1
INLÄMNINGSUPPGIFT 1
MATEMATIK 2, HF1000
( DIFFERENTIAL EKVATIONER)
[email protected]
www.sth.kth.se/armin
tel 08 790 4810
Inlämningsuppgift 1 består av tre uppgifter. Individuellt arbete.
Du väljer tre av nedanstående uppgifter enligt följande :
A-G
Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna A-G då gör
du uppgifterna 1, 2 och 3 ( som finns nedan på sidan 2).
H-N
Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna H-N då gör du
uppgifterna 4, 5 och 6 ( som finns nedan på sidan 3).
O-U Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna O-U då gör du
uppgifterna 7, 8 och 9 ( som finns nedan på sidan 4).
V-Ö Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna V-Ö då gör
du uppgifterna 10, 11 och 12 ( som finns nedan på sidan 5).
Låt a, b, c och d beteckna de sista fyra siffrorna i ditt personnummer.
Har du t ex pn. 751332 2348 så är a=2 , b=3, c=4 och d=8 som du
substituerar i dina uppgifter och därefter löser dem.
Använd Maple för att lösa dina uppgifter.
1
2
Uppgift 1. A-G
Magnetiskt kopplade spolar:
Ovanstående modell kan beskrivas med följande differentialekvationer:
U 1 (t ) = R1i1 (t ) + L1i1′(t ) + Mi2′ (t )
U 2 (t ) = R2i2 (t ) + L2 i2′ (t ) + Mi1′(t )
Beräkna och plotta strömmarna i1 (t ) och i2 (t ) då
L1=1 H , L2=2 H , R1=2 Ω , R2 =4 Ω ,
M=(1+a) H
i1 (0) = 0 A, i2 (0) = 0 A,
U 1 (t ) = 6sin(10t) + 30cos(10t) + 20(1 + a)cos(20t) volt
U 2 (t ) = 4sin(20t) + 40cos(20t) + 30(1 + a)cos(10t) volt
Uppgift 2. A-G
I nedanstående elektrisk krets betecknas: induktansen med L1, L2 resistansen med R1,R2,R3
strömmen med i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) och spänningen med u(t)
a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för
strömmarna i1 (t ) samt i2 (t ) och i3 (t ) då
, L1=3H , L2=2H , R1=2 Ω , R2 =2 Ω , R3=4 Ω , R4=6 Ω ,
i1 (0) = 10a + 10 , i2 (0) = 10a + 10 och i3 (0) = 0
u(t) = (a+1)(220cos10t –278sin10t) V
b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) .
c) Plotta lösningen .
Uppgift 3. A-G
I tankar A och B finns (120 +2a) liter respektive (200+10c+d) liter saltvatten som
innehåller, 30g, respektive 50 g salt. Tanken A tillförs 8 liter vatten per minut som
innehåller 15 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 12 liter förs till B och
därefter 4 liter från B förs till A och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t)
beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t
i) Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t) och lös systemet med Maple
2
3
ii)Bestäm stationärtillstånd d v s lim x (t ) och lim y (t )
t →∞
t →∞
Uppgift 4. H-N
Magnetiskt kopplade spolar:
Ovanstående modell kan beskrivas med följande differentialekvationer:
U 1 (t ) = R1i1 (t ) + L1i1′(t ) + Mi2′ (t )
U 2 (t ) = R2i2 (t ) + L2 i2′ (t ) + Mi1′(t )
Beräkna och plotta strömmarna i1 (t ) och i2 (t ) då
L1=1 H , L2=2 H , R1=3 Ω , R2 =4 Ω ,
M=(1+a) H
i1 (0) = 0 A, i2 (0) = 0 A,
U 1 (t ) = 9sin(10t) + 30cos(10t) + 20(1 + a)cos(20t) volt
U 2 (t ) = 4sin(20t) + 40cos(20t) + 30(1 + a)cos(10t) volt
Uppgift 5. H-N
I tankar A och B finns (120 +2a) liter respektive (200+10c+d) liter saltvatten som
innehåller, 30g, respektive 50 g salt. Tanken A tillförs 8 liter vatten per minut som
innehåller 15 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 12 liter förs till B och
därefter 4 liter från B förs till A och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t)
beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t
i) Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t) och lös systemet med Maple
ii)Bestäm stationärtillstånd d v s lim x (t ) och lim y (t )
t →∞
t →∞
3
4
Uppgift 6. H-N
I nedanstående elektrisk krets betecknas:
induktansen med L1, L2
resistansen med R1,R2,R3
strömmen med i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t )
och spänningen med u(t)
a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för
strömmarna i1 (t ) samt i2 (t ) och i3 (t ) då
, L1=2 H , L2=5 H , R1=5 Ω , R2 =2 Ω , R3=4 Ω ,
i1 (0) = 12b + 12 , i2 (0) = 12b + 12 och i3 (0) = 0
och
u(t) = (b+1)(264cos12t –701sin12t) V
b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) .
c) Plotta lösningen .
7. O-U
Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare
kan beskrivas med följande ekvationen my ′′ + ay ′ + ky = F . Bestäm y(t) då
a) m=1, a= 2, k= 2, F=5 b) m=1, a= 2, k= 2, F=sin5t c) m=1, a= 0, k= 4, F = e −3t
då y(0)=2, y ′(0) = 0
4
5
Plotta lösningarna.
Uppgift 8. O-U
I nedanstående elektrisk krets betecknas:
induktansen med L1, L2
resistansen med R1,R2,R3
strömmen med i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t )
och spänningen med u(t)
a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för
strömmarna i1 (t ) samt i2 (t ) och i3 (t ) då
, L1=2 H , L2=5 H , R1=5 Ω , R2 =2 Ω , R3=4 Ω ,
i1 (0) = 12b + 12 , i2 (0) = 12b + 12 och i3 (0) = 0
och
u(t) = (b+1)(264cos12t –701sin12t) V
b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) .
c) Plotta lösningen .
Uppgift 9. O-U
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LCR-krets då
u(t) =(10+a)cos(8t) V , L=(1+a+c) H , R1=(3+b) Ω , R1=(d+1) Ω , C=4F ,
i(0)=1 A, i ′(0) = 1
a) Ställ upp en differential ekvation för strömmen i(t)
b) Lös ekvationen m a p i(t) dvs beräkna strömmen i(t) (använd Maple)
c) Plotta lösningen
Uppgift 10. V-Ö
I en tank finns (250 +a+b) liter saltvatten som innehåller 50g salt. Tanken A tillförs
8 liter vatten per minut som innehåller (5+c) gram salt per liter. Vatten blandas
5
6
ordentlig och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt y(t) beteckna saltmängden (i
gram) i tanken vid tidsmoment t
i) Ställ upp en ekvation för y(t) och lös ekvationen (använd Maple för att lösa
ekvationen)
ii)Bestäm stationärtillstånd d v s lim y (t )
t →∞
Uppgift 11. V-Ö
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LCR-krets då
u(t) =(10+a)cos(8t) V , L=(1+a+c) H , R1=(3+b) Ω , R1=(d+1) Ω , C=4F ,
i(0)=1 A, i ′(0) = 1
a) Ställ upp en differential ekvation för strömmen i(t)
b) Lös ekvationen m a p i(t) dvs beräkna strömmen i(t) (använd Maple)
c) Plotta lösningen
Uppgift 12. V-Ö
I nedanstående elektrisk krets betecknas:
induktansen med L1, L2
resistansen med R1,R2,R3
strömmen med i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t )
och spänningen med u(t)
a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för
strömmarna i1 (t ) samt i2 (t ) och i3 (t ) då
, L1=2 H , L2=5 H , R1=5 Ω , R2 =2 Ω , R3=4 Ω ,
i1 (0) = 12b + 12 , i2 (0) = 12b + 12 och i3 (0) = 0
och
u(t) = (b+1)(264cos12t –701sin12t) V
b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) .
c) Plotta lösningen .
6
7
Uppgift 13) (Bygg)
d 4 y w( x )
+
= 0 . Om ett
dx 4
EI
koordinatsystem med origo i den första punkten inläggs som i ovanstående figuren,
satisfierarkoordinaterna (x,y) för en godtycklig punkt på balken följande differentialekvation
d 4 y w( x )
+
= 0.
dx 4
EI
a) Bestäm y(x) då
w( x )
= b+ x,
EI
y (0) = 0 , y (1) = 0
y ′(0) = 0 och y ′(1) = 0
b) Använd grafen för att approximativt bestämma funktionens minimivärde ( y min )
En balk med belastning w(x) är fast i båda änder satisfierar
Uppgift 14) (Bygg)
I tankar A, B och C finns (100 +a), liter (100+b) liter respektive (100+c) liter
saltvatten som vid tiden t=0 innehåller, 30g, 40 respektive 50 g salt. Tanken A
tillförs 9 liter vatten per minut som innehåller 10 gram salt per liter. Vatten blandas
ordentlig och 14 liter förs till B och därefter 5 liter från B förs till A. På liknande sätt
blandas vatten i B och C , enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t) och z(t) beteckna
saltmängden (i gram) i A, B, C vid tidsmoment t
i) Ställ upp ett ekvationssystem för x(t), y(t) och z(t) och lös systemet med Maple
ii)Bestäm stationärtillstånd d v s lim x (t ) , lim y (t ) , lim z (t )
t →∞
t →∞
7
t →∞
8
8
