var vår uppfattning, att de pedagoger som valt att
arbeta med språket som verktyg för begreppsförståelse, alla hade en stark övertygelse
om hur barn lär eller hade en teoretisk modell som underlag för sin undervisning. Vi såg
av resultatet att få kunde nämna vilka teorier som inspirerat dem. De som kunde det var
pedagoger som hade vidareutbildat sig under senare år. Däremot kunde alla informanter
redogöra för hur de ansåg att barn lär, vilket vi valt att inte redovisa i denna studie.
Medvetna tankar som vilade på en tro om vad som är stimulerande och utvecklande för
barn låg bakom val av uppgifter och arbetssätt. Läroplanen var levande i arbetet och låg
som grund för undervisningen. Vi upplevde att våra informanter var både duktiga och
erfarna pedagoger som valt en medveten undervisningsmetod som de tror på. Trots detta
kunde få precisera sina teoretiska antaganden. Därför anser vi att det är viktigt att tid ges
till pedagogiska diskussioner. Då kan reflektioner kring olika pedagogiska teorier kring
barns lärande utbytas.
Den amerikanske psykologen Bruner (2002) menar att man som ledare av ett
förändringsarbete kommer att stöta på patrull när man vill genomföra olika slags
innovationer eftersom man måste ta hänsyn till de vardagliga teorier som de
undervisande pedagogerna redan har. Han menar att detta är särskilt viktigt när man ska
diskutera utbildningsformer. Pedagogens uppfattning om barnet formar hans/hennes sätt
att undervisa. Det blir av största vikt att förse pedagogen med teorier om barns
medvetande samtidigt som de måste få möjlighet att reflektera över de vardagsteorier
som ligger till grund för deras undervisning. Med vardagsteorier menar Bruner den rad
skiftande antagande om barn som en pedagog kan ha. Barn kan betraktas som
oresonliga och trotsiga, de kan betraktas som oskyldiga små varelser som behöver
skyddas, de kan behöva skaffa sig färdigheter som bara kan tillägnas och utvecklas
genom praktisk aktivitet eller de kan uppfattas som tomma kärl som behöver fyllas med
kunskaper som bara vuxna kan förse dem med etc. Bruner menar att
utbildningspraktiken i klassrummet grundar sig på en uppsättning vardagliga
antaganden där vissa antaganden kan verka för och vissa emot barnets bästa, antingen
på ett medvetet eller på ett omedvetet sätt (Bruner, 2002). Vi menar att detta är viktigt
att ha i åtanke när man som specialpedagog agerar förändringsledare.
62
Tidigare forskning av Kronqvist och Malmer (1993) visar att barnet börjar översätta
problemsituationer till bilder eller använder ersättningsföremål för de ursprungliga
föremålen i utvecklingen av den informella matematiken. Den informella matematiken
ses som en väg in i matematiken. I vår studie ges exempel på hur sådana modeller kan
se ut. Genom att arbeta förebyggande redan i förskola och i förskoleklass kan barnens
kunskaper tillvaratas och utvecklas under lång tid. Då kan symboler få tid att ges
mening åt barnens vardagliga begrepp. Neumans materiel om Landet länge sedan är
exempel på ett sätt att arbeta. Två av informanterna i vår studie använde sig av
lärarhandledningen som utgångspunkt istället för att ge var sin elevbok till barnen.
Barnens svar och bilder fick bilda underlag för vidare diskussioner.
Våra informanter talade om att en stor fördel med deras arbetssätt är att matematiken är
rolig och lustfylld. De talade om barn som inte upplever att det är matematik de arbetar
med, de upplever endast att de leker och har roligt, samtidigt som de faktiskt sysslar
med inlärning. Sannolikheten att dessa barn överger sina informella lösningsstrategier,
vilket kan inverka negativt både på deras förståelse och på deras inställning till ämnet,
är liten menar vi. Barnen kan förknippa matematiken med tänkande, språk och handling
istället för att förknippa den med matematiska symboler, som Johnsen Høines (2000)
menar är ett mål med matematiken.
Informanterna i studien såg barnen som matematiker på ett tidigt stadium. De menade
att barnen är fria i tanken och inte styrs av jakten på symboler och ”rätta svar”. De
bekräftar det som tidigare forskning säger om barns förmåga till matematiskt tänkande
innan de har tillgång till symbolvärlden. Detta menar vi bl.a. beror på att pedagogerna
använder sig av öppna frågor och uppmuntrar barnen till att hitta så många lösningar
som möjligt på ett problem istället för att söka ett enda korrekt svar. Liksom Ahlberg
(2001) kom fram till i sin forskning, har våra informanter kommit fram till att frågandet
är betydelsefullt. Frågandet står för en viktig del i metoden för att ta reda på och
utveckla begreppen. Frågorna blir en väg in i matematiken för barnen. Det sätt svaren
bemöts på, menar vi, har en inverkan på barnens framtida syn på ämnet eftersom barnen
får känna om deras föreställningar är godkända eller inte. Ahlberg menar att, för att
stödja barnen så att de utvecklar sin problemlösningsförmåga gäller det för pedagogen
att gå under ytan och komma ifrån det vanliga rätt- och feltänkandet. Istället gäller det
att försöka avslöja barnens tankemönster och invanda föreställningar om hur problemet
63
ska lösas. Problemlösning är vanligt förekommande hos informanterna. En informant
menade att hennes arbetssätt var fördelaktigt just för att arbetssättet inte gick ut på att
hitta svar som var rätt eller fel.
Barnen har massor av kunskaper med sig, de är små matematiker. Det gäller att inte strypa
den kunskapen genom att som lärare vara för duktig i matematik och påpeka det rätta svaret.
Så står det i boken, så ska det vara. I boken finns bara ett svar, men det finns så många svar
på en fråga. Man kan ställa öppna frågor istället så att det kan finnas 100 svar. Då kan barnet
få rätt för det mesta. Barnen får känna att de kan.
Alla informanter talade om att de samtalar mycket, med enskilda barn, i mindre grupper
och i helklass. Informanterna samtalar med barnen och barnen samtalar med varandra.
Detta gör att barnen får sätta ord på hur de själva tänker och barnen får höra om hur
andra tänker. Eftersom detta upprepas gång på gång får de en naturlig repetition, vilket
gör att barnen lättare lär sig. Informanterna är noga med att använda sig av ett adekvat
språk. Samtidigt är de noga med att inte säga att barnen har fel när de t.ex. kallar en kub
för en tärning. De är däremot noga med att tillägga det rätta begreppet. Löwing (2006)
såg i sin studie av pedagoger hur viktigt det är att pedagoger gör språket synligt och
tolkbart för barnen. Detta har våra informanter anammat.
Vi menar att det även är viktigt att se vilka nackdelar som kan finnas med en
undervisningsmetod för att väga dem mot fördelarna. Det finns ingen metod som helt
saknar nackdelar. Eftersom vi upplever att detta arbetssätt svarar mot läroplanens mål,
menar vi att detta sätt är att rekommendera. Gemensamt för alla informanter är att de
menade att det finns vissa nackdelar med arbetssättet, men att alla fördelar väger mycket
tyngre. Som största nackdel med detta arbetssätt nämnde sex av tio att det går åt mycket
tid. Tiden behövs eftersom arbetssättet oftast innebär ett arbete utan lärobok. Detta
innebär mer planeringstid. Fem av tio beskrev att det fordras kreativt tänkande för att
planera undervisningen, vilket ibland kan upplevas som krävande. Två upplevde att en
nackdel kan vara att arbetskollegorna inte ser de lärsituationer som arbetssättet med
konkret materiel och samtal innebär. Två informanter sa att det blir stökigt i
klassrummet, men att det blir en ”positiv” stökighet eftersom alla arbetar. Enstaka
informanter upplevde att matematiken kan vara svår att integrera med de andra ämnena,
att barnen, via samtalet, kan styra de vuxna att avslöja lösningar på problem istället för
64
att tänka själva och att det finns en risk att enskilda barn tar över i diskussioner på
bekostnad av sina kamrater. En informant nämnde att det personliga intresset för
matematiken kan göra att övriga ämnen får mindre fokus. En annan nackdel som arbetet
kan innebära, menade en informant, är att om barn är borta från skolan missar de
väsentliga delar av undervisningen som de inte kan ta igen eftersom det handlar om
praktiskt arbete, grupparbete, open-ended-questions etc. En annan informant berättade
att när de har vikarier har de ibland fått höra från föräldrarna att det hade varit bättre om
barnen haft en lärobok, för då hade föräldrarna vetat vad de skulle träna sina barn på.
Som det är nu är det inte lätt för en vikarie att ge läxa, menade hon.
Tid är ett återkommande tema i våra informanters berättelser. Tiden i skolan är en
bristvara, det gäller att använda den på ett optimalt sätt. Våra informanter vittnar om att
deras arbetssätt i mångt och mycket är tidskrävande för pedagogen. Det tar längre tid att
planera en undervisning som tillvaratar barnens informella kunskaper och utvecklar dem
med hjälp av språket, än att luta sig mot ett ”heltäckande” läromedel. Vi menar att
läroboken i matematik blir ett instrument för att visa hur många sidor som avverkats.
Det handlar mer om kvantitet än kvalitet. I vår studie såg vi bevis på hur en
undervisning där samspelet har en framträdande roll saknar de negativa följder som
finns med traditionell undervisning med lärobok. Alla som har erfarenhet av arbete i
lärobok har upptäckt att arbetssättet medför en viss grad av tävlande mellan barnen.
Jämförelsen för barnen ligger inte på kunskapsplanet utan visar sig i hur många sidor
varje barn presterat. Detta kan undvikas om pedagogen arbetar utan lärobok eller inte
har samma lärobok till alla barn, menade våra informanter. Undervisningen förmår
istället möta och hjälpa barnen att utveckla sina tankar, idéer och strategier på deras
nivå, vilket kan leda till meningsfull matematisk förståelse.
Tid behövs bl.a. till reflektion och till att tänka ut kreativa och lustfyllda lekar och
övningar. Även barnen har en viss tid att disponera för matematik i skolan. Vi menar att
de behöver den tiden för att reflektera och för att förstå, inte för att hinna göra fler
uppgifter som tränar samma sak. En informant sa: ”Jag menar att tiden räcker till om
alla förstår det praktiska innan man går över till uppgifterna. För då behöver man inte
göra så många uppgifter när man väl har förstått.” Ahlberg (2001) menar att barnen
behöver lära sig att det får lov att ta tid att lösa problem.
65
Arbetet med språket gynnar alla barn menade samtliga informanter. Vi menar att
arbetssättet som våra informanter använder sig av i mycket påminner om den pedagogik
som används för barn i behov av särskilt stöd. Ett arbetssätt som passar dessa barn är
samtidigt utvecklande för alla barn. I stället för att vända sig till det medelpresterande
barnet och sedan förenkla för den svagare kan pedagogen göra tvärt om. Den pedagogik
som behövs för att barn i behov av särskilt stöd ska kunna tillgodogöra sig det
matematiska innehållet blir ändamålet. Vi menar att barn i behov av särskilt stöd bör
vara utgångspunkten, sedan kan undervisningen individualiseras för att passa alla. Det
tjänar alla barn på. För barn i språksvårigheter bör undervisningen vara multicensorisk
för att få någon verklig effekt. Även barn utan språksvårigheter har olika inlärningsstilar
vilket i praktiken innebär att en multisensorisk undervisning borde gynna alla barn. Vi
menar därför att informanternas uppfattning ter sig trolig när de säger att alla barn
gynnas. För barn med dyslexi rekommenderas att de alltid får möjlighet att uttrycka sina
tankar i talat språk i samband med att de laborerar med åskådligt materiel. De muntliga
framställningarna förstärker sedan förståelsen av de laborativa undersökningarna menar
Sterner och Lundberg (2002). Eftersom vi grundar våra tankar på Vygotskijs teori om
socialt samspel menar vi att detta är något som alla barn behöver för att utvecklas.
Efter genomgången av resultatet känner vi oss stärkta i vår uppfattning att ett arbetssätt
med språkligt samspel och praktiska övningar är ett proaktivt arbetssätt eftersom färre
barn skulle vara i behov av särskilt stöd av en specialpedagog om pedagogen i
barngruppen arbetade på detta vis. Vi inser dock att barn med exempelvis dyslektiska
besvär och därmed svårigheter med symboler, är en grupp barn som behöver stöttas
extra för att de inte ska uppleva motgångar också i matematik. Matematiken kan
tvärtemot vara det ämne där de får stimulans till att använda mera kreativa och
informella lösningsvarianter. Därigenom kan de få uppleva framgång och känna att de
kan lyckas. Barn med läs- och skrivsvårigheter kan, i ett arbetssätt där de inte lämnas
ensamma med textuppgifter, känna att deras tankar och funderingar duger.
Specialpedagogen bör vara den person som ser till att språket blir det verktyg som
används när man arbetar med de barn som stannat i sin utveckling i matematik.
Ett av våra syften med studien var att undersöka vad som behövs för att möjliggöra ett
arbetssätt där språket har en central roll. Vi har funnit att åtta informanter ansett att
ledningen har en stor betydelse för om pedagogen ska våga ta steget att ändra sin
66
undervisning. Ahlberg (2001) menar att kommunikationen mellan den nationella,
kommunala och lokala nivån i skolans verksamhet måste fungera om man ska kunna
skapa en god lärandemiljö för alla barn. Lika nödvändig är kommunikationen mellan
olika ledningsnivåer och kommunikativa sammanhang i den enskilda skolans
verksamhet. Prioriteringar och fördelningen av tillgängliga resurser är av stor betydelse
då det gäller att skapa en organisation som kan tillgodose alla barns behov. Vidare
menar Ahlberg att styrningen av den enskilda skolan skapar villkoren för verksamheten
och bestämmer ramarna för undervisningens organisering på en skola. Samtidigt menar
vi att även ledningen bör vara insatt i den senaste forskningen och vara väl förtrogen
med läroplanens mål. Det räcker inte med att den enskilda pedagogen tror på sitt
arbetssätt, även ledningen måste tro på det. Eftersom det trots allt, enligt aktuella
undersökningar, fortfarande är vanligast att barnen sitter och arbetar enskilt med
uppgifter i en bok, behövs extra stöttning från ledningshåll för att visa både kollegor och
föräldrar att detta är ett arbetssätt som är att föredra. I intervjuerna gavs fina exempel på
rektorer som stöttat och engagerat sig i personalens fortbildning vilket i slutändan
gynnar barnen. Även Matematikdelegationen har i sitt betänkande Att lyfta matematiken
– intresse, lärande, kompetens (2004) skrivit att matematik i praktiken är grundskolans
tystaste ämne, trots kursplanernas betoning på problemlösning, kommunikation och
argumentation. De menar att skolledarna har ett stort ansvar att som pedagogiska ledare
stimulera den lokala verksamhetsutvecklingen.
Vi tar avstånd från den växande trenden av enskild räkning i svensk skola; allt talar för att
denna trend är skadlig. För att de lärande skall få lust för och vilja till att lära sig meningsfull
matematik krävs att lärarens kompetens och tiden för matematikundervisning utnyttjas bättre.
Diskussioner och samtal i och om matematik skall vara en naturlig del av
matematikundervisningen. Läraren måste i större utsträckning ges möjligheter till och också
själv sträva mot att aktivt leda och variera verksamheten i klassrummet (SOU 2004:97, ss.8990).
Även en av informanterna tryckte på skolledningens ansvar i att utbilda fler pedagoger i
matematik för att göra en förändring möjlig. Hon sa:
Generellt sätt menar jag att det fortfarande är många lärare som arbetar ”stenåldersmässigt”.
De har fortfarande ett ”tänk” som min matematiklärare hade när jag var barn. Politiker och
skolledare borde se till att utbilda fler i det här praktiska tänkandet. Det är lätt att läsa olika
67
böcker och artiklar om att man hittar matematiken överallt, men det är inte så lätt om jag inte
begriper vad jag ska leta efter.
Föräldrarna är en grupp som oftast inte är insatt i vad den senaste forskningen säger om
matematikundervisningen. De är samtidigt en grupp med egna erfarenheter av skolan.
Alla har gått i skolan och har en bild av hur matematikundervisningen ska se ut. Vi
anser precis som majoriteten av våra informanter att vägen till föräldrarna går via
information och utbildning. Föräldrarna är betydelsefulla för oss pedagoger eftersom de
i de flesta fall har en stor påverkan på sina barn. Har man som pedagog föräldrarnas
förtroende är det lättare att nå barnet.
Sammanfattningsvis drar vi slutsatsen att det som framförallt behövs för att möjliggöra
en sådan undervisning är ett eget ställningstagande av pedagogen. Pedagogen måste
vara medveten om varför han/hon vill arbeta så och tro att det är det sätt på vilket barn
lär bäst. Ledningens och kollegornas stöd är viktigt för att ta beslut om att ändra sin
undervisning. Den enskilda pedagogen behöver dessutom egen kunskap, dels kunskap
om hur barn lär och dels ämneskunskaper i matematik. Därtill behövs tid, tid till
planering, tid till för- och efterarbete och tid till reflektion. Vi ser att arbetet påverkas på
organisationsnivå eftersom ledning och arbetslag involveras i arbetet. Ledningen i
högsta grad, eftersom det är de som ansvarar för hur tiden på skolan används och det är
de som förfogar över pengar till fortbildning, personaltillsättningar etc. Arbetet påverkas
även på gruppnivå. Alla kollegor i arbetslaget bör ha liknande syn på undervisning för
att på så vis underlätta arbetet. Mest påverkas dock individen. Det är individen, barnet
som deltar i undervisningen, som har mest att vinna om pedagogen väljer att arbeta med
språket som verktyg för begreppsförståelsen.
I examensordningen för Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, 60 p (SFS 2001:23
39 Specialpedagogexamen) står det att specialpedagogens överordnade uppgift är att
identifiera och undanröja faktorer i undervisnings- och lärandemiljöer som orsakar att
barn får svårigheter. I vår studie har vi kartlagt eventuella hinder för en
matematikundervisning
som
använder
språket
som
främsta
verktyg
för
begreppsförståelse. Vi vill härigenom förmedla till andra pedagoger att detta är ett
arbetssätt som är möjligt, utan något särskilt materiel, utan extra resurser vare sig i form
av extra personal eller pengar, utan särskilda lokaler eller mindre grupper. Detta har vår
68
studie visat. Även tidigare forskning gjord av Löwing (2006) visar att gruppstorlek inte
har någon betydelse för valet av arbetssätt. Löwing såg i sin undersökning exempel på
pedagoger som hade mindre grupper men som trots det inte lyckades. Men vi ser även i
vår studie att om det ska till en förändring i den svenska skolan måste pedagogerna
känna sig motiverade och de måste vilja ändra sitt undervisningssätt.
All förändring innebär val. Val mellan den väg vi går och de vägar som vi inte tar. En insikt
om förändringsprocessen, förändringarnas kontext och konsekvenser hjälper oss att klargöra
och ifrågasätta våra val. Vad vi väljer kommer i sista hand att bero på hur djup vår insikt är,
men också på hur kreativa våra strategier är och styrkan i våra övertygelser och värderingar
(Hargreaves, 1994, s.36).
Vi använde oss av den kvalitativa forskningsintervjun i denna studie för att försöka
”utveckla en kunskap som kan förändra personer och omständigheter” (Kvale, 1997,
s.60). Genom intervjuerna ville vi även kunna förmedla undersökningspersonernas
situation och erfarenheter till andra (Kvale, 1997). Vår förhoppning är att denna studie
kan få fler pedagoger att inse vikten av att använda språket i matematikundervisningen.
Det är alla barn värda.
69
70
12 Fortsatt forskning
Vi har, i vår studie, valt att undersöka hur en undervisning ser ut som utgår från såväl
barnets tankar och tidigare kunskaper som de mål som finns i våra styrdokument. Vi har
visat på de goda exemplen. TIMSS-utredningen efterlyste uppföljande studier om hur
undervisningen i den svenska skolan faktiskt ser ut. Hur vanligt är det att pedagoger
arbetar med språket som verktyg i matematik? Når fler barn i skolan sina mål när de går
ut skolår nio om de får delta i en undervisning där deras informella kunskaper tas
tillvara och där språket används för att öka deras begreppsförståelse? Vi anser att en
longitudinell, jämförande undersökning vore viktig för att fastställa om så är fallet.
71
72
Referenser
Ahlberg, A. (1994). Att möta matematiken i förskolan. Rita, tala och räkna matematik.
Institutionen för pedagogik. Rapport nr 1994:12. Göteborgs universitet.
Ahlberg, A. (2000). Matematik från början. Göteborg: Nämnaren Nationellt centrum
för matematikutbildning.
Ahlberg, A. (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur.
Ahlberg, A. & Klasson, J-Å. & Nordevall, E. (2002). Reflekterande samtal för
pedagogisk utveckling. Lärare och specialpedagog i samverkan om lärande i
matematik. Jönköping: Vetenskapliga rapporter från HLK.
Bruner, J. (2002). Kulturens väv, utbildning i kulturpsykologisk belysning. Göteborg:
Daidalos.
Bråten, I. (red.). (1998). Vygotskij och pedagogiken. Lund: Studentlitteratur.
Doverborg, E. & Emanuelsson, G. (red). (2006). Små barns matematik. NCM,
Göteborgs universitet.
Dysthe, O. (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund: Studentlitteratur.
Gullveig, B. & Öyen, Ö. (1997). Etik och praktik i forskarens vardag. Lund:
Studentlitteratur.
Hargreaves, A. (1994). Läraren i det postmoderna samhället. Lund: Studentlitteratur.
Johnsen Høines, M. (2000). Matematik som språk. Malmö: Liber AB.
Kronqvist, K-Å. (2003). Matematik på väg – i förskola och skola. Rapporter om
utbildning, Malmö Högskola. 12/2003.
Kronqvist, K-Å. & Malmer, G. (1993). Räkna med barn. Läroboksoberoende
matematikundervisning i teori och praktik under de första skolåren. Solna: Ekelund AB.
Kvale, S. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.
Ljungblad, A-L. (2003). Att möta barns olikheter – åtgärdsprogram och matematik.
Varberg: Argument förlag.
Lundberg, I. & Sterner, G. (2006a). Räknesvårigheter och lässvårigheter under de
första skolåren – hur hänger de ihop? Stockholm: Natur och Kultur.
Lundberg, I. & Sterner, G. (2006b). Läsning, räkning och uppgiftsorientering – hur
hänger de ihop? Dyslexi nr 3.
73
Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemma – Hur lärare kan hantera
lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, M. & Kilborn, V. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och
samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med
inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Merriam, S. B. (1994). Fallstudien som forskningsmetod. Lund: Studentlitteratur.
Partanen, P. (prel. 2007). Vygotskijs vägledande pedagogik. Stockholm: Bonnier
Utbildning. Presenterat för Påarps skolområde, Helsingborg 14 augusti 2006.
SFS 1994:1194. Grundskoleförordning (1994:1194). (21 december 2006). Länkadress:
http://www.notisum.se/rnp/sls/lag/19941194.htm
SFS 2001:23 39. Specialpedagogexamen. (19 december 2006). Länkadress:
http://www.mah.se/templates/Page____12585.aspx
Skollagen.
(1985:1100).
(21
december
2006).
Länkadress:
http://www.notisum.se/index2.asp?iParentMenuID=236&iMenuID=314&iMiddleID=2
85&top=2&sTemplate=/template/sok.asp?DokTyp=1
Skolverket. (2002). Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000. Stockholm:
Fritzes.
Skolverket. (2004a). Pisa 2003 – svenska femtonåringars kunskaper och attityder i ett
internationellt perspektiv. Rapport 254.
Skolverket. (2004b). TIMSS 2003 –Trends in International Mathematics and Science
Study Huvudrapport 255.
Skolverket. (2004c). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 – sammanfattande
huvudrapport. Rapport 250.
Skolverket. (2005). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och
fritidshemmet, LPO94. Stockholm: Fritzes.
Skolverket. (2006). Senaste lydelse av Förordning om läroplan för förskolan. (21
december 2006). Länkadress: http://www.skolverket.se/skolfs?id=572
Solem, I. H. & Reikerås, E.K.L. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Natur och
Kultur.
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens. Stockholm:
Fritzes.
Sterner, G. & Lundberg, I. (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik.
NCM-rapport 2002:2. Göteborgs universitet.
74
Strandberg, L. (2006). Vygotskij i praktiken: bland plugghästar och fusklappar.
Stockholm: Norstedts akademiska förlag.
Trost, J. (1997). Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur.
Wistedt, I. (1993). Att använda barns informella kunskaper i matematikundervisningen.
Pedagogiska institutionen. Stockholms universitet.
75
Bilaga 1
JÄMFÖRELSE AV STYRDOKUMENTEN
Mål att sträva mot, Lpfö 98
Mål att uppnå i skolår 5, kursplanen i
Informell matematik
matematik
Informell - formell matematik
•
Tal
•
Grundläggande egenskaper
Tal
Grundläggande taluppfattning om
naturliga och enkla tal i bråk
och decimalform.
•
•
Upptäcka och använda matematik i
•
Förstå och kunna använda
meningsfulla sammanhang.
räknesätten; problemlösning.
Finna mönster.
Talmönster
Utveckla förståelse för symboler i
•
kommunikativa funktioner.
Räkna i huvudet, med hjälp av
skriftliga metoder eller med
miniräknare.
•
Form, Tid, Rum
•
Grundläggande egenskaper
Geometriska figurer:
Kunna beskriva viktiga
egenskaper.
•
Mätning
•
Grundläggande egenskaper
•
Bygga, skapa, konstruera, utveckla
med hjälp av föremål.
Storheter
Jämföra, uppskatta och mäta.
•
Tolka tabeller och diagram.
Enkel statistik.
Modell: Kronqvist, Malmö Högskola
Bilaga 2
INTERVJUFRÅGOR
1) När och hur uppstod ditt intresse för matematik?
2) Beskriv den pedagogiska teori som du arbetar efter!
3) Ge exempel på hur du tar tillvara på barnets/elevens informella kunskaper i din
matematikundervisning!
4) Berätta hur du arbetar medvetet med språket för att utveckla barnets/elevens
begreppsförståelse i matematik!
5) Vad fick dig att börja arbeta på detta sätt?
6) Vilka barn/elever gynnas mest av detta arbetssätt? På vilket sätt?
7) Vilka för- och nackdelar ser du med ditt arbetssätt?
8) Vad tror du behövs för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet arbetar med
språket som verktyg för begreppsförståelsen?
Bilaga 3
CHECKLISTA
1) Kan du börja med att berätta om dig själv!
Grundutbildning (poäng)
Flera utbildningar (poäng)
Vems initiativ?
2) Hur många års erfarenhet av pedagogiskt arbete har du?
Vilka åldersgrupper? Resurs, klass, spec., vilken funktion?
3) Som barn och ungdom, hur upplevde du själv matematikämnet?
Lätt – svårt
Tråkigt – roligt
4) När och hur uppstod ditt intresse för matematik?
5) Beskriv den pedagogiska teori som du arbetar efter!
Utveckla!
6) Ge exempel på hur du tar tillvara på elevens informella kunskaper i din
undervisning!
7) Berätta hur du arbetar medvetet med språket för att utveckla elevers
begreppsförståelse i matematik!
Lärobokens betydelse
Hur mycket används läroboken?
8) Vad fick dig att börja arbeta på detta sätt?
9) Vilka elever gynnas mest av detta arbetssätt?
Elever i behov av särskilt stöd – allmänt
Elever med dyslexi, läs- och skrivsvårigheter
Elever med annat modersmål
10) På vilket sätt gynnas de?
11) Vilka är fördelarna med ditt arbetssätt?
12) Vilka är nackdelarna/svårigheterna?
13) Vad tror du behövs för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet
arbetar med språket som verktyg för begreppsförståelsen?
Lokaler
Utrustning
Gruppstorlek
Gruppsammansättning
Personalresurser
Arbetslaget/kollegor (inställning, budget …)
Skolledningen (inställning, budget …)
Föräldrarnas krav/stöd
Politiska direktiv
Utbildning
14) Något annat som du vill ta upp i denna intervju?
