Lösningsförslag basuppgifter
6.3 Partikelns kinetik. Härledda lagar
B6.9
1-2) Korrekta
3) Felaktig (Vänsterledet är en energi; högerledet en rörelsemängd. Om högerledet
multipliceras med en hastighet får däremot båda leden samma dimension.)
4) Felaktig (Vänsterledet är ett arbete, men högerledet har dimensionen kraft. Jfr
med 1))
5) Felaktig (Vänsterledet är ett arbete, det vill säga produkten av en kraft och en
längd. Högerledet däremot kan ses som produkten av ett arbete (F1 L1 ) och en
hastighet (L2 /t1 )).
6-13) Korrekta
14) Felaktig (Vänsterledet är ett arbete, men högerledet är en kraft rent dimensionsmässigt. Faktorn v1 /L1 ω1 är nämligen dimensionslös.)
15) Felaktig (En energi kan inte vara lika med en kraft.)
16) Korrekt
17) Felaktig (Enheten W skall inte vara med. Vänsterledet är en effekt, liksom
storheten F1 v1 i högerledet, låt oss säga 500 W. Om vi lägger till enheten W en
extra gång, blir det W2 i högerledet.)
18) Felaktig (Vänsterledet är en energi; högerledet en kraft. Om högerledet multipliceras med en längd får däremot båda leden samma dimension.)
19-21) Korrekta
22) Felaktig (Högerledet måste multipliceras med en längd för att båda leden skall
få samma dimension.)
23) Korrekt
24) Felaktig (Vänsterledet är en effekt, medan högerledet dimensionsmässigt är en
energi.)
25) Korrekt
26) Felaktig (Tiden t1 och den dimensionslösa storheten 2 kan inte adderas.)
27) Felaktig (Energin T1 och kraften F1 kan inte adderas.)
28) Felaktig (Längden L2 och den dimensionslösa storheten 3 kan inte adderas.)
29) Korrekt
30) Felaktig (Högerledet är summan av en effekt och en energi.)
31) Korrekt
B6.10a)
Lägesvektorn r(t) = (s0 sin (ωt), v0 t, z0 ).
Hastighetsvektorn v(t) = ṙ(t) = (s0 ω cos (ωt), v0 , 0).
b)
För t = 0 fås:
v(0) = (s0 ω, v0 , 0).
Kinetiska energin
1
1
T = mv 2 = m(s20 ω 2 + v02 ).
2
2
B6.11a)
N
P
F
mg
b)
↑
N − mg = 0.
Glidning i kontaktytan: F/N = µ.
Alltså är friktionskraften F = µmg.
Det totala arbete som uträttas är då
W = (P − µmg)L.
c)
Lagen för den kinetiska energin ger
1
(P − µmg)L = mv 2 ,
2
där v är den sökta farten.
B6.12a)
Arbetet WPQ =
R xQ
xP
x
(−kx)dx = − 12 kx2 xQ = k2 (x2P − x2Q )
P
b)
Lagen för kinetiska energin ger:
1
1
2
− mvP2 ,
WPQ = mvQ
2
2
som ger
r
k
vQ = vP2 + (x2P − x2Q ).
m
B6.13a)
1
2
2 mv0
b)
noll
c)
Ökat med mgL sin α.
d)
1
2
2 kL
e)
Endast tyngdkraften och fjäderkraften uträttar arbete. Eftersom båda är konservativa, så bevaras energin, vilket ger att
1
1
1
mv02 = mv 2 + mgL sin α + kL2 ,
2
2
2
där v är den sökta farten. Man får då
r
k
v = v02 − 2gL sin α − L2
m
B6.14a)
b)
c)
Minskar med mgR
√
I punkten P:
1
2 k(R
I punkten Q:
1
2
2 kR
I punkten P:
1
2
2 mvP
2 − R)2 = . . . =
3
2
I punkten Q:
−
√ 2
2 kR
1
2
2 mvQ
d)
Mekaniska energin är lika med summan av kinetisk och potentiell energi.
Denna har ökat med
1
2
2 mvQ
+ 12 kR2 − mgR − 21 mvP2 −
3
2
−
√ 2
2 kR = . . . =
√
2 − 1 mv 2 + ( 2 − 1)kR2 − mgR,
= 12 mvQ
P
2
dvs. minskat med
√
2 − ( 2 − 1)kR2 + mgR.
− 12 mvQ
1
2
2 mvP
e)
Friktionskraftens arbete är lika med ändringen i mekanisk energi:
1
2
2 mvQ
B6.15
√
− 12 mvP2 + ( 2 − 1)kR2 − mgR.
Rörelsemängden fås som
p = mẋ = mAω cos(ωt)
Insättning av de olika värdena på tiden t ger:
t=0:
p = mAω,
t = π/2ω : p = 0,
t = π/ω : p = −mAω,
t = 3π/2ω : p = 0.
B6.16a)
Rt
Impulsen fås som t12 (ΣF )dx.
Eftersom kraftsumman är riktad i x-riktningen, gäller detta också för impulsen,
vars komponent i x-riktningen fås som
Z t2 1
h F t2 it2
F0 t20 1
0 0
2
.
−
+
dt
=
−
=
F
t
0 0
t2
t t1
t2 t1
t1
b)
Impulsen är lika med ändringen i rörelsemängd, vilket ger
1
1
= mv2 − mv1 ,
F0 t20 − +
t2 t1
där v2 är den sökta hastigheten. Vi får då
v2 = v1 +
B6.17
F0 t20 1
1
−
.
m t1 t2
Rörelsemängdsmomentet med avseende på z-axeln kan beräknas som produkten av
rörelsemängd och ”hävarm”, vilket ger:
LzA = mvA rA ,
LzB = mvB rB sin α,
LzC = mvC rC .
